Ausblick. 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1

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Elsa Lichtenberg
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1 Ausblick 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1

2 1. Lineare dynamische Analysen Beschleunigungen: Bei linearen dynamischen Analysen hängen die Knotenpunktsverschiebungen von der Zeit ab: [u t ] Beschleunigungen der Knotenpunkte: [ü t ] Trägheitskräfte: Für die Beschleunigungen innerhalb eines Elements gilt: [ ü e ]=[ü x ü y] =[ N E ] [ü E ] Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-2

3 1. Lineare dynamische Analysen Die Trägheitskraft pro Volumen ist [ f T e ]= [ N E ] [ü E ] Die zugehörigen Kräfte an den Knotenpunkten des Elements sind [ E f T Mit der Elementmassenmatrix gilt: [ f T E ]= [ m E ] [ü E ] ]= V E [ N E ] T [ N E ] dv [ü E ] [ m E ]= V E [ N E ] T [ N E ] dv Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-3

4 Assemblierung: 1. Lineare dynamische Analysen Die Elementmassenmatrizen werden zur Massenmatrix assembliert: [ M ]= E Dynamisches Gleichgewicht: [a E ] T [ m E ] [ a E ] Das dynamische Gleichgewicht am Gesamtsystem lautet: [ K ] [ u ]=[ F ] [ M ] [ ü ] [ M ] [ ü ] [ K ] [u ]=[ F ] Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-4

5 1. Lineare dynamische Analysen Dämpfungsmatrix: Zusätzlich können noch Dämpfungskräfte berücksichtigt werden: [ M ] [ü] [ K ] [u]=[ F ] [ F D ] Bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung gilt: [ F D ]= [ D ] [ u ] [ M ] [ ü ] [ D ] [ u ] [ K ] [u ]=[ F ] [ D ] Die Matrix wird als Dämpfungsmatrix bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-5

6 Analysen: 1. Lineare dynamische Analysen Freie ungedämpfte Schwingungen: Frei ungedämpfte Schwingungen sind Lösungen von Sie beschreiben das Verhalten der Struktur nach einer kleinen Störung. Der Lösungsansatz [ M ] [ü] [ K ] [u]= [0 ] [u t ]=[ x ] sin t führt auf das so genannte lineare Eigenwertproblem [ K ] [ x ]= 2 [ M ] [ x ] Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-6

7 1. Lineare dynamische Analysen f n = n /2 [ x n ] Die Lösung des Eigenwertproblems liefert die Eigenfrequenzen und die Eigenvektoren. Eigenfrequenzen und Eigenvektoren charakterisieren das dynamische Verhalten schwingender Strukturen. Transiente Analysen: Bei transienten Analysen wird aus der Gleichung [ M ] [ ü ] [ D ] [ u ] [ K ] [u]=[ F t ] mit einem numerischen Verfahren der zeitliche Verlauf der Verschiebung ermittelt. Daraus können die zeitlichen Verläufe aller anderen interessierenden Größen berechnet werden. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-7

8 1. Lineare dynamische Analysen Frequenzganganalysen: Bei Frequenzganganalysen wird der eingeschwungene Zustand für eine harmonische Anregung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ermittelt. Anregung: [ F t ]=[ F ] e i t Lösungsansatz: [u t ]=[ u ] e i t Der Lösungsansatz führt auf das komplexe Gleichungssystem 2 [ M ] i [ D ] [ K ] [ u ]=[ F ] Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-8

9 1. Lineare dynamische Analysen Daraus kann die komplexe Amplitude für jede Erregerfrequenz ermittelt werden. [ u ] Aus der komplexen Amplitude können die reelle Amplitude und die Phase bestimmt werden. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-9

10 2. Nichtlineare Analysen Arten von Nichtlinearitäten: Geometrische Nichtlinearitäten: Bei großen Verschiebungen oder großen Rotationen besteht eine nichtlineare Beziehung zwischen den Verschiebungen und den Dehnungen. Nichtlineares Material: Bei einem nichtlinearen Material besteht eine nichtlineare Beziehung zwischen den Dehnungen und den Spannungen. Gummi zeigt bei großen Dehnungen ein nichtlinearelastisches Verhalten. Bei Metallen tritt bei großen Dehnungen Plastifizierung auf. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-10

