y = ( gt +C 3 )dt = 1 2 gt 2 +C 3 t +C 4. (9) (3) (4) ẋ(t = 0) = C 1 = v 0 cosα C 1 = v 0 cosα, ẏ(t = 0) = g 0+C 3 = v 0 sinα C 3 = v 0 sinα.

Transkript

1 Kinematik und Dnamik Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 13, KW 1 Lösunshinweise Seite 1 Kinematik der einachsien/räumichen Beweun Version vom 9. Jui 13 Tutorium Aufabe 4 a) Aus dem Diaramm at) über t wird die Forme für at) entnommen at) ist eine ineare Funktion mit Achsenabschnitt a und Steiun a t ): at) = a a t t. 1) Durch Interation eribt sich daraus mit der Randbedinun v) = ) die Geschwindikeit: vt) = a t)d t = [ a t a 4t t ] t=t t= = a t a 4t t ) st) wird emäß nebenstehender Skizze as der momentane Ort des Bas definiert. Danach ist s) =. Durch Interation der Geschwindikeit eribt sich: st) [ a st) = v t)d t = t a 3] t=t 1t t t= t ) = a t3 1t 3) In a diesen Formen ist t zunächst noch unbekannt. t wird bestimmt durch die Nebenbedinun, dass der Ba zu dieser Zeit das Rohr veräßt, aso st ) = t ) st ) = a t3 1t 1 = a t 1) 1 1 t = 5 = 5 1 a t = a 4) Wird jetzt4) in die Beziehun für die Geschwindikeit) einesetzt, eribt sich die Geschwindikeit beim Verassen des Rohres: vt ) = a t a ) = 3 4 a t b) = 3 4 a 1 5 4t t = a t a = 7 a 5) Die Beweun des Baes nach Verassen des Rohres ist eine zweidimensionae Beweun, die im Kartesischen, - Koordinatensstem über den Ortsvektor: r = e + e ) beschrieben wird. In diesem ortsfesten Koordinatensstem sind der zuehörie Geschwindikeits- und Bescheuniunsvektor erade: r = ẋ e +ẏ e und r = ẍ e +ÿ e. 7) Die - und Anteie der Beweun des Baes nach Verassen des Rohres können etrennt betrachet werden. In der -Richtun handet es sich um eine unbescheunite Beweun die Geschwindikeit beibt konstant). Es eribt sich demnach nach zweifacher unbestimmter Interation die Koordinate t ): ẋ = ẍdt = C 1, = ẋdt = C 1 dt = C 1 t +C. 8) Hierbei ist zu beachten, dass zur Abkürzun eine neue Zeitbezeichnun t eineführt wird, die ab dem Verassen des Rohres zäht: t = t t. Die Interationskonstanten C 1 und C sind später durch Anfansbedinunen zu bestimmen. Zunächst wird mit dem -Antei in der eichen Weise verfahren. In dieser Richtun wird der Ba Richtun Erdmittepunkt aso in neativer -Richtun) bescheunit: ẏ = ÿdt = dt = t +C 3, = t +C 3 )dt = 1 t +C 3 t +C 4. 9) Die vier Interationskonstanten sind aus vier Anfansbedinunen zu bestimmen. Zwei erhät man aus der Tatsache, dass die Geschwindikeit bei Verassen des Rohres bekannt ist: v = vt ) aus Geichun 5). Aus der v sinα v α v cosα nebenstehenden Skizze können die - und -Komponenten dieser Geschwindikeit abeesen werden. AB 1 ẋt = ) = v cosα 1) AB ẏt = ) = v sinα 11) Der Ursprun des, -Koordinatensstems iet am Ende des Abschussrohres. Somit erhät man zwei weitere Anfansbedinunen: AB 3 t = ) = 1) AB 4 t = ) = 13) Aus den Anfansbedinunen AB 1 und AB fot direkt: ẋt = ) = C 1 = v cosα C 1 = v cosα, ẏt = ) = +C 3 = v sinα C 3 = v sinα. Die weiteren Konstanten ereben sich durch Auswerten der Anfansbedinunen AB 3 und AB 4: t = ) = C 1 +C = C =, t = ) = 1 +C 3 +C 4 = C 4 =. Einsetzen der ermitteten Konstanten in die Geichunen 8) und 9) führt auf die Komponenten des Ortsvektors t ) und t ): t ) = v cosαt 14) t ) = t +v sinαt. 15)

