3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen

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1 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen 3. Stetigkeitsbedingungen Im vorherigen Kapitel haben wir die Ausbreitung von von Licht in homogenen Materialien betrachtet. Wir wenden uns nun dem Verhalten von elektromagnetische Wellen an einer Grenzfläche zwischen zwei unterschiedlichen Medien zu. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Grenzfläche ungeladen ist (ρ = 0) und die Flächenstromdichte verschwindet (j = 0). da=da e e dl= e dl (a) dx (b) da=da e dx Abbildung 3.: (a) Gaußsches Kästchen und (b) Stokessche Fläche. Im Folgenden denken wir uns ein kleines Gaußsches Kästchen das die Grenzfläche schneidet (siehe Abbildung 3. (a)). Aus D (r, t) = 0 folgt mit dem Gaußschen Satz für das Gaußsche Kästchen: D (r, t) d 3 r = D (r, t) da =! 0. (3..) dv (dv ) Im Limes dx 0 gilt: D (r, t) da dx 0 da e (D (r 0, t) D 2 (r 0, t)) =! 0. (3..2) (dv ) Wir sehen also, dass die Normalkomponente D (r 0, t) stetig ist. Entsprechend folgt aus B (r, t) = 0, die Stetigkeit der Normalkomponente B (r 0, t). Als nächstes untersuchen wir eine Stokessche Fläche (siehe Abbildung 3. (b)), die die Grenzfläche schneidet. Der Stokessche Satz liefert mit E (r, t) = Ḃ (r, t): E (r, t) e da = E (r, t) dr = Ḃ (r, t) e da. (3..3) da da da 3-

2 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Für dx 0 gilt: E (r, t) dr dx 0 dl ( ) e e da } {{ } e (E (r 0, t) E 2 (r 0, t))! = 0. (3..4) Hierbei haben wir im letzten Schritt ausgenutzt, dass die Fläche da des Rechtecks für dx 0 verschwindet und daher da Ḃ (r, t) e da dx 0 0 gilt. Wir sehen somit, dass die Tangentialkompnente E (r 0, t) stetig ist. Ganz analog kann gezeigt werden, dass die Tangentialkomponente H (r 0, t) ebenfalls stetig ist. Die folgende Tabelle fasst das Verhalten der verschiedenen Feldkomponenten an einer Grenzfläche zusamme : Tangentialkomponente Normalkomponente E, (r 0, t) = E 2, (r 0, t) E, (r 0, t) = ǫ 2 ǫ E 2, (r 0, t) D, (r 0, t) = ǫ ǫ2 D 2, (r 0, t) D, (r 0, t) = D 2, (r 0, t) H, (r 0, t) = H 2, (r 0, t) H, (r 0, ) = µ 2 µ H 2, (r 0, t) B, (r 0, t) = µ µ 2 B 2, (r 0, t) B, (r 0, t) = B 2, (r 0, t) 3.2 Die Reflexion von Licht für senkrechten Einfall Wir wollen nun die Stetigkeitsbedingungen verwenden, um den Reflexionskoeffizienten einer ebenen Welle an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Materialparametern ǫ, µ bzw. ǫ 2, µ 2 zu bestimmen. Hierzu betrachten wir zunächst den Fall, dass die einfallende Welle senkrecht auf die Grenzfläche trifft: E i (z, t) = E 0i e ı(k z ωt), (3.2.) H i (z, t) = H 0i e ı(k z ωt) = Z E 0i e ı(k z ωt). (3.2.2) Aufgrund der Stetigkeitsbedingungen gilt: E, (z = 0, t) H, (z = 0, t) = E 2, (z = 0, t) H 2, (z = 0, t). (3.2.3) Hierbei sind E, (z = 0, t) und H, (z = 0, t) beziehungsweise E 2, (z = 0, t) und H 2, (z = 0, t) bei senkrechtem Einfall die Gesamtfeldstärken in den jeweiligen Medien. Diese Tabelle werden wir noch häufig benötigen! 3-2

