1D-Transportgleichung

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1 Analytische Lösungen der Transportgleichung 1-Transportgleichung Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung ( nc t + x x & $ % x # " ( v c n c 0 x Frage: Was fehlt hier, bevor wir Lösungen konstruieren können?

2 Mathematisches Modell Transport-Gleichung & Anfangsbedingung Randbedingungen Randbedingungen Vollständiges Modell Ω + x x t x c x c t x c x c n x c v t c n, ( ( 0, ( 0 0

3 Randbedingungen - Beispiel spezifizierte Konzentration kein Massenfluß spezifizierter Massenfluß Zheng & Bennett Randbedingungen

4 1- Transport nach kurzer Zugabe Konzentration nimmt im Zentrum der Verteilung ab Kein Verlust an der Gesamtmasse 1.0 C/C t 1 t t Time Advektiver Transport ( x t c( x t c v, t x, mit c ( t 0 f ( x Lösungsvorschlag: c( x, t f ( x vt Warum ist das die Lösung?

5 Advektiver Transport ( x t c( x t c v, t x, mit c ( t 0 f ( x Transformation: Lösung: x ζ + vτ ( τ, ζ dc dτ c t ( τ 0 f ( ζ c dt c dx + 0 dτ x dτ ist gerade die Lösung der dx dτ x ( t v Partikel- Bewegungsgleichung v Advektiver Transport c ( τ 0 f ( ζ f ( x vt c Alternative arstellung der Lösung ( x, t f ( x vt dx' dt' δ( x x' v( t t' f ( x' δ( t' Anfangsbed.

6 1- Transportgleichung: Lösung Instantaner Puls zur Zeit t 0 am Ort x 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss c( x, t A M πt & exp $ % ( x vt / n 4t # " A durchströmter Querschnitt, iff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v 0 rein diff. Lösung 1- Transport Schwerpunkt: x s vt/n Breite der Verteilung: σ t xs n / v 1 dσ dt

7 1-Transport Alternative arstellung der Lösung c ( x, t f ( x vt dx' dt' g( x x', t t' f ( x' δ( t' Anfangsbed. g( x x', t t' A M π t ( t' & ( exp $ % ( x x' v( t t' / n ( # 4 t t' " 1- Transportgleichung mit Abbau: Lösung Instantaner Puls zur Zeit t 0 am Ort x 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss c( x, t M A πt ( x vt / n exp ' ( 4t & $ exp( λt % A durchströmter Querschnitt, iff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v 0 rein diff. Lösung

8 1- Transportgleichung: Lösung Instantaner Puls zur Zeit t 0 am Ort x 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss c( x, t A M πt / R ( nr ( x vt / exp ' ( 4t / R & $ exp( λt / R % A durchströmter Querschnitt, iff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v 0 rein diff. Lösung 1 Transportgleichung: Lösung nach kontinuierlicher Zugabe c n t + v x c x n c x 0 Uniforme Strömung; longitudinale ispersion; keine externen Quellen; keine chemische Reaktion Ogata & Banks: Lösung der AE für eine kontinuierliche Linienquelle als Randbedingung

9 Prinzip der Superposition Hat eine lineare ifferentialgleichungen mehrere Elementarlösungen, so stellen auch deren Summe oder Superposition wiederum eine Lösung dar. Lösung nach kontinuierlicher Zugabe t1 t t 3

10 Lösung nach kontinuierlicher Zugabe t 1 t 1 t t 1 t t 3 c n ( x, t c( x, t c( x, t' dt' i 1 i t 0 Lösung 1 Transport nach kontinuierlicher Zugabe Näherungslösung: für kleine

11 1 Lösung nach kontinuierlicher Zugabe 1- Punktzugabe und kontinuierliche Zugabe C i M 1 π t & exp$ % ( x vt # " 4 t C c M 1, xv exp* + θv &, $ exp * $ + $ $, $ exp * % + ' ( x v x v, x vt * ' erfc ( + t ' (, x + vt * ' erfc ( + t # ' ("

12 - Punktzugabe yy t 1 t 5 t 51 Back dispersion Maximum - Punktzugabe C i 4πt M yy & exp$ $ % ( x vt 4 t y 4 yy # t "

13 3- Punktzugabe zz yy t 5 t 1 Back dispersion t Punktzugabe C i 8 3 π t 3 M 3 yy zz & exp$ $ % ( x vt 4 t y 4 yy t z 4 zz # t "

