Computational Biology: Bioelektromagnetismus und Biomechanik

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1 Computational Biology: Bioelektromagnetismus und Biomechanik Biomechanik III

2 Gliederung Wiederholung: Biomechanik II Spannungsanalyse Materialgleichungen Bewegungsgleichungen Biomechanik III Statische Elastomechanik Finite Elemente Diskretisierung Finite Differenzen Diskretisierung Dynamische, nichtlineare Elastomechanik irtuelle erschiebungen Inkrementelle lagrangesche Formulierung Finite Elemente Diskretisierung Zusammenfassung Seite 2

3 Elastizitätsmodul und Poisson-Zahl Deformierbarer Festkörper Dl = 1 l F E A -D d d l Dl = n Ê A = p d ˆ Á Ë 2 2 F F: Kraft [N] l: Länge [m] D l: Längenänderung [m] d: Durchmesser [m] D d: Änderung des Durchmessers [m] A: Fläche [m 2 ] E: Elastizitätsmodul (E -Modul, Young s Modulus) [N/ m 2 ] n: Poisson - Zahl d+dd d Dl l Seite 3

4 Finite Elemente Methode für infinitesimale erschiebungen Totale potentielle Energie P Aufstellen von Steifigkeitsmatrix und Koeffizientenvektor Einbringen von Randbedingungen Aufstellen/Lösen von Gleichungssystemen (Systemmatrix) Diskretisierung des Feldgebiets Zerlegung in finite Elemente Bestimmung der Ansatzfunktion für Elemente erschiebungsvektoren u(x, y, z) Seite 4

5 Statische elastomechanische Probleme: Finite Elemente Methode P = 1 ˆ 2 ÚÚÚ s Tˆ e d - p T u d P: Totale potentielle Energie u / u i : erschiebungsvektor ÚÚÚ - ÚÚ q T u ds - ÂF it u i s ˆ : Cauchyscher Spannungsvektor e ˆ : Klassischer erzerrungsvektor S i Minimierung Freiheitsgrad, gesucht Funktion von u p: Räumliche Kraftverteilung q: Oberflächenkraftverteilung F i : Einzelkräfte : Raumbereich S: Oberfläche Gegeben Seite 5

6 Statische elastomechanische Probleme ( ) T ( ) T u = u x u y u z e ˆ = e x e y e z e xy e yz e xz Ê = u x Á Ë x u y y Ê = Á 1 E s - ns - ns x y y Ë = C -1 ˆ s u z z u x y + u y x ( ) L L n ( ) T s ˆ = s x s y s z s xy s yz s xz C: Materialmatrix E: E - Modul n: Poisson - Zahl ( ) E u y z + u z y ˆ s xy L L T u x z + u z x ˆ T Seite 6

7 Statische elastomechanische Probleme: Materialmatrix e ˆ = C -1 s ˆ Inversion fi s ˆ = Cˆ e C = E 1 + n ( )( 1-2n) Ê 1 - n n n Á n 1 - n n Á Á n n 1 - n Á 1 Á ( n ) 0 0 Á 1 Á ( n ) 0 Á Á Ë n ( ) ˆ Seite 7

8 Finite Elemente Formulierung mit Formfunktionen II P = 1 ˆ 2 ÚÚÚ s Tˆ e d - p T u d ÚÚÚ - ÚÚ q T u ds S Formfunktionen: N = N 1 x,y,z Ê Ê Knotenvariablen: u e = Á Á Á Á Ë Ë ( ( ) L N k ( x,y,z) ) T x 1 y 1 z 1 ˆ Ê x L k ˆ ˆ Á y Á k Ë z k Zusammenhang zwischen erzerrung und Spannung: ˆ s = Cˆ e T P = 1 2 ( Cˆ e ) T e ˆ d ÚÚÚ - ÚÚÚp T N T u e d - ÚÚ q T N T u e S ds Seite 8