3 3.3 Fresnel-Gleichungen Ausgehend von experimentellen Beobachtungen schreiben wir die Felder in Medium als Überlagerung der einlaufenden Welle und einer reflektierten Welle: E (z, t) = E 0i e ı(k z ωt) + r E 0i e ı( k z ωt), (3.2.4) H (z, t) = H 0i e ı(k z ωt) r H 0i e ı( k z ωt). (3.2.5) Hierbei ist r der sogenannte Amplitudenreflexionskoeffizient. In Medium 2 erwarten wir nur eine ebene Welle, die sich von der Grenzfläche weg bewegt: E 2 (z, t) = E 0t e ı(k 2z ωt), (3.2.6) H 2 (z, t) = H 0t e ı(k 2z ωt) = Z 2 E 0t e ı(k 2z ωt). (3.2.7) Einsetzen in Gleichung (3.2.3) liefert: E 0i ( + r) H 0i ( r) = E 0t H 0t Z ( + r) ( r) = Z 2. (3.2.8) Die letzte Gleichung kann nach r aufgelöst werden und wir finden: r = (Z 2 Z ) (Z 2 + Z ). (3.2.9) Wir sehen also, dass die einlaufende Welle teilweise reflektiert wird, wenn die beiden Medien unterschiedliche Impedanzen aufweisen. 3.3 Fresnel-Gleichungen Experiment: Reflexion und Brechung am Glassegment. In diesem Abschnitt wollen wir die Reflexion und Transmission einer ebenen, elektromagnetischen Welle an einer ebenen Grenzfläche bei z = 0 für beliebige Einfallswinkel θ i betrachten. Die beiden Medien seien durch die Materialparametern ǫ, µ bzw. ǫ 2, µ 2 charakterisiert und der Einheitsvektor senkrecht zur Grenzfläche sei ê. Der Wellenvektor der einfallenden Welle k i und ê spannen die sogenannte Einfallsebene auf. Trifft eine ebene Welle aus Medium kommend auf die Grenzfläche, so wird die Welle teilweise reflektiert und teilweise in das Medium 2 transmittiert. Die drei Felder wollen wir wie folgt schreiben: 3-3

4 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Einfallende Welle (Medium ): E i (r, t) = E 0i e ı(k i r ω i t), B i (r, t) = B 0i e ı(k i r ω i t). (3.3.) Reflektierte Welle (Medium ): E r (r, t) = E 0r e ı(kr r ωrt), B r (r, t) = B 0r e ı(kr r ωrt). (3.3.2) Transmittierte Welle (Medium 2): E t (r, t) = E 0t e ı(kt r ωtt), B t (r, t) = B 0t e ı(kt r ωtt). (3.3.3) Aufgrund der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche gilt: ê ( E 0i e ı(k i r ω i t) + E 0r e ı(kr r ωrt)) = ê E 0t e ı(kt r ωtt). (3.3.4) Diese Gleichung muss für r = 0 zu allen Zeiten erfüllt sein. Hieraus folgt: ω i = ω r = ω t. (3.3.5) Ferner müssen für jeden beliebigen Vektor r, der in der Grenzfläche liegt, die folgenden Bedingungen gelten: k i r = k r r = k t r. (3.3.6) Wir zerlegen nun die Wellenvektoren in eine Normalkomponente parallel zu ê und in eine Tangentialkomponente, die parallel zur Grenzfläche orientiert ist: k j = k j, ê + k j, ê j, mit j = i, r, t. (3.3.7) Einsetzen in Gleichung (3.3.6) zeigt: k i, ê i, = k r, ê r, = k t, ê t,. (3.3.8) Somit sind die Tangentialkomponenten der drei Wellenvektoren gleich und die Wellenvektoren liegen alle in der Einfallsebene. Die einfallende und die reflektierte Welle befinden sich im selben Medium und besitzen daher den gleichen Betrag k i = k r = k 0. Zusammen mit k i, = k i sin(θ i ) und k r, = k r sin(θ r ) ergibt sich damit das Reflexionsgesetz: θ i = θ r. (3.3.9) 3-4