14 3- kontinuierliche Zugabe " # $ $ $ $ $ $ % & ' ' ( * * +, + ' ' ( * * +, + ' ' ( * * +, ' ' ( * * +, ' ' ( * * +, t vt R erfc Rv t vt R erfc Rv R xv M C zz yy c exp exp 8 exp 3 π zz yy z y x R + + urchbruchskurven & Brownsche Bewegung

15 Tracerversuche mit künstlich zugegebenen Tracern werden durchgeführt, um Fließpfade und Fließ- bzw. Aufenthaltszeiten zu bestimmen hydraulische Verbindungen nachzuweisen hydraulische / hydromechanische Parameter (Kf, ispersivität, Porosität abzuschätzen Systemverständnis zu verbessern. Tracerversuche Prinzip: Zugabe eines bekannten künstlichen Tracers (Markierungsstoffes an bekannten Stellen Messung und Auswertung des zeitlichen Konzentrationsverlaufes des Tracers an geeigneten abstromigen Messpunkten (Bohrlöcher, Quellen, etc..

16 Tracerversuche Bauer, 008 Zur urchführung von Tracerversuchen unter natürlichen Fliessbedingungen ist zunächst eine Abschätzung von v notwendig zur imensionierung und Planung der Feldarbeiten. ies kann anhand eines Verdünnungsversuches in einer Messstelle durchgeführt werden. azu wird Tracer in einer Messstelle zugegeben und gleichmässig über ein definiertes Intervall (Packer vermischt. abei wird die Konzentrationsverringerung durch Ausspülung des Tracers durch die Grundwasserströmung gemessen.

17 Verdünnungsversuch Massenbilanz: ( j ( x j ( x + Δx A Δt m( t + Δt m( t total,x total, x V dc/dt -v A C mit der Lösung: v -V/(A*t ln(c/c(t0 Übergang auf das Grundwasser mit Fudge-Faktor α: α berücksichtigt den Brunnenausbau Tracerversuche

18 Tracerversuche urchbruchskurven

19 urchburchskurven Analyse von urchbruchskurven x / t 4πt & exp( $ % ( x vt 4t # "

20 Analyse von urchbruchskurven µ ( x τ ( x t σ ( x t 1 v 11 3 x x1 v Wie lauten sie? Lagrange Bild

21 Euler Bild Advektiver Transport ( x t c( x t c v, t x, mit c ( t 0 f ( x Transformation: ( τ, ζ c τ c t dt d + τ c x dx 0 dτ Partikel- Bewegungsgleichung: x ( t v

22 Advektiver Transport in 1 Uniforme Strömung: v konstant x ( t v x x + v( t 0 t 0 Allgmeine Strömung in 1 x 1 1 dt v( x v( x ( t v( x dx dt dx Brunnenströmung Bewegungsgleichung ( t v( r r Q r Wie lautet die Lösung für die Bahnlinie r(t?

23 Advektiver Transport in 3 Bewegungsgleichung für Partikel in der Strömung vu/n dx dt dy dt dz dt v v v x y z v v v x z y dx ( x, y, z dy ( x, y, z dz ( x, y, z dt dt dt Approximation nach Pollock ModFlow berechnet Geschwindigkeiten in jedem Gitterpunkt Lineare Interpolation an Orten (x,y,z zwischen Gitterpunkten

24 Approximation nach Pollock Substitution der interpolierten Geschwindigkeiten Integration von t1 nach t Approximation nach Pollock irekte Integration ergibt v x ( t 1 und nach Auflösen

25 Partikelwege Brownsche Bewegung Advektive Bewegung gelöster Teilchen auf Stromlinie mit diffusiven Sprüngen (Brownsche Bewegung dx ( t v( X dt + db( t X ( t v( X dt + B( t

26 Brownsche Bewegung Eine zufällige Variable, die vollständig durch Mittelwert und Varianz charakterisiert ist, ist eine gaussche Variable, d.h. die Verteilung, der die Variable gehorcht, ist durch eine Gaussche Verteilung gegeben 1 B ( t P( B( t exp( πσ σ Brownsche Bewegung Auflösen der Bewegungsgleichung für die Transport in der uniformen Strömung P ( X t ( x vt 1 exp( πσ σ ( mit x 0 0, t 0 0

27 Beispiel Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1- Transport Gleichung reproduziert wird? 1- Transport 1 dσ dt Schwerpunkt: x s vt Breite der Verteilung: σ t xs / v

28 Beispiel Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1- Transport Gleichung reproduziert wird? σ t