Kompendium. Praktische. Festigkeitsberechnung

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1 Kompendium Praktische Festigkeitsberechnung Erstellt von Denise Veith Betreuer Prof. Dr.-Ing. Manfred Reichle

2 Vorwort - II - Vorwort Dieses Kompendium soll Ingenieuren und Studenten der Ingenieurswissenschaften einen Überblick über die praktische Festigkeitsberechnung verschaffen und als einfaches Nachschlagewerk für elastostatische Probleme fungieren. Es ist eine Kurzfassung der prägnantesten Festigkeitsprobleme in der Praktik und soll dem Leser ermöglichen, schnell und einfach Antworten zu finden. Queretaro, den Denise Veith

3 Inhaltsverzeichnis - III - Inhaltsverzeichnis Formelzeichen... VI Abkürzungen... VII 1 Einführung Aufgaben der Festigkeitslehre Spannung allgemein und die Schnittmethode Flächenträgheits- und Widerstandsmoment Mohrscher Spannungskreis... 0 Grundbelastungsarten Zug Der Zugversuch Druck Knickung Schub (Abscheren) Biegung Gerade Biegung Torsion Torsion mit kreisrunder Querschnittsform Torsion mit beliebiger Querschnittform Flächenpressung Zusammengesetzte Beanspruchungen Festigkeitshypothesen Normalspannungshypothese Schubspannungshypothese Gestaltänderungsenergiehypothese Überblick Festigkeitshypothesen... 48

4 Inhaltsverzeichnis - IV - 6 Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Dünnwandiger Behälter unter Innendruck Dünnwandiger Behälter unter Außendruck Festigkeitsnachweis Aufgaben Zug Druck Knickung Schub Biegung Torsion mit kreisförmigem Querschnitt Torsion mit beliebigem Querschnitt Flächenpressung Festigkeitshypothesen Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Lösungen Zug Druck Knickung Schub Biegung Torsion mit kreisförmigem Querschnitt Torsion mit beliebigem Querschnitt Flächenpressung Festigkeitshypothesen Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Literatur Anhang... I

5 Inhaltsverzeichnis - V - A.1 Das griechische Alphabet... I A. Vorsilben von Zehnerpotenzen... I A.3 Wichtige SI-Einheiten... II

6 Formelzeichen - VI - Formelzeichen Zeichen Einheit Bedeutung A mm² Fläche E N/mm² Elastizitätsmodul F N Kraft G N/mm² Schubmodul I mm³ Flächenmoment L mm Länge M Nmm Drehmoment S Sicherheitsfaktor W mm 4 Widerstandsmoment σ N/mm² Normalspannung τ N/mm² Schubspannung ϑ Poissonzahl

7 Abkürzungen - VII - Abkürzungen Zeichen Bedeutung bzw. beziehungsweise ESZ Ebener Spannungszustand RSZ Räumlicher Spannungszustand z. B. zum Beispiel

8 Einführung Einführung 1.1 Aufgaben der Festigkeitslehre Die Festigkeitslehre basiert auf der Elastizitätslehre. Sie behandelt das Verhalten verformbaren festen Körper unter dem Einfluss von äußeren Kräften und Momenten /Holzmann1, S.1/. Ein Bauteil realisiert eine bestimmte technische Funktion. Die Festigkeitsberechnung untersucht dann die Konstruktion auf Sicherheit, aber auch auf Wirtschaftlichkeit unter Berücksichtigung der Art und Höhe der Belastung, sowie der Geometrie und Werkstoffart. Sicherheit: Die Konstruktion muss ihren Zweck über die vorgesehene Gebrauchsdauer zuverlässig und ohne Gefahr für die Umgebung erfüllen /Dietmann9, S.7/. Wirtschaftlichkeit: Sie muss mit möglichst geringem finanziellem Aufwand hergestellt und betrieben werden können / Dietmann9, S.7/. Wie in Bild.11 gezeigt wird, muss beim Festigkeitsnachweis das Problem immer von zwei Seiten betrachtet werden. Die Seite der Beanspruchung kümmert sich um Belastung und Geometrie. Hier werden aus den wirkenden Kräften die dazugehörigen Spannungen ermittelt. Dann wird die Beanspruchung mit der Beanspruchbarkeit verglichen. Die Beanspruchbarkeit wird aus Werkstoff-Tests ermittelt. Das Verhältnis von Beanspruchung und Beanspruchbarkeit ergibt die Sicherheit gegen Versagen. wirkendespannung Sicherheit ( 1.1 ) zulässigespannung Für die meisten Anwendungen sind Sicherheitsbeiwerte in Normen und Richtlinien festgelegt.

9 Einführung Bild 1.1: Prinzip eines Festigkeitsnachweises /LÄPPLE08, S.1/ 1. Spannung allgemein und die Schnittmethode Spannung wird definiert als Kraft pro Fläche: F ( 1. ) A Zeichen Einheit Bedeutung A σ mm² N/mm² Fläche Spannung F N Kraft

10 Einführung Um solch eine Spannung in einem beliebigen Bereich zu berechnen, wird das Bauteil dort geschnitten um die wirkenden Kräfte (Schnittgrößen) zu ermitteln. Bild 1.: Das Schnittprinzip /LÄPPLE08, S.3/ Spannungen, die zur Schnittfläche senkrecht sind, nennt man Normalspannungen. Spannungen, die zur Schnittfläche parallel sind, nennt man Schubspannungen. 1.3 Flächenträgheits- und Widerstandsmoment Das Flächenträgheitsmoment, auch Flächenmoment. Grades genannt, gibt an, wie die Form eines Querschnittes die Steifigkeit eines gebogenen Balken beeinflusst.

11 Einführung Es wird zwischen axialem und polarem Flächenträgheitsmoment unterschieden. Das axiale Flächenträgheitsmoment, bezogen auf die y- bzw. z-achse, berechnet sich wie folgt: I z y² da, I y z² da ( 1.3 ) Zeichen Einheit Bedeutung A mm² Fläche Iz, Iy mm 4 Flächenträgheitsmoment y, z mm Abstand Randfaser zu Nulllinie Das polare Flächenträgheitsmoment ergibt sich dann aus der Addition von Iz und Iy: I p I y I z r² da mit r² y² z² ( 1.4 ) Zeichen Einheit Bedeutung Ip mm 4 Polares Flächenträgheitsmoment Iz, Iy mm 4 Axiale Flächenträgheitsmomente r mm Radius y, z mm Abstand Randfaser zu Nulllinie Das Widerstandsmoment ist Maß für die Entgegensetzung eines gebogenen Balkens bei innerer Spannung. Das axiale Widerstandsmoment (Biegung) ist der Quotient aus axialem Flächenträgheitsmoment I und dem Abstand zur Nullinie. I z W, I y bz Wby ( 1.5 ) zmax y max Zeichen Einheit Bedeutung Iz, Iy mm 4 Axiale Flächenträgheitsmomente Wbz, Wby mm 3 Axiale Widerstandsmomente ymax, zmax mm maximaler Abstand Randfaser zu Nulllinie

12 Einführung Mit dem polaren Flächenträgheitsmoment wird das Widerstandsmoment gegen Torsion Wt für kreisrunde Querschnitte berechnet. Der Parameter rmax ist hierbei der maximale Radius. I p Wt ( 1.6 ) r max Zeichen Einheit Bedeutung Wt mm 3 Axiales Widerstandsmoment Ip mm 4 Axiales Flächenträgheitsmoment rmax mm maximaler Radius Querschnitt Vollkreis Polares Flächenträgheitsmoment Widerstandsmoment gegen Torsion Kreisring Tabelle 1.: Polare Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente gegen Torsion ausgewählter Querschnitte /LÄPPLE08, S.53/

13 Einführung Querschnitt Axiales Flächenträgheitsmoment Axiales Widerstandsmoment Gleichschenkliges Dreieck Drei- Gleichseitiges eck Quadrat Rechteck

