Der Stab, wie er in Bild 5.1 abgebildet ist, ist ein Bauteil, das über folgende Eigenschaften zu charakterisieren ist:

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1 5 Stabelemente 5. Das eindimensionale Stabelement Problemdefinition Der Stab, wie er in Bild 5. abgebildet ist, ist ein Bauteil, das über folgende Eigenschaften zu charakterisieren ist: E Die Hauptausdehnung in seiner Längsachse, die als x-achse bezeichnet werden soll, ist sehr viel größer als die Abmessungen in y- und z-richtung. Daher kann der Stab auf einen eindimensionalen Fall zurückgeführt werden, da die Ausdehnung in y- und z-richtung über die Querschnittsfläche A(x) beschrieben wird. Der Stab kann nur Kräfte F oder Streckenlasten q(x) in Richtung seiner Längsachse aufnehmen. y z A(x) E q(x) L u(x) F x Bild 5.. Die Geometrie sowie die Belastung des Stabes Im folgenden werden nur ungekrümmte Stäbe betrachtet. Im ersten Ansatz wird eine konstante Querschnittsfläche A vorausgesetzt. Diese Einschränkung wird später fallengelassen, so daß eine Querschnittsausbildung berücksichtigt werden kann, wie sie in Bild 5. dargestellt ist. 5.. Das Tonti-Diagramm des Stabes Bei der nachfolgend zugrunde gelegten linearen Theorie müssen die Verschiebungen u(x) sehr viel kleiner sein als die Abmessungen des Stabes. Das Hooke sche Gesetz dient als Stoffgesetz, so daß der Elastizitätsmodul E als Materialgröße Berücksichtigung findet. Die Dehnungen im Stab sind infinitesimal klein.

2 98 5. Stabelemente Bild 5.. Das Tonti-Diagramm des Stabes Bild 5. zeigt das Tonti-Diagramm (Definition s. S. 58) des eindimensionalen Stabes. Die nicht schattierten Kästchen beschreiben die Variablen des Stabproblemes. Die schattierten Kästchen erfassen gegebene Größen des Stabproblemes, wie die Randbedingungen und die Streckenlast q. Letztere bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Quellfunktion. Die Verbindungslinien der Kästchen repräsentieren entweder die Feldgleichungen des Stabproblemes oder die Randbedingungen. Kinematische Beziehung Die Primärvariable u(x), auch Variationsgröße genannt, ist die Längsverschiebung des Stabes. Daraus leitet sich über die kinematische Beziehung ε = du/dx = u die Dehnung als Zwischenvariable ab, die auch Sekundärvariable genannt wird. Stoffgleichung Die Stoffgleichung P = AE ε verknüpft über den Elastizitätsmodul E die Dehnung ε mit der inneren Kraft P (x). Gleichgewichtsbeziehung Die Gleichgewichtsbedingung dp/dx + q = setzt die innere Kraft P im Stab in Beziehung zu der Streckenlast q. Die Kraft P ist konstant, falls keine Streckenlast q im Stab auftritt. Randbedingungen Die natürliche Randbedingung AE u = F, auch Kraftrandbedingung genannt, beschreibt das Gleichgewicht zwischen der inneren Kraft P und der äußeren Kraft F. Die wesentliche Randbedingung u = u, die man auch als geometrische Randbedingung bezeichnet, beschreibt die Lagerungsbedingungen des Stabes.

3 5. Das eindimensionale Stabelement 99 Die Grundgleichung des Stabes Die Beschreibung der Verformungen des Stabes führt auf eine Differentialgleichung. Diese gewinnt man, indem man die kinematische Beziehung ε = du/dx = u in die Stoffgleichung P = AE ε einsetzt und erhält: P = AE u. Dieses Zwischenergebnis wird in die Gleichgewichtsbedingung eingebracht und führt auf: d dx (AE u )+q = (5) Unter der Voraussetzung, daß zum einen A und E konstant sind und zum anderen keine Streckenlast q auftritt, verschwindet die zweite Ableitung der Verschiebung u. Analytische Lösung eines eindimensionalen Stabbeispieles Bild 5.3. Eindimensionaler Stab mit einer Streckenlast q und einer Einzelkraft F belastet Das Bild 5.3 zeigt einen Stab, der eine Länge l, einen konstanten Querschnitt A und einen konstanten Elastizitätsmodul E aufweist. Dieser Stab wird in seiner Längsrichtung durch eine Kraft F und eine Streckenlast q belastet, wobei über q das Eigengewicht des Stabes beschrieben wird. Mit Hilfe von (5) sollen die Verformungen und die Spannungen im Stab ermittelt werden. Zweifaches Integrieren von (5) führt auf: AE u = qx+ C AE u = q x + C x + C (5) Die wesentliche Randbedingung (Einspannung bei x = ) und die natürliche Randbedingung (Kraft an der Stelle x = l) führen auf folgende Beziehungen:

4 5. Stabelemente u(x =)= C = AEu (x = l) = F = ql+ C C = ql+ F (53) Durch Einbringen der Randbedingungen von (53) in (5) erhält man die Lösung für die Verformungen: u = F AE x + q [ l x ] x = AE F AE x + ρg E [ l x ] x (54) Das Produkt aus der Dichte ρ, der Querschnittsfläche A und der Beschleunigung g beschreibt die Streckenlast q. Über die Stoffgleichung P = AE ε erhält man mit σ = P/A die Spannungen: F σ = + ρg(l x) (55) A Alternativ zur Lösung über eine Differentialgleichung wird im folgenden ein Weg beschritten, der eine allgemeine numerische Lösung in Form der FEM zur Basis hat, wobei von einem Funktional ausgegangen wird Das Funktional des Stabproblemes In (6) wird das Funktional für den dreidimensionalen, elastostatischen Fall beschrieben.berücksichtigt man, daß beim Stab die Dehnung ε, die Spannung σ und die Verschiebung u als skalare Größen auftreten und die Belastung sich als Einzelkraft darstellt, so kann man schreiben : Π= V σε dv uf (56) 5..4 Diskretisierung des Funktionals des Stabes In Bild 5.4 ist ein eindimensionaler Stab dargestellt. Er setzt sich aus einem konischen Teil sowie einem prismatischen Teil zusammen. Der prismatische Teil weist einen Absatz auf. Der Grundgedanke der FEM ist es, den ganzen Körper in endliche Teilgebiete (finite Elemente) zu zerlegen. Von dem gesamten Stab wird nur der mittlere, prismatische Teil betrachtet. Das zunächst dreidimensionale Problem wird in ein eindimensionales Problem umgewandelt. Dazu wird von der Geometrie nur die Verbindungslinie der Flächenschwerpunkte (Schwereachse) berück- Der Term für die Streckenlast l qu dx findet hier keine Berücksichtigung.

