Klassische Theoretische Physik III WS 2014/ Brewster-Winkel: (20 Punkte)

Transkript

1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Phsik III WS 204/205 Prof Dr A Shnirman Blatt 3 Dr B Narohn Lösung Brewster-Winkel: 20 Punkte In der Vorlesung wurde die Reflexion und die Transmission an der Grene wischen den wei linearen Medien ohne Dämpfung besprochen Der Brechungsindex des Mediums ist n und des Mediums 2 - n 2 Analsieren Sie den Fall der Polarisation der einfallenden Welle parallel ur Einfallsebene siehe Abbildung a Zeigen Sie dass die reflektierte und transmittierte Welle ebenfalls in der Einfallsebene die x--ebene in Abbildung polarisiert sind Die genaue elektrodnamische Randbedingungen lauten ɛ E = ɛ 2 E 2 E = E 2 B = B 2 µ B = µ 2 B 2 Wir betrachten die monochromatische ebene Wellen: die einfallende Welle E I = E 0I e i k I r ωt BI = [ e ki v ] E I die reflektierte Welle und die transmittierte Welle E R = E 0R e i k R r ωt BR = v [ e kr E R ] E T = E 0T e i k T r ωt BT = v 2 [ e kt E T ]

2 Alle drei Wellen weisen dieselbe Frequen ω auf Die drei Wellenahlen sind k I v = k R v = k T v 2 = ω k I = k R = v v 2 k T = n n 2 k T Da die Randbedingungen für alle Punkte der Ebene sowie jeden Zeitpunkt gelten müssen müssen die Exponentialfaktoren für = 0 gleich sind ki r = k R r = k T r wenn = 0 Deswegen k Ix = k Rx = k T x k I = k R = k T Für die Amplituden erhalten wir ɛ E0I + E 0R = ɛ E0T 2 E0I + E 0R x = E0T x B0I + B 0R wobei in jedem der Fälle B 0 = [ e k E v ] 0 gilt Wenn die einfallende Welle parallel polarisiert ist gilt E0I = B0I = B0I = 0 x = B0T B0I + B µ 0R = x B0T µ 2 x Dann bekommen wir B0R = µ x B0T µ 2 x Hier ist die gleiche Polariierung E0R B0R = B0T = E0T = 0 E0R = E0T eine natürliche Lösung Wenn wir sich eine andere Lösung vorstellen dann ergibt die Beiehung wischen B und E B 0T = ] [ e k E0T e x + E0T e + E0T e v 2 x = B0T e + E0T [ e x cos θ T + e sin θ T ] v 2 und B 0R = ] [ e k E0R e x + E0R e + E0R e v x = B0R e + E0R [ e x cos θ R + e sin θ R ] v

3 Damit kann man die wei Bedingungen B0R = µ x B0T µ 2 x cos θ R = cos θ T µ v µ 2 v 2 B0R = B0T sin θ R = sin θ T v v 2 gleicheitig nicht erfüllen Deswegen ist eine solche Lösung unmöglich b Finden Sie die reflektierten und transmittierten Amplituden des elektrischen Feld als Funktionen vom Einfallswinkel θ I Wenn die reflektierte und transmittierte Welle in der x--ebene polarisiert sind werden die Randbedingungen für die Amplituden ɛ E 0I sin θ I + E 0R sin θ R = ɛ 2 E 0T sin θ T E 0I + E 0R cos θ R = E 0T cos θ T E 0I E 0R = E 0T µ v µ 2 v 2 Zusammen mit dem Reflexions- und Brechungsgeset reduieren sich diese Gleichungen u E 0I + E 0R = αe 0T E 0I E 0R = βe 0T wobei β = µ v µ 2 v 2 = µ n µ 2 n 2 α = cos θ T Durch Lösen dieser Gleichungen für die reflektierten und transmittierten Amplituden erhalten wir E 0R = α β α + β E 0I E 0T = 2 α + β E 0I c Finden Sie einen Winkel θ B namens Brewster-Winkel bei dem die reflektierte Welle vollständig verschwindet Die reflektierte Welle verschwindet wenn Hier ist α eine Funktion von θ I : sin 2 θ T α = = α = β Lösen wir jett die Gleichung α = β und finden sin 2 θ B = n /n 2 2 sin 2 θ I β 2 n /n 2 2 β 2 Beim üblichen Fall ist µ µ 2 sodass β n 2 /n und sin 2 θ B β2 + β 2