14 Einführung Trapez Sechseck Achteck Vollkreis

15 Einführung Kreisring dickwandig Kreisdring dünnwandig Ellipse Ellipsenring

16 Einführung Halber Vollkreis Tabelle 1.: Axiale Flächenträgheitsmomente und axiale Widerstandsmomente ausgewählter Querschnitte /LÄPPLE08, S.33FF/ Für die Berechnung von torsionsbeanspruchten beliebigen Querschnittsformen werden folgende Flächenträgheits- und Widerstandsmomente benötigt: Querschnitt Torsionsflächenmoment I t Torsionswiderstandsmoment W t Rechteck Quadrat

17 Einführung Ellipse Drei- Gleichseitiges eck Dünnwandiger offener Hohlquerschnitt Dünnwandiger, geschlossener Hohlquerschnitt mit veränderlicher Wanddicke

18 Einführung Dünnwandiger, geschlossener Hohlquerschnitt mit konstanter Wanddicke Tabelle 1. Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandmomente Wt /LÄPPLE08, S.04F/ Besitzt ein Querschnitt komplexere Geometrien, wird wie folgt Vorgegangen: 1. Zerlegung des Querschnittes in einzelne bekannte Profile.. Berechnung des Teilschwerpunktsatzes mit: zi Ai i z s ( 1.7 ) A i i 3. Berechnung der einzelnen Flächenträgheitsmomente. 4. Berechnung der Flächenträgheitsmomente mit Parallelverschiebung der Koordinatenachsen durch Satz von Steiner: I y' I y z s A ( 1.8 )

19 Einführung Bild 1.3: Parallelverschiebung der Koordinatenachsen für Satz von Steiner /LÄPPLE08, S.36/ 5. Addition der verschiedenen Flächenträgheitsmomente, denn: Axiale Flächenmomente. Ordnung dürfen addiert und subtrahiert werden, sofern sie auf die gleiche Achse bezogen sind. Dies gilt nicht für die axialen Widerstandsmomente /Läpple08 S. 36/. 6. Berechnung des Widerstandsmoments mit dem maximalen Abstand der Flächenkante zur Biegeachse zmax: I ys Wby ( 1.9 ) z max Beispiel. /Böge09, 771/ Gesucht: a) die axialen Flächenmomente Ix, Iy, b) die axialen Widerstandsmomente Wx, Wy. Bild 1.4: Träger /BÖGE09, 771/

20 Einführung a) Berechnung der axialen Flächenmomente: I x B H 1 3 b h 1 3 5mm 40mm² 5mm (5mm)² 4 4 1,69 10 mm Mit denselben Bezeichnungen am um 90 gedrehten Profil: I x 5mm 30mm² 35mm (5mm)² ,16 10 mm b) Berechnung der axialen Widerstandsmomente: W x I x H 4,69 10 mm 0mm 4 3 1,3510 mm 3 W y I y H 4 1,16 10 mm 15mm 4 3 0,77 10 mm Mohrscher Spannungskreis Der Mohr sche Spannungskreis dient dazu, Normal- und Schubspannungen geometrisch darstellen zu können /Wachter/. Im einachsigen Zustand gilt: x ' x' y' ( 1.10 ) Zeichen σ σx τx y Einheit Bedeutung N/mm² Normalspannung N/mm² Normalspannung in beliebiger Schnittebene N/mm² Schubspannung in beliebiger Schnittebene

21 Einführung Bild 1.5: Mohrscher Spannungskreis für einachsige Zugbelastung /LÄPPLE08, S.67/ Und im zweiachsigem Zustand gilt für das Spannungsverhältnis: x y x y x' x' y' xy ( 1.11 ) Zeichen Einheit Bedeutung σ N/mm² Normalspannung σx N/mm² Normalspannung in y-richtung σx N/mm² Normalspannung in beliebiger Schnittebene σy N/mm² Normalspannung in x-richtung τx y N/mm² Schubspannung in beliebiger Schnittebene τxy N/mm² Schubspannung in x-y-richtung Der Mittelpunkt des Mohrschen Spannungskreises ist definiert durch: M x y 0 ( 1.1 ) Zeichen Einheit Bedeutung M N/mm² Mittelpunkt σx N/mm² Normalspannung in y-richtung σy N/mm² Normalspannung in x-richtung

22 Einführung - - So ergibt sich der Radius zu: x y R xy ( 1.13 ) Zeichen R σx σy τxy Einheit Bedeutung N/mm² Radius N/mm² Normalspannung in y-richtung N/mm² Normalspannung in x-richtung N/mm² Schubspannung in x-y-richtung Bild 1.6: Mohrscher Spannungskreis für den zweiachsige Spannungszustand /LÄPPLE08, S.7/ Wie in Bild 1.6 zu sehen schneidet der Kreis die Abszisse bei den Hauptspannungen σh1 und σh. Sie lassen sich berechnen mit: H1 x y x y xy ( 1.14 ) H x y x y xy Zeichen σh1, σh σx σy Einheit Bedeutung N/mm² Hauptspannungen N/mm² Normalspannung in y-richtung N/mm² Normalspannung in x-richtung

23 Grundbelastungsarten τxy N/mm² Schubspannung in x-y-richtung Die maximalen Hauptschubspannungen sind definiert durch: max x y xy H1 H ( 1.15 ) Zeichen Einheit Bedeutung σh1, σh N/mm² Hauptspannungen σx N/mm² Normalspannung in y-richtung σy N/mm² Normalspannung in x-richtung τmax N/mm² maximale Hauptschubspannung τxy N/mm² Schubspannung in x-y-richtung Grundbelastungsarten In der praktischen Festigkeitsberechnung werden häufig die zu untersuchenden Bauteile auf geometrisch einfache Grundformen reduziert: Stab, Rohr, Scheibe, Platte und Schale Generell wird zwischen folgenden Grundbeanspruchungsarten unterschieden: Bild.1: Die Grundbeanspruchungsarten /LÄPPLE08, S./

24 Grundbelastungsarten In der unteren Zeile von Bild.1 sind typische Beispiele für die jeweilige Belastungsart dargestellt..1 Zug Reine Zugbeanspruchung liegt bei gleichmäßig verteilter Belastung in Achsrichtung vor. Dabei dürfen keine größeren Querschnittsänderungen vorliegen, da die die Spannungsverteilung ungleichmäßig machen würden. Typische auf Zug beanspruchte Bauteile sind Seile, Schrauben und Rohrleitungen unter Innendruck. Die Spannung in einem Stab, belastet mit der Kraft F in Achsrichtung, lässt sich mit Hilfe der Schnittmethode feststellen und dann mit Gleichung 1. für die allgemeine Spannung berechnen: F z (.1 ) A A Bild.: Zugstab a) Draufsicht b) Querschnitt /STARK06, S.36/ Hierbei wird das Eigengewicht des Stabes vernachlässigt. Will man die wirkende Spannung in Punkt P1 wissen, schneidet man genau dort in Richtung x3 frei. Nun wird die rechte Seite betrachtet: Die aus dem Freischneiden entstehende Kraft FN (entgegengesetzt zu x1) ist genauso groß wie die Kraft F. Aus dem Querschnitt in Bild. b) wird die Schnittfläche ermittelt. Daraufhin kann mit Gleichung 1. die wirkende Zugspannung errechnet werden.

25 Grundbelastungsarten Beispiel.1 /Böge09, 661/ Eine Zuglasche aus Flachstahl 60 6 mm wird durch eine Kraft F = 1 kn belastet. Wie groß ist die auftretende Zugspannung? Berechnung des Querschnitts A aus der Länge und Breite des Flachstahls: A 60mm 6mm 360mm Berechnung der Zugspannung mit Gleichung.1: z F A 1000N 360mm² 33,3 N mm ².1.1 Der Zugversuch Zur Gewinnung von Werkstoffkennwerten werden Belastungsversuche durchgeführt. Ein wichtiger ist der Zugversuch. Durch ihn wird das Spannungs- Dehnungs-Diagramm ermittelt. Bild.3: Genormter Proportionalstab für Zugversuche /HOLZMANN1, S.16/ Beim Zugversuch wird eine genormte Werkstoffprobe (Zugstab) mit Durchmesser d0 und Länge l0 an beiden Enden eingespannt und so lange mit der Kraft F belastet, bis die Probe reißt. Danach werden Durchmesser und Länge neu gemessen. Der Durchmesser hat sich nun um Δd verkleinert und die Länge um Δl vergrößert.

