Baustatik I+II Sessionsprüfung. ( und ) Sommer Freitag, 11. August 2017, Uhr, HPH G 1/ HPH G 2.

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1 Baustatik I+II Sessionsprüfung ( und ) Sommer 2017 Freitag, 11. August 2017, Uhr, HPH G 1/ HPH G 2 Name, Vorname: Studenten-Nr.: Bemerkungen 1. Die Aufgaben dürfen in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. 2. Der Lösungsweg der Aufgaben muss klar ersichtlich sein. Resultate ohne zugehörigen Lösungsweg werden nicht bewertet. 3. Für jede Aufgabe ist der entsprechende Papierbogen A3 zu verwenden. Notizen in der Aufgabenstellung werden bei der Bewertung nicht berücksichtigt. 4. Alle ausgeteilten Unterlagen (Aufgabenstellung und alle Papierbögen A3) sind nach Prüfungsende mit Namen und Studenten-Nr. versehen abzugeben. 5. Die Eigenlasten der Strukturen sind zu vernachlässigen. 6. Hilfsmittel: 10 Seiten selbständig handschriftlich verfasste Zusammenfassung, einfacher Taschenrechner gemäss den Richtlinien des D-BAUG, Schreibzeug, Zirkel und Lineal. 7. Eine Integrationstabelle liegt der Aufgabenstellung bei. 8. Vorzeichenkonvention: Sommer 2017 Seite 1/10

2 Aufgabe 1 (11.5 Punkte) Das statische System und die Belastung sind in Bild 1 (a) in einer axonometrischen Darstellung und in Bild 1 (b) im Grundriss dargestellt. Das System besteht aus neun Stäben mit der Biegesteifigkeit EI. Das System kann als dehnund schubstarr modelliert werden (EA, GA V ). Die Stäbe AE und EH, die Stäbe EF und FB, und die Stäbe FG und GC sind jeweils biegesteif miteinander verbunden. Alle anderen Verbindungen sind als Gelenke zu betrachten. Das System ist in Punkt A und C in X-Richtung, und in Punkt B in Y-Richtung verschieblich gelagert. In Punkt D ist das System unverschieblich gelagert. In Punkt E greift eine Einzellast Q an, welche in der X-Y-Ebene unter dem Winkel von п/4 bezüglich der globalen X-Achse wirkt. Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Zeigen Sie wie die Deckenscheibe in der horizontalen Ebene gelagert ist. Zeichnen Sie die Lagerung in die Vorlage ein. b) Bestimmen Sie die Lagerkräfte. c) Bestimmen Sie die Schnittgrössenverläufe. d) Wie gross muss die Biegesteifigkeit EI mindestens betragen, sodass die Verschiebung in globaler X-Richtung in Punkt E den Betrag von 1/100 l nicht überschreitet? Geben Sie das Resultat in Funktion von Q und l an. Für die Teilaufgaben e), f) und g) weisen die Stäbe den Kreisquerschnitt in Bild 1 (c) auf. Es kann von einem linear elastisch ideal plastischen Werkstoffverhalten (Fliessgrenze f y) ausgegangen werden. Die Schubspannungen, welche aus der Querkraft entstehen, können vernachlässigt werden. e) An welchen Punkten des Systems in Bild 1 (a) wird die Fliessgrenze des Materials (Fliessen der ersten Faser des Querschnitts) zuerst erreicht? Bestimmen Sie die zugehörige Last Q y. Geben Sie das Resultat in Funktion von f y und r an. Verwenden Sie: r 1/10l f) Kann die Last nach Erreichen von Q y weiter gesteigert werden? Begründen Sie die Antwort ohne Rechnung mit einem Satz. g) Würden Sie die Verbindung zwischen den Stäben FG und GC auch gelenkig ausführen? Begründen Sie die Antwort mit einem Satz. Berücksichtigen Sie, dass die Last Q auch in den Punkten H, F und G angreifen kann. In der letzten Teilaufgabe ist der Querschnitt unabhängig vom statischen System zu analysieren. Der Formfaktor f wird als Verhältnis des plastischen Biegewiderstandes zum elastischen Biegewiderstand definiert (N=0). h) Bestimmen Sie den Formfaktor f M plastisch / M für den Querschnitt in Bild 1 (c). elastisch Hinweis: Der Schwerpunkt einer halben Kreisscheibe ist in Bild 1 (d) angegeben. Sommer 2017 Seite 2/10

