Ähnlichkeits- und Dimensionsanalyse in mechanischen Problemen
|
|
- Erna Küchler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Ähnichkeits- und Dimensionsanayse in mechanischen Probemen 12. Dezember 2012 Einführende Bemerkung: Diese Notizen enthaten nicht das ganze Materia der entsprechenden Voresungen. In vieen Fäen ist es mögich, das physikaische Probem zu anaysieren, ohne die entsprechenden Geichungen ösen zu müssen. Dies git as hohe Kunst der theoretischen Physik. Die voriegenden Notizen betrachten einige dabei anwendbare Methoden, die auf dem geichen Ansatz basieren: Was passiert mit dem Zahenwert der entsprechenden physikaischen Größe, wenn man die Maßeinheiten oder die Werte der Parameter ändert. Empfohende Lektüre: Bridgman P. W Dimensiona Anaysis, Yae Univ. Press, New Haven (es gibt späteren Ausgaben). Sedov L. I. 1959, Simiarity and Dimensiona Anaysis in Mechanics, Acad. Press, N.Y. (es gibt späteren Ausgaben). Barenbatt G. I Simiarity, Sef-Simiarity, and Intermediate Asymptotics, Cambridge Univ. Press, Cambridge. Barenbatt G. I Scaing, Cambridge Univ. Press, Cambridge. 1 Ähnichkeitsanayse Im fogenden Abschnitt anaysieren wir die uns schon bekannten Fäe der Bewegung unter konstanter Kraft (z.b. freier Fa), der harmonischen Schwingung und des Keper- Probems. Ae diese Fäe haben gemein, dass sie durch Potenz-Funktionen der entsprechenden Koordinaten dargestet werden können: F = mge z freier Fa, F = κr harmonische Schwingung F = γ Mm r 2 e r Keper-Probem. 1
2 Ae diese Abhängigkeiten haben die Tatsache gemein, dass F(αr) = α n F(r) (wobei α > 0 eine beiebige positive Zah ist). Die Werte von n sind: n = 0 n = 1 n = 2 für den freien Fa, für die harmonische Schwingung, für das Keper-Probem. Die Bewegungsgeichung des Systems ist durch m d2 r = F(r) (1) dt2 gegeben. Nehmen wir an, dass uns die Bahnkurve der Bewegung bekannt ist, und anaysieren wir die Bewegung auf einer geometrisch ähnichen Bahnkurve, wobei r um α skaiert sei. Den skaierten Ortsvektor αr nennen wir r. Wir betrachten aso die Transformation r r = αr. Statt eine andere Bahnkurve zu betrachten, kann man einfach eine Maßeinheit der Länge um Faktor α 1 ändern: Numerisch führt das zu der geichen Änderung der Bewegungsgeichung, die auf die Transformation r = αr hinausäuft. Die Änderung der Maßeinheiten um einen Faktor nennt man eine Skaentransformation. Bei der Transformation der Länge um den Faktor α ändert sich die Kraft um Faktor α n, sodass die Bewegungsgeichung (1) eine andere Gestat annimmt: oder m d2 dt 2 αr = αn F(r), α 1 n m d2 dt 2 r = F(r). Ändert man geichzeitig ae Zeiten um den Faktor β, t t = βt (oder die Zeiteinheit um den Faktor β 1 ), so erhät man die Geichung die, wenn man α 1 n d 2 mr = F(r), β 2 dt2 β = α (1 n)/2 wäht, die geiche Gestat wie G. (1) hat. G. (1) ist demnach invariant unter der Skaentransformation L αl T α (1 n)/2 T. Das bedeutet: Wenn wir geometrisch ähniche Bewegungen betrachten, so stehen die Zeiten der Bewegung zwischen korrespondierenden Punkten der Trajektorien in fogender Beziehung zueinander: ( ) t (1 n)/2 t =. 2
3 Beispiee: (i) Für den freien Fa (n = 0) erhaten wir t t = ( h h ) 1 2 = h h. D.h. die Fazeiten von zwei verschiedenen Höhen entsprechen der Quadratwurze aus der Höhen, oder t h. (ii) Für harmonische Schwingungen (n = 1) sehen wir, dass ( ) t 0 t = = 1, d.h. dass die Periode der Schwingung von ihrer Ampitude unabhängig ist, und (iii) für das Keper-Probem sehen wir, dass t t = ( ) 3 2, d.h. dass die Quadrate der Umaufzeiten sich wie Kuben der Abmessungen der Orbits verhaten. Hier haben wir natürich weder bewiesen, dass die Orbits Eipsen sind, noch