PRAKTIKUM STRÖMUNGSSIMULATION

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1 PRAKTIKUM STRÖMUNGSSIMULATION MATHEMATISCHE MODELLIERUNG DIE NAVIER STOKES GLEICHUNGEN Marc Alexander Schweitzer Institut für Numerische Simulation Rheinische Friedrich Wilhelms Universität Bonn Wintersemester 2006

2 ÜBERSICHT 1 GRUNDLAGEN UND NOTATION 2 MATHEMATISCHES MODELL FÜR ZEITABHÄNGIGE STRÖMUNGEN INKOMPRESSIBLER FLUIDE 3 SELBSTÄHNLICHKEIT VON STRÖMUNGEN 4 STOKES-GLEICHUNGEN 5 FINITE ELEMENT METHODEN FÜR STRÖMUNGSMECHANISCHE PROBLEME

3 NOTATION Wir bezeichnen mit η Ω 0 Ω ein beliebiges Fluidpartikel zum Zeitpunkt t = 0, dann bezeichnet x = Φ( η, t) die Position dieses Teilchens zur Zeit t > 0. Die Annahmen an die Deformationen Φ(, t) : Ω Ω sind Φ(, 0) = I, Φ(, t) erhält die Orientierung, Φ(, t) ist ein Diffeomorphismus für alle Zeiten t 0. η heißt Lagrange-Koordinate. x heißt Euler-Koordinate. Die Abbildung T η : R + 0 Ω : t T η (t) := Φ( η, t) heißt Trajektorie des Teilchen η.

4 NOTATION Geschwindigkeit: Materialableitung: v( x, t) = t Φ( η, t), wobei x = Φ( η, t) d dt g( x, t) = t g( x, t) + v( x, t) g( x, t) THEOREM (TRANSPORT THEOREM) Es sein Ω t = Φ(, t)(ω 0 ) mit Ω 0 Ω beliebig mit einem stetig differenzierbarem Geschwindigkeitsfeld u. Dann gilt für alle stetig differenzierbaren Abbildungen f : Ω (0, ) R die Gleichheit d dt f ( x, t)d x = Ω t Ω t ( ) t f ( x, t) + div(f v)( x, t) d x. (1)

5 TRANSPORT THEOREM Es bezeichne J( η, t) = det Φ(η, t)), dann ergibt sich mit der Transformationsformel und mit Hilfe der Kettenregel d f ( x, t)d x = d dt dt Ω 0 f (Φ( η, t), t)j( η, t)d η Ω t d = f (Φ( η, t), t)j( η, t)d η Ω 0 ( dt ) = Ω 0 t f + f u + f div u (Φ( η, t), t)j( η, t)d η ( ) = Ω 0 t f + div(f u) (Φ( η, t), t)j( η, t)d η ( ) = t f + div(f u) ( x, t), t)d x Ω t

6 PHYSIKALISCHE ERHALTUNGSGRÖSSEN MASSE Die Erhaltung der Masse fordert für alle Ω t Ω d ρ( x, t)d x = 0 dt Ω t und mit Hilfe des Transport Theorems erhalten wir ( ) ρ t ( x, t) + div(ρ v)( x, t) d x = 0 Ω t Punktweise ergibt sich hieraus die Massengleichung ρ t + div(ρ v) = 0 in Ω (0, ) (2) da das Teilgebiet Ω t beliebig ist.

7 PHYSIKALISCHE ERHALTUNGSGRÖSSEN IMPULS Zeitliche Änderung des Impluses: d dt P t = d ( dt Ω t ρ( x, t) v( x, t)d x = d ) dt Ω t ρ( x, t)v i ( x, t)d x ( ( = Ωt t (ρv i)( x, t) + div(ρv i v)( x, t) ) d x) i=1,2,3 Summe der außeren Kräfte F A und inneren Kräfte F I : ρ f d x = F A T nds = div(t)d x = F I Ω t Ω t Ω t Gleichgewichtsbedingung: ( ) t (ρ v) + div(ρ v v) d x = Ω t Punktweise ergibt sich hieraus die Impulsgleichung Ω t ( ρ ) f + div(t) d x t (ρ v) + div(ρv v) = ρf + div T (3) i=1,2,3

8 KONSTITUTIVE GLEICHUNG Gleichung (3) enthält die noch nicht definierte Größe T (Stress- oder Spannungstensor) dafür fehlt noch der Druck. Für T benötigen wir noch eine konstitutive Gleichung. Dies ist die eigentliche Modellierung des Fluids und seiner Eigenschaften. Die grundlegenden Annahmen hier sind: T hängt nur von v ab. Die Abhängigkeit ist linear. T ist symmetrisch. T ist ohne innere Reibung diagonal und proportional zu p.

