Finite Elemente I Wintersemester 2010/11

Transkript

1 Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Finite Elemente I Wintersemester 2010/11 Erste von zwei Vorlesungen im Modul Finite-Element Methoden für Mathematiker Hörerkreis: 5. Mm, 7. Mm, 9. Mm, 1. MWM Oliver Ernst Institut für Numerische Mathematik und Optimierung

2 Finite Elemente I 1 0 Vorbemerkungen Vorgesehener Inhalt: 1. Einleitung: 2. Variationstheorie 3. Die FE-Methode anhand der Poisson-Gleichung 4. Kontruktion von FE-Räumen 5. Konvergenztheorie 6. Gleichungslöser 0 Vorbemerkungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

3 Finite Elemente I 2 1 Einleitung Bevor wir in die Details von Variationstheorie und Konstruktion von finite- Element-Räumen einsteigen wollen wir uns einen Eindruck verschaffen, wozu die FEM in der Praxis eingesetzt werden kann. 1 Einleitung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

4 Finite Elemente I Die Poisson-Gleichung Viele physikalische Größen erfüllen eine elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form (k u) = f, u : Ω R (1.1) wobei k : Ω R eine positive Koeffizientenfunktion, f : Ω R einen sog. Quellterm darstellt und das Definitionsgebiet Ω R d, d = 2, 3, als beschränkt, offen und zusammenhängend angenommen wird. Der Koeffizient k kann skalar oder auch ein positiv-definiter Tensor (d d Matrix) sein und beschreibt meist Materialeigenschaften. Die typische Problemstellung besteht darin, u zu gegebenen f und k zu bestimmen. (Hinzu kommen noch Randbedingungen auf Ω.) 1.1 Die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

5 Finite Elemente I 4 Folgende Tabelle stellt einige physikalische Größen zusammen, welche der Gleichung (1.1) genügen: Anwendung u k f Elektrostatik elektr. Potential Permittivität Ladungsdichte Magnetostatik magn. Potential Permeablilität Ladungsdichte Wärmetransport Temperatur Leitfähigkeit Wärmequelle Grundwasserströmung Spiegelhöhe hydraul. Leitf. GW-Neubildung elastische Membran Auslenkung M.-spannung Last ideales Fluid Geschw.-Potential Dichte Zu/Abfluss Gravitation Grav.-Potential 1/Grav.-Konst. Massendichte Bemerkung 1.1 Oft ist u nur eine Hilfsgröße und der Flussvektor u die wirklich interessierende Größe. Letzterer wird oft durch (numerische) Differentiation der (numerisch berechneten) Lösung u gewonnen, ein instabiler Vorgang. Sog. gemischte FE-Formlierungen gestatten die direkte numerische Berechnung des Flusses. 1.1 Die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

6 Finite Elemente I 5 Ist k konstant in (1.1), so kann dies in f zusammengefasst werden und es ergibt sich die Poisson-Gleichung u(x) = f(x), x Ω. (1.2a) Den Gebietsrand Γ := Ω zerlegen wir in Γ D und Γ N, Γ = Γ D Γ N, Γ D Γ N = und stellen die Randbedingungen u(x) = g(x) x Γ D, kurz: u ΓD = g, (1.2b) u n (x) = h(x) x Γ N, kurz: n u ΓN = h (1.2c) mit zwei gegebenen, auf Γ D bzw. Γ N definierten Funktionen g und h. Das Randwertproblem (1.2) besitzt unter geeigneten Voraussetzungen an das Gebiet Ω und die Daten f, g, h eine eindeutig bestimmte klassische (d.h. in Ω zweimal stetig differenzierbare) Lösung. 1.1 Die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

7 Finite Elemente I 6 Wir betrachten als Beispiel das elektrische Feld im Außenraum zweier Elektroden in einem Gehäuse. Die Anordnung sei uniform in einer Richtung: die Elektroden mögen recheckigen Querschnitt besitzen, das Gehäuse sei ein Kreiszylinder. Auf den Elektroden Γ 1 und Γ 2 legen wir jeweils den konstanten Potentialwert φ = 1 bzw. φ = 1 fest, am Gehäuse Γ 0 den Wert φ = 0. Ansonsten sei die Anordnung ladungsfrei. Es ergibt sich die elliptische Randwertaufgabe φ = 0, in Ω, φ = 0, auf Γ 0, φ = 1, auf Γ 1, φ = 1, auf Γ Die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

8 Finite Elemente I 7 6 Surface: u Contour: u Arrow: grad(u) Max: Max: Min: Min: FEM-Approximation des Potentials im Außenraum der Kondensatoren. 1.1 Die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

9 Finite Elemente I Die Helmholtz-Gleichung Monochromatische Wellen mit Kreisfrequenz ω > 0 besitzen die Darstellung w(x, t) = u(x )e iωt, x R, t > 0. Einsetzen in die lineare Wellengleichung w tt c 2 u = 0 mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c > 0 liefert für den räumlichen Anteil u die Helmholtz- Gleichung (auch reduzierte Wellengleichung oder Schwingungsgleichung) mit Wellenzahl k. u + k 2 u = 0, k = ω c > 0 Man kann mit der Helmholtz-Gleichung z.b. die Akustik eines Konzertsaals modellieren. 1.2 Die Helmholtz-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

10 Finite Elemente I 9 Hierzu sei der Querschnitt des Konzertsaals gegeben durch ein Polygon. Auf den Rändern stellen wir die sogenannte schallharte Randbedingung u n = 0. Als Quellterm der Gleichung nehmen wir die exponentiall abklingende Funktion f(x, y) = e 10((x 1/2)2 +(y 1/2) 2). Mit der Wellenzahl k = 0.8 erhalten wir die Randwertaufgabe u + 0.8u = e 10((x 1/2)2 +(y 1/2) 2), in Ω, u n = 0, auf Ω. 1.2 Die Helmholtz-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

