Wilfried Gawehn FINITE ELEMENTE METHODE

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Dirk Althaus
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1 Wilfried Gawehn FINITE ELEMENTE METHODE

2 Aus dem Programm ~--- Maschinenbau/lnformatik FINITE-ELEMENTE-METHODE Lehrbuch Grundbegriffe der Energiemethoden und FEM in der linearen Elastostatik von Wilfried Gawehn FINITE-ELEMENTE-METHODE FORTRAN-Programm fur die Elemente Stab, Balken und Scheibendreieck, von Wilfried Gawehn Das Standard-Lehrwerk: Die Methode der Finiten Elemente von J. Argyris und H. P. Mlejnek Bd. 1: Verschiebungsmethode in der Statik Bd. 2: Kraft- und gemischte Methoden, N ichtl inearitihen Bd. 3: Grundlagen der elementaren Strukturmechanik, Dynamik "'"----Vieweg "

3 Wilfried Gawehn FINITE-ELEMENTE-METHODE Lehrbuch Grundbegriffe der Energiemethoden und FEM in der linearen Elastostatik 3., verbesserte Auflage Mit 105 Abbildungen und 63 Beispielen Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden

Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann 1. Auflage 1985 2., durchgesehene Auflage 1986 3., verbesserte Auflage 1988 Aile Rechte vorbehalten Friedr.

Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar.

4 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann 1. Auflage , durchgesehene Auflage , verbesserte Auflage 1988 Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig 1988 Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfiiltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Peter Neitzke, K61n lsbn-13: S e-lsbn-13: DOl: /

5 VORWORT Oie Finite-Element-Methode hat sich in den letzten 2 Jahrzehnten zu einem der wichtigsten Naherungsverfahren einer Reihe von Feldproblemen wie der Festigkeitslehre, Str5rnungslehre, Elektrotechnik usw. entwickelt. Oie Auswahl deutschsprachiger Literatur ist momentan relativ klein, wahrend es eine gr02e Auswahl englischsprachiger LehrbUcher gibt. Der Verfasser formuliert hier die FEM innerhalb der linearen Elastizitatstheorie. Mit diesem Buch soli dem Interessierten ein erster Einstieg in die FEM ermoglicht werden. Es ist geeignet sowohl fur Studenten der technischen Studiengange, die sich erstmalig mit der Methode beschaftigen als auch fur praktisch tatige Ingenieure, die sich zu ihrer Anwendung in der FEM ein gewisses Hintergrundwissen aneignen wollen. Oas Buch ist aus einer Vorlesung entstanden, die der Verfasser seit 1981 an der FH OsnabrUck fur Studenten des Fachbereichs Maschinenbau halt. Oie FEM als Anwendung auf die Festigkeitslehre kann nur entwickelt werden, wenn die mathematischen Grundlagen sowohl der linearen Elastizitatstheorie als auch der FEM bekannt sind. Deshalb werden einerseits die notwendigen Sachverhalte der Matrizenrechnung, linearer Gleichungssysteme, der Integralsatze und der Variationsrechnung wie andererseits Grundlagen der linearen Elastizitatstheorie, z.b. der Energiesatz und das Prinzip VOID Minimum der totalen potentiellen Energie, ausflihrlich vorgetragen. Oem Leser stehen damit aile notwendigen Grundbegriffe zur VerfUgung. Vorausgesetzt werden nur Grundelemente der Analysis und Vektorrechnung. Oas Verfahren der FEM wird auf die Verschiebungsmethode beschrankt. Hat der Anfanger das Prinzip der FEM verstanden, kann er leicht auf andere Anwendungsbereiche wechseln. Zur linearen Elastizitatstheorie ist anzurnerken, da2 es sich urn eine zweifach lineare Theorie handelt. Erstens wird angenommen, da2 bei der geringen Gro2e der Verzerrungen ein linearisierter Zusamrnenhang zwischen Verzerrungen und Verschiebungen ausreicht. Zweitens werden die physikalischen Eigenschaften des Werkstoffs durch das Hooke'sche Gesetz beschrieben, das einen linearen Zusanmenhang zwischen Spanrrungen und Verzerrungen herstellt. In einem Folgeband wird ein in FORTRAN IV erstelltes FEM-Programm vorgestellt, das die Elemente Stab (20,30), Balken (20,30) und Scheibendreieck realisiert. OsnabrUck Wilfried Gawehn v