9 KONSTITUTIVE GLEICHUNG Diese Annahmen führen zu folgender konstitutiven Gleichung oder auch Zustandsgleichung T = 2λD( v) + µ div( v)i pi (4) wobei D = 1 2 ( v + v T ) = 1 2 ( ( v i ) + ( v ) j ) x j x i i,j=1,2,3 den Strain- oder Verzerrungstensor und p = p(ρ) den Druck bezeichnen. Die Materialparameter λ und µ heißen dynamische Viskositäten des Fluids und bezeichnen innere Reibungskoeffizienten.

10 INSTATIONÄREN KOMPRESSIBLEN NAVIER STOKES GLEICHUNGEN Wenn wir jetzt also unsere physikalischen Gleichung (2), (3) und die modellierte Materialgleichung (4) zusammenfassen, erhalten wir t ρ + div(ρ v) = 0 t (ρ v) + div(ρ v v) = ρ f + 2λ v + (λ + µ) div( v) p die instationären kompressiblen Navier Stokes Gleichungen. Diese müssen noch mit Anfangsdaten ausgestattet und um entsprechende Randdaten vervollständigt werden. Hierbei sind wiederum physikalische Eigenschaften des Fluids zu modellieren, bsp. das Verhalten von Fluidpartikeln in der Nähe von festen Rändern/Wänden im entsprechenden Geschwindigkeitsregime.

11 INSTATIONÄREN INKOMPRESSIBLEN NAVIER STOKES GLEICHUNGEN Nehmen wir nun an, dass unser Fluid nicht kompressible ist, und setzen p = p ρ Fluid ρ( x, t) = ρ Fluid, und führen die kinematische Viskosität ν = λ ρ Fluid ein, dann erhalten wir div v = 0 t ( v) + ν v + ( v ) v + p = f die instationären inkompressiblen Navier Stokes Gleichungen.

12 INSTATIONÄREN INKOMPRESSIBLEN NAVIER STOKES GLEICHUNGEN Hierbei führen wir alternativ für ( u u) die Schreibweise ( u ) u ein, denn unter Verwendung der Massengleichung gilt: ( ) ( u u) = (u i u j ) ij = i (u i u j ) ( ) ( = u j i u i + ( i i j j i ) u i i )u j = 0 + ( u ) u j

13 ENDDIMENSIONALISIERUNG DER GLEICHUNGEN Mit den Größen x := x L, t := u t L, u := u u, p := p p ϱ u 2 zu den gegebenen skalaren Konstanten L, u, p, ϱ erhalten wir die Gleichung t u + ( u ) u + p = (5) µ ϱ u L u + L g u 2, (6) Strömungen in ähnlichen Geometrien Ω = L 1 Ω, L > 0 sind dynamisch ähnlich, wenn die jeweiligen Parameter µ, u, ϱ, L, g der beiden Strömungen so beschaffen sind, daß die dimensionslosen Größen 1 Re := ϱ u L µ (Reynoldszahl) und Fr := u L g (Froudezahl) der beiden Strömungen übereinstimmen. In einem Windkanal könnten dies etwa die Länge L des umströmten (7)

14 RANDBEDINGUNGEN Grundsätzlich für eine skalare Funktion u : Ω R Funktionswerte u Ω Ableitungswerte n u Ω Bei vektorwertigen Funktionen und Gleichungen können Kombinationen dieser in den einzelnen Komponenten auftreten! Notation: n := ( außerer ) Normalenvektor an Ω u u = v u n := Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Rand, u n := Geschwindigkeitskomponente parallel zum Rand,

