Klausur Strömungsmechanik I (Bachelor) & Technische Strömungslehre (Diplom)

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1 (Name, Matr.-Nr, Unterschrift) Klausur Strömungsmechanik I (Bachelor) & Technische Strömungslehre (iplom) 1. Aufgabe (10 Punkte) In einem mit einer Flüssigkeit der ichteρ 1 gefüllten zylindrischen Glas mit dem urchmesser befindet sich ein würfelförmiger Körper der Seitenlänge a und der ichte ρ K. Oberhalb des Würfels befindet sich ein oben offenes zylindrisches Rohr mit dem urchmesser d. as Rohr, dessen Wandstärke vernachlässigbar klein ist, ist fest an einer Halterung verankert, sodass es unbeweglich ist. er Würfel, der das Rohr berührt, ist vertikal frei beweglich. d p a p a t g ρ 1 ρ K a d a a) Berechnen Sie die Kraft, die der Würfel auf das Rohr ausübt unter der Annahme, dass das Rohr mit Luft gefüllt ist. Nun wird das Rohr mit einer zweiten Flüssigkeit der ichte ρ 2 gefüllt. b) Bestimmen Sie das VolumenV der Flüssigkeit im Rohr, bei dem der Würfel gerade unter dem Rohr schwebt, sodass keine Flüssigkeit in das Glas fließt. as Volumen V, das im Aufgabenteil b) berechnet werden sollte, sei nun gegeben. An Stelle der zweiten Flüssigkeit wird nun das doppelte Volumen von Flüssigkeit 1 (ichte ρ 1 ) in das leere Rohr gegossen. c) Bestimmen Sie die Volumenänderung V der Flüssigkeit im Glas. Gegeben: g, t,, d, a, ρ 1, ρ 2, ρ K, ρ K < ρ 1, 2ρ 1 > ρ 2 Hinweis: Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse hinsichtlich der Plausibilität von Einheit und Vorzeichen!

2 1. Aufgabe a) Kräftegleichgewicht am Würfel: F = F A F G ) F = p a a 2 +ρ 1 g(t+a)a 2 ρ 1 gt (a 2 π d2 ρ K ga 3 p a a 2 [ ] F = ρ 1 ga 3 +ρ 1 gtπ d2 kg m ρ Kga 3 = [N] s 2 b) Kräftegleichgewicht: F = 0 F G = F A ρ K ga 3 = ρ 1 g(t+a)a 2 ρ 1 gt ρ K a 3 = ρ 1 a 3 +ρ 1 tπ d2 ρ 2hπ d2 V = πd2 h V = a3 (ρ 1 ρ K )+ρ 1 tπ d2 ρ 2 [ m 3 ] (a 2 π ) ρ d2 2 ghπ d2 c) Aus b) mit ρ 1 = ρ 2 : Volumen von Flüssigkeit 1 für schwebenden Körper: V = a 3ρ 1 ρ K ρ 1 +t π d2 Volumenbilanz: V = 2V V Wasserpegel im Glas:t = t+ V π( 2 d2 ) Massenbilanz in Wasserpegelgleichung: t = t+ 8V V π( 2 d 2 ) t in Lösung aus b) einsetzen und nachv auflösen: V = a3 +tπ d 2 + 2V d2 2 d 2 ρ k a3 ρ 1 1+ d2 2 d 2 V = 2V a3 +tπ d2 + 2Vd2 2 d 2 ρ ka 3 ρ 1 1+ d2 2 d 2 [m 3 ]

3 2. Aufgabe (12 Punkte) Aus einem großen geschlossenen Behälter strömt Wasser der ichte ρ über eine lange Rohrleitung in einen anderen großen Behälter. er erste Teil der Rohrleitung hat den urchmesser, der zweite Teil den urchmesser d. In beiden ist die Rohrreibung über den Rohrreibungskoeffizienten λ zu berücksichtigen. Im ersten Teil des Rohres befindet sich ein Sieb, durch das ein weiterer Verlust mit dem Verlustbeiwert ζ s generiert wird. Zwischen dem ersten und dem zweiten Teil der Rohrleitung befindet sich ein Ventil mit dem Verlustbeiwert ζ V. er ruck im ersten Behälter ist p i. er zweite Behälter ist offen, sodass an der Wasseroberfläche der Umgebungsdruck p a herrscht. p i 0 g p a H ρ 1 Sieb,ζ S Umlenkventil,ζ V d h L L d L L 3 Gegeben: p a, ρ, g,, d, H, h, L, λ, ζ s, ζ v, L, a) as Ventil ist geöffnet, sodass sich eine stationäre Strömung ausschließlich in den horizontalen Rohren mit dem Volumenstrom V einstellt. Bestimmen Sie für diesen den ruck p i im Inneren des ersten Behälters. Im Folgenden können die Verluste aus Aufgabenteil a) vernachlässigt werden. as Ventil wird jetzt geschlossen, sodass kein Wasser mehr fließt. anach wird das Ventil plötzlich so verstellt, dass das Wasser instationär ausschließlich in den Auslauf (Punkt ) strömt. b) Bestimmen Sie die Zeit T, in der die Strömung am Auslauf 90% ihrer stationären Endgeschwindigkeit erreicht hat. Hinweis: Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse hinsichtlich der Plausibilität von Einheit und Vorzeichen! 1 a+x ln für x < a 2a a x dx a 2 x 2 = 1 x+a ln 2a x a für x > a