5 3.3 Fresnel-Gleichungen s-polarisation p-polarisation E i E r B i E i k i θ i θ r ε, μ ε, μ ε 2, μ2 ε, μ E r k r B r 2 2 B i k i θ i θ r B r k r θ t E t θ t B t E t B t kt k t Abbildung 3.2: Reflexion und Brechung einer ebenen Welle an einer Grenzfläche für s- Polarisation und p-polarisation. Für die einfallende und die transmittierte Welle gilt: k i sin(θ i ) = k t sin(θ t ). (3.3.0) Mit k i = k 0 und k t = k 0 n 2 folgt sofort das Brechungsgesetz: sin(θ i ) = n 2 sin(θ t ). (3.3.) Wir wollen nun die Amplituden und Phasen der reflektierten und transmittierten Wellen berechnen. Hierbei ist es ausreichen zwei Fälle zu betrachten, die in der Lieteratur mit s-polarisation und p-polarisation bezeichnet werden E senkrecht zur Einfallsebene: s-polarisation Aus der Stetigkeitsbedingung für E folgt: E 0i + E 0r = E 0t. (3.3.2) Zusätzlich ist H = B /(µ 0 µ) stetig an der Grenzfläche 3 : B 0i µ µ 0 cos(θ i ) + B 0r µ µ 0 cos(θ r ) = B 0t µ 2 µ 0 cos(θ t ). (3.3.3) 2 Merkregel: s wie senkrecht und p wie parallel (zur Einfallsebene). 3 Die Vorzeichenwahl bezieht sich im Folgenden auf Abbildung

6 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Mit θ i = θ r und B 0 = n c 0 E 0 finden wir: µ 0 µ c 0 (E 0i E 0r ) cos(θ i ) = n 2 µ 0 µ 2 c 0 E 0t cos(θ t ). (3.3.4) Einsetzen von Gleichung (3.3.2) liefert zusammen mit /Z = n/(µ 0 µc 0 ) die Fresnel- Gleichungen für s-polarisation: r s ( ) E0r E 0i s Z = cos(θ i ) Z 2 cos(θ t ) Z cos(θ i ) + Z 2 cos(θ t ), (3.3.5) t s ( ) E0t E 0i s = 2 Z cos(θ i ) Z cos(θ i ) + Z 2 cos(θ t ). (3.3.6) E in der Einfallsebene: p-polarisation Die Stetigkeitsbedingung für H ergibt unter Benutzung von Gleichung (2.2.40): Z E 0i + Z E 0r = Z 2 E 0t. (3.3.7) Aus der Stetigkeit von E an der Grenzfläche folgt: E 0i cos(θ i ) E 0r cos(θ r ) = E 0t cos(θ t ). (3.3.8) Mit dem Reflexionsgesetz erhalten wir nach kurzer Rechnung die Fresnel-Formeln für p-polarisation: r p ( ) E0r E 0i p = Z 2 cos(θ i ) Z cos(θ t ) Z cos(θ t ) + Z 2 cos(θ i ), (3.3.9) t p ( ) E0t E 0i p = 2 Z cos(θ i ) Z cos(θ t ) + Z 2 cos(θ i ). (3.3.20) 3-6

7 3.3 Fresnel-Gleichungen Äußere Reflexion In der Optik gilt (meistens) µ =, so dass /Z = n Z 0. Die Fresnel-Gleichungen werden deshalb häufig in der folgenden Form angegeben: r s t s r p t p ( ) E0r E 0i ( ) E0t s E 0i s ( ) E0r E 0i p ( ) E0t E 0i p = cos(θ i ) n 2 cos(θ t ) cos(θ i ) + n 2 cos(θ t ), (3.3.2) = 2 cos(θ i ) cos(θ i ) + n 2 cos(θ t ), (3.3.22) = n 2 cos(θ i ) cos(θ t ) cos(θ t ) + n 2 cos(θ i ), (3.3.23) = 2 cos(θ i ) cos(θ t ) + n 2 cos(θ i ). (3.3.24) Wir betrachten nun die Grenzfläche Luft/Glas mit = und n 2 =.5 bei äußerer Reflexion, d.h, Lichteinfall von der Luftseite. Amplitudenkoeffizienten r p r s θ B t p t s θ (Grad) i Abbildung 3.3: Amplitudenkoeffizienten als Funktion des Einfallswinkel bei äußerer Reflexion and der Luft/Glas Grenzfläche. Für senkrechten Einfall gilt r s = r p und t s = t p. 3-7

