2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen

Transkript

1 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.3 Festigkeitshypothesen

2 Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Materialbeanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand. Quelle:

3 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese (William Rankine, ) Stab, Balken (1D): σ V 2 2 σ + σ + 4τ = 2 Ebener Spannungszustand (2D): σ V = ( ) ( ) 2 2 σ + σ + σ σ + 4τ x y x y xy 2

4 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese (William Rankine, ) Räumlicher Spannungszustand (3D): σ V σ1, bei σ1 > 0 & σ1 > σ3 = σ3, bei σ3 < 0

5 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (Tresca, ) Allgemein: 2 2 σ = σ + 4τ V ( ) σ = σ σ + τ V x y xy σ = max σ σ, σ σ, σ σ V σv Stab, Balken (1D): = 2τ max Ebener Spannungszustand (2D): Räumlicher Spannungszustand (3D): ( )

6 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (Huber, ; von Mises, ; Hencky, ) Allgemein: σ = V 3I ' 2 Stab, Balken (1D): 2 2 σ = σ + 3τ V Ebener Spannungszustand (2D): σ = σ + σ σ σ + 3τ V x y x y xy Ebener Verzerrungszustand (2D): ( )( ) ( ) σ = σ + σ ν ν + 1 σ σ 2ν 2ν 1 + 3τ V x y x y xy

7 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (Huber, ; von Mises, ; Hencky, ) Räumlicher Spannungszustand (3D): ( ) σ = σ + σ + σ σ σ σ σ σ σ + 3 τ + τ + τ V x y z x y x z y z xy xz yz σ = σ σ + σ σ + σ σ + τ + τ + τ 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) V x y x z y z xy xz yz 1 σv = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ ( ) ( ) ( )

8 Vergleichsspannung Anwendungsbereiche der unterschiedlichen Festigkeitshypothesen

9 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen 2.2 Plastizität 2.3 Festigkeitshypothesen 2.4 Viskoelastizität

10 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen

11 Klassifizierung Bausteine der Baustatik Gleichgewichtsgleichungen: Immer zu erfüllen! Kinematik: Kann linear (kleine Verformungen) oder nichtlinear (grosse Verformungen) sein. Materialgesetz: Kann linear oder nichtlinear sein.

12 Klassifizierung Materialgesetze: Sie werden auch als Stoffegesetze, Werkstoffgesetze oder konstitutive Gleichungen bezeichnet. Sie stellen die mathematischen Beziehungen zwischen den Spannungen und den Dehnungen bzw. Verzerrungen in einem Material dar.

13 Klassifizierung

14 Klassifizierung σ Belastung Linear elastisch Entlastung ε Belastung Belastung Entlastung Entlastung Nichtlinear elastisch Elastisch-plastisch

15 Beispiel: Stahl

16 Beispiel: Beton σ σ Entfestigung (Softening) ε ε Da Beton nur geringe Zugfestigkeit besitzt, können Mikrorisse im Beton entstehen. Die Mikrorissbildung im Beton führt zur Entfestigung (Softening) des Betons!

17 Viskoelastizität Viskoelastizität: Zeitabhängiges Materialverhalten! σ = konst. ε = konst. Kriechen: Verformungszunahme bei konstanter Spannung! Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahme bei konstanter Dehnung bzw. Verformung!

18 Beispiel l u F σ n σ = cε ε Gegeben: E, A, l, c, n, F Materialgesetz: Ludwik Nichtlinear elastisch Gesucht: Fu - -Kurve

19 Beispiel N u F Lösung: Gleichgewicht: Kinematik: Materialgesetz: F N = F σa= F σ = u A ε = l n σ = cε (2) In (3) eingesetzt, und dann (3) in (1) eingesetzt: F u = ca l n n u F σ = cε = c = l A n (1) (2) (3)

20 Beispiel F u Last-Verschiebungskurve

21 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.2 Plastizität

22 Fließfunktion und Fließbedingung Fließfunktion und Fließbedingung: 1D F( σ ) = 0 Fließfunktion bzw. Fließbedingung: 2D und 3D oder F( σ, σ, σ ) = F( I, J, J ) =

23 Fließfunktion und Fließbedingung σ, σ, σ : Hauptspannungen I : 1. Invariante des Spannungstensors σ J J : 2. Invariante des Spannungsdeviators s : 3. Invariante des Spannungsdeviators s I J J = σ + σ + σ = σ + σ + σ x y z 1 = ( ) 6 σ σ + ( σ σ ) + ( σ σ ) = det( s) = s s s Spannungsdeviator: I s σ σ 3 1 = I = σ M I s, s, s : Hauptdeviatorspannungen 1 2 3

24 Fließbedingung nach Tresca 3D 2D σ F : Fließspannung σ F σ F σ F σ F max σ σ, σ σ, σ σ = σ F Maximale Schubspannungstheorie Henri Édouard Tresca ( ) (

