Die Grundkonzepte der Quantenmechanik illustriert an der Polarisation von Photonen

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1 Die Grundkonzepte der Quantenmechanik illustriert an der Polarisation von Photonen Frank Wilhelm-Mauch February 5, 013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 0. Februar Was ist theoretische Physik? Theoretische Physik entwickelt die quantitative Beschreibung der Natur in mathematischen Modellen. Mathematik ist unsere Sprache, theoretische Physik ist aber keine Mathematik Ergebnisse sind experimentell testbar, typischerweise werden konkrete Messergebnise vorhergesagt es werden aus experimentellen Ergebnissen abstrakte Begriffe gebildet und wir versuchen, die minimale Grundlage von Naturphänomenen, die Naturgesetze, zu finden neben der althergebrachten theoretischen Physik mit Papier und Bleistift entwickelt sich die Computerphysik, die Physik der Simulation von Modellen zur Erklärung von Naturphänomenen zur zentralen theoretischen Disziplin Zusammenfassung: Experiment zur Polarisation In der ersten Vorlesung haben Sie ein Experiment zur Polarisation gesehen und besprochen. Es handelte sich um eine Anordnung aus drei Polarisatioren, wobei der erste und der dritte im rechten Winkel zueinander stehen. Ohne den mittleren Polaristor hat diese Anordnung kein Licht durchgelassen. Mit dem mittleren Polarisator geht Licht durch, am meisten, wenn er im 45 Grad-Winkel zu den beiden anderen Polarisatoren steht und kein Licht, wenn er parallel zu 1

2 einem der Polarisatoren ist. Dieses Experiment kann klassisch erklärt werden, hier wollen wir aber zeigen, wie es im Photonenbild erklärt werden kann und damit die Grundkonzepte der Quantenphysik illustrieren. 3 Postulate und Grundkontepte der Quantenmechanik Die Postulate einer Theorie sind die nicht hinterfragten Grundannahmen. Wir stellen jetzt die wichtigsten Postulate der Quantenphysik vor und diskutieren sie am Beispiel des Polarisationsexperiments. 3.1 Postulat: Zustände und beobachtbare Größen Das erste Postulat sagt, dass der Zustand eines physikalischen Objekts im Allgemeinen es nicht erlaubt, Experimente mit absoluter Sicherheit vorherzusagen, sondern nur Wahrscheinlichkeiten vorgibt. Der Zustand eines einzelnen Quants, z.b. eines Photons, ist gar nicht messbar. Für die Polarisation haben sie schon gelernt, dass sie die Richtung des elektrischen Feldes bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle also z.b. des Lichts beschreibt. Wenn die Welle entlang der z-achse läuft zeigt die Polarisation darauf senkrecht, also irgendwo in die xy - Ebene und kann geschrieben werden als zweidimensionaler Vektor ( ) Ex E =. E y Wenn uns nur die Richtung interessiert, dann können wir einfach die Länge herausfaktorisieren und erhalten (Zeichnung in Vorlesung) E = E ( ) cos α sin α wobei α der Winkel zwischen E und der x Achse ist. Einheitsvektoren ( ) ( ) 1 0 ê x = ê 0 y = 1 Wir könnten auch einführen und nach den Regeln der Vektoralgebra schreiben E = E (E x ê x + E y ê y ). In der Quantenmechanik machen wir die gleiche Mathematik, geben ihr aber eine abstraktere Bedeutung. Wir sagen auch, dass die Polarisation in einer Basis aufgespannt wird, statt ê x und ê y benutzen wir die Symbole H und V (für Horizontal und Vertikal) und schreiben für den Zustand eines einzelnen Photons ( ) a Ψ = a H + b V =. b Der Clou ist jetzt, wie wir von diesem abstrakten Zustand dazu kommen, physikalische Beobachtungen voherzusagen.

