Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE

Transkript

1 Physik-Department LS für Funktionee Materiaien WS 07/8 Übunen zu Experimentaphysik für MSE Prof. Dr. Peter Müer-Buschbaum, Dr. Voker Körstens, Dr. Neeima Pau, Sebastian Grott, Lucas Kreuzer, Simon Schaper, Tobias Widmann Voresun , Übunen 9.0., 3.0. und Batt 3. Gefedertes Auto Die efederte Masse eines Autos wird von der Federun etraen. Die efederte Masse entspricht der Gesamtmasse des Autos, abzüich der Masse der Räder, der Achsen, der Bremsen usw., die man unefederte Masse nennt. Ein PKW hat die efederte Masse von 00 k und eine unefederte Masse von 50 k. Wenn man die vier Stoßdämpfer ausbaut, rumpet das Auto mit einer Frequenz von,0 s auf und ab. Weche Dämpfunskonstante soen die vier Stoßdämpfer haben, wenn das Auto nach dem Überfahren einer Rütteschwee schnestmöich in die Geichewichtsae zurückkehren so, ohne dass die Federun die Geichewichtsae überschwint? Schnestmöiches Zurückkehren in die Geichewichtsae ohne Überschwinen bedeutet den Fa der kritischen Dämpfun. In dem Fa ist: k s = m ω 0 00 k k s =,0 s = 5,5 0 k s 4 Die enutzte Beziehun kann z.b. abeeitet werden mit Hife des Skript S. 97. Für den aperiodischen Grenzfa it: b 4c = 0 ω 0 = k s m 4ω 0 = 0 k s m k s = m ω 0

2 . Fadenpende mit Dämpfun a) Geben Sie die Differentiaeichun für den aemeinen Fa einer edämpften, harmonischen Beweun an. Leiten Sie diese aus dem Kraftansatz her. Reibunskraft: F R = k s ẋ (Reibunskonstante k s ) Rückstekraft: F = kx Kraftansatz: ma = F + F R = mẍ + kx + k s ẋ = 0 As Speziafa einer edämpften harmonischen Beweun betrachten wir nun ein Fadenpende mit einer Läne von =,000 m. Das Gewicht am Ende des Pendes hat die Masse m = 50,0. Es wird in eine schwinende Beweun mit keiner Ampitude versetzt. Nach einer Zeit von t = 30,0 s ist die Einhüende der Ampitude auf die Häfte des Ausanswertes abefaen. b) Wie autet die Differentiaeichun für diese edämpfte Schwinun? Verwenden Sie soweit möich bekannte Größen aus der Anabe sowie physikaische Konstanten. Verwenden Sie die Keinwinkenäherun. Ausenkun: s = θ Rückstekraft: F = sin θ m m θ Keinwinkenäherun: s x und sin θ θ Reibun (Dämpfun): F R = d θ Bescheuniun/Träheit: m a = mẍ = m θ m θ + d θ + m θ = 0; θ + d m θ + θ = 0 Vereich mit Skript (Geichun (4.3)): θ + b θ + c θ = 0 DGL b = d/m; c = / c) Zeien Sie, dass θ(t) = A e t/ cos(ω t) eine Lösun dieser Differentiaeichun ist.

3 Einsetzen in DGL: θ(t) = A e t/tf cos(ω t) [ ] θ(t) = A / e t/tf cos(ω t) ω e t/tf sin(ω t) = [ ] = A e t/ cos(ω t) + ω sin(ω t) θ(t) = A [ ] e t/ cos(ω t) + ω sin(ω t) ] A e t/ [ ω sin(ω t) + ω cos(ω t) ) ( ) ] θ(t) = A e t/ [( ω sin(ω t) + ω cos(ω t) b ( ω ) ( ) sin(ω t) + t ω cos(ω t) F [ ] cos(ω t) + ω sin(ω t) + c cos(ω t) = 0 [ ω sin(ω ] [ t) b ω + cos(ω t) t } F t {{} F =0 t F ω b ] + c } {{ } =0 sin- und cos-terme müssen für ae t Nu ereben = eeinete und ω = 0 = = b = b 4 ω b + c = 0 = ω = c b 4. d) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten. θ(t = 0 s) = A; θ(t = 30 s) = A/ = e 30 s/ = / = 30 s = n = = 30 s n = 43,8 s e) Wie stark unterscheidet sich die Kreisfrequenz ω des edämpften Pendes von der Kreisfrequenz ω eines eichartien Pendes ohne Reibun? b = / = 0,046 s d = m b = 50 0,046 s =,30 s 3