11 2. Nichtlineare Analysen Nichtlineare Randbedingungen: Die häufigste nichtlineare Randbedingung ist Kontakt. Elastische Kräfte: Bei geometrischen Nichtlinearitäten oder nichtlinearem Material besteht ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen den elastischen Kräften und den Verschiebungen: linear: nichtlinear: [ F E ]= [ K ] [u] [ F E ]=[ F E [u] ] Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-11

12 2. Nichtlineare Analysen Statische nichtlineare Analysen: Das nichtlineare Gleichungssystem wird iterativ gelöst. [ F E [ u ] ]=[ F ] Dynamische nichtlineare Analysen: Das gewöhnliche Differenzialgleichungssystem [ M ] [ ü ]=[ F ] [ F E [ u ], [ u ] ] wird mit einem geeigneten Zeitintegrationsverfahren gelöst. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-12

13 Explizite Verfahren: 2. Nichtlineare Analysen Die Beschleunigungen für den betrachteten Zeitschritt werden aus ermittelt. Geschwindigkeiten und Verschiebungen werden z.b. aus ermittelt. [ü n ]=[ M ] 1 [ F n ] [ F E [u n ], [ u n ] ] [ u n 1 ]=[ u n ] [ü n ] t und [u n 1 ]=[u n ] [ u n ] t 1 2 [ ü n ] t 2 Explizite Verfahren werden hauptsächlich zur Berechnung von hochdynamischen kurzzeitigen Vorgänge wie Crash eingesetzt. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-13

14 Implizite Verfahren: 2. Nichtlineare Analysen Bei impliziten Verfahren werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen durch Ansätze approximiert, die außer den bereits berechneten Verschiebungen zu früheren Zeitpunkten auch die Verschiebungen des gerade zu berechnenden Zeitpunkts enthalten. Für jeden Zeitschritt muss daher ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden. Bei impliziten Verfahren kann ein größerer Zeitschritt gewählt werden als bei expliziten Verfahren. Implizite Verfahren werden zur Berechnung von länger andauernden Vorgängen eingesetzt. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-14

15 Wärmeleitung: 3. Weitere Anwendungen Sowohl die stationäre als auch die instationäre Wärmeleitungsgleichung werden oft mit finiten Elementen gelöst. An die Stelle der Knotenpunktsverschiebungen treten die Temperaturen an den Knotenpunkten. Wenn die Wärmeleitungskoeffizienten oder die Wärmeübertragungskoeffizienten von der Temperatur abhängen oder Wärmestrahlung berücksichtigt wird, ergeben sich nichtlineare Gleichungen. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-15

16 3. Weitere Anwendungen Akustik: Die Schallausbreitung in einem Gas oder einer Flüssigkeit wird durch die Wellengleichung bzw. die Helmholtz-Gleichung beschrieben. Beides sind lineare partielle Differenzialgleichungen, die sich mit finiten Elementen lösen lassen. An die Stelle der Verschiebungen an den Knotenpunkten tritt der Schalldruck an den Knotenpunkten. Die akustischen Gleichungen lassen sich auch mit den Strukturgleichungen koppeln, um die Wechselwirkung des schalldrucks mit einer Struktur zu untersuchen. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-16

17 3. Weitere Anwendungen Aeroelastik: Die Luftkräfte, die an einem Flugzeug angreifen, hängen von der Verformung ab. Für kleine Verformungen lässt sich der Zusammenhang zwischen den Verformungen und den Luftkräften linearisieren. Die Linearisierung führt auf eine zusätzliche so genannte aerodynamische Steifigkeit. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-17

18 3. Weitere Anwendungen Statische aerodynamische Analysen: Statische aerodynamische Analysen dienen dazu, die Lasten auf ein Flugzeug für verschiedene ausgetrimmte stationäre Zustände zu ermitteln. Dynamische Analysen: Mit dynamischen aerodynamischen Analysen können die Lasten auf ein Flugzeug infolge von Böen oder Flugmanövern ermittelt werden. Flatteranalysen untersuchen, ob sich Schwingungen infolge der Interaktion mit den Luftkräften aufschaukeln können. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-18

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