Peter Steinke. Finite-Elemente-Methode. Rechnergestützte Einführung. 5., bearbeitete und ergänzte Auflage. ^ Springer Vi eweg

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1 Peter Steinke Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung 5., bearbeitete und ergänzte Auflage ^ Springer Vi eweg

2 1 Einleitung 1.1 Vorgehensweise bei der FEM Verschiedene Elementtypen Beispiele zur Finite-Elemente-Methode Beispiel zu nichtlinearen Problemen Beispiele zur Optimierung 11 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Schreibweisen Vektoren Definition eines n dimensionalen Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Ableitung von Vektoren Der Nabla-Vektor Der Gradientenvektor Divergenz und Laplace-Operator Matrizen Definition einer Matrix Rechenregeln Transponierte Matrix Orthogonale Matrix Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) Differentialoperator Tensor höherer Stufe Felder Skalarfelder Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes Das dyadische Feld Lineare Transformation Transformation eines Vektors Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe) Beispiele zur Transformation Funktionale Diskretisierung des Funktionais Dreieckskoordinaten Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Integration in Dreieckskoordinaten Numerische Integration (Quadratur) Numerische Integration... für eindimensionale Probleme 45

3 X Numerische Integration in Dreieckskoordinaten Lineare Gleichungssysteme bei der FEM Definition der Bandbreite Rechenzeiten zur Lösung linearer Gleichungssysteme Positiv definite Matrix Das Verfahren von Cholesky Kondition linearer Gleichungssysteme Zwangsbedingungen bei linearen... Gleichungssystemen Näherungsfehler bei der FEM Das Tonti-Diagramm 58 3 Beschreibung elastostatischer Probleme 3.1 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie Verknüpfung der Verschiebungen mit den... Dehnungen Das Stoffgesetz Gleichgewichtsbedingungen Randbedingungen Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems Verknüpfung der Grundgleichungen der Elastostatik Das Prinzip virtueller Verrückungen Das Prinzip vom Gesamtpotential 65 4 Das Verfahren von Ritz 4.1 Aufprägen der wesentlichen Randbedingungen Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen Eindimensionale Stabprobleme Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Beispiel zum eindimensionalen Stab Eindimensionale Balkenprobleme Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Variation des Gesamtpotentials Scheibenproblem Verschiebungsansätze Wesentliche Randbedingungen Dehnungen und Spannungen der Scheibe Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Variation des Gesamtpotentials Kragbalken als Scheibenproblem 89

4 XI 5 Stabelemente 5.1 Das eindimensionale Stabelement Problemdefinition Das Tonti-Diagramm des Stabes Das Funktional des Stabproblems Diskretisierung des Funktionais des Stabes Variation des Funktionais Beispiel zum eindimensionalen Stab Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix Allgemeine Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix Übungsbeispiele zum eindimensionalen Stab Variable Querschnittsfläche des Stabelementes Eindimensionales Stabelement mit n Knoten Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten Das zwei- und dreidimensionale Stabelement Das zweidimensionale Stabelement Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem Optimierung eines Stabtragwerkes Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab Das dreidimensionale Stabelement Balkenelemente 6.1 Das eindimensionale Balkenelement Problemdefinition Dehnungen und Spannungen im Balken Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens Funktional des Balkenproblems Formfunktionen des eindimensionalen Balkens Diskretisierung des Funktionais Variation des diskretisierten Funktionais Bilden der Steifigkeitsmatrix Diskretisierung der Streckenlast Schnittgrößen des Balkenelementes Beispiel zum eindimensionalen Balken Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast Konvergenztest zum zweiknotigen Balkenelement Realisierung des Gelenkes über eine Zwangsbedingung Übungsbeispiele zum Bernoulli-Balken Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten 169

5 XII 6.5 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgra den pro Knoten Balken mit unstetiger Krümmungsverteilung Der Timoshenko-Balken Schnittgrößen beim Timoshenko-Balken Locking-Effect" Übungsbeispiele zum Timoshenko-Balken Der elastisch gelagerte Balken Beispiel zum elastisch gelagerten Balken Zweidimensionales Balkenelement Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens Überlagerung der Dehnungen von Stab und Balken Steifigkeitsmatrix Transformation der Steifigkeitsmatrix Beispiel und Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Bal ken Winkelproblem Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken Scheibenproblem 7.1 Problemdefinition Die Grundgleichungen des Scheibenproblems Die Feldgleichungen der Scheibe Das Funktional des Scheibenproblems Diskretisierung des Funktionais Variation des diskretisierten Funktionais Diskretisierung der Volumenkräfte Diskretisierung der Strecken lasten Spannungen in der Scheibe Beispiel zum Scheibenproblem Übungsbeispiele zur Scheibe Isoparametrisches Scheibenelement Isoparametrische Viereckselemente Das vierknotige Viereckselement Beispiel zu möglichen Formen des Viereckselementes Numerische Integration mittels Gauß-Quadratur Diskretisierung der Volumenkräfte Diskretisierung der Streckenlast Berechnung der Spannungen Lokale Glättung der Spannungen Beispiel zur lokalen Spannungsglättung 257