26 Grundbelastungsarten So ist die Dehnung ε definiert durch: l (. ) l 0 Zeichen Einheit Bedeutung l0 mm Anfangslänge l mm Längenänderung ε Dehnung Und die Querkontraktion ϵq durch: d q (.3 ) d 0 Zeichen Einheit Bedeutung d0 mm Anfangsdurchmesser d mm Durchmesseränderung εq Querkontraktion Trägt man Spannung σ (Definition Kapitel 1.) über der Dehnung ε auf, erhält man das Spannungs-Dehnungsdiagramm. Bild.4: Spannungs-Dehnungs-Diagramm /HOLZMANN1, S.17/

27 Grundbelastungsarten Aus dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm werden folgende Werte ermittelt: - die Zugfestigkeit: F max R m (.4 ) A 0 Zeichen Einheit Bedeutung A0 mm² Querschnittsfläche Fmax N maximale Zugkraft Rm N/mm² Zugfestigkeit Die Zugfestigkeit ist die maximal ertragbare Spannung im Zugstab. - die Streckgrenze: Fe R e (.5 ) A 0 Zeichen Einheit Bedeutung A mm² Querschnittsfläche Fe N Streckgrenzenkraft Re N/mm² Streckgrenze Die Streckgrenze ist definiert als Grenzspannung bis zu der die Spannung proportional zur Dehnung verläuft. - Der Elastizitätsmodul: E (.6 ) Zeichen Einheit Bedeutung E N/mm² Elastizitätsmodul Δε Dehnungsänderung Δσ N/mm² Spannungsänderung

28 Grundbelastungsarten Der Elastizitätsmodul ist die Steigung der Hookschen Geraden. Die Hooksche Gerade ist der linear ansteigende (elastische) Teil des Spannungs-Dehnungs- Diagramms. Der Elastizitätsmodul ist Indikator für das elastische Verformungsvermögen eines Werkstoffs. Beispiel.1 /Böge09, 696/ Ein Stahldraht (E=,1*10 5 N/mm²) von 10 mm Länge und 0,8 mm Durchmesser trägt eine Zuglast von 60 N. Gesucht: a) die vorhandene Zugspannung, b) die Dehnung des Drahtes in Prozent, c) die elastische Verlängerung. a) Berechnung der vorhandenen Zugspannung mit Gleichung.1: z F A 60N 4 (80mm)² 119,4 N mm ² b) Berechnung der Dehnung mit Gleichung.6: z E N 119,4 mm² 5 N,1 10 mm² 56, ,057% c) Berechnung der elastischen Verlängerung mit Gleichung.: l l 0,057% 10mm 0, 068mm 0. Druck Druckbeanspruchung ist die Umkehrung der Zugbeanspruchung. So ist die Berechnung der Druckspannung die gleiche, wie die der Zugspannung. Allerdings sind Druckspannungen negativ. F d (.7 ) A In der zeichnerischen Darstellung erkennt man Druckspannungen an den zur Querschnittsfläche gerichteten Spannungspfeilen.

29 Grundbelastungsarten Bild.5: Druckbelasteter Stab /LÄPPLE08, S./..1 Knickung Im Fall einer Druckbeanspruchung auf einen schlanken Stab, spricht man von Knickung. Die Kraft, die benötigt wird, um den Stab zu knicken, nennt man Knickkraft FK. Sie berechnet sich für einen beidseitig gelenkig gelagerten und mittig beanspruchten Stab aus: F K E I l y (.8 ) Zeichen Einheit Bedeutung E N/mm² Elastizitätsmodul FK N Kraft Iy mm 4 Flächenträgheitsmoment l mm Stablänge

30 Grundbelastungsarten Um die kritische Knickkraft FK zu ermitteln, muss nach Euler zwischen vier Knickfällen unterschieden werden: A Bild.6: Euelersche Knickfälle /Dietmann9, S.7/ Kriterium ist dabei die Einspannung des Stabs: Fall 1: Ein Ende ist fest eingespannt, das andere Ende ist frei beweglich. Fall : Beide Enden sind gelenkig gelagert. Fall 3: Ein Ende ist fest eingespannt, das andere Ende ist gelenkig gelagert. Fall 4: Beide Enden sind fest eingespannt. Die Knickspannung berechnet sich aus der Knickkraft und der Stab- Querschnittsfläche: F K K (.9 ) A Um das Ausknicken eines Stabes zu verhindern, wird auch hier mit einem Sicherheitsbeiwert die zulässige Spannung berechnet. Kzul S K K FK A S K (.10 )

31 Grundbelastungsarten Zeichen Einheit Bedeutung A mm² Fläche FK SK N Knickkraft Sicherheitsfaktor σkzul N/mm² Zulässige Knickspannung.3 Schub (Abscheren) Ein Bauteil ist schubbeansprucht, wenn zwei nahe beieinander liegende, entgegengesetzte Kräfte quer zur Schnittfläche wirken. Typische schubbeanspruchte Bauteile sind kurze Balken, Schraub-, Niet- und Bolzenverbindungen. Außerdem treten Schubbeanspruchungen bei Überlappstößen von Klebe- und Schweißverbindungen und beim Stanzen und Scherschneiden auf /Läpple08, S.44/. Bild.7: Schubbeanspruchungen an a) abscherendem Zapfen und b) Nietverbindung /Läpple08, S.44/ Unter der Annahme, dass die Schubspannungen gleichmäßig in der Schnittfläche verteilt sind, wird wie folgt gerechnet: F (.11 ) A Zeichen Einheit Bedeutung A F mm² N Fläche Kraft τ N/mm² Schubspannung

32 Grundbelastungsarten Wie in Bild.7 zu sehen, tauchen Schubspannungen immer paarweise auf. Sie wirken senkrecht zueinander, haben den gleichen Betrag und zeigen entweder auf eine gemeinsame Kante hin, oder von ihr weg. Beispiel. /Böge09, 738/ In mm dickes Stahlblech mit einer Abscherfestigkeit von 310 N/mm² sollen Löcher von 30 mm Durchmesser gestanzt werden. Gesucht ist die erforderliche Stanzkraft. Berechnung der erforderlichen Stanzkraft mit Gleichung.11: N F A 30mm mm , 4N mm².4 Biegung Stäbe, die auf Biegung beansprucht werden, nennt man Balken oder Träger. Wirkt eine Last orthogonal zur Längsachse (Stabachse) oder ein Kräftepaar in einer Längsachse-beinhalteten Ebene auf einen Balken, tritt Biegespannung auf. Man geht von einer, in Relation zur Balkenlänge, kleinen Querschnittsfläche aus. Bild.8: Biegebalken /LÄPPLE08, S.9/ Bei der Biegung wird zwischen zwei Arten unterschieden: gerade (einachsige) Biegung schiefe (zweiachsige) Biegung

33 Grundbelastungsarten Wie in Bild.9 zu sehen, fällt bei der einfachen Biegung der Biegemomentenvektor mit einer Hauptachse des Körpers zusammen und bei der schiefen Biegung nicht: Bild.9: Gerade und schiefe Biegung /LÄPPLE08, S.8/.4.1 Gerade Biegung Die Spannung abhängig vom Abstand z zur Nulllinie bei gerader Biegung errechnet sich aus M b ( z) z. (.1 ) I Zeichen Einheit Bedeutung I mm 4 Axiales Flächenträgheitsmoment Mb mm 3 Biegemoment z mm maximaler Abstand Randfaser zu Nulllinie σ N/mm² Spannung

34 Grundbelastungsarten Dadurch entsteht die Grundgleichung für Biegespannung M b b (.13 ) Wb mit dem Widerstandsmoment Wb (axiales Widerstandsmoment, siehe 1.3). Beispiel.3 /Böge09, 835/ Ein Holzbalken hat einen Rechteckquerschnitt von 00 mm Höhe und 100 mm Breite. Welches größte Biegemoment kann er hochkant und flach liegend aufnehmen, wenn 8 N/mm² Biegespannung nicht überschritten werden soll? Berechnung des maximalen Biegemoments in hochkanter Stellung mit Gleichung.13 dem axialen Widerstandsmoment für Rechteckquerschnitt: M b max W b bzul mit W b b h 6 M b max 100mm (00mm)² N mm² N mm ² Und in flacher Stellung: M b max 00mm (100mm)² N mm² N mm ².5 Torsion.5.1 Torsion mit kreisrunder Querschnittsform Zur Vereinfachung wird sich hier ausschließlich auf Torsionsstäbe mit rundem Querschnitt (Vollkreis oder Kreisring) beschränkt. Wird so ein Stab in der orthogonal zur Achsrichtung liegenden Ebene (Querschnitt) mit einem Kräftepaar belastet, entsteht eine Verdrehung. Diese Verdrehung nennt man Torsion.

