FEM isoparametrisches Konzept

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1 FEM isoparametrisches Konzept home/lehre/vl-mhs--e/deckblatt.tex. p./

2 Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente. Finite-Element-Typen. Geometrie. Interpolations-Ansatzfunktion 5. Kartesische-natürliche Koordinaten. Lagrange sche und Hermite sche Elementfamilie home/lehre/vl-mhs--e/inhaltsverzeichnis.tex. p./

3 Interpolationsfunktion für die finiten Elemente Bei der Methode der finiten Elemente gilt folgendes: Die globale Funktion einer gesuchten Funktion besteht aus einer Summe von lokalen Funktionen: EX Z dg e e= G e N e i GALERKIN Verfahren: Interpolationsfunktion entspricht der Gewichtsfunktion RITZ Verfahren: globales Variationsprinzip wird aus der Summe der lokalen Variationsprinzipien konstruiert. home/lehre/vl-mhs--e/interpolationsfunktion.tex. p./

4 Interpolationsfunktion für die finiten Elemente Kritischer Schritt bei der FEM: Wahl geeigneter Interpolationsfunktionen Interpolationsfunktionen werden gebildet durch die Form der finiten Elemente, die Approximationsordnung. Finite Elemente hängen ab von der Geometrie des globalen Gebietes, der gewünschten Genauigkeit des Gebietes, der einfachen Integration über das Gebiet. home/lehre/vl-mhs--e/interpolationsfunktion.tex. p./

5 Finite Element Typen Um spezielle physikalische Probleme formulieren zu können, sind oft mehrere Elementtypen erforderlich. Sie werden unterschieden nach der Geometrie (-D, -D oder -D), Wahl der Interpolationsfunktion (Polynome; LAGRANGE sche oder HERMITE sche Polynome), Wahl der Elementkoordinaten (Kartesische oder natürliche Koordinaten), Wahl der an den Knoten spezifizierten Variablen (LAGRANGE sche Gruppe oder HERMITE sche Gruppe von Variablen). home/lehre/vl-mhs--e/fe Typen.tex. p.5/

6 Geometrie b) Quadratische Elemente mit gekrümmten Seitenkanten a) Quadratische Elemente mit geraden Seitenkanten c) Kubische Elemente home/lehre/vl-mhs--e/geometrie.tex. p./

7 Interpolations Ansatzfunktion Polynome: Beispiel: Eindimensionale Elementapproximation u = a 0 + a x + a x + a x +... oder u = a 0 + a i x i mit i = lineare Veränderliche i = quadratische Veränderliche i = kubische Veränderliche -D-Element mit zwei Knoten Für zwei Knoten benötigen wir eine lineare Veränderlichkeit. home/lehre/vl-mhs--e/ansatzfunktion.tex. p./

8 Interpolations Ansatzfunktion Alternative Methode: r = x l ξ = ξ=0 ξ= u = a 0 + a r für lineares Element Für jeden Knoten aufgestellt und die Konstanten ermittelt folgt ũ = N û + N û = N j û j mit j =, und den Interpolationsfunktionen N = ( r) ( home/lehre/vl-mhs--e/ansatzfunktion.tex N = ( + r) ( = a 0 a 0 = a 0 + a 0 = a 0 a = a 0 + a.. p.8/

9 Interpolations Ansatzfunktion x Bei einer quadratischen Approximation wird ein -Knoten -D-Element benötigt. Achtung: Wenn für die Ableitung der Interpolationsfunktionen dimensionslose Koordinaten benutzt werden, spricht man von einem natürlichen Koordinatensystem und natürlichen Koordinaten. LAGRANGE SCHE ELEMENTE: LAGRANGE SCHE ELEMENTE werden benötigt, um die Inversion der Koeffizientenmatrix für die Approximation höherer Ordnung zu vermeiden (siehe Chung). HERMITE SCHE ELEMENTE: Wichtig in der Statik: Die Stetigkeit der Ableitung einer Funktion an den Knoten wird mit Hilfe der HERMITE schen Polynome gesichert. home/lehre/vl-mhs--e/ansatzfunktion.tex. p.9/

10 Interpolations Ansatzfunktion l -Knoten -D, kubischer Ansatz ũ(ξ) = H 0 j (ξ)û j + H j (ξ) «û ξ ũ(ξ) = N r w r r =,,, j =,.0 0 H H H x -0. H home/lehre/vl-mhs--e/ansatzfunktion.tex. p.0/

11 Interpolations Ansatzfunktion w = ũ N = H 0 = ξ + ξ w = ũ N = H 0 = ξ ξ w = ũ N = H = ξ ξ + ξ w = ũ N = H = ξ ξ w = M entspricht also einem HERMITE schen Polynom fünften Grades! EI (M ˆ= Biegemoment) home/lehre/vl-mhs--e/ansatzfunktion5.tex. p./

12 Kartesische natürliche Koordinaten Isoparametrische Elemente Definition: Es wird die gleiche parametrische Funktion, die die Geometrie beschreibt, für die Interpolation der Variablen (Verschiebung, Wasserstand etc.) innerhalb eines Elementes benutzt. Beispiel: Ermittlung der Elementmatrix für ein -Knoten -D-Element (siehe Wollrath). Einführung eines lokalen Koordinatensystems, da im lokalen Koordinatensystem die Basisfunktionen für jedes Element gleich sind. Zum Beispiel N : s r N = ` = ( + r)( + s) Analog: N = ( r)( + s) N = ( r)( s) N = ( + r)( s) home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten.tex. p./

