Tutorium 3 Hydromechanik I und II

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1 Tutorium 3 Hydromechanik I und II WS 2016/ Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 1

2 Aufgabe 32 Gegeben ist ein homogener rechtwinkliger Körper (gemäß Zeichnung), der auf Schwimmstabilität geprüft werden soll. Die Wichte von Wasser beträgt γ W = 10 kn/m³. Bestimmen Sie die Wichte des Schwimmkörpers sowie die metazentrische Höhe h m mit Schwimmstabilitätsnachweis. Hinweis: Das Metazentrum eines schwimmenden Körpers ist der Schnittpunkt der Auftriebsvektoren zweier benachbarter Winkellagen, die Strecke vom Massenschwerpunkt zum Metazentrum heißt metazentrische Höhe. 2

3 Aufgabe 32 Zur Erinnerung Die Auftriebskraft: F A = m w. g = γ w. V A F A = F G => Der Körper ist schwimmfähig. => γ Körper < γ w Gleichgewichtslagen: i) Stabil h m > 0 ii) Indifferent h m = 0 iii) Instabil h m < 0 Die metazentrische Höhe h m : h m = I y V A - I S G S A I I y : Flächenträgheitsmoment der Wasserlinienfläche V A : Das Volumen des verdrängten Wassers S A : Abstand Auftriebsschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion S G : Abstand Massenschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion 3

4 Aufgabe 32 - Lösung Wichte des Schwimmkörpers: F A = γ w. V A = γ w. l. b. t = 10 kn/m³. 5,35 m. 1,90 m. 1,13 m = 114, 865 kn F A = F G => F A = γ K. l. b. h => γ K = F A / ( l. b. h ) => γ K = 114, 865 kn / ( 5,35 m. 1,90 m. (1,13+0,73) m ) = 6,075 kn/m³ 4

5 Aufgabe 32 - Lösung Abstand Massenschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: h = f + t = 0,73 m + 1,13 m = 1,86 m S G = h / 2 = 1,86 m / 2 = 0,93 m Abstand Auftriebsschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: S A = t / 2 = 1,13 m / 2 = 0,565 m Der Abstand beider Schwerpunkte voneinander: s = I S A S G I = I 0,565 m - 0,93 m I = 0,365 m Auftriebsvolumen (= verdrängtes Wasservolumen): V A = l. b. t = 5,35 m. 1,90 m. 1,13 m = 11,486 m 3 5

6 Aufgabe 32 - Lösung Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 1-1: I y, 1-1 =.b,., = = 3,058 m 4 Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 2-2:.l I y, 2-2 = =,., = 24,246 m 4 Metazentrische Höhe für die Kippachse 1-1: h m, 1-1 = I y, V, - s = A,8-0,365 m = - 0,099 m < 0 Metazentrische Höhe für die Kippachse 2-2: h m, 2-2 = I y,, V - s = A,8-0,365 m = 1,746m > 0 Schwimmstabilität: Da die Konstruktion bereits in der Kippachse 1-1 instabil ist, ist die Schwimmlage des Körpers insgesamt als instabil bzw. labil zu bezeichnen. 6

7 Aufgabe 33 Klausuraufgabe WS 2015/2016 Ein Ziegelstein mit den Maßen 24 cm x 12 cm x 7 cm wird ins Wasser geworfen. Welche Kraft muss man aufbringen, um den Stein unter Wasser anzuheben? Gegeben: Dichte Ziegelstein = 1,4 g/cm 3. 7

8 Aufgabe 33 - Lösung Gewichtskraft des Ziegelsteines: G = m. g =. V. g = 1400 kg/m 3. ( 0,24 m. 0,12 m. 0,07 m ). 9,81 m/s 2 G = 27,69 N Auftriebskraft des verdrängten Wassers: F A = γ w. V A = W. g. V A = 1000 kg/m 3. 9,81 m/s 2. ( 0,24 m. 0,12 m. 0,07 m ) F A = 19,78 N Hebekraft: F H = G F A = 27,69 N - 19,78 N = 7,91 N 8