5 5. Das eindimensionale Stabelement sichtigt. Die anderen beiden Dimensionen werden über die Querschnittsfläche A erfaßt. Bild 5.4. Die Größen des eindimensionalen Stabelementes In die Schwereachse wird auch das finite Element gelegt, wie es in Bild 5.4 dargestellt ist. Diesem Element wird die Querschnittsfläche A und der Elastizitätsmodul E zugewiesen. Das Element hat die Länge l. An seinen beiden Enden weist es jeweils einen Knoten auf. Am Anfang des Elementes den Knoten i und am Ende den Knoten j. Diex-Koordinate hat ihren Ursprung im Anfangsknoten und zeigt in Richtung des Endknotens. Im Funktional nach (56) treten erste Ableitungen der Verschiebung u = du/dx = ε auf. Damit nennt man das Problem ein C -Problem.DieVerträglichkeitsbedingung fordert die Stetigkeit der Verschiebung u im Element und an den Elementgrenzen. Das wird erreicht, indem die Verschiebung als Knotengröße definiert wird. Im Knoten i wird die Verschiebung u i eingeführt und entsprechend u j für den Endknoten j. Diesen Knotenverschiebungen sind die Kräfte F i und F j zugeordnet. Verschiebungsansatz Analog zu dem Verfahren von Ritz wird eine Ansatzfunktion für die Verschiebungen gemacht. Im Unterschied zum Ritzverfahren bezieht sich dieser Ansatz nicht auf den gesamten Stab, sondern nur auf den Teil, den man sich aus dem Stab herausgeschnitten denkt, nämlich auf das Element. Die Ansatzfunktion lautet: Ist m die höchste Ableitung der Primärvariablen (hier u) oder auch Variationsgröße genannt, so nennt man das Problem ein C m -Problem. m wird auch als Variationsindex bezeichnet. Die Verträglichkeitsbedingung, die auch Kompatibilitätsbedingung genannt wird, besagt anschaulich gesprochen, daß beim Stab im verformten Zustand keine Lücken oder Überlappungen entstehen. Mathematisch läßt sich diese Forderung für den allgemeinen Fall ausdrücken als: e =. Die Kreuzprodukte aus den Nabla-Operatoren und dem Dehnungstensor e müssen einen Nulltensor ergeben.

6 5. Stabelemente u = a + a x (57) Die unbekannten Koeffizienten a und a werden durch die Knotenverschiebungen u i und u j ausgedrückt. Die Ansatzfunktion braucht hier jetzt nicht mehr wie beim Verfahren von Ritz den wesentlichen Randbedingungen, auch geometrische Randbedingungen genannt, der Struktur genügen. Man erhält zwei Bedingungsgleichungen für die Knotenverschiebungen, indem man folgende Interpolationsbedingungen formuliert: u(x =)=u i = a + a a = u i u(x = l) =u j = a + a l a = u j u i (58) l Setzt man nun die letzten beiden Gleichungen in die Ansatzfunktion (57) ein, so erhält man folgende Beziehung: u(x) =u i + u j u ( i x = x ) u i + x [ l l l u j = x ] x u i l l u j [ ] = N N u i (59) }{{} u j Formfunktionen Die Verteilung der Verformung [ im Element ] wird somit über die sogenannten Formfunktionen N T = N N beschrieben. Diese sind in Bild 5.5 dargestellt. Bild 5.5. Die Formfunktionen des eindimensionalen Stabelementes Setzt man in (59) u i = und u j = ein, so erhält man die Formfunktion N. Analog gewinnt man N,wennmanu i = und u j =wählt. Daher nennt man sie auch Einheitsverschiebungszustände des Elementes. Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Die Dehnung wird aus (59) durch Ableitung nach x gewonnen:

7 5. Das eindimensionale Stabelement 3 ε = du dx = u [ j u i = l l }{{} B T ] u i = B T u l u j (6) } {{ } u Stoffgesetz (Hooke sches Gesetz) Durch Einführung des Hooke schen Gesetzes in (6) werden die Dehnungen mit den Spannungen verknüpft: σ = Eε= E u j u i l [ = E l l ] u i u j = E B T u (6) Bedingt durch die lineare Formfunktion aus (59) sind die Dehnungen und damit die Spannungen im Element konstant. Das hat zur Folge, daß im allgemeinen Fall die Spannungen beim zweiknotigen Stabelement von Element zu Element unstetig sein können Variation des Funktionals In das Funktional nach (56) werden die Dehnungen aus (6) und die Spannungen aus (6) eingesetzt. Für das Potential der Kräfte uf ergibt sich für das Element: uf = u i F i + u j F j. Somit kann man das Funktional schreiben als: Π= l ( ) uj u i E Adx F i u i F j u j (6) l In (6) ist unter der Voraussetzung einer konstanten Querschnittsfläche dv als Adx geschrieben worden. Die Integration von (6) führt auf: Π= ( ) AE uj u i l F i u i F j u j (63) l Allgemein wird Π = ut E B B T dv u u T V F als ut K u u T F geschrieben. Dabei stellt sich der Vektor B als Dehnungs-Verschiebungsvektor dar. Das Produkt B B T ist ein dyadisches Produkt, das also tensorielle Eigenschaften besitzt. Damit läßt sich dieses Produkt durch Transformation in verschiedenen Koordinatensystemen beschreiben.

8 4 5. Stabelemente Die Variation des voranstehenden Funktionals Π = Π(u i,u j ) kann geschrieben werden als (s. (69)): δπ = Π δu i + Π δu j = Π δ u (64) u i u j u Die Bedingung für die Stationarität δπ = auf (63) angewendet, führt zu folgenden Gleichungen: Π = AE u j u i F i = u i l Π = AE u j u i F j = (65) u j l Umformungen von (65) führen zu: AE l (u i u j )=F i (66) AE l ( u i + u j )=F j (67) Gleichung (66) und (67) lassen sich in Matrizenform schreiben: AE AE l l AE AE l l }{{} Elementsteifigkeitsmatrix K In Kurzform ergibt sich: u i u j }{{} Verformungsvektor u = F i F j }{{} Belastungsvektor F (68) K u = F (69) Gleichung (69) stellt die Grundbeziehung der FEM dar. Sie verknüpft die Knotenverformungen u mit den Knotenkräften F und beschreibt das Gleichgewicht im Element. Die Elemente der Matrix K haben die Dimension einer Steifigkeit. Daher bezeichnet man sie als Steifigkeitsmatrix. Das eindimensionale, zweiknotige Stabelement läßt sich auch als Feder interpretieren, wie es in Bild 5.6 dargestellt ist. Es wird die rechte Seite der Feder Der stationäre Wert ist gleichzeitig ein Minimum, da ein quadratisches Funktional vorliegt.

