27. Vorlesung Wintersemester

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1 27. Voresung Wintersemester 1 Nichtineare Dynamik: Agemeines Eine wichtige neue Erkenntnis zur kassischen Mechanik, die erst durch die Verwendung von Computern mögich war, ist die verbüffende Kompexität der Lösungen sebst von reativ einfachen Bewegungsgeichungen. Hier so das am Verhaten des erzwungenen nichtinearen Pendes demonstriert werden. Die mathematische Anayse seines Verhatens ist zwar schwierig, aber Computerdemonstrationen erauben es, auch ohne den voen Hintergrund einiges kennenzuernen. Die nichtineare Mechanik hat zu der Einsicht geführt, dass chaotisches Verhaten nur mögich ist, wenn ein System 1. mindestens durch drei Zustandvariabe charakterisiert ist, und 2. nichtineare Koppungen in den Bewegungsgeichungen enthät. Grob gesagt braucht man nichtineare Koppungen, wei ineare Differentiageichungen, wie wir gesehen haben, im wesentichen Lösungen haben, die aus periodischen bzw. exponentie an- oder absteigenden Anteien bestehen. Der Begriff der Zustandvariaben taucht auf, wenn man die Bewegungsgeichungen ae as Differentiageichungen erster Ordnung schreibt. Für die Newtonsche Bewegungsgeichung z. B. wird so aus ẍ = F/m das gekoppete System v = F/m, ẋ = v, (1) aso zwei gekoppete Differentiageichungen für die beiden Variaben x und v. Diese sind die Zustandsvariaben, wei man ja beide kennen muss, um die Zukunft des Systems berechnen zu können. 2 Der Phasenraum Um die voe Information über die Bewegung eines Punktteichens wiederzugeben, ist es damit nützich, den Phasenraum (eng. phase space) einzuführen. Er hat die Koordinaten (x, v) in der kassischen Mechanik wird meist stattdessen (x, p) verwendet. Die Bewegung des Teichens äußert sich dann in der Phasenraumtrajektorie (x(t), v(t)), die aso nicht nur die Bahnkurve, sondern auch die Geschwindigkeit der Bewegung aufträgt. Beispie: für den ungedämpften harmonischen Osziator sind die Phasenraumtrajektorien i. A. Eipsen (meist macht man daraus Kreise, indem die Achsen passend skaiert werden), und für den gedämpften Osziator Spiraen, die zum Ursprung hinaufen. Eine wichtige Eigenschaft der Phasenraumtrajektorien ist, dass sie sich nicht schneiden dürfen. Der Grund ist einfach, dass die Geichungen mit Anfangsbedingung (x(0), v(0)) eine eindeutige Lösung haben, aso müssen zwei Trajektorien, die einen Punkt gemeinsam haben, zusammenfaen. Bei einem zweidimensionaen Phasenraum wird dadurch die Form der Trajektorien so sehr eingeschränkt, dass Chaos nicht mögich ist. 1

2 Wenn ein System durch mehr Zustandsgrößen x i, i = 1... n bestimmt wird, hat man die agemeine Formuierung ẋ i = F i (x 1... x n ), i = 1... n. (2) Man beachte, dass die Zeit auf der rechten Seite auch nicht expizit auftreten darf. Wenn sie vorkäme, dann könnte dersebe Punkt im Phasenraum zu verschiedenen Trajektorien führen, je nachdem, zu wecher Zeit er erreicht würde. 3 Das Fadenpende Beim mathematischen Pende ist eine Punktmasse m über einen masseosen Faden der Länge an einem Aufhängepunkt befestigt. ϑ PSfrag repacements F S F Z m F S F S Wegen r = = const. formuiert man die Bewegungsgeichungen am besten in Poarkoordinaten (r, ϑ): r = e r (3) r = ϑ e ϑ (4) r = ϑ e ϑ ϑ 2 e r (5) Der zweite Summand in der Bescheunigung entspricht der Zentripetabescheunigung durch die Zugkraft ( F Z ), die die Bewegung auf einem Kreis hät und dabei auch die Komponente der Schwerkraft senkrecht zum Kreisbogen ( F S ) aufhebt. In tangentiaer Richtung bescheunigend wirkt nur der Schwerkraftsantei parae zur Kreisinie ( F S ). Mit F S = mg sin ϑ e ϑ erhaten wir die Bewegungsgeichung für den Ausenkwinke ϑ: m ϑ = mg sin ϑ ϑ + g sin ϑ = 0 (6) Für Schwingungen mit keinen Winken ist sin ϑ ϑ, und es iegt ein harmonischer Osziator mit ω = g vor.