9 Aufgabe 34 Ein Rettungsring besteht aus Kork mit einer Dichte von 0,25 g/cm³ und hat eine Masse von 3,5 kg. Welche Masse kann der Ring im Wasser maximal tragen, bevor er untergeht? 9

10 Aufgabe 34 - Lösung Schwebender Körper: F G,max = F A Maximale Gewichtskraft: F G,max = ( m max + m Ring ). g Auftriebskraft des verdrängten Wassers: F A = γ w. V A = W. g. V A und V A = V ring => ( m max + m Ring ). g = W. g. V ring und V ring = Rig Rig m max = W. V ring m Ring = W. Rig - m Ring = m Ring ( W Rig - 1 ) Rig kg/ m max = 3,5 kg ( kg/ - 1 ) = 10,5 kg 10

11 Aufgabe 35 - Klausuraufgabe SS 2016 Ein Lastschiff hier der Einfachheit halber als ein oben offener, hohler Quader angenommen - ist mit 150 t Kohle beladen. Das Schiff selbst wiegt leer 40 t und hat eine Länge von 20m, Breite von 5m und Höhe von 3 m. a) Wie tief unter die Wasserlinie taucht das Schiff ab (Boden des Schiffes)? b) Bei voller Beladung soll die obere Kante des Schiffes noch 0,5m oberhalb der Wasserlinie liegen. Wie viel Tonnen Kohle kann es somit maximal laden? 11

12 Aufgabe 35 - Lösung a) F A = F G Auftriebskraft: F A = g V ; V = a b t, t: Eintauchtiefe Gravitationskraft: F G = m gesamt g ; m gesamt = m Kohle + m Schiff Damit erhalten wir: g a b t = ( m Kohle + m Schiff ) g t = ( m Kohle + m Schiff ) / ( a b) t = ( kg kg ) / ( m. 5 m ) t = 1,9 m b) t max = m gesamt / ( a b), t max : maximale Eintauchtiefe m gesamt = m Kohle + m Schiff = a b t max m Kohle = ( a b t max ) m Schiff ; t max = h 0,5 = 3 0,5 = 2,5 m m Kohle = ( m. 5 m. 2,5 m ) kg = kg = 210 t 12

13 Aufgabe 36 Ein Venturirohr (gemäß Zeichnung) dient der Messung von Volumenstromstärken bei Flüssigkeiten. Infolge der Querschnittseinengung erhöht die Flüssigkeit seine Geschwindigkeit. Weil dabei die Geschwindigkeitshöhe anwächst, fällt die Druckhöhe. Nach der Querschnittseinengung wird ein allmählich divergierender Teil verwendet, um die Durchflussmenge zu bestimmen. a) Leiten Sie die Durchflussformel für ein Venturirohr in Abhängigkeit von den Querschnittsflächen und der Druckänderung. b) Bestimmen Sie den Durchfluss, wenn d 1 = 4 m, d 1 = 2 m und Druckänderung zwischen den ersten und zweiten Abschnitten 1188 Pa gemessen sind. Voraussetzung: Die Verluste sind zu vernachlässigen. Die Flüssigkeit ist inkompressibel (nicht komprimierbar). Gegeben: = 1000 kg/m 3 13

14 Aufgabe 36 - Lösung a) Kontinuitätsgleichung: Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 => v 1 = ( A 2 / A 1 ) v 2 und v 2 = ( A 1 / A 2 ) v 1 Bernoulli-Gleichung: z 1 + P + v + h p = z 2 + P + v P P = v v P 1 P 2 = ( v v ) ( v v ) = ( P 1 P 2 ) ; z 1 = z 2 v - ( A 2 / A 1 ) 2 v 2 2 = ( P 1 P 2 ) v [ 1 - ( A 2 / A 1 ) 2 ] = ( P 1 P 2 ) v = [ Analog für v 1 : P P A / A ] 0,5 v = [ P P A / A ] 0,5 14