2 Kinematik und Dnamik Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 13, KW 1 Lösunshinweise Seite Kinematik der einachsien/räumichen Beweun Version vom 9. Jui 13 Gefrat ist nach der Weite bis zum Aufscha des Baes. Geichun 14) ibt den zurückeeten We zu jeder beiebien Zeit t an. Der Zeitpunkt des Aufschas t A äßt sich aus Gn. 15) ermitten. Im betrachteten,- Koordinatensstem befindet sich der Ba auf der Höhe t A ) = h: t A) = t A +t Av sinα = h t A v sinα t A h = t A1/ = v sinα ± v sin α + h Offensichtich ist der Wurzeausdruck rößer as der Summand davor, die Variante mit dem neative Vorzeichen würde aso insesamt zu einer Zeit t A < führen. Das ist nicht sinnvo, da der Aufscha erst nach dem Abschuss erfoen so. Die richtie Lösun ist deshab: t A = v sinα v + sin α + h Wird diese Beziehun in Geichun 14) einesetzt, so erhaten wir mit v = 7 a aus Geichun 5)) die Weite A, die ein Ba fiet: A = t v sinα v A) = + sin α + h ) v cosα c) Die Geichun für die senkrechte Ortskoordinate ist Geichun 15). Die Etrema dieser Geichun unter denen sich dann auch das esuchte Maimum befinden sote) erhät man übicherweise, indem man die Nustee der ersten Abeitun ermittet. Äquivaent dazu ist die foende Heranehensweise: Der Ba erreicht seine maimae Fuhöhe enau in dem Moment t M, in dem seine senkrechte Geschwindikeitskomponente ẏt ) erade Nu wird. ẏt ) = t M +v sinα! = t M = v sinα We Rϕ zurückeet die Läne des entsprecheden Kreisboensementes am Radumfan). Die Höhe des Mittepunktes verändert sich nicht. M und M seien die Koordinaten des Mittepunktes, dann it: M t) = Rϕt) M t) = R Die Koordinaten R und R des Vektors R, der vom Mittepunkt des Rades zum Punkt Titus weist, können der Skizze entnommen werden: R t) = Rsinϕt) R t) = Rcosϕt) Der Drehwinke ϕt) eribt sich aus der Anabe d dt ϕt) = ω = konst durch Interation. Die Interationskonstante ϕ ist Nu, wie man der Skizze zur Aufabensteun entnehmen kann. ϕt) = M ωd t+ϕ = ωt Die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt Titus ereben sich durch Addition von M und R: T t) M t) R t) = + T t) M t) R t) [ ] [ ] ϕt) sinϕt) ωt sinωt = R = R 1 cosϕt) 1 cosωt Die Koordinaten des Geschwindikeitsvektors ereben sich daraus durch Abeiten nach der Zeit: v t) ẋt t) 1 cosωt = = Rω v t) ẏ T t) sinωt Die Koordinaten des Bescheuniunsvektors ereben sich ebenso durch Abeiten: a t) v t) = = Rω sinωt a t) v t) cosωt R ϕ Nun ist die Höhe H M des Bas über dem Boden in diesem Moment eeben durch die senkrechte Ortskomponente Geichun 15)) zuzüich dem Abstand zwischen Koordinatenursprun am Ende des Abschußrohres) und dem Boden: H M = t M)+h = t M +t Mv sinα+h = v sin α + v sinα v sinα+h H M = 1 v sin α + h maimae Fuhöhe Aufabe 11 M sei der Ortsvektor des Radmittepunktes. Wenn das Rad sich um den Winke ϕ edreht hat, hat es dabei den

3 Kinematik und Dnamik Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 13, KW 1 Lösunshinweise Seite 3 Kinematik der einachsien/räumichen Beweun Version vom 9. Jui 13 Hausaufaben Aufabe a) Es so zunächst der Abstand nach Abauf der Schrecksekunde bestimmt werden. Hierfür wird ein Koordinatensstem verwendet, dass seinen Ursprun an der Position von Auto B zum Zeitpunkt t = hat. Beide Autos beween sich bis zum Zeitpunkt t = T mit jeweis konstanter Geschwindikeit. Der Abstand der beiden Autos zum Zeitpunkt t = T ist dann erade: b) Mit unserem Erebnis für a und der Beziehun 19) eribt sich die esuchte Zeit: t G = v bzw. t = 3 v. ) Durch Einsetzen erhaten wir zudem die Strecke, emessen von der Position an der B beinnt zu bremsen: = s A t = T) s B t = T) = V A T + V B T = 1) Nun wird eine neue Zeit eineführt, die ab dem Zeitpunkt des Bremsens it: t = t T. Zusätzich wird ein neues Koordinatensstem eineführt, das seinen Ursprun an der Position von Auto B zum Zeitpunkt t = T bzw. t = hat. Die Bescheuniun des Waens B ist konstant und durch Interation erhaten wir die Geschwindikeit: v B t) = und die Position: s B t) = a d t+v B = a t +v, a t+v d t+s B = 1 a t +vt. In der eichen Weise verfahren wir mit der Beweun des Autos A: v A t) = s A t) = d t+v A = v, v d t+s A = vt +. Ein Zusammenstoß findet im Grenzfa t = t G erade dann statt wenn die foenden Bedinunen erfüt sind: s A t = t G) = s B t = t G), 17) v A t = t G) = v B t = t G). 18) Eine zu hohe Geschwindikeit des Autos B würde einen Zusammenstoß bewirken, umekehrt würde eine zu erine Geschwindikeit den Zusammenstoß änzich verhindern. Auswerten der Bedinun 18) führt auf: a t G +v = v t G = v a 19) und schießich mit der Bedinun 17) zu: 1 a v a ) v v a = v v a + a = v. Dies ist die notwenie Mindestbescheuninu, um einen Zusammenstoß erade noch zu verhindern. Mit den eebenen Zahenwerten und der Beziehun v B = v eribt sich die notwendie Bremsverzöerun: ) 1 m a s = m a = 5 m s. s B t ) = 3. 1) a)die zeitichen Veräufe von We und Geschwindikeit steen sich mit den in b) eebenen Werten foendermaßen dar: We st) in [m] Geschwindikeit vt) in [m/s] Zeit t in [s] s A t) s B t) Zeit t in [s] v A t) v B t)