13 Kartesische natürliche Koordinaten Weitere Beispiele für Interpolationsfunktionen: y. Interpolationsfunktion für ein -D-Element mit einer von bis 9 variablen Knotenzahl s s = + 5 Knoten 9 8 s = 0 r r = - r = 0 r = + s = - x Nur hinzufügen,wenn Knoten i definiert ist home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten.tex. p./

14 Kartesische natürliche Koordinaten i = 5 i = i = i = 8 i = 9 h = ( + r)( + s) h h 8 h 9 h = ( r)( + s) h 5 h h 9 h = ( r)( s)..... h h h 9 h = ( + r)( s) h h 8 h 9 h 5 = ( r )( + s) h 9 h = ( s )( r) h 9 h = ( r )( s) h 9 h 8 = ( s )( + r) h 9 h 9 = ( r )( s ) home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten.tex. p./

15 Kartesische natürliche Koordinaten. Interpolationsfunktion eines -D-Elementes mit einer von 8 bis 0 variablen Knotenzahl z r t s y x h = g (g 9 + g + g )/ h = g (g + g + g 8 )/ h = g (g 9 + g 0 + g 8 )/ h = g (g + g 5 + g 9 )/ h = g (g 0 + g + g 9 )/ h 8 = g 8 (g 5 + g + g 0 )/ h = g (g + g + g 0 )/ h i = g i für i = 9,..., 0 h 5 = g 5 (g + g + g )/ home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten.tex. p.5/

16 Kartesische natürliche Koordinaten g i = 0, wenn Knoten i nicht enthalten ist; g i = G(r, r i ) G(s, s i ) G(t, t i ) sonst G(β, β i ) = ( + β iβ) für β i = ± G(β, β i ) = ( β ) für β i = 0 β = r, s, t Bei technischen Anwendungen (z.b. Grundwasser W ĥ) sind häufig Ausdrücke nach den kartesischen Koordinaten zu differenzieren oder zu integrieren. Da die Funktion durch isoparametrische Koordinaten dargestellt wird, sucht man eine Transformationsbeziehung zwischen den beiden Koordinatensystemen. Z.B.: N i = x y 5 N i home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten5.tex. p./

17 Kartesische natürliche Koordinaten Mit Kettenregel: x = r y = r ` r x + s r + y s ` s x s y 9 >= >; = r x r y s x s y 5 r s 5 Die Berechnung von r x etc. ist nicht einfach möglich, deshalb wird folgender Weg beschritten: Für das -D -Knoten-Element lautet die inverse Beziehung: r s 5 = x r x s y r y s 5 " # x y = J x y 5 (J ˆ= JACOBI Matrix) home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten.tex. p./

18 Kartesische natürliche Koordinaten Die JACOBI Matrix kann leicht bestimmt werden unter Ausnutzung der Beziehung: P x = n e i= N i x i (lineare Interpolation der Koordinaten zwischen den Knoten, n e = Anzahl der Knoten pro Element) x = [N, N, N, N ] y = [N, N, N, N ] x x x x y y y y 5 5 home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten.tex. p.8/

19 Kartesische natürliche Koordinaten r s 5 = = N N N N x y r r r r x y 5 x y 5 N N N N s s s s {z x y } J x y " # ( + s) ( + s) ( s) ( s) ( + r) ( r) ( r) ( + r) 5 x y x y x y 5 x y {z } J x y 5. home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten8.tex. p.9/

20 y Z.B.: Kartesische natürliche Koordinaten cm y cm x cm cm cm cm x 0.5 cm x = r ; y = s J = 0 0 x= (+r)(+s)() + (-r)(+s)(-) + (-r)(-s)(-) + (+r)(-s)(+) y = (+r)(+s)(5/) + (-r)(+s)(/) + (-r)(-s)(-/) + (+r)(-s)(-/) J = (+s) 0 (+r) home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten9.tex. p.0/

21 Kartesische natürliche Koordinaten Es ist also: x y 5 = J r s. 5 z t home/lehre/vl-mhs--e/koordinaten0.tex. p./

22 LAGRANGE SCHE und HERMITE SCHE Elementfamilie Einteilung der Elemente in Kategorien (unabhängig von der geometrischen Form): Die LAGRANGE sche Familie besteht aus finiten Elementen, bei denen die Werte an den Knoten spezifiziert werden, während bei der HERMITE schen Familie sowohl die Funktion als auch die Ableitungen an den Knoten bestimmt werden. Die LAGRANGE sche und die HERMITE sche Familie können beide durch Polynome dargestellt werden, die man aus dem PASCAL schen Dreieck/Tetraeder ableiten kann. Z.B.: Kubischer Ansatz für ein -D-Problem: c 0 + c x + c y + c x + c xy + c 5 y + c x + c x y + c 8 xy + c 9 y = û home/lehre/vl-mhs--e/elementfamilie.tex. p./

23 LAGRANGE SCHE und HERMITE SCHE Elementfamilie x y x z x x y y y x x z z x x y x y y x y yz x x y x y x y y x x y y x z x z z yz x 5 x y x y x y x y y 5 x y y z y Pascal sches Dreieck Pascal scher Tetraeder home/lehre/vl-mhs--e/elementfamilie.tex. p./