3 3. Postulat: Quantenmessung und Wahrscheinlichkeiten 3..1 Die Bornsche Regel Wie schon oben ausgeführt gibt der Zustand nur Wahrscheinlichkeiten für die am System durchgeführten Messungen an. Genauer gesagt sind die Zahlen a und b Wahrscheinlichkeitsamplituden für die Messung der entsprechenden Messgröße, hier der Polarisation. Wahrscheinlichkeitsamplitude bedeutet, dass wir noch quadrieren müssen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, d.h. der Zustand sagt uns, dass für ein einzelnes Photon (Lichtteilchen) mit der Wahrscheinlichkeit p H = a eine horizontale Polarisation und P V = b eine vertikale Polarisation herauskommt, d.h. wenn der Polarisator auf horizontal steht kommt ein Photon mit Wahrscheinlichkeit a durch und wird mit Wahrscheinlichkeit b reflektiert. Da die Photonen nur diese beiden Möglichkeiten haben, also entweder reflektiert oder durchgelassen werden, muss die gesamte Wahrscheinlichkeit a +b = 1 sein. Wir wissen, dass für jeden Winkel θ gilt cos θ+sin θ = 1 also können wir schreiben a = cos θ und b = sin θ. Was heißt es, dass wir nur Wahrscheinlichkeiten angeben können? Nun, wenn die Photonen aus einem intensiven Lichtstrahl kommen, nicht viel - wenn ich eine große Zahl N Photonen auf den Polarisator schicke, dann kann ich erwarten, dass etwa Na Photonen durchkommen und Nb reflektiert werden - wie in der klassichen Erklärung dieses Experiments. Für ein einzelnes Photon kann ich aber im Allgemeinen keine zuverlässigen Aussagen machen, ein Experiment an einem einzelnen Photon ist immer mit einer Unsicherheit behaftet. In einem allgemeinen Quantenzustand ist die Polarisation nicht scharf definiert. 3.. Die Messung stört den Zustand - Zustandskollaps Dieses Postulat ist für viele das Ungewöhnlichste: Die Messung beeinflusst den Zustand des gemessenen Objekts. Nach der Messung ist die gerade gemessene Größe ja klar definiert - wenn das Photon durchgelassen wurde, dann ist es horizontal polarisiert, d.h. der Zustand ist dann Ψ T 1 = H und wenn das Photon reflektiert wurde, dann ist es im Zustand Ψ R1 = V. Was für die Polarisation einleuchtend ist, ist manchmal ungewöhnlich - einzelne Quanten sind einfach so klein, dass sie ohne Störung nicht beobachtet werden können. 3.3 Diskussion des Polarisatorexperiments Jetzt wollen wir damit die Messung in unseren drei Polarisatoren beschreiben.der erste Polarisator ist einfach: Die durchgelassenen Photonen kommen alle horizontal polarisiert an, also im Zustand Ψ T 1 = H. Der zweite Polarisator ist jetzt um einen Winkel α gedreht. Wir können die neue Durchlasspolarisation in Komponenten zerlegen als ( ) H cos α = cos α H + sin α V = sin α 3