4 2. Aufgabe a) Kontinuitätsgleichung: V = v 3 πd2 = v 1 π2 v 3 = V πd 2, Bernoulli 0 3 : v 1 = V π 2 p i +ρgh = p a +ρgh+ ρ 2 v2 3 p i +ρgh = p a +ρgh+ ρ 2 v2 3 p i = p a ρg(h h)+ ρ 2 v2 3 p i = p a ρg(h h)+ ρ 2 ( 1+λ L ) + ρ ( d 2 v2 1 ζ S +ζ V +λ 2L ) ( ( ( b) Torricelli: v,end = 2 p i p a +2g(H +L) ρ instationärer Bernoulli 0 : p i +ρg(h +L) = p a + ρ 2 v2 +ρ Mit Hinweis L : Kontinuitätsgleichung: v 1 π 2 2L = v πd 2 v 1 = v d λ L d + [ d ] 1+λ L d + [ d ] [ ζ S +ζ V +λ 2L ] ) [ ζ S +ζ V +λ 2L ] ) 16 V ) ( 2 1+λ L [ [ d π 2 d d ] + ζ S +ζ V +λ 2L ] ) [ ] N m 2 2L 0 v 1 t ds = 2 ; v 1 t ds+ρ 2L 0 2L dv 1 dt ds L 0 dv 1 dt = dv dt p i +ρg(h +L) = p a + ρ dv d 2 2 v2 +ρ 0 dt 2ds+ρ p i +ρg(h +L) = p a + ρ 2 v2 +ρ dv ) (2 dt L d p i p a +2g(H +L) v 2 ρ 2L ( 2 d2 +1 ) = dv dt ( 2 ) 2L 2 d2 +1 dv 2 dt = 2 p i p a ρ +2g(H +L) v 2 Mit Hinweis: a 2 = 2 p i p a ρ +2g(H +L) v t ds & d 2 2 L 0 L 0 dv dt ds v L) t ds = dv 0 dt ds

5 a > v, da v,end = a ( ) 2L 2 d2 +1 ( ) T = 2 v,end +v Ln 2 2 p i p a +2g(H +L) v,end v ρ Einsetzen der Bedingung v = 0,9 v,end : ( ) 2L 2 d2 +1 T = 2 Ln(19) 2 2 p i p a +2g(H +L) ρ m kgm + m2 m 2 s 2 kg s 2 = [s]

6 3. Aufgabe (8 Punkte) Ein Propeller wird mit der konstanten Geschwindigkeitu 1 angeströmt. Im Nachlauf des Propellers wird die Geschwindigkeit u 2 gemessen. Es gelten die Voraussetzungen der vereinfachten Propellertheorie. Propeller y x u 1 A P u 2 A 2 ρ a) Berechnen Sie die Querschnittsfläche A 2. b) Berechnen Sie die Kraft, die vom Propeller auf die Strömung wirkt. c) Skizzieren Sie sorgfältig den statischen ruck in x-richtung. Gegeben: u 1, u 2, A P, ρ Hinweise: Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse hinsichtlich der Plausibilität von Einheit und Vorzeichen!

7 3. Aufgabe a) Kontinuitätsgleichung: ρu 1 A 1 = ρu 2 A 2 = ρu p A p A p A 2 = u 2 u p Bedingung für Geschwindigkeit in Propellerebene: v p = u 1 +u 2 2 A 2 = A p u 1 +u 2 2u 2 [m] (1) ṁ y x u 1 A 1 F u 2 L A 2 KV 1 KV F L b) Impulserhaltungssatz in X-Richtung über Kotrollvolumen 1 (KV 1 ): ρu 2 1 A p +ρu 2 2 A p = (p 1 p 2)A P +F L (p 2 p 1)A P = F L (2) Bernoulli von 1-1 : p a + ρ 2 u2 1 = p 1 + ρ 2 u 2 1 (3) Bernoulli von 2-2 : p 2 + ρ 2 u2 2 = p a + ρ 2 u2 2 () Gleichung (3) und () gleich setzen: p 1 p 2 = ρ 2 (u2 1 u 2 2) (5) (5) einsetzen in (2): F L = ρ 2 (u2 2 u 2 1)A p [ kg m 3 ( m 2 s 2 ) ] m 2 = N Alternativer Lösungsweg: Impulserhaltungssatz in X-Richtung über Kontrollvolumen 2 (KV 2 ): ṁu 1 ρu 2 1A 1 +ρu 2 2A 2 +ρu 2 1(A 1 A 2 ) = F L ṁu 1 +ρa 2 (u 2 2 u 2 1) = F L (7)