15 RANDBEDINGUNGEN Senkrechter Rand: u n = u, u n = v, u n n = u x, u n n = v x Waagerechter Rand: u n = v, u n = u, u n n = v y, u n n = u y Randbedingungen für (x, y) Γ := Ω: Haftbedingung (no-slip): u n (x, y) = 0, u n (x, y) = 0 Rutschbedingung (free-slip): u n (x, y) = 0, u n n (x, y) = 0 Einströmbedingung (inflow): u n (x, y) = u 0 n, u n (x, y) = u 0 n Ausströmbedingung (outflow): u n u n (x, y) = 0, n n (x, y) = 0

16 FINITE DIFFERENZEN DISKRETISIERUNG Die Ableitung lim h 0 f (x + h) f (x) h =: f (x) läßt sich im Computer so nicht darstellen. Aber wir können eine einfache Approximation angeben, bsp. f (x + h) f (x) h f (x), oder die symmetrische Form f (x) f (x h) h f (x), f (x + h) f (x h) 2h f (x).

17 ZEIT-DISKRETISIERUNG Euler-Verfahren:» (n+1) u := u(n+1) u (n), t δt Impulsgleichung: u (n+1) = u (n) + δt» (n+1) v := v (n+1) v (n), t δt» «1 2 u Re x + 2 u (u2 ) (uv) + g 2 y 2 x p, x y x» «v (n+1) = v (n) 1 2 v + δt Re x + 2 v (uv) (v 2 ) + g 2 y 2 y p x y y Definiere: Kurzform: F := u (n) + δt» «1 2 u Re x + 2 u (u2 ) (uv) + g 2 y 2 x, x y» «G := v (n) 1 2 v + δt Re x + 2 v (uv) (v 2 ) + g 2 y 2 y x y u (n+1) = F δt p x, v (n+1) = G δt p y

18 DRUCKGLEICHUNG Geschwindkeit in F und G explizit Druck implizit u (n+1) = F (n) δt p(n+1) x v (n+1) = G (n) δt p(n+1) y Massen-/Kontinuitätsgleichung zum Zeitpunkt t n+1 0 = u(n+1) v (n+1) + x y = F (n) x δt 2 p (n+1) x 2 Poissongleichung für den Druck p (n+1) 2 p (n+1) x 2 p (n+1) n = 1 δt + 2 p (n+1) y 2 = 1 δt ( F (n) x + G(n) y δt 2 p (n+1) y 2 ) + G(n) y ((u (n+1) F (n) ) n 1 + (v (n+1) G (n) ) n 2 )

19 PROJEKTIONSMETHODE Betrachte die Semi-diskrete Impulsgleichung ( v v (n) ) δt + ν v (n) + ( v (n) ) v (n) + p = f (n) Betrachte das Splitting ( v (n), v, v (n+1) ) v = v (n) + 1 (ν v (n) ( v (n) ) v (n) + δt f (n)) und v (n+1) v + p(n+1) = 0 δt ρ Fluid Verwende die Massengleichung zur Korrektur div( 1 ρ Fluid p (n+1) ) = 1 δt div( v ) Korrigiere das Geschwindigkeitsfeld entsprechend v (n+1) = v δt ρ Fluid p (n+1)

20 FINITE DIFFERENZEN ORTS-DISKRETISIERUNG Wir definieren ein Gitter Ω h mittels x k = (k d h d ) d=1,2,3. Die Funktionen und Differenzenquotienten sind leicht in allen x k auszuwerten, z.b. in d = 1 f k := f (x k ), und f (x k ) f k+1 f k 1. 2h Erinnerung: Eine wichtige Eigenschaft der Navier Stokes Gleichungen ist die starke Kopplung von p und u.

21 CHECKERBOARD INSTABILITÄT Beobachtung: Wenn wir alle Ableitungen in den Navier-Stokes Gleichungen auf dem selben Gitter mit zentralen Differenzen berechnen, werden Druck und Geschwindigkeit entkoppelt. Betrachte u = 0 auf Ω und u 0 = 0, dann ist u = 0 und p = 0 die Lösung der Kontinuums-Aufgabe. Ein diskreter Druckgradient basierend auf zentralen Differenzen [ p x ] i = p i+1 p i 1 2h jedoch verschwindet an x i auch dann, wenn p i = p i+2 unabhängig von p i+1. Dies entspricht dem Verhalten von instabilen Finite Elementen, d.h. solchen, die die inf sup-bedingung nicht erfüllen.