8 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Für s-polarisation ist das elektrische Feld der reflektierten Welle gegenüber der einfallenden Welle für alle Einfallswinkel um 80 phasenverschoben ( Reflexion am festen Ende ). Beim Brewster-Winkel θ i = θ B tritt für p-polarisation keine reflektierte Welle auf (r p = 0). Eine kurze Rechnung zeigt: und tan (θ B ) = n 2. (3.3.25) θ B + θ t = 90. (3.3.26) Beweis: Übung! E i B i k i i = B r n 2 E t t B t k t Anschauliche Erklärung: Nahe der Grenzfläche werden im hochbrechenden Medium Dipole durch das elektrische Feld zu Schwingungen angeregt. Da die Dipole nicht in Richtung der Dipolachse abstrahlen, tritt keine reflektierte Welle auf. Für die Luft/Glas-Grenzfläche erhalten wir θ B = Für streifenden Einfall (θ i 90 ) wirkt die Glasscheibe wie ein Spiegel (r s,p und t s,p 0) Innere Reflexion und Totalreflexion Im Folgenden wird nun der Fall der inneren Reflexion (Lichteinfall von der Glasseite) diskutiert mit > n 2. Wir betrachten hierbei zunächst nur den Fall θ i < α g mit sin(α g ) = n 2. Den Fall θ i > α g werden wir später in Abschnitt 3.4. behandeln. 3-8

9 3.3 Fresnel-Gleichungen 2.5 α g 2 Amplitudenkoeffizienten r s r p t p t s θ B θ (Grad) i Abbildung 3.4: Amplitudenkoeffizienten als Funktion des Einfallswinkel bei äußerer Reflexion and der Luft/Glas Grenzfläche. Für senkrechten Einfall gilt wieder r s = r p und t s = t p. Für s-polarisation schwingt das elektrische Feld der reflektierten Welle für alle Einfallswinkel mit der einfallenden Welle in Phase ( Reflexion am losen Ende ). Beim Brewster-Winkel θ i = θ B tritt für p-polarisation keine reflektierte Welle auf (r p = 0). Wieder gilt: tan (θ B ) = n 2. (3.3.27) und θ B + θ t = 90. (3.3.28) Für die Luft/Glas-Grenzfläche erhalten wir bei interner Reflexion θ B = Für θ i α g finden wir r s,p aber t s,p 0 (Widerspruch?). 3-9

10 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Transmissions- und Reflexionsgrad Bisher haben wir uns für die Amplituden der Felder an der Grenzfläche interessiert. Im Folgenden wollen wir die Energiestromdichten untersuchen, die mit der einlaufenden, der reflektierten und der transmittierten Welle verknüpft sind. S i S r A cos( i ) A cos( r ) i r A t n 2 A cos( t ) S t Abbildung 3.5: Reflexion und Transmission eines Strahlenbündels. Nach Gleichung (2.2.78) gilt für den zeitlichen Mittelwert des Poyntingvektors: Einlaufenden Welle: S i = E 0 2 k i 2 Z k i. (3.3.29) Reflektierten Welle: S r = re 0 2 k r 2 Z k r. (3.3.30) Transmittierte Welle (äußere Reflexion und innere Reflexion für θ i < α g ): S t = te 0 2 k t 2 Z 2 k t. (3.3.3) Transmittierte Welle (innere Reflexion für θ i α g ): S t e = 0 (Beweis: Übung). (3.3.32) 3-0

11 3.3 Fresnel-Gleichungen Der Reflexionsgrad R ist definiert als der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, der an der Grenzfläche reflektiert wird: R = S r e S i e = r 2. (3.3.33) Der Transmissionsgrad T ist der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, der durch die Grenzfläche transmittiert wird. In diesem Fall haben wir zu berücksichtigen, dass ein Flächenelement A von der einlaufenden Welle und der reflektierten Welle aufgrund der Brechung unter verschiedenen Winkeln gesehen wird. T = S t e S i e = Z Z 2 cos (θ t ) cos (θ i ) t 2. (3.3.34) Aus Gründen der Energieerhaltung gilt für verlustfreie Medien (reelle Impedanzen): R + T =. (3.3.35) 3-