25 Fließbedingung nach von Mises 3D 2D σ F σ F σ F σ F ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) = 2σ F J 2 Plastizitätstheorie, J 2 Fließtheorie Richard von Mises ( ) (

26 Vergleich: Tresca und von Mises 3D 2D σ F σ F σ F σ F (

27 Fließbedingung nach Mohr-Coulomb 3D 2D σ Ft σ Fc σ Ft m + 1 max ( σ1 σ 2 + K ( σ1 + σ ), ( ), ( ) 2 σ2 σ3 + K σ2 + σ3 σ3 σ1 + K σ3 + σ1 ) = σ 2 m σ Fc m 1 ; K = = σ m + 1 Ft σ σ Fc Ft σ Fc : Fließspannung für Druck (c = compression) : Fließspannung für Zug (t = tension) Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls σ = σ! ( Ft Fc Fc

28 Fließbedingung nach Mohr-Coulomb τ (Schubspannung) σ (Druckspannung) Christian Otto Mohr ( ) τ = σ tan( φ) + c c: Kohäsion φ: innerer Reibungswinkel Charles-Augustin de Coulomb ( ) Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls φ=0! (

29 Fließbedingung nach Drucker-Prager 3D 2D σ Ft σ Fc σ Ft σ Fc m 1 m ( σ1 + σ2 + σ3) + ( σ1 σ2) + ( σ2 σ3) + ( σ3 σ1) = σ Fc m = σ σ Ft Fc Die Fließbedingung von Drucker-Prager reduziert sich zu der Fließbedingung nach von Mises, falls σ = σ! ( Ft Fc

30 Fließbedingung nach Drucker-Prager Daniel Charles Drucker ( ) William Prager ( )

31 Andere Darstellung der Fließbedingungen Es ist einfacher, die folgende Darstellung für die Fließfunktion bzw. Fließbedingung zu verwenden: I1: 1. Invariante des Spannungstensors J2 : 2. Invariante des Spannungsdeviators J : 3. Invariante des Spannungsdeviators 3 I J J F( I1, J2, J 3) = 0 = σ + σ + σ = σ + σ + σ x y z 1 = ( ) 6 σ σ + ( σ σ ) + ( σ σ ) = det( s) = s s s Spannungsdeviator: I s σ σ 3 1 = I = σ M I σ: Spannungstensor I : Einheitstensor, Einheitsmatrix

32 Andere Darstellungen der Fließbedingungen σ F σ F

33 Vergleich von Fließbedingungen Bemerkungen: Die Fließbedingungen von Tresca und von Mises sind geeignet für duktile Werkstoffe (Stahl, Metalle, ). Die Fließbedingungen von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager sind geeignet für Boden, Beton, Fels, Keramik und körnige Werkstoffe.

34 Beispiel E, σ, A E 1 y1 Gegeben: E = 2E = 2 E, σ = 3σ = 3σ Gesucht:, σ, A 2 y2 l 1 2 y1 y2 y Fu - -Kurve u F σ σ y Materialgesetz: Elastisch-ideal plastisch ε

35 Beispiel Lösung: N + N = F σ A+ σ A= F σ + σ = u u = u = u ε = l Gleichgewicht: Kinematik: 1 2, Materialgesetz: N 1 N 2 F u F A (1) (2) 1.) Beide Stäbe im elastischen Bereich: Hookesches Gesetz u u σ1 = E1ε = E1, σ2 = E2ε = E2 l l u u Fl EA + EA = F u= l l ( E + E ) A (3) In (1) eingesetzt: (3)

36 Beispiel Spannungen in den beiden Stäben: σ u F 2 F u F F = E ε = E = E =, E E E l ( E E ) A 3 A σ = ε = = = l ( E E ) A 3A ) Stab 2 im plastischen Bereich, Stab 1 im elastischen Bereich: σ2 = σ y F = 3σ ya Fl σ y u = = l am Anfang des plastischen Fließens ( E1+ E2) A E Bei weiterer Laststeigerung: u F EA l 1 + σ ya= F u= σ y l A 2E u F Spannung im Stab 1: σ1 = E1 = σ y l A 3.) Stab 1 auch im plastischen Bereich: σ =3 1 = σ y1 σ y F = 4σ ya Danach weitere Laststeigerung nicht mehr möglich! F l 3 σ y u = σ y = l A 2E 2 E

37 Beispiel 1.) Bereich 1: Fl F E u u = 3 EA σ A = σ l 3 y y 2.) Bereich 2: F σ y A ) 3.) F l F E u u = σ y = A 2E σ A σ l 3.) Bereich 3: 3 σ y E u 3 u = l = 2 E σ l 2 y y y ) Last-Verschiebungskurve E σ y u l