9 Finite Elemente Formulierung mit Formfunktionen II II P = 1 2 ( C e ˆ ) Tˆ e d ÚÚÚ - ÚÚÚ p T N T u e d - ÚÚ q T N T u e S ds e ˆ = Bu e B: Abbildungsmatrix gebildet aus Ableitungen der Formfunktionen ( ) T Bu e d P = 1 ÚÚÚ CBu 2 e - p T N T u e d = 1 2 u T e ÚÚÚ B T C T B d u e - p T N T d ÚÚÚ - ÚÚ q T N T u e ÚÚÚ u e - ÚÚ q T N T S S ds ds u e P = 1 2 u T es u e - Ku e S: Steifigkeitsmatrix K: Koeffizientenvektor Seite 9

10 Finite Differenzen Diskretisierung mit Navier-Gleichung Navier-Gleichung Aufstellen von Steifigkeitsmatrix Einbringen von Randbedingungen Aufstellen/Lösen von Gleichungssystemen (Systemmatrix) Diskretisierung des Feldgebiets Zerlegung in Punkte Bestimmung der Ansatzfunktion für Elemente erschiebungsvektoren u(x, y, z) Seite 10

11 Finite Differenzen Diskretisierung mit Navier-Gleichung m u i + ( l + m ) div u + p x i = 0 i u: erschiebungsvektor { } i Œ 1,2,3 p: Kraftdichte l,m: Lame -Koeffizienten E = m n = 3l + 2m l + m l 2 l + m ( ) E: Elastizitätmodul n: Poisson - Zahl Punkt in Euler- Konfiguration u p Punkt in Lagrange- Konfiguration Einsatz bei infinitesimalen erschiebungen und isotropen Materialeigenschaften Seite 11

12 Mathematica Deklarationen Seite 12

13 Lokales diskretes Koordinatensystem erschiebungen der Nachbarknoten sind zu berücksichtigen! 18-er Nachbarschaft Seite 13

14 Wechsel in in lokales, diskretes Koordinatensystem Finite Differenzen Approximationen der 1. räumlichen Ableitung Finite Differenzen Approximationen der 2. räumlichen Ableitung Seite 14

15 Finite Differenzen Diskretisierung der Navier-Gleichung Seite 15

16 Auflösen der Finite Differenzen Approximation Seite 16

17 Einsteinsche Summenkonvention Bei Summation über mehrfach auftretende Indizes werden Summenzeichen weggelassen! N i =1 a ii  a ii x i =  a ij x j x i = a ij x j  a ( i x i + y ) i a i x i + y i i ( ) j =1 N N   j =1 i =1 s ij e ij s ij e ij N N Seite 17

18 irtuelle erschiebungen in in lagrangescher Formulierung Diskretisierung des Feldgebiets Zerlegung in finite Elemente Bestimmung der Ansatzfunktion für Elemente Aufstellen von Steifigkeitsmatrizen und Koeffizientenvektor für Zeitpunkt t Einbringen von Randbedingungen für Zeitpunkt t Aufstellen/Lösen von Gleichungssystemen (Systemmatrix) Bewegungsgleichung erschiebungsvektoren u(t, x, y, z) Inkrementelle erschiebungsvektoren Du(t, x, y, z) Seite 18

19 Prinzip der virtuellen erschiebungen "Kleine, beliebige, virtuelle erschiebungen führen in Körpern im Gleichgewicht zu identischer innerer und äußerer Arbeit" innere Arbeit äußere Arbeit t+ Dt ÚÚÚ s ij d t+ Dt e ij d t+ Dt = t +Dt t+ Dt ÚÚÚ p i du i d t+ Dt + t +Dt ÚÚ t +Dt S t+ Dt q i du i d t +Dt S s: Cauchyscher Spannungsstensor d e: ariation des infinitesimalen erzerrungstensors du: irtuelle erschiebung p,q: olumen - bzw. Oberflächenkräfte Summenkonvention! Bathe: Finite Element Procedures, Seite 499 Seite 19