4 Kinematik und Dnamik Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 13, KW 1 Lösunshinweise Seite 4 Kinematik der einachsien/räumichen Beweun Version vom 9. Jui 13 Aufabe 5 eeben: rt) = +sinωt) I) Ort Geschwindikeit Bescheuniun t) = a t ẋt) = at ẍt) e. rt) = a1 t +vt+r ṙt) e. rt) = a1 st) e. ṡt) = LΩcosΩt st) = LΩ sinωt ] t) = u ω [1+e ωt e ωt ẏt) e. ÿt) = uωe ωt t) e. 1) ) ϕt) = e t ϕt) e. ϕt) = e t t) = Lcosλt v ẋt) = Lλsinλt v 3 ẍt) e. λ sinλt λ cosλt ϕ = Ω = konst ) dϕ dt = Ω 7) ϕt) d ϕ = Ωd t 8) ϕt) = Ωt 9) ϕ rcosψ rcosψsinϕ rcosψcosϕ ψ = θ = konst 3) dϕ dt = θ Bestimmun von ψ : ψt) ψ d ψ = θd t 31) ψt) ψ = θt 3) ψt) = θt+ψ II) z)! = zt) = +rt)sinψt) 33) t = = + +sinωφ ) sinψ) 34) = +sinψ : 35) = 1+sinψ 3) 1): ẏt) = r r ω t t t 1 ) 3 cos Ψt) t t 1 sin Ψt) ): ÿt) = 3r ) 5 t t 1 cos Ψt) 4 ) 3 +r ω t t t 1 sin Ψt) mit Ψt) = ω t t ) r ω t t 1 sin Ψt) 4r ω 4 t t t 1 cos Ψt) : 1 = sinψ 37) sinψ = 1 ψ = arcsin 1 ) 38) ψ = π ψt) = θt π ) 39) 4) ae bekannten Größen einsetzen ψ = 3 t) = rt)cosψt)cosϕt) 41) = +sinωt)cos θt π ) cos Ωt 4) Aufabe 8 Aufsteen eines Ortsvektors: rt) = t)e +t)e +zt)e z ) t) = +sinωt)cosψt)sinϕt) 43) = +sinωt)cos θt π ) sin Ωt 44) t) = rcosψcosϕ 3) t) = rcosψsinϕ 4) zt) = +rsinψ 5) z r ψ rcosψ rsinψ zt) = +rsinψ 45) = + +sinωt)sin θt π ) 4) Geschwindikeitsvektor: ẋ v = ẏ bzw v = ẋe +ẏe +że z 47) ż

5 Kinematik und Dnamik Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 13, KW 1 Lösunshinweise Seite 5 Kinematik der einachsien/räumichen Beweun Version vom 9. Jui 13 [ ẋt) = +sinωt)cos θt π ) cosωt] 48) [ = +sinωt) cos θt π ) cos Ωt+ 49) [ +sinωt) cos θt π cosωt+ 5) )] +sinωt)cos θt π ) cosωt ) ] 51) [ = ΩcosΩtcos θt π ) cos Ωt+ 5) +sinωt) sin θt π ) ) θ cos Ωt+ 53) +sinωt)cos θt π ) sinωt ) ] Ω 54) t) und t) unterscheiden sich nur im etzten Term, anstatt cosωt steht sint, somit kann man ẏt) eich schreiben. [ ẏt) = ΩcosΩtcos θt π ) sin Ωt 55) +sinωt)θsin θt π ) sin Ωt+ 5) +sinωt)cos θt π ) ] ΩcosΩt 57) beachte Vorzeichen beim Abeiten) [ żt) = ΩcosΩtsin θt π ) + 58) +sinωt)θcos θt π )] 59)