11 Finite Elemente I 10 4 Surface: u Contour: u Max: Max: Min: Min: Konzertsaal-Beispiel, Triangulierung Konzertsaal-Beispiel, Lösung 1.2 Die Helmholtz-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

12 Finite Elemente I Minimalflächen Die durch eine Funktion u : Ω R, Ω R 2 ein beschränktes Gebiet, definierte Fläche {z = u(x, y) : (x, y) Ω} ist gegeben durch A(u) = Ω 1 + u 2 dx. Schreibt man noch die Randwerte der Funktion u vor, so kann man zeigen, dass die Fläche A(u) minimal wird, wenn u folgende Randwertaufgabe löst: ( u 2 u ) = 0, in Ω, u = g, längs Ω, wobei g die vorgeschriebenen Randwerte darstellt. 1.3 Minimalflächen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

13 Finite Elemente I 12 Wir betrachten konkret das Gebiet Ω := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1} und schreiben auf dessen Rand für u die Funktionswerte u(x, y) = x 2 vor. Surface: u Height: u Contour: u Max: Max: Min: Min: Minimalfläche 1.3 Minimalflächen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

14 Finite Elemente I Die Navier-Stokes-Gleichungen Die Strömung eines inkompressiblen homogenen Newtonschen Fluids in zwei Raumdimensionen wird beschrieben durch ein Vektorfeld [ ] u(x, t) u = u(x, t) =, u : Ω R 2 R 2 v(x, t) sowie eine skalare Funktion p = p(x, t), p : Ω R, die den Geschwindigkeitsvektor bzw. den Druck am Ortspunkt x Ω zur Zeit t angeben. 1.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

15 Finite Elemente I 14 Die Größen u und p sind eindeutig gegeben als Lösung des Systems partieller Differentialgleichungen t u + (u )u ν u + p = f, u = 0, (ν bezeichnet die kinematische Viskosität des Fluids) zusammen mit geeigneten Anfangsbedingungen u 0 = u(x, 0), p 0 = p(x, 0), x Ω, sowie Randbedingungen längs Ω. 1.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

16 Finite Elemente I 15 Als Besipiel betrachten wir das sog. DFG-Benchmarkproblem der Strömung in einem Kanal um einen Kreiszylinder: Am linken Rand wird ein parabolisches Einströmprofil [ ] [ ] u 1.2y(0.41 y)/ = v 0 vorgeschrieben, am rechten Rand Neumann-Randbedingungen und an den übrigen Rändern u = 0. Ferner ist ν = Die Navier-Stokes-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

17 Finite Elemente I Gitter aus 3608 Dreiecken ( Freiheitsgrade) Die Navier-Stokes-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/

18 Finite Elemente I 17 Time=6.98 Surface: Velocity field [m/s] Arrow: Velocity field Max: Min: 0 Strömungsgeschwindigkeitsfeld bei t = 7s. 1.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

19 Finite Elemente I Die Maxwell-Gleichungen Makroskopische elektromagnetische Phänomene werden beschrieben durch die Maxwell-Gleichungen E + Ḃ = 0, (1.3a) H Ḋ = J, (1.3b) D = ρ, (1.3c) B = 0,. (1.3d) Hierbei bezeichnen E die elektrische Feldstärke, D die Verschiebungsstromdichte, H die magnetische Feldstärke, B die magnetische Flußdichte, J die Leitungsstromdichte sowie ρ die elektrische Ladungsdichte. Gleichung (1.3a) ist das Faradaysche Induktionsgesetz, (1.3b) die Maxwell- Ampère Gleichung, (1.3c) das Gaußsche Gesetz und (1.3d) besagt dass das magnetische Feld stets rotationsfrei ist. 1.5 Die Maxwell-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

20 Finite Elemente I 19 In linearen und isotropen Materialien gelten die konstitutiven Gleichungen B = µh, D = ɛe, J = σe + J i, (1.4) mit der elektrischen Permittivität ɛ, magnetischen Permeabilität µ und elektrischer Leitfähigkeit σ als skalare Proportionalitätsfaktoren. Wir betrachten ein Beispiel aus der geoelektrischen Erkundung, bei dem durch die Messung elektrischer Felder an der Erdoberfläche Rückschlüsse auf die örtliche Verteilung der Leitfähigkeit σ im Untergrund und damit auf dessen Zusammensetzung gezogen werden. 1.5 Die Maxwell-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

21 Finite Elemente I 20 In geophysikalischen Anwendungen kann der Verschiebungsstrom Ḋ vernachlässigt werden. Ferner kann µ = µ 0 als konstant angenommen werden. Um nur mit einem Feld rechnen zu müssen eliminiert man z.b. aus (1.3a) und (1.3b) das magnetische Feld H. Das verbleibende Feld wird auf einem Teilgebiet Ω R 3 berechnet. An dessen Rand Ω sind geeignete Randbedingungen zu stellen; eine einfache RB in diesem Fall ist n E = 0, n die äußere Einheitsnormale längs Ω. Zur Zeit t = t 0 wird eine Anfangsbedingung E(x, 0) = E 0 (x ), x Ω, benötigt. 1.5 Die Maxwell-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

22 Finite Elemente I 21 Man erhält so die Anfangs-Randwertaufgabe: µ 0 σė + E = µ 0 J i in Ω, (1.5a) n E = 0 längs Ω, (1.5b) E(x, 0) = E 0 (x ). (1.5c) 1.5 Die Maxwell-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111