dass diese Zeiten nicht von den keinen Habachsen der Eipsen abhängen. Im Prinzip können wir nicht nur Skaen, sondern auch die Werte der Parameter in der Geichungen ändern. Betrachten wir z.b. den eindimensionaen harmonischen Osziator: m d2 dt 2 x = kx. Die geiche Überegung wie oben können wir benutzen, wenn wir die Masse ändern. Die geichzeitige Änderung der Masse um Faktor γ und der Zeit um Faktor γ 1/2 ändert die Gestat der Geichung nicht, so dass t m t = m. (2) Das geiche passiert, wenn wir geichzeitig k um den Faktor γ und t um γ 1/2 ändern: t k t = k. (3) Aus den Geichungen (2) und (3) und aus der Unabhängigkeit der Periode von der Ampitude der Schwingung erhaten wir m T k. In diesem Fa können wir nur den numerischen Vorfaktor 2π nicht durch die quaitative Überegung bekommen. 3
4 2 Dimensionsanayse Eine Variante der Ähnichkeitsüberegungen kann auch dann benutzt werden, wenn die Geichungen entweder zu kompiziert sind, um die Abhängigkeiten von den interessanten Größen unmittebar aus den Geichungen zu bekommen, oder wenn die Geichungen gar nicht vorhanden sind. 2.1 Dimensionen der physikaischen Größen Man fängt mit einem genügenden Vorrat von Grundgrößen an. In der Mechanik, ega weches der gängigen Einheitensysteme Sie benutzen, gibt es drei Grundgrößen: Länge L (gemessen in Meter, Zentimeter, Kiometer, Fuß, Zo u.s.w) Masse M (Kiogramm, Gramm, Pfund, Tonne) Zeit T (Sekunde, Minute, Jahr). Diese Grundgrößen werden as unabhängig angesehen, d.h. es gibt drei unabhängige Messvorschriften: Man misst die Länge mit einem Maß, die Zeit mit der Uhr und die Masse mit der Waage. Ae anderen mechanischen Größen werden aus diesen drei abgeeitet. Zum Beispie misst man die Geschwindigkeit mit dem Maß und der Uhr, in Meter pro Sekunde oder in Kiometer pro Stunde. Ega, weche Maßstäbe (d.h. genaue Einheiten) für die Grundgrößen eingesetzt werden, ist unser System vom LMT -Typ. Wir nehmen an (d.h. postuieren), dass ae Einheitensysteme geichen Typs äquivaent sind, d.h. die physikaischen Geichungen in aen diesen Systemen die geiche Gestat haben. Keines der Systeme der Einheiten vom geichen Typ ist durch irgendeine Eigenschaft ausgezeichnet (abgesehen von Kraft des Gesetzes, das uns SI vorschreibt). In der Voresung wurden die Beispiee für andere Einheitensysteme (z.b. LFT) genannt, und nicht-physikaische Geichungen diskutiert, die nur in einem Einheitensystem geten. Sei Y eine abgeeitete Größe. Ihre Dimension kann immer in Form eines Monoms [Y ] = L T t M m (4) dargestet werden, wobei m, und t reee Zahen sind. Die Bezeichnung [...] für die Dimension einer Größe stammt von J. C. Maxwe. Zum Beispie ist die Dimension der Geschwindigkeit [v] = LT 1 und die der Bescheunigung [a] = LT 2. Die Bedeutung von diesen monomiaen Formen ist wie fogt: Wenn sich z.b. die Einheit der Länge um den Faktor α ändert, so ändert sich der Zahenwert von Y um den Faktor α. Das heißt: Ändert sich geichzeitig die Längeneinheit um den Faktor α, die Zeiteinheit um den Faktor β und die Masseneinheit um den Faktor γ so ändert sich die Maßeinheit von Y um den Faktor φ = α β t γ m. Sind die Potenzen = t = m = 0, so sagt man, dass die Größe Y dimensionsos ist. Die Zahenwerte der dimensionsosen Größen sind in aen Einheitensystemen geichen Typs geich. Bei der Formuierung der physikaischen Gesetze gehen wir davon aus, dass, obwoh die Einheiten der Hauptgrößen wikürich gewäht sind, die Beziehungen zwischen zwei 4