8 Kontinuitätsgleichung: ṁ+ρu 1 A 1 = ρu 2 A 2 +ρu 1 (A 1 A 2 ) ṁ = ρu 2 A 2 ρu 1 A 2 = ρa 2 (u 2 u 1 ) (8) Gleichung (8) in (7) einsetzen: ρa 2 (u 2 u 1 u 2 1)+ρA 2(u 2 2 u 2 1) = F L F L = ρa 2 (u 2 2 u 2 u 1 ) (9) u 1 +u 2 Mit Gleichung (1): F L = ρa P (u 2 2 u 2 u 1 ) 2u 2 F L = ρ [ ( ) ] kg m 2 A p(u 2 2 u 2 2 1) m 2 = N m 3 s 2 c) ruckverlauf: p x

9 . Aufgabe (8 Punkte) In einer Gerinneströmung der Breite B und der Höhe h wird über einem Wehr der Höhey W eine Spiegelabsenkung h beobachtet. g h u 1 h 1 y W Gegeben: h 1, h, y W, B, g a) Bestimmen Sie den Volumenstrom des Gerinnes. b) Für welchen Volumenstrom entspricht die Höhe des Wehres y W der Grenzhöhe y gr? Hinweis: Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse hinsichtlich der Plausibilität von Einheit und Vorzeichen!

10 . Aufgabe a) efinition des Volumenstroms: V = u 1 Bh 1 Bernoulli von 1 nach 2 : p a +ρgh 1 + ρ 2 u2 1 = p a +ρg(h 2 +y W )+ ρ 2 u2 2 Konti:u 1 h 1 B = u 2 h 2 B u 2 = u 1 h 1 h 2 h 1 = h 2 +y W + h h 2 = h 1 y W h Einsetzen in Bernoulli Gleichung: ρgh 1 + ρ 2 u2 1 = ρg(h 1 h)+ ρ 2 u2 1 (h 1 h y W ) 2 2g h u 1 = h 2 1 (h 1 h y W 1 ) 2 V [ ] [ ] 2g h m = h 2 1 (h 1 h y W 1 Bh 2 m 3 1 s 2 m2 = s ) 2 b) Grenzzustand bei Fr 2 = 1: Fr = u gh h 2 1 u 2 = gh 2 V = g(h 1 y W h) 3 B [ ] m s m = 2 [ ] m 3 s

11 5. Aufgabe (1 Punkte) Zwei Newtonsche Fluide der gleichen ickeδ und der ichte ρ mit unterschiedlichen Viskositätenη 1 undη 2 fließen in Schichten unter dem Einfluss der Erdschwere an einer um den Winkel α geneigten Platte hinab. ie Platte bewegt sich mit der Geschwindigkeit u W entgegen der x-richtung des Koordinatensystems. g η 2, ρ η 1, ρ δ u W δ y α x Gegeben: δ, ρ, u W, η 1, η 2, η 1 > η 2, g, α a) Leiten Sie für die vollständig ausgebildete laminare Strömung anhand eines Volumenelementes die ifferentialgleichung zur Bestimmung der Schubspannungsverteilung her. b) efinieren Sie für den oben beschriebenen Fall Randbedingungen mit denen die Schubspannungs- und Geschwindigkeitsverteilung berechnet werden kann. c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsverteilungen der beiden Flüssigkeiten. d) Skizzieren Sie qualitativ die Geschwindigkeitsverteilung. Hinweis: ie beiden Flüssigkeiten vermischen sich nicht. ie von der Luft auf die Oberfläche der äußeren Fluidschicht übertragene Schubspannung wird vernachlässigt. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse hinsichtlich der Plausibilität von Einheit und Vorzeichen!