35 Grundbelastungsarten a) b) Bild.10: Torsionsstab a) 3-dimensional b) Querschnitt mit Spannung /LÄPPLE08 S.50,5/ Das durch das Kräftepaar entstehende Torsionsmoment Mt wird wie folgt berechnet: M t F a (.14 ) Zeichen Einheit Bedeutung a mm Abstand Kraft zu Drehpunkt F N Kraft Mt Nmm Torsionsmoment Beim Parameter a handelt es sich um den Abstand der zwei wirkenden Kräfte. Von der Seite des Werkstoffs berechnet sich das Torsionsmoment Mt aus dem Verdrehwinkel φ, Schubmodul G, der Länge l und dem polaren Flächenträgheitsmoment Ip. M t G I l p t I r p (.15 ) Zeichen Einheit Bedeutung G N/mm² Schubmodul Ip mm 4 polares Flächenmoment l mm Länge Mt Nmm Torsionsmoment τt N/mm² Torsionsspannung φ Verdrehwinkel

36 Grundbelastungsarten Somit lässt sich die Torsionsspannung τ t mit M t t ( r) r (.16 ) I p und die maximale Torsionsspannung τ tmax mit M r M t t t max max (.17 ) I p Wt Zeichen Einheit Bedeutung G N/mm² Schubmodul Ip mm 4 polares Flächenmoment Mt Nmm Torsionsmoment r mm Radius Wt Mm 3 Torsionswiderstandsmoment τtmax N/mm² Maximale Torsionsspannung φ Verdrehwinkel berechnet. Das Widerstandsmoment gegen Torsion Wt wird wie in Kapitel 1.3 ermittelt. Durch Umstellung von Gleichung.15 ist der Verdrehwinkel festgelegt durch: M l G I t (.18 ) p Beispiel.4 /Böge09, 81/ Der Verdrehwinkel einer Welle aus E95 (G=8*10 4 N/mm²) von 15 m Länge soll 6 nicht überschreiten. Die zulässige Torsionsspannung wird mit 80 N/mm angegeben. Welchen Durchmesser muss die Welle haben? Berechnung des erforderlichen Durchmessers: d 180 tzul l G N ³ mm mm² 86, N mm² erf 5 mm

37 Grundbelastungsarten Torsion mit beliebiger Querschnittform Wird ein Stab mit einem nicht-kreisförmigen Querschnitt auf Torsion belastet, treten Querschnittsverwölbungen auf. Trotzdem können durch Einführung ausgewählter Querschnitte wirkende Torsionsspannungen berechnet werden: M t t (.19 ) Wt Zeichen Einheit Bedeutung Mt Nmm Torsionsmoment tmin mm kleinste Wanddicke Wt mm ³ Fläche, die von der Profilmittellinie umschlossen wird τt N/mm² Maximale Schubspannung im Hohlquerschnitt Das gleiche gilt für den Verdrehwinkel: M l t t t (.0 ) G I t l W G I t Zeichen Einheit Bedeutung G N/mm² Schubmodul It mm 4 Torsionsflächenmoment l mm Länge Mt Nmm Torsionsmoment Wt mm ³ Torsionswiderstandsmoment τt N/mm² Maximale Schubspannung φ Verdrehwinkel Die Torsionssteifigkeit ist durch das Produkt G It definiert. Zur Berechnung der maximalen Schubspannung für torsionsbelastete dünnwandige, geschlossene Hohlprofile gilt die erste Bredtsche Formel: M t t (.1 ) Am t min

38 Grundbelastungsarten Zeichen Einheit Bedeutung Am mm² Fläche, die von der Profilmittellinie umschlossen wird Mt Nmm Torsionsmoment tmin mm kleinste Wanddicke τt N/mm² Maximale Schubspannung im Hohlquerschnitt Bild.11: Torsion dünnwandiger, geschlossener Hohlprofile /LÄPPLE08, S.01/ Für dünnwandige, offene Hohlprofile wird die Geometrie in dünne Rechtecke zerteilt. Dann kann mit Hilfe vom Torsionswiderstandsmoment aus Kapitel 1.3 die maximale Schubspannung berechnet werden: t M t 3t i max 3 i i h t (. ) Zeichen Einheit Bedeutung hi mm Wanddicke Mt Nmm Torsionsmoment ti mm Wanddicke tmax mm größte Wanddicke τt N/mm² Maximale Schubspannung im Hohlquerschnitt

39 Flächenpressung Bild.1: Torsion dünnwandiger, offener Hohlprofile /LÄPPLE08, S.01/ 3 Flächenpressung Die Flächenpressung ist definiert durch Kraft pro Fläche. Sie ist die Normallastverteilung zwischen zwei zusammengedrückten (-gepressten) Körpern. Allerdings darf man die Flächenpressung nicht mit dem Druck verwechseln, da sie wie Spannungen eine Richtung hat, nicht isotrop ist und über die Fläche verteilt nicht konstant sein muss. In der Konstruktion muss die zulässige Flächenpressung des Materials kleiner als der wirkende Druck sein: p zul p mit F p ( 3.1 ) A Zeichen Einheit Bedeutung A mm² Fläche F N Kraft p N/mm² Druck pzul N/mm² zulässige Flächenpressung

40 Flächenpressung Beispiel.1 /Böge09, 714/ Der skizzierte Träger wirkt mit der Kraft F=160 kn über eine quadratische Auflagerplatte auf das Fundament. Die zulässige Flächenpressung beträgt 4 N/mm. Gesucht ist die Seitenlänge a der Auflagerplatte. Berechnung der Auflagerfläche A mit Gleichung 3.1: A F p zul N mm² N 4 mm² 4 a erf A 4 10 mm² 00mm Bild 3.1: Träger /BÖGE09/ Allgemein ist die Berechnung der Flächenpressung äußerst komplex. Nach Hertz (1857) werden folgende Sonderfälle der Flächenpressung berechnet: Kugel auf Kugel: p max F r r E 1 E ( 3. ) Zeichen Einheit Bedeutung E N/mm² Elastizitätsmodul F N Kraft pmax N/mm² maximale Flächenpressung ri mm Kugelradien ϑ Poissonzahl

41 Flächenpressung Bild 3.: Hertzsche Pressung: Kugel auf Kugel /ETHZ/ Dabei wird die Breite der Auflagefläche wie folgt berechnet: r r E E F a ( 3.3 ) Zeichen Einheit Bedeutung A mm Breite der Auflagefläche E N/mm² Elastizitätsmodul F N Kraft ri mm Kugelradien ϑ Poissonzahl Parallele Zylinder: max l E E r r F p ( 3.4 ) Zeichen Einheit Bedeutung pmax N/mm² maximale Flächenpressung E N/mm² Elastizitätsmodul F N Kraft ri mm Zylinderradien ϑ Poissonzahl

42 Zusammengesetzte Beanspruchungen Bild 3.3: Hertzsche Pressung: Parallele Zylinder /ETHZ/ Mit der Breite der Auflagefläche b definiert durch: b F E1 E 1 1 l r1 r ( 3.5 ) Zeichen Einheit Bedeutung b mm Breite der Auflagefläche E N/mm² Elastizitätsmodul F N Kraft ri mm Zylinderradien ϑ Poissonzahl 4 Zusammengesetzte Beanspruchungen Zusammengesetzte Beanspruchung liegt bei Belastungen von mehr als Beanspruchung vor. Sichtbar werden diese Beanspruchungen wie bei den einzelnen Grundbeanspruchungen durch Freischneiden des Bauteils. Sie können Normal- und Schubspannungen hervorrufen.