3 Bild 1: Räumliche Struktur: (a) axonometrische Darstellung mit Belastung; (b) Grundriss mit Belastung; (c) Querschnitt für die Teilaufgaben e), f) und g); (d) Schwerpunkt einer halben Kreisscheibe. Sommer 2017 Seite 3/10

4 Aufgabe 2 (9.5 Punkte) Bild 2: Fachwerk: (a) ideales Fachwerk mit vertikaler Belastung; (b) ideales Fachwerk mit Vorspannung. Der in Bild 2 (a) dargestellte Träger ist als ideales Fachwerk ausgebildet. An den Knoten 3 und 5 greift je eine Einzellast vom Betrag Q an. Nutzen Sie zum Lösen der Aufgaben die Vorlagen auf dem Lösungsbogen. Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Bestimmen Sie die Stabkräfte des Systems in Bild 2 (a). Sie können die Stabkräfte bezüglich ihren vertikalen und horizontalen Komponenten angeben. b) Bestimmen Sie die vertikale Verschiebung u in Punkt 6 des Systems in Bild 2 (a). Die resultierende vertikale Verschiebung ist zu gross. Deshalb sollen zwei verschiedene Massnahmen untersucht werden, um die vertikale Verschiebung in Punkt 6 um u zu reduzieren. Verwenden Sie: u 1/10l c) Variante 1: Der auskragende Teil des Obergurtes soll vorgespannt werden. Die Einwirkung der Vorspannung ist in Bild 2 (b) dargestellt. Bestimmen Sie H, sodass sich die totale vertikale Verschiebung um u vermindert. d) Variante 2: Der Stab 1-7 soll verkürzt eingebaut werden. Um wieviel müssen Sie den Stab 1-7 verkürzen, sodass sich die totale vertikale Verschiebung um u vermindert? Sommer 2017 Seite 4/10

5 Aufgabe 3 (9.5 Punkte) Bild 3: Räumliche Struktur: (a) axonometrische Darstellung mit Belastung; (b) Träger für die Teilaufgaben c) und d). Das statische System und die Belastung sind in Bild 3 (a) dargestellt. Das System besteht aus den Stäben AB und BC und dem Pendelstab CD. Die Stäbe AB und BC besitzen die Biegesteifigkeit EI und die Torsionssteifigkeit GK. Alle Stäbe können als dehn- und schubstarr modelliert werden (EA, GA V ). Die Stäbe AB und BC sind starr miteinander verbunden. Die Verbindung der Stäbe BC und CD ist gelenkig ausgeführt. Das System ist in Punkt A eingespannt und in Punkt D gelenkig gelagert. Auf den Stab BC wirkt eine gleichmässig verteilte Belastung q. Verwenden Sie: GK 3/ 4EI. Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Bestimmen Sie die Schnittgrössenverläufe infolge der gleichmässig verteilten Belastung q. b) Der Stab CD soll um l verkürzt eingebaut werden. Wie gross muss l betragen, sodass der Stab AB unter der Belastung q keine Torsion erfährt? Geben Sie das Resultat in Funktion von q, l und EI an. Für die Teilaufgaben c) und d) ist anzunehmen, dass das System mit dem I-Profil in Bild 3 (b) ausgeführt wird. Sie können von einem linear elastischen Werkstoffverhalten mit den folgenden Materialparametern ausgehen: E 210GPa G 83GPa c) Wie beurteilen Sie die Modellbildung in Teil a) und b) für diese Profil- und Materialwahl? Kommentieren Sie, indem Sie EI und GK berechnen. Geben Sie die Werte für EI und GK numerisch an. Berücksichtigen Sie nur die St. Venant-Torsion! d) Um wieviel vergrössert sich das maximale positive Feldmoment in Stab BC im Vergleich zum Resultat aus Teilaufgabe a)? Bestimmen Sie ohne grossen Rechenaufwand! Sommer 2017 Seite 5/10