9 5. Das eindimensionale Stabelement 5 Bild 5.6. Interpretation des eindimensionalen Stabelementes als Feder festgehalten. Das entspricht dem Fall, daß die Verschiebung u j des Knotens j zu Null gesetzt wird. Bringt man auf den Knoten i eine Einheitsverschiebung u i =auf,soerhält man aus (66), (67): AE l AE l =F i =F j (7) (7) Addiert man beide Gleichungen, so folgt daraus die Gleichgewichtsbedingung des Elementes: F i + F j = (7) F i ist die Kraft, die aufgebracht werden muß, um die Einheitsverschiebung u i =ausführen zu können. F j ist die Reaktionskraft, die durch das Auflager hervorgerufen wird Beispiel zum eindimensionalen Stab Bild 5.7. Beispiel zum eindimensionalen Stab In der oberen Hälfte von Bild 5.7 ist ein Stab dargestellt. Er weist bei der halben Länge einen Absatz auf. Die Querschnitte des Stabes sind kreisförmig und haben die Werte A und A. Dem ersten Abschnitt ist ein E-Modul E und dem zweiten ein E-Modul E zugeordnet. Am linken Ende ist der Stab fest eingespannt. Die Belastung besteht aus zwei Kräften. Die Kraft F greift am Absatz und F 3 am rechten Ende an. Für diesen Stab sollen unter der gegebenen Belastung die Verformungen, Schnittgrößen und die Auflagerkraft berechnet werden.

10 6 5. Stabelemente Einteilung in Elemente Es wird der Stab, wie in der unteren Hälfte von Bild 5.7 zu erkennen ist, in zwei finite Elemente eingeteilt. Es müssen mindestens zwei Elemente sein, da zum einen die Querschnittsfläche im Element konstant sein muß (s. Integration von (6)) und zum anderen die Kraft F in einem Knoten angreifen muß. Die Knotennummern sind durch einen Kasten und die Elementnummern durch einen Kreis umrandet. Elementknotenzuordnung Aus der Einteilung des Stabes in zwei Elemente ergibt sich die Elementknotenzuordnung, wie sie in der nachfolgenden Tabelle zusammengefaßt ist. Tabelle 5.. Elementknotenzuordnung, Geometriedaten und E-Module der Elemente Elementnr. Anfangsknoten Endknoten Fläche E-Modul Länge A E l 3 A E l Elementsteifigkeitsmatrizen Für die beiden Elemente werden die Steifigkeitsbeziehungen nach (68) aufgestellt. Steifigkeitsbeziehung für Element (k = A E /l ): k k k k u u = F F (73) Ausmultiplizieren von (73) führt auf: k u k u = F (74) k u + k u = F (75) Steifigkeitsbeziehung für Element (k = A E /l ): k k k k u u 3 = F F 3 (76) k u k u 3 = F (77)

11 5. Das eindimensionale Stabelement 7 k u + k u 3 = F 3 (78) Die Indizes und Superskripte haben folgende Bedeutung: i F j - Schnittkraft am Knoten j angreifend und zum Element i gehörend R F j - Auflagerreaktion am Knoten j F,F 3 - äußere Kräfte an den Knoten und 3 angreifend Die Beziehungen (74) bis (78) beinhalten vier Gleichungen mit drei unbekannten Verformungen (u,u,u 3 ) und vier unbekannten Kräften ( F, F, F, F 3 ). Letztere sind in Bild 5.8 dargestellt. Bild 5.8. Schnittkräfte und äußere Kräfte der Stäbe Zur eindeutigen Bestimmung der sieben Unbekannten fehlen also noch drei Beziehungen. Diese werden aus den Randbedingungen gewonnen: Natürliche Randbedingung, auch Kraftrandbedingung genannt. Sie fordert an jedem Knoten k das Gleichgewicht zwischen den äußeren und inneren Kräften (F k = j j F k ). Die Auflagerkräfte sind dabei äußere Kräfte. Für Knoten gilt: R F = F (79) Für Knoten gilt: F = F + F (8) Für Knoten 3 gilt: F 3 = F 3 (8) Die Auflagerkraft R F ist eine weitere, neue Unbekannte, so daß jetzt insgesamt acht Unbekannte existieren. Wesentliche Randbedingung, auch geometrische Randbedingung genannt: Auflager am Knoten : u = (8) Damit stehen jetzt den acht Unbekannten acht Gleichungen gegenüber, so daß das Problem eindeutig zu lösen ist. Die Addition von (75) und (77) führt zu: k u +(k + k ) u k u 3 = F + F (83)

12 8 5. Stabelemente Die wesentliche Randbedingung für Knoten (s. (8)) und die natürliche Randbedingung für Knoten (s. (8)) in voranstehende Gleichung eingesetzt: (k + k ) u k u 3 = F (84) Die natürliche Randbedingung für Knoten 3 (s. (8)) in (78) eingesetzt: k u + k u 3 = F 3 (85) Gesamtsteifigkeitsmatrix Die Gleichungen (84) und (85) lassen sich in folgende Matrixform überführen: k + k k u = F (86) k k }{{} Gesamtsteifigkeitsmatrix K g u 3 }{{} Verformungsvektor u F 3 }{{} Belastungsvektor F Oder in Kurzform: K g u = F (87) Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g setzt sich aus Anteilen der beiden Elementsteifigkeitsmatrizen zusammen. Sie ist wie bei allen linearen Problemen innerhalb der FEM symmetrisch und positiv definit [7, 6]. Die unbekannten Knotenverformungen stehen im Vektor u. Auf der rechten Seite treten die äußeren Knotenkräfte F auf. Knotenverformungen Für die Verformungsberechnung werden folgende Werte angenommen: k = A E =; k = A E =; F =; F 3 = (88) l l Daraus ergibt sich nach (86) folgendes, lineares Gleichungssystem:

13 = u + (u 3 u ) u u 3 = 3 u u u u 3 + u 3 u 3 (93) 5. Das eindimensionale Stabelement 9 3 u u 3 = (89) Daraus lassen sich die Knotenverformungen berechnen zu: u = 3 ; u 3 = 5 (9) Grafische Lösung des Problems Ausgehend von (6) läßt sich die Formänderungsarbeit Π F für Element (Π F ) und Element (Π F )schreibenals: Π F = A E l Π F = A E l ( u u l ( u3 u l ) l = k u ) l = k (u 3 u ) (9) Das Potential Π a der äußeren Kräfte F,F 3 stellt sich wie folgt dar: Π a = u F u 3 F 3 (9) Damit erhält man das Gesamtpotential Π = Π F +Π F +Π a mit den Daten aus (88) zu: Π= k u + k (u 3 u ) u F u 3 F 3 Dieses quadratische Gesamtpotential stellt sich, wie in der linken Hälfte von Bild 5.9 dargestellt, als Paraboloid dar. In der rechten Bildhälfte sind hierzu die Äquipotentiallinien angeführt, also Linien gleichen Potentials. Der Punkt M markiert den stationären Wert und damit das Minimum des Potentials. Das Lot von diesem Punkt auf die u -Achse bzw. u 3 -Achse führt auf die gesuchten Verformungen mit u =, 5 und u 3 =, 5. Aus der quadratischen Natur des Potentials folgt, daß der stationäre Wert des Potentials auch gleichzeitig das Minimum des Potentials darstellt.

14 5. Stabelemente Bild 5.9. Das Gesamtpotential der beiden Stäbe als Fläche und Linien gleichen Potentials dargestellt Schnittgrößen Die Schnittgrößen ergeben sich nach (73) aus dem Produkt Einzelsteifigkeitsmatrix Elementverformungsvektor. Element : K u = u u = 3 = 3 3 = F F (94) Nach (79) ( R F = F ), stellt die Schnittkraft F auch die Reaktionskraft am Auflager dar. Element : K u = u u 3 = 3 5 = = F F 3 (95) Die Kontrolle des Gleichgewichtes am Knoten (äußere Kräfte = innere Kräfte) führt zu: F ( F + F )= (3 ) = (96) Das Gleichgewicht ist damit erfüllt. Auflagerreaktionen Bei der Erarbeitung der Gesamtsteifigkeitsmatrix K g nach (86) ist kein Gebrauch von (74) gemacht worden. Sie ist nicht überflüssig, sondern dient zur

15 5. Das eindimensionale Stabelement Berechnung der Auflagerreaktion R F. Einsetzen der geometrischen Randbedingung und der Gleichgewichtsbeziehung für Knoten in (74) führt zu: k u = 3 = 3 =R F (97) Dieses Ergebnis kann man auch unmittelbar aus den Schnittgrößen herleiten, wie schon bei der Behandlung der Schnittgrößen nach (94) dargelegt wurde Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix Die Gesamtsteifigkeitsmatrix des behandelten Beispiels kann noch in anderer Form hergeleitet werden. Dazu wird zunächst ein Vektor u gebildet, der alle Freiheitsgrade des Beispiels erfaßt: u = u u (98) u 3 Die Anzahl Freiheitsgrade ergibt sich aus der Anzahl Knoten Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Das eindimensionale Stabelement hat einen Freiheitsgrad pro Knoten. Die Knotenkräfte der beiden Elemente werden ebenfalls als Vektoren geschrieben. Ihre Dimension entspricht der Anzahl Freiheitsgrade der Struktur. Die natürliche Randbedingung (Kraftrandbedingung) läßt sich jetzt schreiben als: F F F + F = F F 3 F 3 } {{ } } {{ } } {{ } F F F (99) Daraus ergibt sich der Gesamtbelastungsvektor F.Erenthält nur noch äußere Lasten. Führt man die Addition elementweise durch, so erhält man die Bedingungen, wie sie von (79) bis (8) auf der S. 7 formuliert wurden. Die Einzelsteifigkeitsmatrizen werden in quadratische Matrizen der Größe 3 3 geschrieben. Führt man die Vektoren aus (99) in die Beziehung (73) und (76) ein, so erhält man:

16 5. Stabelemente F F + F = (3) F 3 k k u R F k k + k k u = F (3) k k u 3 F 3 }{{}}{{}}{{} Gesamtsteifigkeitsmatrix K g u F Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g ergibt sich also aus der additiven Überlagerung der Steifigkeitsmatrizen der Elemente: k k k k + k k k k u u u 3 = R F F F 3 (3) Die Anteile der einzelnen Elemente sind gekennzeichnet. Die Beiträge von Element... und Element... sind jeweils durch Klammern eingefaßt. Die Abkürzungen in der voranstehenden Matrix haben folgende Bedeutung: k i = A i E i /l i ; i =,. Gleichung (3) weist die drei Unbekannten u,u 3 und R F auf. Zur Bestimmung von u,u 3 genügt die Untermatrix von K, die man durch Streichen der ersten Zeile und Spalte von K g gewinnt: A E l + A E l A E l A E l A E l u u 3 = F F 3 (33) Auflagerreaktionen aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix Die Auflagerreaktionen lassen sich, wenn die Verformungen bekannt sind, aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix berechnen. Im vorliegenden Fall tritt die Das Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten läßt sich in dieser Form nur bei homogenen Randbedingungen, also Randbedingungen bei denen der Wert der Randbedingung Null ist, durchführen.

17 5. Das eindimensionale Stabelement 3 gesuchte Größe R F in (3) auf der rechten Seite als erstes Element auf. Sie kann berechnet werden, indem die erste Zeile der Matrix mit dem bekannten Verformungsvektor multipliziert wird. Das führt zu: [ ] 3 = R F = 3 5 (34) Dieses Ergebnis ist schon bei den Schnittgrößen in (94) erzielt worden Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) Losgelöst von dem Stabbeispiel läßt sich die Bildung der Gesamtsteifigkeitsmatrix K g in allgemeingültiger Form an folgendem, konstruierten Beispiel studieren. Die Struktur soll aus n Knoten bestehen und das Element m Knoten besitzen. Jeder Knoten hat p Freiheitsgrade. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit habe im folgenden Beispiel ein Element m =3Knoten.Aus der Gesamtstruktur werden drei Elemente a, b, c herausgegriffen. Für diese Elemente wird die Elementknotenzuordnung von Tab. 5. angenommen. Tabelle 5.. Elementknotenzuordnung Element Knoten Knoten Knoten 3 a i j k b h j k c k h j Die Elementsteifigkeitsmatrizen werden in Untermatrizen (Blöcke) unterteilt. Das Element b besitzt dann z.b. folgende Aufteilung: h j k b k b hh k b hj k hk h b K = b k b jh k b jj k jk j b k b kh k b kj k kk k (35)