43 Festigkeitshypothesen Da es manchmal sehr komplex werden kann, alle Spannungen in so einem Fall zu ermitteln, ist es sinnvoll systematisch vorzugehen. Dabei unterscheidet man zwischen 4 Möglichkeiten: 1. zusammengesetzte Normalspannungen an gleichen Schnittflächen. zusammengesetzte Schubspannungen an gleichen Schnittflächen 3. zusammengesetzte Normalspannung und Schubspannung an gleichen Schnittflächen 4. zusammengesetzte Normalspannungen in zwei oder drei zueinander senkrechten Richtungen und Schubspannung Für die ersten beiden Möglichkeiten ist es üblich das Problem durch Superposition der einzelnen Spannungen zu lösen. Das bedeutet, sie werden algebraisch addiert. Das ist auf Grund der Gleichartigkeit der Spannungen möglich. Für Fälle der letzteren beiden Möglichkeiten wird eine Vergleichsspannung benötigt. Hierzu mehr in Kapitel 5. 5 Festigkeitshypothesen Auf reale Bauteile wirkt oft nicht nur eine, sondern mehrere Spannungen und das auch noch in verschiedenen Achsrichtungen. Um solche Zustände mit den von uns berechenbaren einachsigen Spannungszuständen vergleichen zu können, werden Festigkeitshypothesen benutz. Die Vergleichsspannung σv wird eingeführt: Sie darf für Festigkeitsnachweise wie eine einachsige Zug- oder Druckspannung behandelt werden, so dass man sie mit bekannten Werkstoffkennwerten vergleichen kann.

44 Festigkeitshypothesen Bild 5.1: Verwendung von Vergleichsspannungen als Hilfe für den Festigkeitsnachweis /LÄPPLE08, S.116/ Allgemein für Festigkeitshypothesen gilt die Festigkeitsbedingung mehrachsig beanspruchter Bauteile: V zul ( 5.1 ) Zeichen σv σzul Einheit Bedeutung N/mm² Vergleichsspannung N/mm² zulässige Spannung Dabei muss man zwischen Versagen durch Fließen und Versagen durch Bruch unterscheiden: R e zul bzw. S F R m zul (Bruch) S B R p 0, zul (Fließen) S F ( 5. )

45 Festigkeitshypothesen Zeichen Einheit Bedeutung Re N/mm² Streckgrenze Rm N/mm² Zugfestigkeit Rp0, N/mm² 0,%-Dehngrenze SB SF Sicherheitsfaktor gegen Bruch Sicherheitsfaktor gegen Fließen σzul N/mm² zulässige Spannung Zur Ermittlung der Vergleichsspannung wird generell wie folgt vorgegangen /Läpple08 S.117/: 1. Berechnung der Lastspannungen (σx, σy, σz, τxy, τxz und τyz) im x-y-z- Koordinatensystem aus der äußeren Belastung (z. B. Zugkraft F, Biegemoment Mb, Torsionsmoment Mt oder Innendruck pi).. Berechnung der Hauptnormalspannungen (σh1, σh und σh3 ) aus den Lastspannungen beispielsweise mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises. 3. Ordnen der Hauptnormalspannungen nach ihrer algebraischen Größe, wobei definitionsgemäß gelten soll: 1 : max H 1 ; H ; H 3 ( 5.3 ) 3 : min H 1 ; H ; H 3 ( 5.4 ) ( 5.5 ) Berechnung der Vergleichsspannung σv aus den geordneten Hauptnormalspannungen σ1, σ und σ3 mit Hilfe einer geeigneten Festigkeitshypothese (Kapitel ). Mitunter kann die Vergleichsspannung unter Benutzung der entsprechenden Formeln auch direkt aus den Lastspannungen (σx, σy, σz, τxy, τxz und τyz) ermittelt werden.

46 Festigkeitshypothesen Normalspannungshypothese Die Normalspannungshypothese basiert auf der Annahme, dass bei einer zu großen Normalspannung ein (spröder) verformungsloser Trennbruch entsteht. Sie wird bevorzugt für spröde Materialien (z. B. Grauguss) angewendet. So ergibt die Vergleichsspannung σv: V 1 ( 5.6 ) Zeichen σ1 σv Einheit Bedeutung N/mm² Hauptspannung N/mm² Vergleichsspannung Die Festigkeit nach Normspannungshypothese ist bewiesen, wenn: V R m ( 5.7 ) Zeichen Rm σv Einheit Bedeutung N/mm² Zugfestigkeit N/mm² Vergleichsspannung 5. Schubspannungshypothese Die Schubspannungshypothese, auch Festigkeitshypothese nach Tresca (1868) findet ihre Anwendung bei duktilen Werkstoffen (z. B. Stahl). Im Gegensatz zu Normalspannungshypothese ist hier nicht der Bruch, sondern das Fließen des Materials versagensentscheidend. So ist die Fließschubspannung durch Versuche definiert: R R e p0, F bzw. F ( 5.8 ) Zeichen Re Rp0, τf Einheit Bedeutung N/mm² Streckgrenze N/mm² 0,%-Dehngrenze N/mm² Fließschubspannung

47 Festigkeitshypothesen So gilt für den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand: V 1 für 1 0, bzw. V 1 für 1 0 ( 5.9 ) Und für den räumlichen Spannungszustand: V 1 3 ( 5.10 ) Die Vergleichsspannung σv muss kleiner als die Streckgrenze Re sein: V R e bzw. V R p0, ( 5.11 ) Dann ist der Festigkeitsnachweis nach der Schubspannungshypothese erfolgreich. 5.3 Gestaltänderungsenergiehypothese Die Gestaltänderungshypothese ist bei verformungsfähigen, duktilen Werkstoffen angebracht. Sie wird als auch Festigkeitshypothese nach von Mises genannt. So gilt hier für die Vergleichsspannung σv: V ( 5.1 ) 1 1 x y x y 3 xy Als Festigkeitsnachweis wird zuletzt wieder die Vergleichsspannung mit der Streckgrenze wie in Gleichung 7.11 verglichen.

48 Festigkeitshypothesen Überblick Festigkeitshypothesen Tabelle 5.1: Überblick Festigkeitshypothesen /DIETMANN9, S.108/

49 Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Sorgfältige Festigkeitsnachweise sind bei dünnwandigen Behältern unter Innenoder Außendruck wichtig. Gerade bei Innendruck ist die Verletzungs- und Zerstörungsgefahr sehr groß. Dünnwandige Behälter sind Druckbehälter, Dampfund Gasleitungen, Pipelines, Hydraulik- und Pneumatikzylinder, aber auch Bremsleitungen in Fahrzeugen. Durch das große Verhältnis zwischen Wandstärke und Behältergröße kann von einer konstanten Tangentialspannung in der Behälterwand ausgegangen werden. Zur Vereinfachung der Berechnung wird außerdem die Radialspannung des Behälters vernachlässigt, bzw. als linear angesehen. Ein Behälter wird nach DIN 413 als dünnwandig bezeichnet, falls für sein Durchmesserverhältnis gilt /Läpple08, S.07/: d d a i 1, s bzw. 0, 1 d i ( 6.1 ) Zeichen Einheit Bedeutung da mm Außendurchmesser di mm Innendurchmesser s mm Wandstärke 6.1 Dünnwandiger Behälter unter Innendruck Innendruck ist definiert als innerer Überdruck. Das bedeutet der Druck im Behälter ist größer als der außerhalb des Behälters. Dabei entsteht in Umfangsrichtung die Tangentialspannung σt in der Behälterwand. In Achsrichtung, z. B. Boden und Deckel des Druckbehälters, entstehen die Axialspannungen σa. Wie in Bild 8.1 zu sehen, wirkt zuletzt noch von innen gegen die Behälterwand die Radialspannung σr. Erzeugt werden die Spannungen vom Innendruck pi.

