Inhaltsverzeichnis. 1 Reexions- und Brechungsgesetz. 1.1 Einführung

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Reexions- und Brechungsgesetz Einführung Snelliussches Brechungsgesetz Fresnelgleichungen Einführung Polarisation und Brewster Winkel Polarisation Brewster Winkel Totalreexion 6 1 Reexions- und Brechungsgesetz 1.1 Einführung Bei einem Durchgang von einem Medium mit Brechzahl zu einem Medium mit Brechzahl n 2 wird der Lichtstrahl teilweise reektiert und teilweise gebrochen. Wenn die einfallende Welle (eine ebene Welle) als E e = A e e i(ωet ke r) (1) beschrieben ist, kann man den gebrochenen Strahl als E g = A g e i(ωgt kg r) (2) bezeichnen und die reektierte Welle gilt E r = A r e i(ωrt kr r) (3) Abbildung 1: a) Wellenvektor von einfallender, gebrochener und reektirender Welle. b) Zerlegung der elektrischen Feldstärke in Tangential- und Normalkomponente. Man kann die Vektoren E und B in Komponenten parallel zur Grenzäche (Tangentialkomponenten) und senkrecht zur Grenzäche (Normalkomponenten) zerlegen. Wir schreiben: E = E t + E n, B = B t + B n (4) 1

2 Aus den Maxwellgleichungen der Elektrodynamik folgt, dass an der Grenzäche die Tangentialkomponente von E und die Normalkomponente von B stetig sein müssen: E t (1) = E t (2), B n (1) = B n (2) (5) Die elektrische Feldstärke sinkt beim Übergang vom Vakuum (ɛ v = 1) in ein Medium mit ɛ auf 1 ɛ des Wertes im Vakuum. Beim Übergang von einem Medium mit ɛ 1 in ein Medium mit ɛ 2 muss dieser Sprung auf die Normalkomponente zurückgeführt werden: E 1n E 2n = ɛ 2 ɛ 1 = n2 2 n 2 1 (6) Die gleichung gilt, wenn magnetische Suszebilität vernachlässigt werden kann. Bei der magnetischen Feldstärke gilt: B 1t B 2t = µ 1 µ 2 (7) Man setz für nicht ferromagnetischen Materialien die relative Permeabilitätskonstante µ 1, daher gilt: B 1t = B 2t 1.2 Snelliussches Brechungsgesetz Nach den allgemeinen Überlegungen im vorherigen Abschnitt möchte ich jetzt das Reektions- und Brechungsgesetz aus geometrischen Überlegungen herleiten. Einfallsebene ist die Ebene, die durch k e (Wellenzahl der einfallender Welle) und die Normale N der Grenzäche bestimmt ist. Für die 3 Wellen in Gleichunge, 2, 3 folgt aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente E t : E et + E rt = E gt (8) Abbildung 2: Wahl des Koordinatensystems für die Beschreibung von Reexion und Brechung: a) Einfallsebene als Zeichenebene b) perspektivische Darstellung. Setzen wir Koordinatenursprung (r = 0) an der Grenzäche so bekommen wir: A et e i(ωet) + A rt e i(ωrt) = A gt e i(ωgt) (9) Diese Gleichung kann für beliebige Zeiten t nur dann nichttriviale Lösungen haben, wenn es gilt: 2

3 ω e = ω r = ω g (10) Das heiÿt die Frequenz der Welle ändert sich beim Übergang von einem Medium 1 mit zu einem Medium mit Brechzahl n 2 nicht. Da sich aber die Phasengeschwindigkeit ändert folgt aus v ph = c n = ω λ 2π, dass sich die Wellenlänge ändert. Aus der Bedingung 8, die ja für alle Orte r an der Grenzäche gelten muss zusammen mit 10 folgt: (11) k e r = k r r = k g r (12) Die Grenzäche und Wellenvektor sind beschrieben durch r = xeˆ x + zê z und k e = k ex eˆ x + k ey ê y. Man setzt für die Richtungen der gebrochenen und reektierten Welle ganz allgemein an: k g = k gx eˆ x + k gy ê y + k gz ê z und k r = k rx eˆ x + k ry ê y + k rz ê z. Das Einsetzen i2 liefert: k ex x = k rx x + k rz z = k gx x + k gz z (13) Da die obere Gleichung für alle x und z auf der Grenzäche gelten muss, bekommt man: k ex = k rx = k gx (14) k rz = k gz = 0 (15) Das heiÿt, dass sich alle 3 Welle, 2, 3 in der gleichen Ebene fortpanzen, das ist in der Einfallsebene. Wenn man sich die Winkel auf dem Bild anschaut, kann man folgende Relationen ablesen: k ex = k e sin α (16) k rx = k r sin α (17) k gx = k g sin α (18) Aus der Phasengeschwindigkeit v ph = c n der elektromagnetischen Welle im Medium folgt für die Beiträge der Wellenvektoren in einem Medium mit Brechungsindex n: Da die Frequenz in beiden Medien gleich ist ergibt sich: v ph = c n = ω λ 2π = ω k k = n c ω (19) sin α c = sin α c = sin βn 2 c (20) Daraus folgen unmittelbar das Reexions- und Brechungsgesetz: α = α (21) sin α sin β = n 2 (22) Ein anschauliches Beispiel ist ein Übergang Luft-Glas. Wenn die Lichtwelle aus der Luft auf eine Glasoberäche trit, dann wird es von den Atomen an der Oberäche absorbiert und mit der gleichen Frequenz in allen Richtungen wieder abgestrahlt. Die dadurch entstehenden Wellen interferieren in einem Winkel konstruktiv miteinander, der ebenso groÿ ist, wie der Einfallswinkel. 3