18 4 5. Stabelemente Die Zeilen und Spalten der Matrix b K sind mit den Knotennummern des Elementes durchnumeriert. Die Untermatrizen b k αβ haben (p p)-elemente, entsprechend der Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Der Zwischenschritt, die Matrix b K als eine (n n)-matrix zu schreiben, wird übergangen. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g besteht aus (n n)-blöcken bzw. ((n p) (n p))-zeilen und Spalten. Die nachfolgende Durchnumerierung der Zeilen und Spalten bezieht sich also auf die Blöcke. h i j k n. b k b hh k b hj k hk h i b k b jh k b jj k jk j b k b kh k b kj k kk k. n (36) Die Blöcke b k αβ des Elementes b werden in die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g eingebracht, indem entsprechend der Indizes α, β der Block auf die Zeile α und die Spalte β aufaddiert wird, wobei K anfänglich mit Nullen vorbesetzt ist. So wird der Block b k jk auf die Zeile j und die Spalte k aufaddiert. Das Ergebnis der Aufaddition aller Blöcke der Elemente a, b, c ist in der folgenden Matrix K g wiedergegeben. h i j k n. b k hh + c k b hh k hj + c k b hj k hk + c k hk h a k a ii k a ij k ik i b k jh + c k a jh k a ji k jj + b k jj + c k a jj k jk + b k jk + c k jk j b k kh + c k a kh k a ki k kj + b k kj + c k a kj k kk + b k kk + c k kk k. n (37)

19 5. Das eindimensionale Stabelement Übungsaufgaben zum eindimensionalen Stab Stabbeispiel I 5. Bild 5.. Eindimensionaler Stab mit verschiebbaren Auflager Die beiden Stäbe in Bild 5. weisen die Steifigkeiten k und k auf und werden durch eine Kraft F belastet. Das linke Auflager ist um ū verschoben. Für dieses System sind die Verschiebungen und die Auflagerkräfte zu berechnen. Die Steifigkeit k ist so auszulegen, daß die Auflagerkraft im linken Lager zu Null wird. Stabbeispiel II 5. Bild 5.. Eindimensionaler Stab unter Eigengewicht In Bild 5. ist ein Stab dargestellt, der eine Länge l, eine Querschnittsfläche A, einen E-Modul E und eine Dichte ρ aufweist. Dieser wird durch eine konstante Beschleunigung g belastet. Die aus der Beschleunigung g entstehende Volumenkraft ist in Knotenkräfte umzurechnen. Dazu ist die entsprechende Vorschrift für das zwei- und dreiknotige Element abzuleiten. Weiterhin sollen für ein zwei- und dreiknotiges Element die Verformungen und Spannungen berechnet werden. Für, 4 und 8 Elemente sind Maximalspannungen mittels FEM CAS (s. S. 343) zu ermitteln und in einem doppelt logarithmischen System in Abhängigkeit von der Elementanzahl darzustellen. F 5.. Variable Querschnittsfläche des Stabelementes Es wird die Annahme, daß die Querschnittsfläche im Element konstant ist, fallengelassen. Mit dv = A(x) dx ergibt sich nach (6) für die Steifigkeitsmatrix K: l K = E l B B T A(x) dx = E B B T A(x) dx (38)

20 6 5. Stabelemente Tabelle 5.3. Querschnittswerte Ā für Stabelemente, die einen variablen Querschnittsverlauf über die Elementlänge aufweisen Form Geometrie Beschreibung A(x) Ā linear N T A i A j (A i + A j ) Kreis [ ] π r i r N j N T r i r j 3 A i ( Aj + + A ) j A i A i Rechteck [ ] t i t N j N T h i h j ( 6 A i + t j + h j + A ) j t i h i A i Das Integral führt auf einen Ausdruck l Ā, wobeiā eine gemittelte Querschnittsfläche darstellt, die statt A in (68) auftritt. Im folgenden werden zwei Fälle unterschieden, nämlich eine lineare Änderung der Querschnittsfläche A(x) = N T A und eine quadratische A(x) = t T N N T h. N T ist die lineare Formfunktion nach (59). Die Dyade N N T hat die Form: N N T = ( ξ) ξ ( ξ) ξ ( ξ) ( ξ) (39) Die lineare Flächenänderung führt auf: l [ A(x) dx = l N T dξ A = l ] A i A j = l (A i + A j )=l Ā (3) Bei der quadratischen Flächenänderung ergibt sich:

21 5. Das eindimensionale Stabelement 7 l A(x) dx = t T l N N T dξ h = l t T 6 h = l 6 ( t i h i + t j h i + t i h j +t j h j ) (3) In Tab. 5.3 sind basierend auf (3) und (3) drei Fälle angeführt. 5.. Eindimensionales Stabelement mit n Knoten Im folgenden soll ein eindimensionales Stabelement betrachtet werden, das eine beliebige Anzahl Knoten (n ) aufweist. Dazu werden die zuvor für das zweiknotige Element hergeleiteten Gleichungen verallgemeinert. Ansatzfunktion Als Verschiebungsansatz nach (57) dient für ein n knotiges Element ein vollständiges Polynom (n )-ten Grades (ξ = x/l): u = a + a ξ a n ξ n (3) Durch Einführen der Vektoren: x T = [, ξ,..., ξ n ] ; a T =[a,a,..., a n ] (33) läßt sich die Ansatzfunktion schreiben als: u = x T a = a T x (34) Interpolationsbedingungen Analog zu (58) werden die unbekannten Koeffizienten a i in (3) durch die Knotenverschiebungen u i ; i =,..., n ausgedrückt. Für einen beliebigen Knoten i lautet die Bedingung: ( u ξ = i ) = u i ; i =,..., n (35) n Einsetzen von (3) in (35): Die einzelnen Ableitungsschritte sind im Computeralgebraprogramm Stab D realisiert (s. Bild. und S. 35).

22 8 5. Stabelemente ( ) n i i a + a n a n = u i (36) n Oder mit Hilfe des Vektors a aus (33): [ i n... ( ) n ] i n a a. = u i (37) a n Für alle Knoten n angesetzt, führt dies zu n Gleichungen, die wie folgt aussehen:... ( ) n... n n.... i ( ) n i... n n.... }... {{ } A a a. a i. a n } {{ } a = u u. u i. u n } {{ } u Aus dieser Beziehung A a = u lassen sich die Koeffizienten a bestimmen. (38) Formfunktionen Die Formfunktionen N des n-knotigen Stabelementes aus (34) und (38) lassen sich nach (59) verallgemeinern: u = x T a = x T A u = N T u (39) Die Formfunktionen N ergeben sich also aus dem Produkt der inversen Koeffizientenmatrix A und dem Vektor x.