50 Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Bild 6.1: Spannungen eines zylindrischen Druckbehälters /LÄPPLE08, S.08/ So werden die wirkenden Spannungen wie folgt berechnet: - Tangentialspannung σt: di t pi ( 6. ) s Zeichen Einheit Bedeutung di mm Innendurchmesser pi N/mm² Innendruck s mm Wandstärke σt N/mm² Tangentialspannung - Axialspannung σa: d i t a pi ( 6.3 ) 4 s Zeichen Einheit Bedeutung di mm Innendurchmesser pi N/mm² Innendruck s mm Wandstärke σa σt N/mm² Axialspannung N/mm² Tangentialspannung

51 Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Radialspannung σr: pi r ( 6.4 ) Zeichen Einheit Bedeutung pi N/mm² Innendruck σr N/mm² Tangentialspannung 6. Dünnwandiger Behälter unter Außendruck Für dünnwandige Behälter unter Außendruck gelten für die Berechnungen der Spannungen folgende Definitionen: - Tangentialspannung σt: d i t pa ( 6.5 ) s Zeichen Einheit Bedeutung di mm Innendurchmesser pa N/mm² Außendruck s mm Wandstärke σt N/mm² Tangentialspannung - Axialspannung σa: d i t a pa ( 6.6 ) 4 s Zeichen Einheit Bedeutung di mm Innendurchmesser pa N/mm² Außendruck s mm Wandstärke σa N/mm² Axialspannung σt N/mm² Tangentialspannung

52 Festigkeitsnachweis Radialspannung σr: pa r ( 6.7 ) Zeichen pa σr Einheit Bedeutung N/mm² Außendruck N/mm² Tangentialspannung 7 Festigkeitsnachweis Nach Ermittlung der auf das Bauteil wirkenden Spannungen müssen die mit den Werkstoffkennwerten verglichen werden, ob die Festigkeit des Bauteils ausreicht. Dabei sollte immer ein Sicherheitsfaktor mit einbezogen werden, um die Festigkeit zu garantieren. Je nach Belastungsfall befindet sich der Sicherheitsfaktor in einer anderen Größenordnung. Tabelle 7.1 zeigt die Grundbelastungen mit jeweiligem Werkstoffkennwerten und Sicherheitsfaktoren /Läpple08, S.61/: Belastungsart Werkstoffkennwert Sicherheitsfaktor Zug Duktiler Werkstoff: Fließen: Re oder Rp0. Bruch: Rm SF = 1,...,0 SB =,0... 4,0 Spröder Werkstoff: Bruch: Rm SB = 4,0... 9,0 Druck Duktiler Werkstoff: Fließen: σdf Knickung: σk=fk/a SF = 1,...,0 SK =,5... 5,0 Spröder Werkstoff: Bruch: σdb Knickung: σk=fk/a SB = 4,0... 9,0 SK =,5... 5,0

53 Aufgaben Biegung Duktiler Werkstoff: Fließen: σbf SF = 1,...,0 Spröder Werkstoff: Bruch: σbb SB = 4,0... 9,0 Schub Duktiler Werkstoff: Bruch: τab SB =,0... 4,0 Spröder Werkstoff: Bruch: τab SB = 4,0... 9,0 Torsion Duktiler Werkstoff: Fließen: τtf Bruch: τtb SF = 1,...,0 SB =,0... 4,0 Spröder Werkstoff: Bruch: τtb SB = 4,0... 9,0 Tabelle 7.1: Werkstoffkennwerte und Sicherheitsfaktoren für die Grundbelastungsarten /Läpple08, S.345/ 8 Aufgaben 8.1 Zug Aufgabe 1 Ein Zugstab aus Vergütungsstahl 34CrMo4 mit Kreisringquerschnitt (da = 5 mm, s =,5 mm) und einer Länge von l0 = 1, m (im unbelasteten Zustand) wird durch eine mittig angreifende statische Kraft von F = 60 kn auf Zug beansprucht.

54 Aufgaben Bild 8.1: Zugstab /LÄPPLE08, S.17/ Werkstoffkennwerte 34CrMo4: Rp0, = 680 N/mm, Rm = 1050 N/mm, E = N/mm, μ = 0,30 a) Ermitteln Sie die Normalspannung im Zugstab. b) Berechnen Sie die Sicherheiten gegen Fließen (SF) und gegen Bruch (SB). Sind die Sicherheiten ausreichend? c) Bestimmen Sie die Verlängerung l des Zugstabes bei der angegebenen Belastung. d) Die Verringerung des Außendurchmessers ( da) soll auf 0,01 mm begrenzt werden. Ermitteln Sie für diesen Fall den zulässigen Wert der Zugkraft F. e) Eine zweite Variante des Zugstabes aus derselben Stahlsorte (34CrMo4) soll eine Zugkraft von F* = 150 kn aufnehmen. Berechnen Sie die erforderliche Wandstärke s, falls der Außendurchmesser unverändert bleiben soll (da = 5 mm) und eine Sicherheit von SF = 1,4 gegenüber Fließen gefordert wird. /Läpple08, S.17/

55 Aufgaben Aufgabe Ein Wassertank ist an vier Stahlbändern aus S75JR befestigt (siehe Bild). Die Masse des leeren Tanks beträgt ml = 000 kg, die des gefüllten Tanks mv = 3600 kg (g = 9,81 m/s ). Die Stahlbänder haben eine Querschnittsfläche von 5 mm x 4 mm. Der Abstand der Stahlbänder vom linken und rechten Ende des Tankes beträgt jeweils a = 500 mm. Bild 8.: Wassertank mit Stahlbändern /LÄPPLE08, S.18/ Werkstoffkennwerte S75JR: Re = 65 N/mm, Rm = 470 N/mm, E = N/mm, μ = 0,30 a) Berechnen Sie die Spannung in den Bändern bei leerem und bei vollem Tank. b) Ermitteln Sie bei vollem Wassertank die Sicherheiten der Bänder gegen Versagen. Sind die Sicherheiten ausreichend? c) Um welchen Betrag l senkt sich der Tank beim Befüllen, falls die Länge der Bänder bei leerem Tank l0 = 1,5 m beträgt? /Läpple08, S.18/

56 Aufgaben Druck Aufgabe 3 Eine Stahlstütze aus Werkstoff S35JR mit Kreisringquerschnitt soll eine axiale Druckkraft von F = 10 kn aufnehmen. Die Stütze hat die Länge l0 = 1600 mm und einen Außendurchmesser von da = 100 mm. Bild 8.3: Stahlstütze /LÄPPLE08, S.6/ Werkstoffkennwerte S35JR: Re = 35 N/mm, Rm = 390 N/mm, E = N/mm a) Auf welche Weise kann die Stütze versagen? b) Berechnen Sie die mindestens erforderliche Wandstärke s, damit die Druckkraft F mit Sicherheit (SF = 1,5) aufgenommen werden kann (Berechnung nur gegen Fließen). c) Um welchen Betrag l verkürzt sich die Stütze für die in Teil b) errechnete Wandstärke unter Wirkung der Druckkraft von F = 10 kn? /Läpple08, S.6/

57 Aufgaben Aufgabe 4 Bild 8.4 zeigt eine einfache hydraulische Hebevorrichtung. Die maximale Belastung der Hebevorrichtung soll m = kg betragen (g = 9,81 m/s ). Die Kolbenstange wurde aus Vergütungsstahl C60E gefertigt. Eine mögliche Knickung der Kolbenstange soll nicht betrachtet werden. Bild 8.4: Stahlstütze /LÄPPLE08, S.6/ Werkstoffkennwerte C60E (vergütet): Rp0, = 580 N/mm, Rm = 950 N/mm, E = N/mm, μ = 0,30 a) Berechnen Sie den erforderlichen Durchmesser d der Kolbenstange (Vollkreisquerschnitt), damit Fließen mit Sicherheit (SF = 1,0) ausgeschlossen werden kann. b) Ermitteln Sie die Verkürzung l der Kolbenstange bei einer Belastung von m = kg und dem in Teil a) berechneten Durchmesser d (Länge im unbelasteten Zustand l0 = 1,5 m). c) Bei einer anderen Ausführung der Kolbenstange wird ein Durchmesser von d1 = 80 mm gewählt (Vollkreisquerschnitt). Berechnen Sie die maximale Belastbar-