15 Aufgabe 36 - Lösung Analog für v 1 : v = [ P P A / A ]0,5 Kontinuitätsgleichung: Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = A 1 [ P P A / A ]0,5 = A 2 [ b) P P = 1188 Pa A 1 = A 2 = = = = 4 = P P A / A ] 0,5 => ( A 1 / A 2 ) = 4 Q = A 1 [ P P A / A ]0,5 = 4 [ 0, ] 0,5 = 5,00 m 3 /s 15

16 Aufgabe 37 Gegeben ist eine rechteckige Platte mit einer Drehangel am oberen Ende. Um Wasser vom linken ins rechte Becken einleiten zu können, muss die Platte über einen Motor gegen den Wasserdruck gehoben werden. Die Betreiber der Anlage haben von einem Motorhersteller Kräfteangaben in kn für verschiedene Motortypen erhalten, mit denen die Platte entgegen des Wasserdrucks gehoben werden kann. Ihre Aufgabe ist es die nötige Motorkraft (F Motor ) zu berechnen, die am Ende der Platte überschritten werden muss, damit sich die Platte entgegen des Wasserdrucks heben lässt. Gegeben: Fläche der Platte = Breite x Lange = 3 m x 4 m; α = 50 ; h 1 = 8 m, Das Gewicht der Platte ist zu vernachlässigen. 16

17 Aufgabe 37 - Lösung Position des Schwerpunkt; vertikaler Abstand von Wasseroberfläche: Z = h (4/2). sin α = 8 2 sin(50) = 6,468 m Position des Schwerpunkt: Z s = (h/sinα) = (8/sin50) = 8,44 m Kraft F auf Platte: P = A P = γ W. Z s => F = γ W. Z s. A P = ,468. ( 3. 4 ) N 17

18 Aufgabe 37 - Lösung Position des Druckmittelpunks: Z d = Z s +. ) s.a. ) s ist Ausmittigkeit. I = = 16 m4, A P = a b = 4. 3 =12 m 2 => Z d = Z s + A P. ) = 8,44 + = 8,6 m s.8,. = I 1-1 = I 2-2 =.a.b 18

19 Aufgabe 37 - Lösung Position des Motordrehpunkts: h si α h si α si sin α = => k = si α = si Momentengleichgewicht am Motor: F x (Z d k) - F motor x a = N. ( 8,6-6,4433 ) m F motor. 4 m = 0 F motor = N 410,5 kn = 6,4433 m 19

20 Aufgabe 38 - Klausuraufgabe SS 2016 Wie hoch ist die Druckkraft F auf die abgebildete Platte in dem Flusskanal? Berechnen Sie auch die Höhe des Druckpunktes z D. Gegeben: quadratische Fläche der Platte: a x b = 2m x 2m; Wassertiefe h=6m 20

21 Aufgabe 38 - Lösung Kraft im Schwerpunkt der Platte: F = g z s A z s = h - = 6 - = 5 m F = , ( 2. 2 ) = N = 196,2 kn z D = z s + e Ausmittigkeit: e = e = 0,0667 m z s = [ a b3 / 12 ] / [z s a b ] = b 2 / (12 z s ) = 2 2 / ( ) z D = z s + e = 5 m + 0,0667 m = 5,067 m 21

22 Aufgabe 39 - Klausuraufgabe SS 2015 Die Drei-Schluchten-Talsperre am Jangtsekiang in China beherbergt das größte Wasserkraftwerk der Erde mit einer installierten Generator-Leistung (bei 26 Turbinen) von P=18,2 Gigawatt. Die Bemessungstauhöhe für die Aufrechterhaltung dieser Leistung beträgt h=185m. a) Berechnen Sie den Gesamt-Durchfluss Q durch alle Turbinen, der notwendig ist, um diese elektrische Leistung zu produzieren (bei einem Wirkungsgrad η=0,9). b) Die Drei-Schluchten-Talsperre fägt in dem dahinter liegenden Stausee (mit einer Länge von etwa 600 km und mittleren Breite von 1,6 km), langfristig alles Wasser im Einzugsgebiet (EZG) des Jangtse oberhalb der Talsperre ab. Dieses Wasser ist der von diesem EZG abfließende effektive Niederschlag N eff, d.h. fallender Niederschlag N minus (im wesentlichen) Verdunstung V. Letztere beträgt etwa 0,6 von N. Der mittlere jährliche Niederschlag im Oberlauf des Jangtse kann mit 1000mm angenommen werden. Berechnen Sie unter Annahme einer stationären Wasserbilanz (was für einen Zeitraum vom einem Jahr meistens angenommen werden kann) die effektive Fläche A eff des EZG, die den Niederschlag produzieren muss, um den in Aufgabe (a) berechneten Durchfluss Q an der Drei- Schluchten-Talsperre aufrecht zu erhalten. 22

