3. Laminar oder turbulent?

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Nadja Kramer
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1 3. Laminar oder turbulent? Die Reynoldszahl Stokes- Gleichung Typisch erreichbare Reynoldszahlen in der Mikrofluik Laminare Strömung Turbulente Strömung 1

2 Durchmesser L Dichte ρ TrägheitskraG: F ρ ρu 2 L 2 U Geschwindigkeit Viskosität (innere Reibung) η ReibungskraG: F η ηul Reibung: U Zeit U

3 L ρ U η TrägheitskraG Reynoldszahl = = = = ρul ReibungskraG ηul η F ρ F η ρu 2 L 2

4 η ρ ρ Reynoldszahl = ρul η Mit zunehmender Grösse und Geschwindigkeit nimmt die Reynoldszahl zu. Trägheitskrä+e werden wichnger/grösser als Reibungskrä+e! Vergleich: Mit zunehmender Grösse nimmt das Verhältnis Oberfläche zu Volumen ab! Tafel! Oberfläche Volumen L2 L 3 = 1 L

5 3.2. Stokes- Gleichung Für Re << 1 und unter Annahme von quasi- stanonären Geschwindigkeitsfeldern vereinfacht sich die Navier- Stokes- Gleichung zur linearen Stokes- Gleichung p =η 2 v zeitunabhängig langsame oder schnelle Bewegung gleichwerng Vorwärts- und Rückwärtsbewegung gleichwerng 5

6 Stokes- Gesetz v Das Stokes- Gesetz beschreibt die ReibungskraG, die auf eine Kugel wirkt, wenn sie sich durch ein Fluid mit der Geschwindigkeit v bewegt. Um die auf eine Kugel mit dem Radius R wirkende KraG zu berechnen muss der viskose Stress ( ηv/r) über die ganzen Oberfläche (4πR 2 ) der Kugel integriert werden. Aus dieser Betrachtung der Dimensionen erhält man für die makroskopische ReibungskraG F s (mit dimensionsloser Konstanten C): Die präzise abgeleitete Gleichung lautet: F s = CηRv F s = 6πηRv = γv γ - Reibungskoeffizient 6

7 3.3. Von der laminaren Strömung zur Turbulenz 7

8 Laminare Strömung youtube Couece- Zelle mit Glycerin/Maissirup 8

9 Turbulente Strömung google.ch Übergang von laminarer in turbulente Rohrströmung 9

10 3.4. Wo befinden wir und in der Mikrofluidik?... und für Einzeller und Bakterien? Re = ρlu 0 η Re 10-2 Escherichia coli ρ ~ 10 3 kg/m 3 η ~ 10-3 kg/(ms) U 0 ~ 10-3 m/s L ~ 10-5 m Purcell

11 Zur Trägheit eines Bakteriums: Masse und Stossdämfer in Reihenschaltung Eine Reihenschaltung der mechanischen Elemente Masse und Stossdämpfer beschreibt die Bewegung eines Bakteriums in einer Flüssigkeit. + Stossdämpfer Masse F s = γv F s F 11

12 F s = γv F s F Die NecokraG, die an der Masse wirkt, sorgt für eine Beschleunigung der Masse, während die ReibungskraG entgegen wirkt: F + F s = F γv = ma bzw. m dv dt +γv = F Die Bewegung kann durch folgende Gleichung beschrieben werden, die auch eine Lösung der obigen DifferenNalgleichung darstellt: v( t) = F γ + % 1 exp t (. - ' * 0 mit τ = m, & τ )/ γ 12

13 Zur Trägheit eines Bakteriums: Bremsen und Bremsweg Wie lange läug ein E. choli nach, nachdem der flagellare Motor gestoppt hat? Tafel! 13

14 Zur Trägheit eines Bakteriums: Bremsen und Bremsweg Wie lange läug ein E. choli nach, nachdem der flagellare Motor gestoppt hat? Bewegungsgleichung: ExponenNeller Abfall von v: m dv dt +γv = 0 v( t) = v 0 $ ( )exp t ' & ) % τ ( Nachlaufzeit, Bremszeit : τ = m γ 0,2µs Nachlaufweg, Bremsweg : x = v( t)dt = v( 0)τ m 0 14

15 Bremsweg in Abhängigkeit von der Grösse des Objekts ( Kugel) v B = 2r B /t v P = 2r P /t v K = 2r K /t Bremsweg für kugelförmige Objekte mit einer Anfangsgeschwindigkeit von Kugeldurchmesser pro Sekunde (2r/t). x = v( 0)τ 2r t 2r 2 ρ 9η = 4r 3 ρ 9η x r 3 15

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