12 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Äußere Reflexion 0.8 R,T R s R p T s T p θ (Grad) i Innere Reflexion 0.8 R,T R s R p T s T p θ (Grad) i Abbildung 3.6: Reflexions- und Transmissionsgrad für eine Luft/Glas-Grenzfläche. 3-2

13 3.4 Dielektrische Wellenleiter 3.4 Dielektrische Wellenleiter Experiment: Wellenleitung durch Totalreflexion. Wir haben bereits bei der Behandlung der Totalreflexion im Rahmen der geometrischen Optik angesprochen, dass dieser Effekt genutzt werden kann um Licht über lange Distanzen mit geringen Verlusten zu transportieren. Im Folgenden wollen wir die Wellenausbreitung in dielektrischen Wellenleitern untersuchen. Dabei nehmen wir an, dass der Querschnitt des Wellenleiters sich entlang der Ausbreitungsrichtung nicht ändert. Weiterhin werden wir uns auf Stufenindex-Wellenleiter konzentrieren, bei denen der Brechungsindex ein Stufenprofil aufweist. (siehe Abbildung 3.7). n 3 n 3 n 2 n 2 n 3 n 3 n 2 n 2 Schichtwellenleiter Streifenwellenleiter Optische Glasfaser Abbildung 3.7: Querschnitte verschiedener Stufenindex-Wellenleiter. Die Brechungsindexprofile erfüllen die Bedingung > n 2 n Totalreflexion und evaneszente Felder Wir wollen zunächst die Eigenschaften der Felder im optisch dünneren Medium bei Totalreflexion genauer untersuchen. Hierzu betrachten hierzu eine ebene Welle, die auf eine Grenzfläche mit > n 2 trifft (siehe Abbildung 3.8). Das gesamte elektrische Feld im optisch dichteren Medium ergibt sich aus der Überlagerung der einfallenden Welle und der reflektierten Welle: E (r, t) = E i (r, t) + E r (r, t) (Medium, n = ). (3.4.) 3-3

14 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen x k t n 2 t k t,x z k t,z i r k i k r Abbildung 3.8: Grenzfläche zwischen zwei Medien mit > n 2. mit E i (r, t) = E i e ı(k i r ωt), (3.4.2) E r (r, t) = re i e ı(kr r ωt). (3.4.3) Im optisch dünneren Medium kann das elektrische Feld geschrieben werden als: (3.4.4) E t (r, t) = t E i e ı(kt r ωt), (Medium 2, n = n 2 ). (3.4.5) Durch Einsetzen von E t (r, t) in die Helmholtzgleichung erhalten wir die Dispersionsrelation: k t k t = (k t,z e z + k t,x e x ) (k t,z e z + k t,x e x ) = kt,z 2 + kt,x 2 = ω2 n 2 2. (3.4.6) c 2 0 Hierbei haben wir den Wellenvektor k t in eine Komponente k t,z e z parallel zur Grenzfläche und in eine Komponente k t,x e x senkrecht zur Grenzfläche aufgeteilt (siehe Abbildung 3.8). Nach Gleichung (3.3.8) sind die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren gleich groß: k i,z = k r,z = k 0 sin (θ i ) = k 0 n 2 sin (θ t ) = k t,z. (3.4.7) Die Normalkomponente des Wellenvektors in Medium 2 ergibt sich damit zu: k t,x = k 0 n 2 sin 2 (θ t ) = k 0 n 2 n2 sin 2 (θ n 2 i ). (3.4.8) 2 Für θ i > θ c = arcsin(n t /n i ) wird k t,x ein imaginäre Größe und das elektrische Feld fällt exponentiell im Medium 2 ab: E t (r, t) = (0, t s E i, 0) e ı(kt,zz ωt) e qx (3.4.9) 3-4