22 STAGGERED GRID Idee: Diskretisiere Druck und Geschwindigkeit in unterschiedlichen Punkten, so dass die Auswertung der diskreten Differential-Operatoren (unter Verwendung der halben Maschenweite) die Größen u und p immer aneinander koppeln. Zelle (i,j) Zelle (i+1,j) j+1 v i,j v i+1,j j u i-1,j p i,j p i+1,j u i,j u i+1,j j-1 v i,j-1 v i+1,j-1 i-1 i i+1 i+2

23 DISKRETE RANDWERTE - STAGGERED GRID Da nicht alle Unbekannten auf dem gleichen Gitter liegen, sind auch nicht überall auf dem Rand Freiheitsgrade für alle Unbekannten definiert. Rand des Gebietes Rand Fluid j=jmax+1 j=jmax j=2 v a v r v i j=1 j=0 i=0 i=1 i=2 i=imax i=imax+1 v a = Variable außerhalb Ω v i = Variable innerhalb Ω v r = gedachte Variable auf Γ v r := v a + v i 2! = 0 v a = v i

24 DRUCKGLEICHUNG Druck wird implizit behandelt. In jedem Zeitschritt ist eine Poisson-Gleichung für den Druck zu lösen. Daher ist jeweils ein großes dünnes lineares Gleichungssystem zu lösen. Druck-Poisson-Matrix P ist singulär! Kompatibilitätsbedingung an rechte Seite f range(p). Iterative Löser: Speicher, Rechenaufwand, hier guter Startwert verfügbar! Eines der einfachsten Iterationsverfahren: SOR.

25 GESAMTALGORITHMUS Einlesen der Problemparameter Setze t := 0, n := 0 Belege u, p mit Anfangswerten Solange t < t end Wähle δt (Zeitsteuerung) Setze Randwerte für u ( n) Berechne u (n), F (n) und G (n) Berechne rechte Seite der Druckgleichung Setze it := 0 Solange it < itmax und res > ɛ Setze die Randwerte für den Druck Führe einen SOR-Zyklus durch Berechne Residuum res der Druckgleichung it := it + 1 Berechne u (n+1) Ggf. Ausgabe von u, p zur Visualisierung t := t + δt n := n + 1 Ausgabe von u, p zur Visualisierung

26 VISUALISIERUNG I/O ist wichtig!! Datenformate: HomeGrown (Read) UDF/HDF (Write) Matlab, VTK, AVS, OpenDX,... (Write) Visualisierungstools: Matlab Octave/Octaviz paraview (VTK) MayaVi (VTK) OpenDX

27 STOKES GLEICHUNGEN Wenn wir den stationären Fall betrachten, diesen um v = 0 linearisieren und mit der Viskosität skalieren so dass ν = 1, dann erhalten wir die div v = 0 v + p = f (8) Stokes Gleichungen. Beachte: Gleichungen vom Typ (8) treten bsp bei der Diskretisierung der instationären inkompressiblen Navier Stokes Gleichungen auf, so dass man in jedem Zeitschritt ein oder mehrere Gleichungen vom Typ (8) lösen muss. Darüber hinaus enthalten auch die einfacheren Stokes Gleichungen noch eine der Hauptschwierigkeiten bei der Simulation inkompressibler Strömungen, die Forderung div v = 0.

28 VARIATIONSFORMULIERUNG DER STOKES GLEICHUNGEN Der Druck ist nur bis auf eine Konstante bestimmt. Diese wird fixiert durch die zusätzliche Forderung p = 0. (9) Die schwache Form der Massengleichung ist div vq = 0 für alle q L 2 (Ω). Ω Ω Da für alle Funktionen v H0 1(Ω)d wegen des Gauß schen Integralsatzes div u = u n = 0 Ω Ω gilt, ist die Massengleichung sogar äquivalent zu div vq = 0 für alle q L 2 0 (Ω) = L2 (Ω) { q = 0} Ω Ω

29 VARIATIONSFORMULIERUNG DER STOKES GLEICHUNGEN Es gilt Ω f v = Damit erhalten wir die Formulierung = STOKES GLEICHUNGEN I Ω Ω ( u + p ) v u : v p div v. Finde u H0 1(Ω)d und p L 2 0 (Ω), so dass u : v p div v = f v für alle v H0 1 Ω (Ω)d Ω Ω div uq = 0 für alle q L 2 0 (Ω) Ω Ist diese Variationsproblem eindeutig lösbar?