6 XIII Vergleich der Verformungen von Dreiecks- und Vierecks element Platten- und Schalenelemente 8.1 Problemdefinition Grundbeziehungen der Platte Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte Kinematische Größen der Platte Krümmungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung) Gleichgewichtsbeziehungen der Platte Randbedingungen der Platte Das Funktional der Platte Anforderungen an das Plattenelement Kompatibilität (konforme Elemente) Starrkörperbewegung Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) Einige Dreiecksplattenelemente Diskretisierung des Funktionais Ansatzfunktion für die Durchbiegung Interpolationsbedingungen Formfunktionen Krümmungs-Verschiebungs-Beziehung Steifigkeitsmatrix Flächenlast Streckenlast entlang einer Elementkante Konvergenztest des Plattenelementes Vergleich der Platten nach DKT und Specht Schalenelement Konvergenztest für verschiedene Schalenelementtypen Räumlicher Spannungszustand 9.1 Problemdefinition Die Grundgleichungen des räumlichen Problems Die Feldgleichungen des räumlichen Problems Das Funktional des räumlichen Problems Das vierknotige Tetraederelement Volumenkoordinaten Das vierknotige Tetraederelement in globalen Koordinaten Diskretisierung des Funktionais Formfunktionen des vierknotigen Tetraederelementes Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Spannungs-Verschiebungs-Beziehung 307

7 XIV Variation des diskretisierten Funktionais Steifigkeitsmatrix des vierknotigen Tetraederelementes Spannungen im vierknotigen Tetraederelement Flächenlast beim vierknotigen Tetraederelement Volumenkräfte beim vierknotigen Tetraederelement Konvergenztest in den Verformungen Konvergenztest in den Spannungen Beispiel zu einem räumlichen Spannungsproblem Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von Stäben, Balken, Scheiben und Platten 10.1 Das Prinzip von Hamilton Diskretisierung des Wirkungsfunktionais Eigenwerte und Eigenfrequenzen Eigenvektoren und Schwingungsformen Massenmatrix des eindimensionalen Stabes Beispiele zum eindimensionalen Stab Einmassenschwinger Zweimassenschwinger Übungsbeispiel zur Stabschwingung Massenmatrix des zweidimensionalen Stabes Beispiel zum zweidimensionalen Stab Der eindimensionale, zweiknotige Balken Der eindimensionale Balken mit Längsverschiebung Der eindimensionale Balken ohne Längsverschiebung Beispiele zum eindimensionalen Balken Beidseitig gelenkig gelagerter Balken Kragbalken Übungsbeispiel zur Balkenschwingung Massenmatrix des zweidimensionalen Balkens Beispiel zum 2D-Balken Massenmatrix des dreiknotigen Scheibenelementes Beispiel zur Eigenfrequenz einer Scheibe Massenmatrix der Platte nach Specht Knicken von Stäben und Balken 11.1 Green-Lagrange Dehnungstensor Formänderungsarbeit des Stabes Dehnungen und Formänderungsarbeit des Balkens Das zweiknotige Stabelement Das zweiknotige Balkenelement Das Knicken als Eigenwertproblem 361

8 XV Beispiel zum Knicken von Stäben Knickbeispiel I (Stab) Beispiel zum Knicken von Balken Die vier Eulerfälle Knickbeispiel II (Balken) Knickbeispiel III (Dreiknotiges Balkenelement) Feldprobleme 12.1 Wärmeübertragung Die Poisson'sche Gleichung Randbedingungen Das Funktional der Wärmeübertragung Eindimensionale Wärmeübertragung Problemdefinition Funktional des eindimensionalen Wärmeübertragungspro blems Diskretisierung des Funktionais Variation des Funktionais Beispiel zur eindimensionalen Wärmeübertragung Übungsbeispiele zur eindimensionalen Wärmeübertragung Zweidimensionale Wärmeübertragung Problemdefinition Randbedingungen bei der zweidimensionalen Wärmeüber tragung Diskretisierung des Funktionais Variation des Funktionais Beispiel zur zweidimensionalen Wärmeübertragung Übungsbeispiele zur zweidimensionalen Wärmeübertragung Torsion von prismatischen Körpern Funktional des Torsionsproblems Analogie zwischen Wärmeübertragung und Schichtenströ mung Problembeschreibung Grundgleichungen der Schichtenströmung Analogie der Randbedingungen Analoges Funktional des Strömungsproblems CALL_for_FEM 13.1 Übersicht über CALL-for_FEM Erstinstallation von CALL_for_FEM auf dem Rechner Installation einer neuen Version von CALL_for_FEM Lösungen zu den Übungsbeispielen 427

9 XVI Hinweise auf die Lernsoftware durch Icons Video-Tutorials als Lernmittel Numerische Programme Symbolische Programme Symbolische Programme in Maple und Python Symbolische Programme in Maple realisiert Ausführliche Programmbeschreibungen Das Programm InterFEM Das Verfahren von Ritz für den eindimensionalen Stab (Ritz-Stab) Das Verfahren von Ritz für den Balken (Ritz_Balken) Das Verfahren von Ritz für die Scheibe (Ritz-Scheibe) Eindimensionales Stabelement (Stab-1D) Eindimensionales Balkenelement (BalkenJ.D) Timoshenko-Balken (Timoshenko-ID) Dreiecksscheibenelement (Scheibe-Dreieck) Plattenelement (Platte) Knicken des eindimensionalen Balkens (Knicken_Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dy namik-balken) Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme-ID) Zweidimensionale Feldprobleme (Feldprobleme_2D) Beispiele zu den Programmen 14.1 Elastisch gelagerter Balken Scheibe gestützt durch eine Feder Wärmeübertragung (Torsion) eines gleichseitigen Drei ecks (Quadrates) 456 Verwendete Formelzeichen und Symbole 461 Literaturverzeichnis 473 Sachverzeichnis 477 Programme 485