6 INHALTSVERZEIO{NIS Seite 1.1 GRUNDBEGRIFFE DER MATRIZENRE01NUNG Matrizen Rechenoperationen Koordinatentransformationen LOSUNGSVERFAHREN FUR LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Der GauB' sche Algorithmus Berechnung der inver sen Matrix Der verkettete oder LR-Algorithmus LR-Zerlegung fur symmetrische Matrizen (Cholesky-Verfahren) 31 2 SPANNUNGEN Der Spannungsbegriff Der dreiachsige Spannungszustand Der ebene Spannungszustand DIE DEFORMATION DES BELASTETEN KORPERS Die Taylorentwicklung Die Bewegung eines Korpers unter Belastung DIE STOFFGESETZE DIE GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN AM BELASTETEN KORPER DIE GLEICHUNGEN DES BELASTETEN DREIDlMENSIONALEN KORPERS Der gelagerte Korper Losungsansatze INTEGRALSATZE Kurvenintegrale Mehrfachintegrale 4.2 DER ENERGIESATZ DER LINEAREN ELASTIZITATSTHEORIE Die innere Energie oder Formanderungsenergie Der Energiesatz Die Einheitslastmethode Der erste Satz von Castigliano Die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix VI

7 Seite 5 DIE MATRIXSTEIFIGKEITSMETHODE Die Verschiebungsmethode fur Stabwerke Die Verschiebungsmethode fur Balkensysteme Allgemeine Beschreibung der FE-Methode Ersatzlasten VARIATIONSMETHODEN Variationsprobleme fur Funktionen einer Veranderlichen Variationsprobleme fur Funktionen zweier Veranderlicher Variationsmethoden in der linearen Elastizitatstheorie DIE FORMULIERUNG DER FEM DBER DAS PRINZIP VOM MINIMUM DER TOTALEN POTENTIELLEN ENERGIE Die Konstruktion am Beispiel des ebenen Stabelements Ein Verschiebungsansatz fur das ebene Scheibendreieck Konstruktion der ES-Matrix und Aufbau der GS-Matrix fur den allgemeinen Fall Darstellung von stetig verteilten Volumen- und Flachenlasten Auswahlkriterien fur Verschiebungsansatze 187 VERZEICHNIS DER BEISPIELE VERWENDETE FORMELZEICHEN LITERATURVERZEICHNIS SACHVERZEICHNIS VII

8 I nhaltsverzeichnis FORTRAN-Programm zur FINITE-ELEMENTE-METHODE DIE VERWENDETEN ELEHENTIYPEN Die ES-Matrix ftir den ebenen Stab Die ES-Matrix ftir den raum1ichen Stab Die ES-Matrix ftir den ebenen Ba1ken Die ES-Matrix ftir den raum1ichen Ba1ken Die ES-Matrix ftir das ebene Scheibendreieck DIE ORGANISATION DER EINGABE Die Organisation der Strukturdaten Die Organisation der Prograrnmsteuerung Der Start des Programms BESCHREIBUNG DES PROGRAMMS Die G1iederung des Prograrnms Beschreibung der Prograrnmodu1n Que11prograrnm1isting BEISPIELE Ebenes Stabwerk Ebenes Ba1kensystem Raum1iches Ba1kensystem Schubwandtrager Kuppe1dach aus Staben mit Netzgenerator UMGESTALTUNG UND ERWEITERUNG DES PROGRAMMS Knotenkoordinaten auf externem Datentrager Struktur- und Befeh1seingabe in einer Datei Die Struktureingabe a1s direkt organisierte Datei Verbesserung der Fe1dorganisation Einsatz des Programms auf Persona1camputern Linien1asten flir Ba1ken und Scheibendreieck Kombination von E1ementen mit unterschied1icher Anzah1 von Freiheitsgraden pro Knoten Auf1agerreaktion in be1iebiger Richtung Einftigen weiterer E1ernenttypen LITERATURVERZEICHNIS

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