30 VARIATIONSFORMULIERUNG DER STOKES GLEICHUNGEN Betrachte den Raum { V = v H0 1 (Ω)d Damit erhalten wir die Formulierung STOKES GLEICHUNGEN II Finde u V, so dass u : v = Ω Ω div uq = 0 für alle q L 2 0 (Ω) }. Ω f v für alle v V. Wo ist der Druck? Ist diese Formulierung eindeutig lösbar? Falls es eine eindeutige Lösung u gibt, gibt es dann ein eindeutiges p, so dass ( u, p) eine Lösung der ersten Formulierung ist?

31 ABSTRAKTES VARIATIONSPROBLEM Es seien (X,, X ) und (M, M ) Hilberträume mit den jeweiligen Dualräumen X und M mit den Normen X := L(X,R) und M := L(M,R). Wir betrachten im folgenden zwei stetige Bilinearformen mit den zugehörigen Normen a:x X R b:x M R a := a L 2 (X,R) = sup u,v X\{0} b := b L 2 (X M,R) = sup u X\{0} λ M\{0} a(u, v) u X v X b(u, λ) u X λ M

32 ABSTRAKTES VARIATIONSPROBLEM VARIATIONSPROBLEM Find zu l X undχ M ein Paar (u, λ) X M, so dass a(u, v) + b(v, λ) = l, v X für alle v X b(u, µ) = χ, µ M für alle µ M Wir definieren die Operatoren Au, v X := a(u, v) für alle u, v X Bu, λ M := b(u, λ) für alle u X, λ M B λ, v X := b(v, λ) für alle v X, λ M wobei B der duale/adjungierte Operator zu B ist, und erhalten PROBLEM I Find ein Paar (u, λ) X M, so dass Au + B λ = l Bu = χ

33 ABSTRAKTES VARIATIONSPROBLEM Desweiteren definieren wir den affinen Raum V (χ) und den dazu parallelen linearen Raum V = V (0) V (χ) := {u X Bu = χ}, V = V (0) = {u X Bu = 0}. und den Operator π L(X, V ) vermöge πf, v X := f, v X für alle v V PROBLEM II Find ein u V (χ), so dass πau = πl

34 ABSTRAKTES VARIATIONSPROBLEM Wann sind die beiden Formulierungen äquivalent? PROBLEM I Find ein Paar (u, λ) X M, so dass Au + B λ = l Bu = χ PROBLEM II Find ein u V (χ), so dass Leicht zu sehen ist: πau = πl Ist (u, λ) Lösung von I, so ist u auch Lösung von II. Leider ist die Umkehrung wesentlich komplizierter zu beantworten.

35 ABSTRAKTES VARIATIONSPROBLEM THEOREM Problem I und Problem II sind äquivalent, wenn es eine Konstante β > 0 gibt, so dass inf sup λ M\{0} u X\{0} b(u, λ) u X λ M β (11) erfüllt ist. Diese Forderung heißt inf sup, Babuška Brezzi, oder Ladyzhenskaya Babuška Brezzi-Bedingung (LBB). THEOREM Problem I besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn πa ein Isomorphismus von V auf V ist, und (11) erfüllt ist. Die LBB Bedingung garantiert, dass für jedes χ der affine Raum V (χ) ist.

36 KONSEQUENZEN FÜR DIE APPROXIMATION DER STOKES GLEICHUNGEN πa ist Isomorphismus, da a(, ) symmetrisch und koerziv ist. Der Nachweis der LBB Bedingung ist nicht trivial! (Aber sie ist erfüllt.) Im diskreten Fall, muss die LBB Bedingung uniform für die betrachtete Familie von FE-Räumen gelten, d.h. β muss von h unabhängig sein.

37 FINITE ELEMENTE STRÖMUNGSSIMULATION Instabile Elemente wie das Q 1 P 0 (bzw. Q 1 Q 0 ) Element. Stabile Elemente wie das Taylor Hood oder MINI Element. Divergenzfreie Elemente wie das Crouzeix Raviart Element.