15 3.5 Schichtwellenleiter mit q = k 0 n n2 2 sin 2 (θ n 2 i ). (3.4.0) 2 Das Magnetfeld im optisch dünneren Medium berechnet sich zu: H t (r, t) = ( kt,z t s E i, 0, ıqt ) s E i e ı(kt,zz ωt) e qx. (3.4.) ωµ 0 ωµ 0 Die z-komponente des Magnetfeldes ist also 90 außer Phase zum elektrischen Feld. Nach Gleichung (2.2.78) nimmt der zeitliche Mittelwert der x-komponente des Poynting- Vektors damit den Wert Null an. 3.5 Schichtwellenleiter Wir untersuchen als nächstes einen dielektrischen Schichtwellenleiter mit folgendem Aufbau: Substrat (Halbraum) mit Brechungsindex n 2. Film der Dicke d mit Brechungsindex. Abdeckung (Halbraum) mit Brechungsindex n 3. x 0 -d E k B TE Mode E k B TM Mode n 3 n 2 z Abbildung 3.9: TE und TM Moden eines dielektrischen Schichtwellenleiters. Wie bei der Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzschicht können wir wieder zwei Polarisationszustände getrennt betrachten (siehe Abbildung 3.9): 3-5

16 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Tranversal elektrische Moden (TE Moden, s-pol), Tranversal magnetische Moden (TM Moden, p-pol). Im Folgenden werden wir uns auf die TE Moden konzentrieren. Der Fall der TM Moden kann analog behandelt werden. In der Filmschicht ergeben sich die Moden aus der Überlagerung von propagierenden ebenen Wellen. Im Gegensatz hierzu sind die Felder im Substrat und in der Abdeckung evaneszent. Der folgende Ansatz für eine TE-Mode berücksichtigt unsere Überlegungen: E y (x, y, z, t) = E m (x) e ı(βz ωt) (3.5.) mit C exp( px) 0 x E m (x) = C [ cos(hx) q h sin(hx)] d x 0 C [ cos(hd) + q h sin(hd)] exp(q(x + d)) x d (3.5.2) Hierbei sind die Größen wie folgt definiert: Propagationskonstante (Parallelkomponente des Wellenvektors im Film): β = k 0 sin (θ i ) (3.5.3) Normalkomponente des Wellenvektors im Film: h = k 0 cos (θ i ) = k 2 0n 2 β 2 (3.5.4) Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors im Substrat: q = β 2 k 2 0n 2 2 (3.5.5) Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors in der Abdeckung: p = β 2 k 2 0n 2 3 (3.5.6) Die magnetische Flußdichte berechnet sich nach E = Ḃ. Aus den Stetigkeitsbedingungen für E y und H z bei x = 0 und x = d folgt: tan (hd) = p + q h ( pq/h 2 ). (3.5.7) 3-6

17 3.5 Schichtwellenleiter Nach kurzer Rechnung 4 erhalten wir die folgende implizite Darstellung der Dispersionsrelation ω(β) der TE-Moden: d k0n 2 2 β 2 = arctan k2 0(n 2 n 2 2) +arctan k2 0(n 2 n 2 3) +mπ. (3.5.8) k0n 2 2 β 2 k0n 2 2 β 2 TE 0 TE TE 2 ω(c 2 π /d) Substrat Abdeckung Film β (2 π /d) Abbildung 3.0: Dispersionsrelation der der TE 0, TE und TE 2 - Mode. Beispielparameter: = 2.0, n 2 =.5 und n 3 =.0. Der obige Ansatz beschreibt nur dann eine geführte Welle, falls p und q reellwertige Größen sind. Für β < k 0 n 2 wird q komplex und die Welle kann sich somit im Substrat ausbreiten. Die Abschneidefrequenz der m-ten Mode kann daher aus der Bedingung q = 0 bestimmt werden: ω cut,te = ( c 0 (arctan d n 2 2 n2 3 n 2 n2 2 n 2 n 2 2 ) ) + mπ (3.5.9) Für einen symmetrischen Wellenleiter (n 2 = n 3 ) ist die TE 0 -Mode immer geführt, d.h., ω cut,te0 = 0. Die Dispersionsrelation kann qualitativ anhand des Moden-Profils erklärt werden: TE m -Mode: m Knoten des Feldes in der Filmschicht. Nahe Abschneidefrequenz: Starke Ausdehnung der Mode ins Substrat. Schneller Abfall der Feld-Amplitude in der Abdeckung. Konzentration der Mode in der Filmschicht mit steigender Frequenz. ( ) 4 arctan x+y xy = arctan(x) + arctan(y) 3-7