20 Inkrementelle Lagrangesche Formulierung t+ ÚÚÚ Dt s ij d t+ Dt e ij d t+ Dt = t +Dt t+ ÚÚÚ Dt p i du i d t+ Dt + t +Dt ÚÚ t +Dt S t+ Dt q i du i d t +Dt S= t+ Dt R s: Cauchyscher Spannungsstensor d e: ariation des infinitesimalen erzerrungstensors du: irtuelle erschiebung p,q: olumen - bzw. Oberflächenkräfte R: Lastvektor ÚÚÚ t+ Dt S 0 d ij 0 0 t+ Dt d 0 = t +Dt R Summenkonvention! S: 2. Piola -Kirchhoffscher Spannungstensor de: ariation des Lagrangeschen erzerrungstensors Bathe: Finite Element Procedures, Seite 522 Seite 20

21 Gegeben // Gesucht t+ Dt S t+ Dt ÚÚÚ 0 d ij 0 0 d 0 t+ Dt = 0 ÚÚÚ p i du i d 0 t+ Dt + ÚÚ S q i du i d 0 S S: 2. Piola -Kirchhoffscher Spannungstensor de: ariation des Lagrangeschen erzerrungstensors du: irtuelle erschiebung u: erschiebung p,q: olumen - bzw. Oberflächenkräfte Funktion von u Funktion von u Gesucht für t+dt Gegeben für t Gegeben über t Seite 21

22 Linearisierung des Prinzips der virtuellen erschiebungen t+ Dt t +Dt 0S ij d 0 = 0t S ij d 0t + ( t t 0S u ij d 0t )du k k u: erschiebung / Knotenvariable an Knotenpunkt Kettenregel: ( t t 0S u ij d 0t )du k = t S 0 ij d t d 0t k t u 0 du k + 0t S ij k t u k = K t = 0 C 0 E rs ijrs t u k 0 t t ( ) 2 du t u l du k + t 0 0 S ij du l t u k t u l du k l du k mit inkrementeller Steifigkeitsmatrix: 0 C ijrs = t 0S ij t 0 E rs Bathe: Finite Element Procedures, Seite 539 Seite 22

23 Linearisierung in in Bewegungsgleichung/Elementgleichungssystem ÚÚÚ 0 t +Dt t +Dt S 0 ij d 0 d 0 = t +Dt R Ê Á Ë 0 ÚÚÚ t 0S ij d 0t + 0 t ÚÚÚ S 0 ij d 0t + 0 C 0t E rs ijrs 0 t 0 E rs ÚÚÚ 0C ijrs t 0 t u k t 0 2 t E + t 0 S ij t u k t u ij l t u k t u l ( t t 0S u ij d 0t )du k d 0 = t+ Dt R k du t u l du k + t S ij l t t u k t u l du l du k ˆ d 0 du Ê kdu l = t +Dt R - Á Ë ÚÚÚ 0 d 0 = t +Dt R t S 0t ˆ ij d 0 t u du l l (K L + K NL ) DU = F K L : Lineare Steifigkeitsmatrix DU: Inkrementelle erschiebungen K NL : Nichtlineare Steifigkeitsmatrix F: Kraftvektor Seite 23

24 Transfermatrizen, erzerrungs- und Spannungsvektor Lagrangescher erzerrungsvektor aus erschiebungen ( ) T = B( u x u y u z ) T ˆ E = E x E y E z E xy E yz E xz B = B(u): nichtlinearer Abbildungsoperator, zerlegbar in linearen und nichtlinearen Operator 2. Piola -Kirchhoffscher Spannungsvektor ˆ S aus erzerrungsenergiedichte W S ˆ = S x S y S z S xy S yz S xz E ˆ Inkrementelle Materialmatrix aus Spannungsvektor S ˆ C = ( ) T = W S ˆ E ˆ Seite 24

25 Zusammenfassung Wiederholung: Biomechanik II Spannungsanalyse Materialgleichungen Bewegungsgleichungen Biomechanik III Statische Elastomechanik Finite Elemente Diskretisierung Finite Differenzen Diskretisierung Dynamische, nichtlineare Elastomechanik irtuelle erschiebungen Inkrementelle lagrangesche Formulierung Finite Elemente Diskretisierung Seite 25