6 Aufgabe 4 (11.5 Punkte) Das in Bild 4 (a) dargestellte System besteht aus starr miteinander verbundenen Stäben und ist in den Knoten A, B, C und D eingespannt. Alle Stäbe besitzen die Biegesteifigkeit EI. Die Last q wirkt gleichmässig verteilt über alle Stäbe. Das System in Bild 4 (c) stellt einen temporären Zustand des Systems (Bauzustand) dar. In diesem Zustand wird das System zusätzlich in Stabmitte von AE, EB, CE und DE mit Pendelstäben gestützt. Für alle Elemente gilt, dass die Normal- und Querkräfte nicht verformungswirksam sind (EA, GA V ). In den Teilaufgaben a), b) und c) ist das System in Bild 4 (a) zu untersuchen: a) Zeichnen Sie qualitativ die Verformungsfigur. b) Bestimmen Sie die Schnittgrössenverläufe. c) Bestimmen Sie die Verschiebung v in Z-Richtung in Punkt E. In Teilaufgabe d) ist das System in Bild 4 (b) zu untersuchen: d) In den Punkten A, B, C und D soll gemäss Bild 4 (b) eine betragsmässig gleichgrosse Verdrehung φ aufgebracht werden. Wie gross muss der Betrag von φ sein, sodass v aus Teilaufgabe c) kompensiert werden kann? In den Teilaufgaben d) und e) ist der Bauzustand in Bild 4 (c) zu untersuchen: e) Bestimmen Sie qualitativ die Einflusslinie für das negative Moment im Bezugspunkt i. Der Bezugspunkt i befindet sich in Stabmitte von DE. f) Geben Sie die Lastanordnung an, sodass das negative Moment in i maximal wird. In Teilaufgabe g) ist das System in Bild 4 (a) zu untersuchen: g) Bestimmen Sie die Biegelinie w(u) für den Stab DE infolge der gleichmässig verteilten Belastung in analytischer Form. Hinweis: Verwenden Sie die Lösung aus Teilaufgabe b) und die Differentialbeziehung w''( u) M( u) / EI. Sommer 2017 Seite 6/10

7 Bild 4: Räumliche Struktur: (a) Endzustand: axonometrische Darstellung mit gleichmässig verteilter Belastung q; (b) Endzustand: axonometrische Darstellung mit Verdrehung φ; (c) Bauzustand: axonometrische Darstellung mit temporären Stützen in Stabmitte. Sommer 2017 Seite 7/10

8 Aufgabe 5 (10.5 Punkte) Bild 5: Rahmenkonstruktion: (a) statisches System mit horizontaler Belastung; (b) Querkraftgelenk; (c) Verhalten des Querkraftgelenks für die Teilaufgaben c), d) und e). Der in Bild 5 (a) dargestellte symmetrische Rahmen besteht aus den Dreiecken ABC und DEF, welche mit einem Zwischenelement CD miteinander verbunden sind. Das linke Dreieck besteht aus den Stäben AB und BC, welche im Punkt B biegesteif miteinander verbunden sind, und dem Pendelstab AC. Das Zwischenelement CD besitzt einen kleineren Biegewiderstand. Gehen Sie von einem starr-ideal plastischen Werkstoffverhalten mit folgenden Widerständen aus: Stäbe AB, BC, DE und EF: Biegewiderstand: ±2M u Querkraftwiderstand: V u ± Normalkraftwiderstand: N u ± Pendelstäbe AC und DF: Normalkraftwiderstand: N 5 Zwischenelement CD: Biegewiderstand: ±M u Querkraftwiderstand: V u ± Normalkraftwiderstand: N u ± u M u l Sommer 2017 Seite 8/10