23 5. Das eindimensionale Stabelement 9 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Analog zu (6) lassen sich mit Hilfe von (39) die Dehnungen des Stabes beschreiben als: ε = B T u =( N ) T u =( x ) T A u (3) Die Ableitungen des Vektors x stellen sich dar als: ( x ) T = d dx [,ξ,...,ξ n ] = l [,,..., (n ) ξ n ] (3) Steifigkeitsmatrix Die Steifigkeitsmatrix des n-knotigen Stabelementes läßt sich (s. (6)) schreiben als: K = E V B B T dv = E V N ( N ) T dv = E (A ) T x ( x ) T A dv (3) V 5.. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten In (33) bzw. (34) sind für das drei- bzw. vierknotige Stabelement die Formfunktionen dargestellt: G [ ] N 3 T = 3 ξ +ξ 4 ξ 4 ξ ξ +ξ ; ξ = x l N 4 T = [ ξ +8ξ 9 ξ 3 8 ξ 45 ξ +7ξ 3 ] 9 ξ +36ξ 7 ξ 3 ξ 9 ξ +9ξ 3 (33) (34) Formfunktionen N, N, N3, 8, 6, 4,, 4 N 3 N N ξ = x/l 3 4 Bild 5.. Die Formfunktionen des drei- und vierknotigen Stabelementes

24 5. Stabelemente In Bild 5. sind diese Formfunktionen grafisch ausgewertet. Die Sinnfälligkeit der alternativen Bezeichnungen der Formfunktionen als Einheitsverschiebungszustände tritt deutlich zu Tage. Denn am Knoten i hat die Formfunktion N i den Wert, an allen anderen Knoten verschwindet sie. Allgemein formuliert lautet diese Bedingung: an der Stelle: ξ = i (Knoten i) N i = n an der Stelle: ξ = j (35) n ; j =,...,n mit j i In (36) sind die Steifigkeitsmatrizen für das drei- bzw. vierknotige Element angeführt. Es tritt wie beim zweiknotigen Element der Faktor AE/l vor der Matrix auf. Dieses ändert sich, wenn der Querschnitt im Element nicht mehr konstant ist. K = AE 3 l ; K = AE 4 l (36) Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 5.. Das zweidimensionale Stabelement In Bild 5.3 ist eine allgemeine Lage des Stabes in der (x, y)-ebene dargestellt. Es sind zwei Koordinatensysteme definiert. Ein lokales Elementkoordinatensystem x, ȳ, z, dessen Ursprung mit dem Anfangsknoten i zusammenfällt. Die x-achse zeigt vom Anfangsknoten i zum Endknoten j. Die z-achse hat dieselbe Richtung wie die z-achse, die aus der Zeichenebene heraus kommt. Damit liegt auch die ȳ-achse fest. Die Orientierung des Stabelementes in der (x, y)-ebene wird über den Winkel ϕ bestimmt. Es ist der Winkel, der von der x- und x-achse eingeschlossen wird. Er ist positiv, wenn er um die positive z-achse dreht. Das Element weist eine Querschnittsfläche A sowie einen Elastizitätsmodul E auf und hat eine Länge l. An seinen beiden Enden liegen die Knoten i und j. Jeder Knoten hat zwei Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u in x-richtung und v in y-

25 5. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement Bild 5.3. Koordinatensysteme ((x, y, z)-globales System; ( x, ȳ, z)-lokales System) und Freiheitsgrade des zweidimensionalen Stabes [ ] Richtung. Der Vektor u T i = u i v i zeigt in Längsrichtung des Elementes. Der Betrag von u i entspricht der Verschiebung ū i. Sie ist die Verschiebung des eindimensionalen Stabelementes, beschrieben im lokalen System ( x, ȳ). Die Beziehung (68) des eindimensionalen Stabelementes wird in lokalen Koordinaten betrachtet: K ū = F (37) Durch eine Transformation in das globale System (s. Bild 5.3) läßt sich die Steifigkeitsmatrix K des zweidimensionalen [ ] Stabes gewinnen. Dazu wird der Verformungsvektor ū T i = ū i des Anfangsknotens i des eindimensionalen Stabes über eine Hintransformation nach (45) mit den Verschiebungen u i und v i des zweidimensionalen Stabes verknüpft: ūi = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ u i v i = T u i (38) Aus (38) erhält man für ū i : ū i = u i cos ϕ + v i sin ϕ (39) Für den Endknoten j ergibt sich in analoger Form: ū j = u j cos ϕ + v j sin ϕ (33) Diese beiden Gleichungen lassen sich in Matrixform zusammenfassen:

26 5. Stabelemente ūi ū j } {{ } ū cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ }{{} ˆT u i v i u j v j } {{ } u In gleicher Weise lassen sich die Kräfte transformieren: = ˆT u (33) F = ˆT F (33) Die Transformationsvorschriften nach (33) und (33) auf (37) angewendet, führt zu: K ˆT u = ˆT F (333) Gleichung (333) wird von links mit ˆT T durchmultipliziert: ˆT T K ˆT u = }{{} ˆT T ˆT F = F (334) K ˆT ist eine orthogonale Matrix (s. Abschnitt.3.4), so daß ˆT T ˆT = E gilt. Die globale Steifigkeitsmatrix K = ˆT T K ˆT aus (334) wird in zwei Schritten gebildet: K ˆT = AE l = AE l cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ (335) cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ K = ˆT T K ˆT

27 5. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 3 cos ϕ = AE sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ l cos ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ (336) Das Ergebnis des Matrizenproduktes aus (336) stellt die Steifigkeitsmatrix des zweiknotigen, zweidimensionalen Stabelementes im globalen Koordinatensystem dar: K = AE l cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ (337) Der Winkel ϕ in (337) läßt sich wie folgt ausdrücken: sin ϕ = y j y i l = l y ji ; cosϕ = x j x i l = l x ji ; l = Damit stellt sich die Steifigkeitsmatrix alternativ dar als: x ji + y ji (338) K = AE l 3 x ij x ij y ij x ij x ij y ij x ij y ij yij x ij y ij yij x ij x ij y ij x ij x ij y ij (339) x ij y ij y ij x ij y ij y ij 5.. Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem Das Bild 5.4 zeigt ein Stabwerk, das aus fünf Stäben besteht. Die Geometrie sowie die Randbedingungen sind zweifach symmetrisch, die Belastung hingegen ist nur einfach symmetrisch. Für dieses Problem sind unter Ausnutzung der Symmetrie die Verformungen an allen Knoten, die Schnittkräfte in den Stäben und die Auflagerreaktionen gesucht.

