1. Frequenzgehalt. Quadratischer Mittelwert:

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Marie Böhmer
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1 Quadratischer Mittelwert: 1. Frequenzgehalt Bei stationären Vorgängen ist der zeitliche Mittelwert des Schalldrucks null. Ein Maß für die Größe des Schalldrucks ist der quadratische Mittelwert: p = lim 1 / / p t dt Dabei ist ein willkürlich gewählter Zeitpunkt in der Mitte des Zeitintervalls, über das gemittelt wird. Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-1

2 - / + / Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-

3 Die Quadratwurzel aus dem quadratischen Mittelwert wird als Effektivwert bezeichnet: Beispiel: Reiner on p= p Bei einem reinen on hat der Schalldruck einen sinusförmigen zeitlichen Verlauf: p t = psin t Der quadratische Mittelwert berechnet sich zu p = lim p / / sin t dt Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-3

4 Das Integral berechnet sich zu / / sin t dt=[ 1 t 1 t=t 4 sin t c / ]t= / = sin / sin / 4 = cos sin Daraus folgt für den quadratischen Mittelwert: p = p lim 1 cos sin = 1 p Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-4

5 Für den Effektivwert folgt: 1. Frequenzgehalt p= p = p Beispiel: Überlagerung von zwei reinen önen Das Quadrat berechnet sich zu p t = p 1 sin 1 t 1 p sin t p t = p 1 sin 1 t 1 p sin t p 1 p sin 1 t 1 sin t Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-5

6 Für den quadratischen Mittelwert folgt: p = lim lim p 1 / / p 1 p sin 1 t 1 dt lim / / = p 1 p lim = p 1 p lim p / / sin 1 t 1 sin t dt p 1 p p 1 p / / / / sin t dt cos [ 1 t 1 ] dt cos [ 1 t 1 ] dt Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-6

7 Inkohärente Schalldrücke: 1. Frequenzgehalt Zwei Schalldrücke heißen inkohärent, wenn gilt: p 1 p =lim t 1 / / p 1 t p t dt=0 Für den quadratischen Mittelwert folgt daraus: p 1 p = p 1 p Zwei reine öne mit unterschiedlichen Frequenzen sind inkohärent. Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-7

8 Frequenzbänder: Der zeitliche Verlauf des Schalldrucks sei gegeben durch N p t = n=1 p n sin f n t n mit f 1 f f N. Das Frequenzintervall f f ok wird als k-tes Frequenzband bezeichnet. Der Beitrag des k-ten Frequenzbands zum Schalldruck ist p k t = f n f ok p n sin f n t n Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-8

9 Wenn der interessierende Frequenzbereich in zusammenhängende, nicht überlappende Frequenzbänder unterteilt wird, dann gilt: p t = p k t k Für den quadratischen Mittelwert folgt: N p = p n = n=1 k p k p k mit p k = f n f ok p n Der quadratische Mittelwert ist ein additives Maß für den Schall, der zu Frequenzen im k-ten Frequenzband gehört. Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-9

10 Proportionale Frequenzbänder: Die Höhendifferenz zweier onpaare (f a1, f a ) und (f b1, f b ) wird als gleich empfunden, wenn das Frequenzverhältnis gleich ist: f a1 = f b1 f a f b Das ist ein Beispiel für das Gesetz von Weber und Fechner, das besagt, dass die Empfindungsänderung ΔE proportional zum Verhältnis der Reizänderung ΔR zum Ausgangsreiz R ist: E~ R R Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik

11 Es ist daher üblich, Frequenzbänder so zu wählen, dass gilt. f ok =b=const. Solche Frequenzbänder werden als proportionale Frequenzbänder bezeichnet. Die Mittenfrequenz f mk ist definiert als geometrischer Mittelwert der unteren und der oberen Frequenz: f mk = f ok Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik

12 Für die Mittenfrequenz gilt: 1. Frequenzgehalt f mk = f ok Daraus folgt: = f ok = b, = 1 b f mk, f ok f mk = f ok = b f mk Für die Breite des Frequenzbands gilt: = f k = f ok f uk b 1 b f mk f ok f ok = f ok = b Die Breite eines proportionalen Frequenzbands ist proportional zu seiner Mittenfrequenz. Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik 1.1-1

13 Mit f ok = 1 folgt für das Verhältnis zweier Mittenfrequenzen: f mk 1 = f 1 ok 1 = f f ok ok 1 =b f mk f ok 1 Durch die Angabe einer Mittenfrequenz und der Proportionalitätskonstanten b sind proportionale Frequenzbänder eindeutig festgelegt. Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik

14 Oktav- und erzbänder: Für Oktavbänder gilt: Für erzbänder gilt: 1. Frequenzgehalt b= b= 3 =1,599 Eine Oktav ist also in drei erzen unterteilt. Beide Bänder sind so festgelegt, dass 1000Hz eine Mittenfrequenz ist. Die Bandgrenzen und die Mittenfrequenzen der erzen und Oktaven sind in DIN und DIN 4565 sowie in ANSI S (R1976) genormt. Dabei werden gerundete Werte verwendet. Prof. Dr. Wandinger 1. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik

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