18 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen (a) 6 4 Substrat Film Abdeckung TE 2 (b) Substrat Film Abdeckung.25ω cut 2.50ω cut 5.00ω cut y E TE y E 2 TE x( d) x( d) Abbildung 3.: (a) Modenprofil der TE 0, der TE und der TE 2 - Mode. (b) Modenprofil der TE 0 -Mode für verschiedene Frequenzen. Beispielparameter: = 2, n 2 =.5, n 3 =.0, λ = 2d Optische Glasfasern Eine optische Glasfaser ist ein dielektrische Wellenleiter mit typischerweise zylindersymmetrischen Querschnitt. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf Stufenindex-Glasfasern, bei denen der lichtführende Kern in ein Material mit etwas niedrigeren Brechungsindex (Mantel) eingebettet ist (siehe Abbildung 3.2). Optische Glasfasern spielen eine wichtige Rolle in der modernen Telekommunikation und bilden die Nervenbahnen des Internets. Charles Kuen Kao, einer der Pioniere auf diesem Gebiet, wurde 2009 der Nobel-Preis in Physik für seine bahnbrechenden Erfolge auf dem Gebiet der Lichtleitung mittels Fiberoptik für optische Kommunikation verliehen. 2b n 2 Mantel Kern 2a Abbildung 3.2: Schematischer Querschnitt einer Stufenindex-Glasfaser. Typische Parameter einer monomodigen Telekommunikations-Glasfaser Betriebs-Wellenlänge: λ =.55 µm (geringe Absorptionsverluste). 3-8

19 3.5 Schichtwellenleiter Mantel: Ultrareines Quarz-Glas (n 2 =.46). Kern: Germanium dotiertes Quarz-Glas. Relative Brechzahldifferenz für typische Dotierkonzentrationen: = n (3.5.0) Geometrische Abmessungen: Kern-Durchmesser: 2a = 8 µm. Mantel-Durchmesser: 2b = 25 µm. Aufgrund der geringen relativen Brechzahldifferenz sind die Moden typischer Glasfasern in sehr guter Näherung transversale Wellen, d.h., die Komponenten des elektromagnetischen Feldes entlang der Zylinderachse können vernachlässigt werden. Stufenindex-Glasfasern können anhand des sogenannten V -Parameters V = 2πa λ 0 n 2 n 2 2 (3.5.) charakterisiert werden. Ist V < 2.405, so kann sich nur ein Mode entlang der Glasfaser ausbreiten. Man spricht in diesem Fall von einer Monomodefaser. Für Werte von V > werden weitere Moden geführt und man bezeichnet die Glasfaser dementsprechend als Multimodefaser. Absorption und Streuung in der Glasfaser führen zu einem exponentiellen Abfall der Lichtleistung P (L) mit der Propagationslänge L. Der zugehörige Absorptionsgrad α wird üblicherweise in db/km angegeben: α = ( ) L 0 log 0, (3.5.2) T(L) wobei T(L) = P (L)/P (0) der Transmissionsgrad der optischen Glasfaser ist. Beispiel: Umrechnung von db/km in T(km) 0 db/km T = 3 db/km T db/km T = db/km T =

20 3 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen LP 0 LP 02 LP 03.0 LP LP 2 LP Normierte Intensität 0.0 Abbildung 3.3: Intensitätsprofil einiger Glasfaser-Moden (V = 0). Die weiße Linie markiert die Grenze zwischen dem Kern und dem Mantel. Der Absorptionsgrad einer typischen Telekommunikations-Glasfaser ist in Abbildung 3.4 schematisch dargestellt. 3 Rayleigh Streuung Infrarot- Absorption α (db/km) OH-Absorption UV Absorption Wellenlänge (µm) Abbildung 3.4: Absorptionsgrad einer typischen Telekommunikations-Glasfaser. 3-20