12 5. Aufgabe a) Kräftebilanz am Volumenelement in x-richtung: τ(y)dx τ(y +dy)dx+ρgsinαdxdy = 0 ( τdx τ + dτ ) dy dy dx+ρgsinαdxdy = 0 [ ] dτ kg dy = ρgsinα m 2 s τ(y +dy) ρgsinα dy τ(y) α y x b) 1. ie Schubspannung ist am Übergang zur Luft null: τ(y = 2δ) = 0 2. ie Schubspannung am Übergang der Fluide ist gleich: τ 1 (y = δ) = τ 2 (y = δ) 3. ie Geschwindigkeit des Fluids an der Wand entspricht der Wandgeschwindigkeit (Haftbedingung): u 1 (y = 0) = u W. ie Geschwindigkeit am Übergang der Fluide ist gleich: u 1 (y = δ) = u 2 (y = δ) c) Schubspannungsverteilung in den beiden Fluiden: τ 1 = ρgsinαy +c 1 τ 2 = ρgsinαy +c 2 Mit Randbedingung 1: τ 2 (2δ) = 0 c 2 = 2ρgsinαδ τ 2 = ρgsinαy 2ρgsinαδ τ 2 = ρgsinα(y 2δ) Einsetzen von Randbedingung 2: τ 1 (y = δ) = τ 2 (y = δ) ρgsinαδ +c 1 = ρgsinαδ 2ρgsinαδ c 1 = c 2 = 2ρgsinαδ τ 1 = ρgsinα(y 2δ) Newtonsches Fluid: τ n = η n du dy du 1 dy = ρgsinα ( y +2δ) η 1 du 2 dy = ρgsinα ( y +2δ) η 2 Unbestimmte Integration: u 1 = ρgsinα ( y2 η δy)+c 3 u 2 = ρgsinα ( y2 η δy)+c Einsetzen von Randbedingung 3: u 1 = ρgsinα ( y2 η δy) u W u 1 (y = 0) = u W c 3 = u W

13 Anwenden von Randbedingung : u 1 (y = δ) = u 2 (y = δ) ρgsinα ( δ2 η 1 ρgsinα η 1 3δ δ2 ) u W = ρgsinα 2 u W = ρgsinα η 2 η 2 3 δ2 2 +c c = 3ρgsinα δ 2 ( 1 1 ) u W 2 η 1 η 2 Geschwindigkeitsverteilung in beiden Fluiden: 0 y δ : u 1 (y) = ρgsinα ( y2 η δy) u W δ y 2δ : u 2 (y) = ρgsinα ( y2 η 2 2 ( δ2 2 +2δ2 )+c [ m s 3ρgsinα +2δy)+ δ 2 ( 1 1 ) u W 2 η 1 η 2 ] [ m s ] d) Qualitative Geschwindigkeitsverteilung im Fluid: u(y) δ δ y α x

14 6. Aufgabe (8 Punkte) a) Welche Annahmen werden zur Herleitung der Bernoullischen Gleichung getroffen? b) Wodurch zeichnet sich ein Bingham-Fluid aus? Skizzieren Sie für ein Bingham-Fluid die Schubspannung in Abhängigkeit der Scherung. c) Aus welchen Anteilen setzt sich die Gesamtschubspannungτ ges bei der turbulenten Rohrströmung zusammen? Geben Sie eine Gleichung für τ ges in Abhängigkeit der gemittelten Strömungsgeschwindigkeit in Hauptströmmungsrichtung an. d) Was ist der Prandtlsche Mischungsweg? e) Welcher Zusammenhang wird im Moody-iagramm dargestellt? f) Zeigen Sie, dass folgende Beziehung gilt: fg = fg +f g

15 6. Aufgabe a) inkompressible, reibungsfreie, stationäre Strömung entlang einer Stromlinie. b) as Bingham-Fluid ist weder Fluid noch Festkörper. Sie verträgt ohne in Bewegung zu geraten eine endliche Schubspannung τ 0, so dass sie nicht als Fluid angesehen werden kann. Wird τ 0 überschritten strömt sie wie ein Fluid. τ τ 0 c) ie turbulente Schubspannung setzt sich aus dem molekularen oder laminarenτ l und dem turbulenten Anteil τ t zusammen: τ = τ t +τ l = ρu v +η du dy = η du t dy +ηdu dy = ρl2 du du dy dy +ηdu dy du dy d) er Mischungsweg ist die Strecke in Richtung der Normalen, die ein Turbulenzballen mit seiner Geschwindigkeit zurücklegen muss, damit die ifferenz zwischen seiner Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit der neuen Schicht der gemittelten absoluten Schwankungsgrösse entspricht. e) as Moody-iagramm stellt den Zusammenhang zwischen dem Rohrreibungskoeffizienten, der Reynoldszahl und der relativen Wandrauhigkeit dar. f) fg = 1 fgdt = 1 (f +f )(g +g )dt T T T T = 1 (fg +f g +fg +f g )dt T T = fg +g 1 f dt+f g dt+f T g = fg +f g T T