4 und analog für die reflektierte Richtung V = sin α H + cos α V = ( sin α cos α Um jetzt den Vektor H in seine Komponenten entlang der neuen Messrichtungen H und V zu zerlegen, benutzen wir die senkrechte Projektion, d.h. wir bilden das Skalarprodukt dieser Vektoren mit H. Für das Skalarprodukt wurde in der Quantenphysik eine besonders raffinierte Schreibweise eingefährt ). H = ( H H ) H + ( V H ) V = cos α H sin α V. Jetzt können wir die Bornsche Regel auf den zweiten Polarisator anwenden und sehen, dass das Photon mit Wahrscheinlichkeit P = cos α durchgelassen wird und dann im Zustand Ψ t = H ist. Aus dieser Prozedur sehen wir als Merkregel, dass die Wahrscheinlichkeit, das Photon im entsprechenden Zustand (hier H )zu messen gerade das Quadrat der Projektion des Zustands auf den Messzustand ist. Der dritte Polarisator geht jetzt ganz analog: Er steht ja senkrecht auf dem ersten, nimmt also den Winkel π/ α mit dem mittleren Polarisator ein. Damit finden wir, in analog zum ersten H = cos ( π α ) H + sin ( π α ) V = sin α H + cos α V Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das Photon durchgelassen wird, nehmen wir jetzt die oben entwickelte Regel: Die Projektion des Zustands auf den Messzustand ist gerade sin α, also haben wir die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Photon beide Polarisatoren passiert von P = P P 3 = cos α sin α = 1 4 sin α. Dies deckt sich mit den Beobachtungen: Bei α = 0 (erste beide Polarisatoren parallel) kommt das photon nicht durch den dritten Polarisator, bei α = π/ nicht durch den zweiten. Ist α = π/4, dann ist die Wahrscheinlichkeit am Höchsten, nämlich 1/4 - das Photon kommt mit 50%-Wahrscheinlichkeit je durch Polarisator und 3. Was haben wir gesehen? Wir sehen direkt, wie die Messung das Photon stört. Wenn es diese Störung nicht gäbe, dann könnte das Photon niemals den dritten Polarisator passieren - dieses Experiment, im Photonenbild interpretiert, weist also direkt nach, dass die Beobachtung eines Quantensystems dessen Zustand stört. 4 Die Unschärferelation Eine wichtige und oft zitierte Eigenschaft der Quantenmechanik ist die Heisenbergsche Unschärferelation. Sie besagt, dass bestimmte Paare von Messgrößen, 4

5 das meistzitierte Beispiel sind Ort und Impuls, nicht gleichzeitig scharf gemessen werden können. Wir wollen dies am Beispiel der Polarisation diskutieren. Wir starten wie oben von einem allgemeinen Zustand Ψ =cos θ H +sin θ V. Wir vergleichen die Messung an einem entlang der hier gewählten Achsen ausgerichteten Polarisator mit einem um 45 Grad gedrehten. Wir haben das Messergebnis mit durchlassen bzw. reflektieren beschrieben. Um sinnvolle Zahlenwerte zu haben, ordnen wir dem Ergebnis durchlassen den Wert +1 und dem Ergebnis reflektieren den Wert -1 zu. Wenn wir das Experiment oft wiederholen, wird ein Anteil cos θdurchgelassen und ein Anteil von sin θ reflektiert. Im Schnitt erhalten wir also P 1 = cos θ sin θ = cos θ. Zur Berechnung der Unsicherheit (der Standardabweichung) benötigen wir die den Erwartungswert des Quadrates, also P 1 = cos θ + ( 1) sin θ = 1. Damit ist die Standardabweichung P 1 = P1 P 1 = 1 cos θ = sin θ. Jetzt schauen wir uns die um 45 Grad gedrehte Messung an. Wir haben oben gelernt, wie wir die neuen horizontalen und vertikalen Zustände hinschreiben H 45 = 1 ( H + V ) V 45 = 1 ( H + V ). Die Wahrscheinlichkeit, am Zustand Ψ den Wert +1, also H 45 messen, ist damit ( 1 P H45 = cos θ + 1 ) sin θ = 1 (1 + sin θ cos θ) = 1 (1 + sin θ). Und für -1 haben wir analog P V 45 = 1 (1 sin θ). Wir oben können wir den Durchschnittswert der Messung ausrechnen als P = 1 (1 + sin θ) 1 (1 sin θ) = sin θ. 5

6 Und wie oben finden wir die Standardabweichung P = 1 sin θ = cos θ. Damit ist das Produkt der Standardabweichungen P 1 P = 1 sin 4θ. Wir sehen also, dass je kleiner P 1 wird, desto größer wird P.Wenn ich die Unsicherheit einer Messung verkleinere, vergrößere ich die andere. Dass das Produkt durchaus null werden kann, liegt daran, dass Polarisation eine andere Messung ist, als Impuls und Ort. Das lernen Sie dann im richtigen Physikstudium. 6