58 Aufgaben keit m* der Hebevorrichtung, falls die Durchmesservergrößerung der Kolbenstange maximal 0,015 mm betragen darf. /Läpple08, S.6/ 8.1 Knickung Aufgabe 5 Ein beidseitig gelenkig gelagerter Profilstab aus dem Vergütungsstahl C mit einer Länge von l = m und einer quadratischen Querschnittsfläche (a = 50 mm) wird durch die im Flächenschwerpunkt angreifende, statisch wirkende Druckkraft Fd = 50 kn mittig beansprucht. Bild 8.5: Profilstab /LÄPPLE08, S.166/ Werkstoffkennwerte C (vergütet): Rp0, = 30 N/mm, Rm = 460 N/mm, E = N/mm, μ = 0,30 Berechnen Sie die Knickkraft FK sowie die Sicherheit gegen Knickung (SK) und gegen Fließen (SF). /LÄPPLE08, S.166/

59 Aufgaben Aufgabe 6 Für ein Baugerüst werden Rohrstützen aus S35JR (Re = 40 N/mm ; Rm = 40 N/mm und E = N/mm ) verwendet. Die Länge der Stützen beträgt l = 3,50 m, der Außendurchmesser da = 60 mm und die Wandstärke s = 5 mm. Die Stützen werden statisch auf Druck beansprucht und sind so eingebaut, dass beide Enden als fest eingespannt betrachtet werden können (SF = 1,5; SK = 4,0). Bild 8.6: Rohrstütze /LÄPPLE08, S.170/ a) Berechnen Sie ist die zulässige Druckkraft Fd auf die Rohrstütze. b) Ermitteln Sie die Verkürzung l der Rohrstütze für die zulässige Belastung aus Aufgabenteil a). 8. Schub Aufgabe 7 Über eine einfache Laschenverbindung aus unlegiertem Baustahl E95 (Re = 95 N/mm ; Rm = 490 N/mm ; τab = 150 N/mm ) soll eine Kraft von F = 35 kn übertragen werden.

60 Aufgaben Bild 8.7: Laschenverbindung /LÄPPLE08, S.48/ a) Ermitteln Sie den Durchmesser d des Bolzens, damit eine sichere Kraftübertragung erfolgen kann (SB =,0). b) Bestimmen Sie für den Bolzen gemäß Aufgabenteil a) die maximale Biegespannung σb. Zwischen Bolzen und Laschen soll dabei ausreichend Spiel bestehen. Das Maß b soll 0 mm betragen. c) Berechnen Sie die maximale Flächenpressung p in der Laschenverbindung. /LÄPPLE08, S.48/ Aufgabe 8 Bild 8.8 zeigt die einschnittige Nietverbindung zweier Stahlbleche. Als Nietwerkstoff wurde die Aluminium-Legierung EN AW-Al Zn5Mg3Cu-T6 gewählt. Die Scherfestigkeit der Legierung beträgt τab= 380 N/mm. Bild 8.8: Nietverbindung /LÄPPLE08, S.49/

61 Aufgaben Berechnen Sie den mindestens erforderlichen Durchmesser d des Niets, damit eine Kraft von FZ = 50 kn mit Sicherheit (SB = 3,0) übertragen werden kann. Kerbwirkung und Biegeanteile sollen vernachlässigt werden. /LÄPPLE08, S.49/ 8.3 Biegung Aufgabe 9 Der dargestellte Kastenträger aus Werkstoff S75JR ist beidseitig gelenkig gelagert und wird durch die statisch wirkende Kraft F = 5 kn auf Biegung beansprucht. Das Eigengewicht des Trägers sowie Schubspannungen durch Querkräfte sollen vernachlässigt werden. Bild 8.9: Stahlstütze /LÄPPLE08, S.39/ Werkstoffkennwerte S75JR: Re = 75 N/mm, Rm = 540 N/mm, E = N/mm, μ = 0,30 Berechnen Sie die mindestens erforderliche Wandstärke s, damit Fließen mit Sicherheit (SF = 1,5) ausgeschlossen werden kann. /LÄPPLE08, S.39/

62 Aufgaben Aufgabe 10 Bild 8.10 zeigt die Querschnittsfläche einen Profilstabes. Sie entspricht einem gleichschenkligen Dreieck mit der Höhe h und der Breite b. Bild 8.10: Querschnitt des Profilstabs /LÄPPLE08, S.41/ a) Berechnen Sie das axiale Flächenmoment. Ordnung (Iy) sowie das axiale Widerstandsmoment (Wby) bezüglich der y-achse (Achse durch den Flächenschwerpunkt S ). b) Ermitteln Sie das axiale Flächenmoment. Ordnung (Iy) und das axiale Widerstandsmoment (Wby) für ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge b. c) Berechnen Sie die Werte für Iy und Wby für den Fall eines gleichschenkligen Dreiecks, jedoch bezüglich der y -Achse (siehe Bild). /LÄPPLE08, S.41/ 8.4 Torsion mit kreisförmigem Querschnitt Aufgabe 11 Ein Rohr aus Werkstoff S75JR mit einem Außendurchmesser da = 50 mm und einer Wandstärke von s = 6 mm wird durch ein Torsionsmoment Mt statisch beansprucht.

63 Aufgaben Bild 8.11: Querschnitt des Profilstabs /LÄPPLE08, S.57/ Werkstoffkennwerte S75JR: Re = 95 N/mm, E = N/mm, Rm = 490 N/mm, μ = 0,30 Ermitteln Sie das zulässige Torsionsmoment, damit ein Versagen mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann (SF = 1, und SB =,0). /LÄPPLE08, S.57/ Aufgabe 1 Berechnen Sie das polare Flächenmoment. Ordnung (Ip) sowie das Widerstandsmoment gegen Torsion (Wt): a) für einen Vollkreisquerschnitt mit Durchmesser d, b) für einen Kreisringquerschnitt mit Außendurchmesser da und Innendurchmesser di. Bild 8.1: Querschnitt des Profilstabs /LÄPPLE08, S.58/ /LÄPPLE08, S.58/

64 Aufgaben Torsion mit beliebigem Querschnitt Aufgabe 13 Der dargestellte Kastenträger aus dem unlegierten Baustahl S35JR (Re = 40 N/mm ; Rm = 440 N/mm ) hat einen dünnwandigen Rechteckquerschnitt und wird durch das Torsionsmoment Mt = 500 Nm um die Stabachse statisch beansprucht. Bild 8.13: Katenträger /LÄPPLE08, S.06/ Berechnen Sie das Maß a, damit Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann. /LÄPPLE08, S.06/ Aufgabe 14 Das dargestellte dünnwandige, geschlossene Trapezprofil aus EN AW-Al Zn5Mg3Cu -T6 (Rp0, = 500 N/mm ; Rm = 680 N/mm ) wird durch das statisch wirkende Torsionsmoment Mt = 50 knm um die Stabachse beansprucht.

65 Aufgaben Bild 8.14: Trapezprofil /LÄPPLE08, S.06/ Berechnen Sie das Maß a, damit Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann. /LÄPPLE08, S.06/ 8. Flächenpressung Aufgabe 15 Die skizzierte Lagerung einer Seilrolle wird mit F = 18 kn belastet. Der Bolzendurchmesser wurde vom Konstrukteur mit d = 30 mm angenommen, die Blechdicke beträgt s = 6 mm. Bild 8.15: Lagerung /BÖGE09, 717/

66 Aufgaben Gesucht: a) die Traglänge l des Rollenbolzens für eine zulässige Flächenpressung von 10 N/mm, b) die Flächenpressung zwischen Rollenbolzen und Lagerblech. /BÖGE09, 717/ Aufgabe 16 Der skizzierte Wellenzapfen mit d = 40 mm Durchmesser stützt sich mit seiner Schulter auf der Lagerstirnseite ab, die Kraft F beträgt 8 kn. Gesucht ist der erforderliche Durchmesser D, wenn die Flächenpressung zwischen Lager und Zapfenschulter 6 N/mm nicht überschreiten soll. Bild 8.16: Lagerung /BÖGE09, 718/ /BÖGE09, 718/ 8.3 Festigkeitshypothesen Aufgabe 17 Ein Rundstab aus der Gusseisensorte EN-GJL-300 mit einem Durchmesser von d = 30 mm (Vollkreisquerschnitt) wird durch die statisch wirkende Längskraft F1 = 50 kn und das statische Torsionsmoment Mt1 = 450 Nm belastet. Die Zugfestigkeit des Werkstoffs beträgt Rm = 370 N/mm.