28 4 5. Stabelemente Bild 5.4. Beispiel zum zweidimensionalen Stab (F a =, F b =, E =, A=) Elementeinteilung Das Problem ist bezüglich Geometrie, Belastung und geometrischer Randbedingungen symmetrisch zur x-achse. Daher wird in der Rechnung, wie in Bild 5.5 ausgeführt, nur der obere Teil der Stabstruktur betrachtet. Bild 5.5. Ausnutzung der Symmetrie und Elementeinteilung Dieser Teil wird in drei Stabelemente eingeteilt. Die Ausnutzung der Symmetrie hat zur Folge, daß dem Element nur die halbe Querschnittsfläche zugeordnet wird und in den Knoten und 3 F a /bzw.f b /imfe-modell angesetzt wird. Damit die Verformungen symmetrisch sind, werden zwei weitere Randbedingungen an den Knoten und 3 eingeführt. Tabelle 5.4. Elementknotenzuordnung Element Knoten i Knoten j ϕ sin ϕ cos ϕ A Die Tab. 5.4 enthält die Elementknotenzuordnung, die Orientierungswinkel ϕ der Stäbe sowie die Querschnittsflächen A der Elemente. Den Winkel ϕ gewinnt man, indem man die x-achse durch Drehung um den Winkel ϕ in die Richtung der lokalen x-achse des Elementes zeigen läßt. Die Richtung der lokalen x-achse ist in Bild 5.5 jeweils durch einen Pfeil angedeutet. Der Winkel ϕ ist positiv bei Drehung um die positive z-achse, die aus der Zeichenebene herauszeigt.

29 5. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 5 Steifigkeitsmatrizen Die Steifigkeitsmatrizen werden nach (337) auf der S. 3 aufgestellt: u v u v u K = v u v u v u 3 v 3 u ; K = v u 3 v 3 u 3 v 3 u 4 v 4 u 3 K 3 = v 3 u 4 (34) v 4 Die Zeilen und Spalten sind mit den Freiheitsgraden der Knoten der Elemente durchnumeriert. Gesamtsteifigkeitsmatrix Bei der additiven Überlagerung der drei Elementsteifigkeitsmatrizen zur Gesamtsteifigkeitsmatrix werden die Anteile der einzelnen Elemente durch Klammersymbole gekennzeichnet: Element : ;Element: ;Element3:. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix wird direkt erstellt, so wie es auf der S. und folgende beschrieben ist: u v u v u 3 v 3 u 4 v 4

30 6 5. Stabelemente = R F x R F y Fa R F y F b R F y3 R F x4 (34) R F y4 Geometrische (wesentliche) Randbedingungen und Verformungen In (34) treten acht Unbekannte auf, nämlich die beiden Verschiebungen u und u 3 sowie die sechs Auflagerreaktionen R F xi, R F yi auf der rechten Seite des Gleichungssystems. An den Knoten und 4 sind die Auflager zu finden, so daß gilt: u = v = u 4 = v 4 =. Aus Symmetriegründen können die Knoten und 3 keine vertikalen Verschiebungen ausführen. Somit kann man schreiben: v = v 3 =. Als zu bestimmende Größen bleiben damit u und u 3 übrig. Das zur Ermittlung dieser Verschiebungen gehörige Gleichungssystem erhält man, indem in dem voranstehenden Gleichungssystem die Zeilen und Spalten,, 4, 6, 7 und 8 gestrichen werden: u u 3 = u u 3 = =, 667, 833 (34) Schnittgrößen Die Schnittgrößen ergeben sich aus dem Produkt der Elementsteifigkeitsmatrix Verformungsvektor des Elementes (K i i u = i F ): K u = 3 = = F x F y F x F y = F

31 5. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement F x K F y u = = = = F F x3 F y F x3 K F y3 3 u = = = = 3 F F x F y4 (343) Auflagerreaktionen Die Auflagerreaktionen lassen sich auf zweierlei Weise berechnen. Zum einen lassen sie sich mit Hilfe der Schnittgrößen aus der Kraftrandbedingung (natürliche Randbedingung) ermitteln. Diese besagt, daß die äußeren Kräfte mit den inneren Kräften (Schnittgrößen) im Gleichgewicht stehen (s. (79) bis (8)). Aus den Schnittgrößen für Element und Element 3 erhält man die Auflagerreaktionen für Knoten und 4: F x F y = 3 3 = R F x R F y ; 3 F x4 3 F y4 = = R F x4 R F y4 (344) Aus den Schnittgrößen für Element und erhält man die Auflagerreaktion für Knoten und aus den Schnittgrößen für Element und 3 erhält man die Auflagerreaktion für Knoten 3: F y + F y = 3 + F y3 + 3 F y = = R F y R F y3 (345) Zum anderen lassen sich die Auflagerreaktionen aus der Beziehung: K g u = F berechnen:

32 8 5. Stabelemente = = R F x R F y F a R F y F b R F y3 R F x4 R F y4 (346) Das Ergebnis für F a / und F b / hat Kontrollcharakter. In Bild 5.6 sind die Auflagerreaktionen vorzeichenrichtig dargestellt. Bild 5.6. Reaktionskräfte des Problems 5..3 Optimierung einer Stabstruktur In Bild 5.7 sind zwei ebene Stäbe mit ihren Abmessungen dargestellt. In x- Richtung weisen sie eine Länge L und in y-richtung eine Höhe f L auf. Stab hat eine Querschnittsfläche A, Stab eine Querschnittsflächeg A. Beide Stäbe haben einen E-Modul E. Ziel dieser Berechnung ist es, das Volumen der beiden Stäbe zu minimieren, wobei über eine Nebenbedingung die normierte Verschiebung in y-richtung den Wert ˆv annehmen soll. Bild 5.7. Das Stabsystem mit seinen Abmessungen und Belastungen

33 5. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 9 Das normierte Volumen V = V/(AL) =+g +f ist nur eine Funktion von f und g. Die dimensionslose Verschiebung v = vae/(fl) an der Kraftangriffsstelle lautet: v = v AE FL = ( + f ) 3 + g gf (347) Das Ziel der Optimierung ist es, das Volumen der beiden Stäbe zu minimieren und die vorgegebene Verformung ˆv einzuhalten. Daraus ergibt sich mit Hilfe des Lagrange schen Parameters λ folgende Zielfunktion Z: Z = V + λ ( v ˆv) =+g ( + f +f + λ ) 3 + g gf ˆv (348) Das Minimum dieser Funktion Z = Z(f,g,λ) gewinnt man, indem die partiellen Ableitungen nach f,g und λ Null gesetzt werden: Z f = fg + λ ( + f ) 3 + g +f +f gf 3 +3 = fg Z g = ( ) ( + f ) +f + λ 3 + g f g + gf = Z ( + f λ = ) 3 + g f ˆv = (349) g Aus diesen drei Gleichungen werden die optimalen Werte für f,g und λ bestimmt. Es ergibt sich: 8( + ˆv) 4( + ˆv) f = + ; g = ; λ = ˆv ˆv ˆv ˆv 3 (35) Betrachtung des Falles ˆv = In Bild 5.8 ist der Fall ˆv = aufgeführt. Die durchgezogenen Linien geben Kurven gleicher Verformung v wieder, die gestrichelten Linien Kurven gleichen Volumens V.DieLösung liegt bedingt durch die Gleichungsnebenbedingung auf der Kurve v =. Die optimale Lösung, d.h. die Lösung mit dem kleinsten Volumen, ist in dem Punkt zu finden, in dem die Kurve V die