4 2 Fresnelgleichungen 2.1 Einführung Für eine linear polarisierte Welle in nicht ferromagnetischen Materialien ( µ 1) gilt B = 1 (k E) (23) ω (k e E e ) x + (k r E r ) x = (k g E g ) x (24) Die Amplitudenvektoren kann man in Komponenten A p parallel und A s senkrecht zur Einfallsebene. Dann ist bei unserer Wahl des Koordinatensystems A p = {A x, A y, 0} und A s = {0, 0, A z }. Aus der Stetigkeit E s (E t ) an der Grenzäche folgt mit 8 und 10: A es + A rs = A gs (25) Abbildung 3: Die Komponente A s steht senkrecht auf der Zeichenebene. Dann gilt für die senkrechte Komponente: k ey A es + k ry A rs = k gy A gs (26) Da k ry = k ry ist folgt: Setzt man a = kgy k ey, erhält man: A es A rs = k gy k ey A gs (27) A gs = a A es A rs = 1 a 1 + a A es Damit erhält man Fresnel-Gleichungen für die senkrechten Komponenten von der Reexionskoezient ρ und Transmissionskoezient τ. Eine analoge Überlegung gibt es für die parallelen Komponenten: 4

5 ρ s = A rs = 1 a A es 1 + a = cos α n 2 cos β β) = sin(α cos α + n 2 cos β sin(α + β) τ s = A gs = 2 A es 1 + a = 2 cos α 2 sin β cos α = cos α + n 2 cos β sin(α + β) ρ p = A rp = n 2 cos α cos β tan(α β) = A ep n 2 cos α + cos β tan(α + β) τ p = A gp A ep = 2 cos α n 2 cos α + cos β = 2 sin β cos α sin(α + β) cos(α β) (28) (29) (30) (31) Das sind die Fresnel-Formeln. 3 Polarisation und Brewster Winkel 3.1 Polarisation Die Polarisation einer elektromagnatischen Welle ist durch die Richtung des elektrischen Vektors E = E 0 cos (ωt kz) deniert. Wenn der Vektor E 0 immer in die gleiche Richtung zeigt, dann heiÿt die Welle linear polarisiert. Beide Komponenten der Welle E x = E 0x cos (ωt kz), E y = E 0y cos (ωt kz) schwingen in Phase. Abbildung 4: Linear polarisierte Welle Eine zirkular polarisierte Welle ist dadurch charakterisiert, dass die Beiträge von E 0x und E 0y gleich sind, aber ihre Phasen um 90 o verschoben: E x = E 0x cos (ωt kz) (32) ( E y = E 0y cos ωt kz π ) = E 0y sin (ωt kz) (33) 2 Die Spitze des Vektors E (z = 0, t) = E x ê x + E y ê y = E 0 (ê x cos(ωt) + ê y sin(ωt)) (34) einen Kreis in der x-y Ebene mit der Kreisfrequenz ω = dφ dt. Der elektrische Vektor E beschreibt eine Kreispirale um die z-richtung. 5

6 Abbildung 5: Zirkular polarisierte Welle Wenn der Vektor E 0 in der x-y Ebene eine Ellipse durchläuft, dann heiÿt die Welle zirkular polarisiert. Wenn E 0 seine Richtung statistisch im Laufe der zeit ändert, ist die Welle unpolarisiert. Lichtwellen sind im Allgemeinen unpolarisiert. 3.2 Brewster Winkel Man sieht in der Fresnel-Gleichung 30, dass wenn α + β = 90, wird A rp = 0, d.h. die reektierte Welle, hat keine Parallelkomponente der elektrischen Feldstärke, sie ist vollständig polarisiert senkrecht zur Einfallsebene. Abbildung 6: Linearpolarisation des reektierenden Lichts beim Einfall unter dem Brewsterwinkel. Der Einfallswinkel α = α B, für den α+β = 90 gilt, heiÿt Brewsterwinkel. Bei dem Winkel wird der Parallelkomponent der elektrischen Feldstärke nicht reektiert (R p = 0) 4 Totalreexion Lässt man eine Lichtwelle aus einem optisch dichteren Medium 1 ins optisch dünnere Medium 2 ( > n 2 ) laufen, so folgt aus dem Brechungsgesetz für den Winkel α: sin α = n 2 sin β 6

7 wegen Begrenzung von sin: sin α = n 2 sin β < n 2 Die obere Gleichung muss gelten, damit die Welle ins medium 2 eintreten kann. Für Winkel α mit sin α > n2 wird der Lichtstrahl an der Grenzäche reektiert (Totalreexion). Man nennt den Winkel α g mit sin α g = n1 n 2 den Grenzwinkel der Totalreexion. Abbildung 7: Totalreexion. 7