67 Aufgaben Bild 8.17: Rundstab /LÄPPLE08, S.130/ a) Ermitteln Sie die höchst beanspruchten Stellen im Stabquerschnitt. b) Berechnen Sie die Zugspannung σx im Stabquerschnitt. c) Ermitteln Sie die maximale Schubspannung τxy im Stabquerschnitt. d) Charakterisieren Sie den Spannungszustand an der höchst beanspruchten Stelle, indem Sie den Mohrschen Spannungskreis skizzieren (qualitativ). e) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Versagen. Ist die Sicherheit ausreichend? f) Berechnen Sie die statische Längskraft F, die bei gleichbleibendem, statisch wirkendem Torsionsmoment Mt1 = 450 Nm zu einem Bruch des Rundstabes führt. g) Ermitteln Sie das statische Torsionsmoment Mt, welches bei gleichbleibender, statisch wirkender Längskraft F1 = 50 kn zum Bruch führt. h) Ermitteln Sie die Kurvengleichung aller σ-τ-kombinationen, die zu einem Bruch des Stabes führen würden. Zeichnen Sie diese Kurve in das σ-τ- Koordinatensystem aus Abschnitt d) ein. /LÄPPLE08, S.130/ Aufgabe 18 Zwei identische Stäbe mit Vollkreisquerschnitt werden mit einem stetig zunehmenden Torsionsmoment Mt bis zum Bruch belastet. Der linke Stab wurde aus dem unlegierten Baustahl S75JR gefertigt, der rechte Stab hingegen aus der Gusseisensorte EN-GJL-50. Zeichnen Sie den zu erwartenden Bruchverlauf in

68 Aufgaben die Abbildung ein und erklären Sie mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises und der in Betracht kommenden Festigkeitshypothese die unterschiedlichen Bruchformen. Bild 8.18: Zwei identische Stäbe /LÄPPLE08, S.135/ /LÄPPLE08, S.135/ 8.4 Dünnwandige Behälter unter Innen- und Außendruck Aufgabe 19 Ein Hochdruck-Hydraulikzylinder (Außendurchmesser da = 50 mm; Wandstärke s =,5 mm) aus 4CrMo4 ist für einen maximalen statischen Innendruck von pi = 5 MPa ausgelegt. Berechnen Sie die Spannungskomponenten in der Zylinderwand. /LÄPPLE08, S.34/ Aufgabe 0 Ein Druckspeichergefäß mit einem Innendurchmesser von di = 150 mm und einer Wandstärke von s = 10 mm soll in eine hydraulische Anlage eingebaut werden.

69 Aufgaben Bild 8.19: Druckspeichergefäß /LÄPPLE08, S.34/ Werkstoffkennwerte P95GH: Re = 310 N/mm, Rm = 550 N/mm, E = N/mm, μ = 0,30 Werkstoffkennwerte EN-GJL-00: Rm = 00 N/mm, E = N/mm, μ = 0,5 a) Berechnen Sie den zulässigen statischen Innendruck pi, falls der Zylinder aus: 1. der unlegierten Baustahlsorte P95GH (Berechnung gegen Fließen; SF = 1,5). der Graugusssorte EN-GJL-00 (Berechnung gegen Bruch; SB = 4,0) gefertigt werden soll. b) Ermitteln Sie für beide Werkstoffvarianten jeweils die mittlere Aufweitung des Behälters, d. h. die Vergrößerung des mittleren Behälterdurchmessers. /LÄPPLE08, S.34/

70 Lösungen Lösungen 9.1 Zug Aufgabe 1 a) σ = 339,53 N/mm b) SF =,00 (ausreichend, da SF > 1,0), SB = 3,09 (ausreichend, da SB >,0) c) l = 1,96 mm d) F = N 49 kn e) s = 4,89 mm Aufgabe a) d = 8,9 mm (Berechnung gegen Fließen) b) ε = 1,37, l =,05 mm c) FB = N 9.1 Druck Aufgabe 3 a) Fließen oder Knickung b) s =,5 mm c) l = 1,19 mm Aufgabe 4 a) d = 8,7 mm b) l = 3,45 mm c) m* = 1065 kg

71 Lösungen Knickung Aufgabe 5 FK = 6987 N SK = 5,40 (ausreichend, da SK >,50) SF = 16 (ausreichend, da SF > 1,0) Aufgabe 6 a) Fließen: F = 138, kn, Knickung: F = 55,73 kn, zulässige Druckkraft: Fd = 55,73 kn b) l = -1,075 mm 9.3 Schub Aufgabe 7 a) d = 17,4 mm b) σb = 696, N/mm (> Re) c) p = 101,5 N/mm Aufgabe 8 d =,4 mm 9.4 Biegung Aufgabe 9 s = 15,3 mm Aufgabe 10 a) I y b h³, 36 W by b h 4

72 Lösungen b) 4 b I y, b W by 3 c) I y ' 3 b h, 1 W by ' b h Torsion mit kreisförmigem Querschnitt Aufgabe 11 Mt = 010 Nm Aufgabe 1 a) I p 4, 3 d W t 16 d b) I p ( d a di ), 3 W t d 16 4 a d d a 4 i 9.6 Torsion mit beliebigem Querschnitt Aufgabe 13 a = 5 mm Aufgabe 14 a = 171 mm 9.7 Flächenpressung Aufgabe 15 F 18000N a) lerf 60mm d p N zul 30mm 10 mm²

73 Lösungen b) p vorh F A proj F 18000N N 50 d s 30mm 6mm mm² Aufgabe 16 p FN A 4 F 4 F D² d ² D² d ² => 4 F D² d² p D 4 F p d² N N 6 mm² 40mm² 57, mm erf 4 zul, ausgeführt: D = 58 mm 9.8 Festigkeitshypothesen Aufgabe 17 a) Die höchst beanspruchten Stellen befinden sich an der Außenoberfläche, da die Torsionsschubspannung τt nach außen hin linear zunimmt. b) σx = σz = 70,7 N/mm c) τxy = τt = 84,9 N/mm d) Bild 9.1: Lageplan und Mohrscher Spannungskreis /LÄPPLE08, S.344/

74 Lösungen e) SB =,91 (nicht ausreichend, da SB < 4,0) f) F = 47,8 kn g) Mt = 1764,1 Nm h) ) R ( R ), Grenzlinie siehe Aufgabenteil d) t ( z m m z Aufgabe 18 Der unlegierte (allgemeine) Baustahl S35JR ist ein duktiler Werkstoff. Das Versagen erfolgt durch einen (duktilen) Verformungsbruch nach vorausgegangener plastischer Verformung. Die plastische Verformung infolge von Versetzungsbewegungen, findet bevorzugt in Ebenen mit der größten Schubspannung statt. Aus dem Mohrschen Spannungskreis ist ersichtlich, dass bei reiner Torsionsbeanspruchung die Ebenen mit der größten Schubbeanspruchung die x- bzw. y- Achse als Normale besitzen (Bildpunkte Px und Py im Mohrschen Spannungskreis). Ein Bruch ist demzufolge in diesen Ebenen zu erwarten. Bild 9.: Bruchverlauf 1 /LÄPPLE08, S.347/ Die Graugusssorte EN-GJL-50 ist ein spröder Werkstoff. Das Versagen erfolgt durch einen (spröden) Trennbruch. Derartige Trennbrüche verlaufen stets senkrecht zur größten Normalspannung. Aus dem Mohrschen Spannungskreis ist ersichtlich, dass bei reiner Torsionsbeanspruchung diese Ebenen die x - bzw. y - Achse als Normale besitzen (Bildpunkte Px und Py im Mohrschen Spannungskreis). Ein Bruch ist demzufolge in Ebenen, die um 45 zur Längsachse gedreht sind, zu erwarten.