Theoretische Physik B - Lösungen SS Pendel mit bewegter Aufhängung (6 Punkte) (a) Die Zwangsbedingung lautet

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - ösungen SS 10 Prof. Dr. Alexander Shnirman Blatt Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt Pendel mit bewegter Aufhängung (6 Punkte (a Die Zwangsbedingung lautet Für die Zwangskraft gilt dann F( r, t = ( r r s l = (x x s (t + z l = 0 Die agrange-gleichungen 1. Art lauten Z = λ F = λ[(x x s e x + z e z In kartesischen Koordinaten ergibt das m r = mg e z + Z (1 mẍ = λ(x x s (t m z = mg + λz Jetzt benutzen wir Zylinder-Koordinaten: x x s (t = l sin θ z = l cosθ und differenzieren zweimal. Das ergibt ẍ = ẍ s (t + l(cos θ θ sin θ θ z = l(sin θ θ + cos θ θ Die agrange-gleichungen 1. Art lauten jetzt mẍ = mẍ s (t + ml(cos θ θ sin θ θ = λl sin θ ( m z = ml(sin θ θ + cos θ θ = mg λl cosθ (3

2 (b Wir multiplizieren Gl. ( mit cosθ und Gl. (3 mit sin θ. Dann addieren wir die Gleichungen. Dies eliminiert λ und ergibt l θ = g sin θ cosθẍ s (t Wir betrachten kleine Auslenkungen θ, so dass sin θ θ und cosθ 1. Dann gilt θ + ω 0 θ = ẍs(t l wobei ω 0 g/l. Für das Beispiel x s = x 0 cos ωt gilt dann θ + ω 0 θ = x 0 l ω cosωt Wir machen einen Ansatz θ(t = a cosωt. Das ergibt ( x0 ω a = l ω0 ω Also θ(t = ( x0 (c Die Zwangskraft könnte man jetzt aus Gl. (1 bestimmen: l ω 0 ω Z = m r + mg e z ω cosωt (4 und r = [(x s (t+l sin θ e x l cosθ e z. Stattdessen können wir einfach λ bestimmen, da Z = λ( r r s und Z = l λ. Aus Gl. (3 leiten wir λ = m [ l(sin θ θ + cosθ l cosθ θ + g her. Für kleine Auslenkungen ergibt das ( λ m 1 [ l 1 θ +... g + lθ θ + l θ m l und λ m l (g + g θ + lθ θ + l θ (Wir vernachlässigen Potenzen höher als in θ. Dann ist λ mg (1 + θ l + 1 θ θ + 1 θ ω0 ω0 [ (1 + θ g + lθ θ + l θ Jezt setzen wir Gl. (4 ein. Dann [ λ = mg ( ( x ω ( 1 l l ω0 ω cos ωt ω cos ωt ω0 Da θ 1 (x 0 /l 1 ist λ negativ. Dann [ ( ( Z x = mg ω ( 1 l ω0 ω cos ωt ω cos ωt ω0 Es ist klar, dass Z zur Aufhängung gerichtet ist (λ < 0.

3 . Atwoodsche Fallmaschine (6 Punkte (a Die Zwangsbedingung lautet F(z 1, z = z 1 +z +( πr = 0. Beachten Sie, dass z 1 und z negativ sind und die Aufgabe nur sinnvoll ist, wenn > πr. (b Die agrange-gleichungen 1. Art lauten: m 1 z 1 = m 1 g + λ F(z 1, z z 1 = m 1 g + λ (5 m z = m g + λ F(z 1, z = m g + λ z (6 F(z 1, z = 0 (7 Von Gl. (7 folgt z 1 + z = 0. Wir finden z 1 und z aus Gl. (5 und (6. Dann Das ergibt z 1 + z = g + λ m 1 g + λ m = 0 λ = gm 1m m 1 + m Wir setzen dies in die Gl. (5 ein und bekommen (m 1 + m z 1 = (m 1 m g Durch Intergieren bekommen wir die ösung: z 1 (t = 1 ( m1 m g t + c 1 t + c 0 m 1 + m z (t = ( πr z 1 (t, und die Konstanten c 1 und c 0 werden durch die Randbedingungen bestimmt, d.h. c 1 = 0 und c 0 = 1 ( πr (c Die Zwangskräfte auf die beiden Massen sind gleich, Z 1 = Z = λ e z = gm 1m m 1 +m e z. Die Achse der Welle muß dann die Kraft Z 1 + Z aufnehmen. Für m 1 = m = m ist Z 1 + Z = m g gleich dem Gewicht der beiden Massen. Für m 1 m ist die Kraft kleiner als (m 1 + m g. Das folgt aus 4m 1 m < (m 1 + m. Das bedeutet, dass ein Teil der Gewichtskräfte zur Beschleunigung der Massen dient. 3. Das hängende Seil (8 Punkte (a Wir betrachten ein kleines Teil des Seils (Fig. (1. Da das Teil sich nicht bewegt, ist die Summe aller Kräfte null. T(x ist die Spannungskraft die entlang des Seils gerichtet ist. Die Projektionen auf e x und auf e z ergeben

4 T(x+dx θ(x+dx mg T(x x θ(x x+dx Abbildung 1: Ein kleines Teil des Seiles. T(x cosθ(x = T(x + dx cosθ(x + dx, (8 T(x + dx sin θ(x + dx T(x sin θ(x = ρgdl = ρgdx/ cosθ(x (9 wobei ρdl die Masse des Teils, dl die änge des Teils, und ρ die Dichte des Seiles sind. Von Gl. (8 folgt, dass T(x cosθ(x = C und C ist eine Konstante. Dann setzen wir T(x = C/cosθ(x in die Gl. (9 ein. Das ergibt d dx tanθ = D cos θ und D = ρg/c. Wir führen jetzt g(x = tanθ ein. Dann gilt d dx g = D 1 + g Die ösung dieser Gleichung ist einfach (man kann z.b. Separation der Variablen anwenden. g(x = sinh(dx + c c ist eine Konstante. Wir beobachten, dass tan θ = dz/dx. Integration ergibt z(x = wobei h eine weitere Konstante ist. cosh(dx + c D (b Die Wahl der Koordinatensystems und die Randbedingungen ergeben: + h c = 0 und h = cosh(dl/ D Die Konstante D kann durch die änge des Seils und die Abstand zwischen A und B bestimmt werden. Wir können immer den Ursprung der Koordinaten so wählen, dass c = 0. Jetzt berechnen wir die änge des Seils durch

5 Wir haben Das ergibt = l/ 0 dx cosθ 1 cosθ = 1 + tan θ = 1 + g = cosh(dx = 1 D sinh ( Dl ( Dl D = sinh Diese Gleichung gibt den Parameter D als Funktion von l und. Hier geht nun ein, dass > l sein muss: Vergleicht man die Ableitungen der beiden Funktionen von Gl. 10 (Funktionen von D! an der Stelle D = 0, so muss gelten damit es eine ösung D > 0 gibt. l (10