34 3 5. Stabelemente Bild 5.8. Darstellung der Isolinien von Volumen und Verformung. Im Punkt f = 3 und g = 4 liegt die Lösung für ˆv = Kurve v = tangiert. Daraus erhält man die optimalen Werte f = 3 und g = Übungsaufgaben zum zweidimensionalen Stab 5.3 Stabbeispiel III In der linken Hälfte von Bild 5.9 sind zwei Stäbe dargestellt, die an einer Decke befestigt sind und in ihrem Verbindungspunkt in vertikaler Richtung durch eine Kraft F belastet werden. Für dieses System sollen die Verformungen, Schnittgrößen und Auflagerreaktionen berechnet werden. Bild 5.9. Beispiele mit zwei und drei Stäben 5.4 Stabbeispiel IV Für die dargestellte Stabstruktur (s. rechte Hälfte Bild 5.9) sind die Auflagerreaktionen zu berechnen. Dabei ist die Symmetrie des Problemes auszunutzen. Alle Stäbe haben einen E-Modul von E = und eine Querschnittsfläche A=.

35 5. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 3 Stabbeispiel V Gegeben ist in der linken Hälfte von Bild 5. eine Stabstruktur. Alle Stäbe haben einen E-Modul von E. DieStäbe auf der x-achse haben eine Querschnittsfläche A, alle anderen A. Die Belastung beträgt F. Dem Auflager bei x=l und y= wird eine Verschiebung ū aufgeprägt. Gesucht sind unter Ausnutzung der Symmetrie des Systems die Verformungen sowie die Auflagerkraft im Lager bei x=l und y =. 5.5 Bild 5.. Symmetrische und antimetrische Stabstrukturen Stabbeispiel VI In der rechten Hälfte von Bild 5. ist eine Stabstruktur dargestellt. Für diese Struktur sind unter Ausnutzung der Antimetrie die Verformungen zu berechnen. Alle Stäbe haben die Länge l, die Querschnittsfläche A und einen E-Modul E. Die Belastung beträgt F. Stabbeispiel VII In Bild 5. ist eine D-Stabstruktur dargestellt. Die Stäbe haben die Querschnittsfläche A und einen E-Modul E. Die Belastung beträgt F. Gesucht sind neben den Verformungen des Systems die Spannungen im Vertikalstab sowie die Auflagerkräfte im linken Lager. Dabei ist die Symmetrie auszunutzen Bild 5.. Symmetrische D-Stabstruktur und die Einteilung einer Hälfte in Elemente

36 3 5. Stabelemente H Stabbeispiel VIII In Abwandlung der Optimierung in dem Beispiel auf der S. 8 soll der Betrag der Spannung in den beiden Stäben den normierten Wert ˆσ annehmen. Dazu ist wiederum eine Zielfunktion zu bilden, wobei über Lagrange sche Parameter λ i die Nebenbedingungen für die Spannungen zu erfassen sind. Stabbeispiel IX (FEM GEN, FEM CAS, InterFEM) Das zweidimensionale Stabproblem in Bild.4 auf der S. 345 ist mit den angegebenen Programmen zu lösen. Es sollen die Verformungen, Spannungen und Auflagerreaktionen symbolisch und numerisch berechnet werden. Für die Zahlenrechnung gilt: L =, A =, ϕ = π/4, F = 4 und E =. Es sind für die Verschiebung v 3 am Knoten 3 die Winkel i ϕ gesucht, an denen die Verschiebung verschwindet oder einen Extremwert annimmt Das dreidimensionale Stabelement Das zweiknotige, dreidimensionale Stabelement stellt eine Erweiterung des zweidimensionalen Stabelementes um eine dritte Achse dar. Ausgangspunkt zur Beschreibung der Steifigkeitsmatrix K des genannten Elementes ist die Beziehung für das eindimensionale Stabelement (69). Diese Gleichung K ū = F wird in einem lokalen System beschrieben (s. Bild 5.3). Durch eine Transformation nach (334) wird aus (69) die Steifigkeitsmatrix K des räumlichen Stabelementes gewonnen. Dazu muß die Transformationsmatrix ˆT für den räumlichen Fall beschrieben werden. Gl. (45) ermöglicht eine Verknüpfung des Freiheitsgrades ū mit den drei Freiheitsgradenu, v, w eines Knotens des räumlichen Stabelementes. ū istdie Verschiebung eines Knotens des eindimensionalen Stabelementes. u, v, w werden im globalen Koordinatensystem beschrieben. Aus der ersten Zeile der Matrix T nach (45) erhält man: [ ū = e xx e xy e xz ] u v w (35) Die Größen e xx,e xy,e xz aus (35) lassen sich ausdrücken als: e xx = x j x i = l l x ji ; e xy = y j y i = l l y ji ; e xz = z j z i = l l z ji l = x ji + y ji + z ji (35)

37 5. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 33 l stellt die Elementlänge dar und x i,x j,y i,y j,z i,z j sind die Koordinaten des Anfangsknotens i sowie des Endknotens j. Setzt man (35) für diese beiden Knoten an, so erhält man: ūi ū j = x ji y ji z ji l x ji y ji z ji }{{} ˆT u i v i w i u j v j (353) w j Gleichung (353) in (334) eingesetzt führt auf die Steifigkeitsmatrix K des zweiknotigen, dreidimensionalen Stabelementes: K = AE l 3 x ij x ij y ij x ij z ij x ij x ij y ij x ij z ij x ij y ij yij y ij z ij x ij y ij yij y ij z ij x ij z ij y ij z ij zij x ij z ij y ij z ij zij x ij x ij y ij x ij z ij x ij x ij y ij x ij z ij x ij y ij yij y ij z ij x ij y ij yij y ij z ij x ij z ij y ij z ij zij x ij z ij y ij z ij zij (354)

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