23 Aufgabe 39 - Lösung a) Leistung: P = 18, W Turbinenformel: P eff = P / η = g h Q Q = P / (η g h ) = 18, / ( 0, , m ) Q = ,6 m 3 /s b) Es wird angenommen, dass der obige Durchfluss im Mittel durch den effektiven Niederschlag pro Sekunde produziert wird. Effektive Niederschlagshöhe im Jahr: N eff = N - V = N 0,6. N ; V = 0,6. N N eff = 1 m/a 1m/a. 0,6 = 0,4 m/a Effektive Niederschlagshöhe pro Sekunde: N eff = 0,4 / ( ) = 1, m/s Q = N eff. A EZG => A EZG = Q / N eff = (11 142,6 m 3 /s ) / (1, m/s ) => A EZG = 8, m 2 = km 2 23

24 Aufgabe 40 Wasser fließt durch ein prismatisches rechteckiges Gerinne (Gemäß Zeichnung) durch. Die Strömung ist stationär. Bestimmen Sie, ob die Strömung laminar oder turbulent ist? Gegeben: Durchfluss 12 m 3 /s, B = 4 m, Wassertiefe y = 2 m, kinematische Viskosität 10-6 m 2 /s. 24

25 Aufgabe 40 - Lösung hydraulischer Radius: R hy =, A: Querschnittsfläche, U = benetzter Umfang Für recheckiges Gerinne: R hy = R hy = =. = 1 m +. + Fließgeschwindigkeit: = + v = Q / A = Q / ( By ) = 12 / ( 2. 4 ) = 1,5 m/s Reynoldszahl für Gerinnen: Re = v R hy,. = ν = > 2000 ; turbulente Strömung Bei den Kanälen: Re < 500 laminare Strömung 5000 < Re < 2000 Übergangsbereich Re > 2000 turbulente Strömung 25

26 Aufgabe 41 Wasser fließt durch ein prismatisches trapezförmiges Gerinne (Gemäß Zeichnung) durch. Die Strömung ist stationär. Bestimmen Sie, ob die Strömung laminar oder turbulent ist? Gegeben: Durchfluss 12 m 3 /s, B = 9 m, z = 1,5, b = 3 m, Wassertiefe y = 2 m, kinematische Viskosität 10-6 m 2 /s. 26

27 Aufgabe 41 - Lösung hydraulischer Radius: R hy =, A: Querschnittsfläche, U = benetzter Umfang Für trapezförmiges Gerinne: R hy = ; A = ½ (b+b)y = (b+zy)y ; U = b + 2y [ 1 + z2 ] 0,5 A = ( 3 + 1,5. 2 ) 2 = 12 m 2 U = b + 2y [ 1 + z 2 ] 0,5 = [ 1 + 1,5 2 ] 0,5 = 10,21 m => R hy = 1,17 m Fließgeschwindigkeit: v = Q / A = 12 / 12= 1 m/s Reynoldszahl für Gerinnen: Re = v R hy =., = > 2000 ; turbulente Strömung ν Bei den Kanälen: Re < 500 laminare Strömung 5000 < Re < 2000 Übergangsbereich Re > 2000 turbulente Strömung 27

28 Vielen Dank für Ihre Aufmersamkeit 28