3 In jedem Fa sind ϑ und ϑ = ω geeignete Zustandsvariabe für die Bewegung mit den Bewegungsgeichungen ϑ = ω (7) ω = g sin ϑ (8) Da der Phasenraum hier 2-dimensiona ist, ist keine chaotische Bewegung mögich. 4 Bewegungsgeichungen für das erzwungene Pende Ein Pende mit Reibung und anregender Kraft (periodisch mit fester Frequenz) hat in der vertrauten Formuierung die Bewegungsgeichung m ϑ + γ ϑ + mg sin ϑ = A cos(ω D t). (9) Um das in ein System gekoppeter Differentiageichungen erster Ordnung umzuschreiben, definieren wir ω = ϑ, ω D = ϕ (10) Die Einführung des Winkes ϕ, der trivia von der Zeit abhängt: ϕ = ω D t, (11) hat den Zweck, die Zeit nicht mehr expizit in den Bewegungsgeichungen auftreten zu haben. Das führt zu einem dreidimensionaen Phasenraum. Man kommt aso auf die Bewegungsgeichungen dt = ω, dω dt = ω q sin ϑ + f cos ϕ, dϕ dt = ω D. (12) Da wir hier nur am mathematischen Probem interessiert sind, wurden die frei wähbaren Koeffizienten mit q = m γ und f = A m zusammengefasst und die Zeiteinheit so gewäht, dass g/ = 1 wird. 5 Attraktoren Im Fae des gedämpften Pendes ohne anregende Kraft ist kar, dass die Trajektorien im agemeinen in den Ursprung des Phasenraumes hineinspiraen werden, wei sowoh Ausenkung as auch Winkegeschwindigkeit exponentie abkingen. Dieser Punkt zieht aso die Trajektorien in sich hinein; er ist ein Attraktor. Im Agemeinen ist ein Attraktor ein Punkt x im Phasenraum, in dem ae Zeitabeitungen verschwinden, d. h. nach den Bewegungsgeichungen F ( x) = 0. (13) Wenn das System sich in diesem Punkt befindet, dann beibt es aso dort. Spezie für das Pende ohne äußere Kraft sind die Bewegungsgeichungen Für einen Attraktor git aso dt = ω, dω dt = ω q sin ϑ. (14) ω = 0, sin ϑ = 0. (15) Da der Ausenkwinke im Interva ( π, +π] iegt und sich dann periodisch wiederhot, gibt es zwei Lösungen:

4 1. Der Punkt ω = 0, ϑ = 0. Das entspricht der Ruheage des Pendes, aso dem intuitiv naheiegenden Attraktor. 2. Der Punkt ω = 0, ϑ = π. Die physikaische Situation ist die, dass das Pende im höchsten Punkt auf dem Kopf steht. Offensichtich ist diese Konfiguration instabi: jede keine Störung wird es hinunterschwingen assen. 6 Stabiitätsanayse Um die Stabiität mathematisch zu untersuchen, benutzen wir ein Verfahren, das immer wieder nützich sein wird: die Linearisierung um den Ruhepunkt herum. Im Prinzip entspricht das der Näherung mit einer inearen Kraft nach dem Hooke schen Gesetz, und je nach Vorzeichen der Kraft bekommt man exponentie faende oder anwachsende Lösungen, aso Stabiität oder Instabiität. In der Nähe des Attraktors bei ω = 0, ϑ = 0 kann man den Sinus as sin ϑ ϑ nähern, und die Bewegungsgeichung wird damit d 2 ϑ dt 2 = 1 q dt ϑ, (16) (jetzt wieder as Differentiageichung 2. Ordnung geschrieben, um an den harmonischen Osziator zu erinnern). Hierin sind die Vorzeichen so, wie es für einen gedämpften Osziator sein sote, d. h. die Lösungen faen mit der Zeit exponentie in den Attraktor zurück. Anders ist es für den Attraktor bei ω = 0, ϑ = π. Wenn man aus diesem Punkt im Phasenraum ausenkt zu (ω, π + ϑ), (17) so kann der Sinus genähert werden as sin ϑ = sin(π + ϑ) ϑ (18) (man betrachte den Graphen der Funktion an dieser Stee). Damit wird die Bewegungsgeichung zu d 2 ϑ dt 2 = 1 d ϑ + ϑ. (19) q dt Mit dem vertrauten Ansatz erhät man die Bestimmungsgeichung mit den beiden Lösungen ϑ(t) = Ae αt (20) α 2 + α/q 1 = 0 (21) α ± = 1 1 2q ± + 1. (22) 4q2 Offensichtich sind beide Werte ree, und zwar α < 0 und α + > 0. Man bekommt aso eine exponentie ansteigende, instabie Lösung, die vom Attraktor wegführt und woh in den anderen Attraktor übergeht, und eine abkingende, die genau in diesem Attraktor zur Ruhe kommt. Letzteres ist die in der Praxis vöig unerreichbare Situation, dass das Pende genau so angestoßen wird, dass es nach oben schwingt und durch die Reibung exakt im höchsten Punkt zur Ruhe kommt. Das Zusammenspie der beiden Lösungen sieht man wie fogt: die agemeine Lösung ist ϑ(t) = A + e α+t + A e α t, ω(t) = α + A + e α+t + α A e α t (23)

5 Wenn die Anfangsbedingung nicht so aussieht, dass A + = 0 exakt erfüt ist, wird nach einiger Zeit immer dieser exponentie ansteigende Beitrag dominieren und die Trajektorie sich von diesem Attraktor weg dem anderen zuwenden. Nur für A + = 0 äuft die Trajektorie entang der Geraden ω = α ϑ (24) geradewegs in den Attraktor, wie man sofort aus der Lösung sieht. Diese Gerade spiet die Roe einer Separatrix. Die Trajektorien auf ihren beiden Seiten aufen jeweis in einen anderen Attraktor hinein. Da bei dieser Anayse die ineare Näherung benutzt wurde, ist die Separatrix nur in der Nähe des Atrraktors annähernd eine Gerade. Weiter entfernt wird sie durch nichtineare Effekte davon abweichen PSfrag repacements ϑ F Z m F S F S F S Das Bid zeigt einen Überbick über die Phasenraumstruktur (die eingezeichneten Trajektorien sind keine Lösungen der Bewegungsgeichungen, sondern freihand gemat). Die Pfeie an den Trajektorien zeigen die Richtung der Bewegung. Zu beachten ist, dass sich aes im Winke periodisch wiederhot; z. B. sind die inks und rechts eingezeichneten Separatrices in Wirkichkeit diesebe Kurve.