4 Von oben: sin-term: = b = / cos-term: ohne Reibun: ω = t F t + c = F t F ω = t F = 3,3 Hz b = 0 = / = 0 = ω (= ω 0 ) = / (= Hz) ω ω ω = / t F / = t F =,7 0 5 Die Kreisfrequenz des edämpften Systems ist sehr erinfüi keiner as die Kreisfrequenz des unedämpften Systems. Das System ist sehr schwach edämpft. 4

5 3. Gekoppete Pende Zwei mathematische Pende der Läne mit den Massen und m hänen nebeneinander von der Decke herab und seien durch eine Feder mit der Federkonstanten k miteinander verbunden. Die momentanen Ausenkunen der Pende seien mit θ (t) und θ (t) bezeichnet. Die Feder sei für θ (t) = θ (t) = 0 entspannt. a) Leiten Sie für und m jeweis die Beweunseichun in differenzieer Form her. Benutzen Sie dabei die Keinwinkenäherun. Kräfte auf Masse : F R = sin θ θ F F = k(ausenkun von Masse m - Ausenkun von Masse ) = = k( sin θ sin θ ) = k(θ θ ) Newton: m s = F R + F F 5

6 θ = θ + k(θ θ ) θ + θ k (θ θ ) = 0 (I) Anao stet man die DGL für die Masse m auf: θ + θ k m (θ θ ) = 0 (II) b) Zur Entkoppun der DGLs wurden diese in der Voresun addiert bzw. subtrahiert. Gehen Sie hier enauso vor. Wieso assen sich die DGLs auf diese Weise nicht so einfach entkoppen? (I) + (II) : (I) (II) : θ + θ + (θ + θ ) k (θ θ ) k (θ θ ) = 0 m θ θ + (θ θ ) k (θ θ ) + k (θ θ ) = 0 m In Geichun (I)+(II) kommen jeweis Terme mit θ + θ und Terme mit θ θ vor. c) Es ete nun = m. Leiten Sie die beiden Differenziaeichunen für die Fundamentaschwinunen anao zur Voresun her. Sei = m. Damit vereinfachen sich die Geichunen zu: (I)+(II): θ + θ + (θ + θ ) = 0 (I)-(II): d dt (θ + θ ) + (θ + θ ) = 0 θ θ + (θ θ ) + k (θ θ ) = 0 6

7 d ( dt (θ θ ) + + k ) (θ θ ) = 0 d) Geben Sie die aemeinen Lösunen dieser Differenziaeichunen an. Weche Frequenzen haben diese Fundamentaschwinunen (Formen)? (I)+(II) ist Schwinunseichun mit Variabe θ + θ eichphasie Schwinun θ eich(t) = θ (t) = θ (t) erfüt DGL θ eich (t) = θ 0,eich cos(ω eich t + α) mit ω eich = (Feder hat keinen Einfuss) (I)-(II): ist Schwinunseichun mit Variabe θ θ eenphasie Schwinun θ een(t) = θ (t) = θ (t) erfüt DGL mit ω een = + k θ een (t) = θ 0,een cos(ω een t + β) e) Es seien nun = m =,00 k, = 0,750 m und k = 5,0 N/m. Zeichnen Sie hierfür θ (t) und θ (t) für beide Fäe in ein Koordinatensystem. Ae Anfansausenkunen seien betrasmäßi π/80 und ae Anfanseschwindikeiten seien 0. θ (0) = θ (0) = 0 = α = nπ ; β = mπ n und m anzzahi speziee Lösun: α = β = 0 = ω eich = π T eich T een = = T eich = π π + k = = 9,8 m/s 0,75 m π 9,8 m/s 0,75 m π + 5 N/m,0 k =,74 s =,0 s 7

8 f) Nun ehen wir von spezieen Anfansbedinunen aus. Es ete θ (0) = π/80, θ (0) = 0 und θ (0) = θ (0) = 0. Berechnen Sie die Beweunseichunen θ (t) und θ (t) anao zur Voresun. θ (0) = π 80 ; θ (0) = 0 = θ (0) θ (0) = π 80 =: θ 0 = θ (0) + θ (0) Fundamentaschwinunen ehorchen den Ansätzen: [() + ()] : () θ (t) + θ (t) = θ 0 cos(ω eich t) () θ (t) θ (t) = θ 0 cos(ω een t) θ (t) = θ [ 0 cos(ωeich t) + cos(ω een t) ] = (Additionstheorem) = 8

9 = θ 0 cos [() ()] : = ( ωeich θ + ω een 0 cos ( ( + + k ) ) ( ωeich ω een t cos t ) cos ( ( = π 80 cos(4,9 (s ) t) cos(,3 (s ) t) ) t = ) ) + k t = θ (t) = θ [ 0 cos(ωeich t) cos(ω een t) ] = (Additionstheorem) = = ( ) ( ) ωeich θ + ω een ωeich ω een 0 sin t sin t = = π 80 sin(4,9 (s ) t) sin(,3 (s ) t) 9