4 daher gilt tan θ B n 2 n d Skiieren Sie die Verhältnisse E 0R /E 0I und E 0T /E 0I als Funktion von θ I Hier n = Luft n 2 = 5 Glas und die negative Werte bedeuten dass die Phase der Welle um 80 gegen den entfallenden Strahl verschoben ist Die Amplitude selbst ist der Absolutwert e Bestimmen Sie den Reflexionskoeffiient und den Transmissionskoeffiient für den Energiefluss Die Leistung pro Flächeneinheit die auf der Grenfläche auftrifft lautet S e Die auftreffende Intensität ist daher I I = 2 ɛ v E 2 0I während die reflektierte und transmittierte Intensität I R = 2 ɛ v E 2 0R cos θ R I T = 2 ɛ 2v 2 E 2 0T cos θ T beträgt Der Kosinus tritt auf weil wir hier die mittlere Leistung pro Flächeneinheit an der Grenfläche betrachten Die Grenfläche ist gegenüber der Wellenfront geneigt Die Reflexions- und Transmissionskoeffiienten lauten: R I R I I = E2 0R E 2 0I = 2 α β α + β T I T I I = ɛ v ɛ 2 v 2 cos θ T E 2 0T E 2 0I = 4αβ α + β 2

5 2 Elektromagnetische Wellen in Leitern: 0 Punkte a Zeigen Sie dass die Eindringtiefe in einem schlechten Leiter σ ωɛ unabhängig von der Frequen 2/σ ɛ/µ beträgt Bestimmen Sie die Eindringtiefe in Meter für reines Wasser Der Imaginärteil vom Wellenvektor ist [ ] /2 ɛµ κ = ω + σ2 ɛµ 2 ɛ 2 ω ω [ + σ ɛ 2 ω 2 ] /2 = σ 2 µ ɛ Die Eindringtiefe ist dann Für Wasser: d = κ 2 σ ɛ µ ɛ = 80ɛ 0 µ µ 0 σ = d = m b Zeigen Sie dass die Eindringtiefe in einem guten Leiter σ ωɛ λ/2π beträgt wobei λ die Wellenlänge im Inneren des Leiters darstellt Bestimmen Sie die Eindringtiefe in Nanometer für ein tpisches Metall im sichtbaren Bereich ω 0 5 /s unter der Annahme ɛ und µ Der Realteil vom Wellenvektor ist [ ] /2 ɛµ K = ω + σ2 2 ɛ 2 ω + κ 2 weil σ 2 /ɛω 2 jett dominiert Dann Im tpischen Metall λ = 2π k 2π κ = 2πd d = λ 2π κ ωµσ2 = d = κ = = 3nm c Warum sind Metalle undurchsichtig? Die Eindringtiefe ist iemlich klein 3 nm dh die Felder dringen nicht weit in Metall Deswegen sind Metalle undurchsichtig

6 d Zeigen Sie dass in einem guten Leiter das magnetische Feld 45 hinter dem elektrischen Feld urückbleibt und bestimmen Sie das Verhältnis ihrer Amplituden Benuten Sie als numerisches Beispiel das tpische Metall aus Teil b ϕ = arctan κ k Da κ k folgt es ϕ=45 Das Verhältnis der Aplituden der Felder ist B 0 = ɛµ E 0 + σ2 ɛ 2 ω 2 σµ ω Im tpischen Metall Im Vakuum B 0 E 0 = 0 7 s m B 0 E 0 = c = s m