9 Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Bestimmen Sie die Anzahl der Grundmechanismen. b) Bestimmen Sie zwei mögliche Mechanismen deren oberer Grenzwert endlich ist. Geben Sie die zugehörigen oberen Grenzwerte der Traglast in Funktion von M u und l an. Nach einer Zustandsuntersuchung empfiehlt der Prüfingenieur die Querkrafttragfähigkeit sowie das Verformungsvermögen des Zwischenelementes anzupassen. Die empfohlene Modellierung ist in Bild 5 (c) gegeben. Der Querkraftwiderstand des Zwischenelementes CD beträgt V u = 2 M u/l und die Verformung im Querkraftgelenk im Bruchzustand beträgt u=1/10 l. Das Querkraftgelenk kann gemäss Bild 5 (b) modelliert werden. In den Teilaufgaben c), d) und e) sind die Empfehlungen des Prüfingenieurs zu verwenden. c) Finden Sie die Traglast H u des Systems. Bestimmen Sie zuerst einen oberen Grenzwert und kontrollieren Sie diesen mit der Plastizitätskontrolle. d) Zeichnen Sie das H-w-Diagramm. Geben Sie die maximal zulässige horizontale Verformung in B an. Verwenden Sie [M u/l] auf der y-achse und [1/10 l] auf der x-achse. e) Bestimmen Sie die Arbeit, die bis zum Erreichen des Bruchzustandes dissipiert wird. In welche Energieform wird diese Arbeit umgewandelt? Sommer 2017 Seite 9/10

10 Aufgabe 6 (7.5 Punkte) Bild 6: (a) statisches System I; (b) statisches System II; (c) Werkstoffverhalten der Drehfeder. Das in Bild 6 (a) dargestellte System besteht aus zwei Stäben. Der Stab AB besitzt die Länge 1/4 l und die Biegesteifigkeit EI. Der Stab BC besitzt die Länge 3/4 l und die Biegesteifigkeit 3EI. Die Dehn- und Schubsteifigkeit beider Stäbe kann als unendlich gross betrachtet werden (EA, GA V ). Die Stäbe sind in Punkt B gelenkig miteinander verbunden. In Punkt A ist das System unverschieblich gelagert. Der Verdrehung in A wirkt eine Drehfeder entgegen. In Punkt C ist das System horizontal gehalten. Eine Einzellast Q wirkt in Punkt C. Das Momenten-Rotationsverhalten der Feder ist in Bild 6 (c) gegeben. Die Feder verhält sich starr bis der Tragwiderstand M u erreicht wird. Danach fällt der Widerstand auf einen Residualwert von 3/4M u ab. Die Normalkräfte dürfen am unverformten System bestimmt werden. In den Teilaufgaben a), b) und c) ist das System in Bild 6 (a) zu untersuchen. a) Bestimmen Sie eine Näherungslösung für die Eulerknicklast F cr für den Stab AB. Geben Sie das Resultat in Funktion von EI und l an. Sie dürfen davon ausgehen, dass der Tragwiderstand der Drehfeder nicht erreicht wird (k ). b) Handelt es sich beim in Teilaufgabe a) berechneten Wert um die Eulerknicklast des Systems? Falls nein, geben Sie diese an. c) Kontrollieren Sie, ob der Tragwiderstand der Feder erreicht wird. Verwenden Sie hierzu folgende numerische Werte: w0 1 /100l l 5m Q 1000 kn 2 EI 1750 knm M 200kNm u In Teilaufgabe d) ist das System in Bild 6 (b) zu untersuchen. Sie dürfen davon ausgehen, dass der Tragwiderstand der Feder nicht erreicht wird (k ). d) Bestimmen Sie die Eulerknicklast F cr des Systems. e) Nennen Sie ein Phänomen, welches durch das in Bild 6 (c) dargestellte Verhalten abgebildet werden könnte. Sommer 2017 Seite 10/10