5 geichartigen, in einem physikaischen Experiment gemessenen (oder theoretisch berechneten) Größen in aen Einheitensystemen geich sind. D.h. wenn die Geschwindigkeit v 1 eines Körpers in m/s zwei ma so groß ist wie die Geschwindigkeit eines anderen Körpers v 2 in m/s, d.h. v 1 = 2v 2, dann git das geiche, wenn die entsprechenden Geschwindigkeiten in Fuß pro Minute oder in Kiometer pro Stunde gemessen werden. In anderen Worten heißt das, dass der Quotient Y 1 /Y 2 nicht vom Einheitensystem abhängt (d.h. er ist dimensionsos). Das ist die Aussage des von P. W. Bridgman formuierten Prinzips der absouten Bedeutung reativer Größen : Eine Zah Q, erhaten durch das Einsetzen der numerischen Werte der Parameter in eine Forme, ist nur dann eine physikaische Größe, wenn der Quotient zweier socher Zahen bei der Änderung der Grundeinheiten konstant beibt. Betrachten wir zuerst ein Beispie, wobei eine beiebige physikaische Größe Y von mehreren Parametern der Dimension der Länge abhängt (z.b. das Voumen eines Quaders mit unterschiedichen Abmessungen): Y = f(x 1,..., x n ) = f(x), wobei ae Werte von x i einfachheitshaber as Komponenten eines mutidimensionaen Vektors x zusammengefasst sind. Die Funktion f, die die Form des physikaischen Gesetzes darstet, ist in aen Einheitenystemen geich (z.b. V = f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 ), die Zahenwerte von x i und von V bzw. Y sind in unterschiedichen Einheitssysteme unterschiedich. Betrachten wir nun die Resutate von Messungen oder Berechnungen der Voumina zweier Quader Y und Y (d.h. die Zahenwerte der Observaben). Der Wert Y Y = f(x ) f(x) so dimensionsos, und daher skaenunabhängig sein: oder f(x ) f(x) = f(αx ) f(αx), f(αx ) f(x ) = f(αx) f(x). Bezeichnen wir mit Y (α) den Zahenwert von Y in einem Einheitensystem mit den um einen Faktor α gegenüber dem Ausgangssystem veränderten Einheiten, so ist die etzte Geichung wie fogt umzuschreiben Y (α)/y (1) = Y (α)/y (1). Bezeichnen wir nun Y (α) Y (1) = Y (α) Y (1) = φ(α). Betrachten wir drei unterschiediche Einheitensysteme, unser Ausgangssystem und zwei andere mit Skaenfaktoren α 1 und α 2 : Ausgangssystem 2. System 3. System r α 1 r α 2 r. 5
6 Daraus fogt: Y (α 1 ) Y (1) = φ(α 1), (5) Y (α 2 ) Y (1) = φ(α 2). (6) Das dritte System kann auch as ein Einheitensystem mit der um Skaenfaktor α = α 2 /α 1 gegenüber dem 2. System veränderter Längeneinheit betrachtet werden. D.h.: ( ) Y (α 2 ) Y (α 1 ) = φ α2. (7) Vergeichen wir G en (5), (6) und (7) so sehen wir, dass φ(α 2 ) φ(α 1 ) = φ α 1 ( α2 α 1 ). (8) Diese Funktionageichung wird wie fogt geöst. Differenzieren wir G. (8) nach α 2, so wird sie zu: φ (α 2 ) φ(α 1 ) = 1 ( ) φ α2. α 1 Setzen wir nun α 1 = α 2 = α, so erhaten wir eine Differentiageichung für φ: Die Lösung dieser Geichung autet α 1 1 φ(α) φ (α) = 1 α φ (1). n φ(α) = n α + C mit = φ (1); C ist die Integrationskonstante. Exponenzieren wir beide Seiten der Geichung, so erhaten wir φ(α) = Aα. Die Konstante A = exp(c) ist dadurch festgeegt, dass φ(1) = 1, d.h. φ(α) = α. Die geiche Überegung kann auf die Situationen angewendet werden, wenn Y von Koordinaten, Massen und Zeiten abhängt. Auf diesem Weg beweist man die agemeine Beziehung φ(α, β, γ) = α β t γ m, (mit α, β und γ die Skaenfaktoren von der Länge, Zeit und Masse), die as Interpretation der Beziehung (4) dient. Wir betrachten nämich drei Einheitensysteme geichen Typs (z.b. drei MLT-Systeme) und diskutieren Y 1 Y = φ(α 1, β 1, γ 1 ), 6
7 und Y 2 Y = φ(α 2, β 2, γ 2 ), ( Y 2 α2 = φ, β 2, γ 2 Y 1 α 1 β 1 γ 1 Es git: ( φ(α 2, β 2, γ 2 ) φ(α 1, β 1, γ 1 ) = φ α2, β 2, γ ) 2. (9) α 1 β 1 γ 1 Die Lösung dieser Funktionageichung erfogt in mehreren Schritten, jeder davon ist dem Lösungsweg von G. (8) ähnich. Differenzieren wir G. (9) nach α 2 und setzen wir α 2 = α 1 = α, β 2 = β 1 = β und γ 2 = γ 1 = γ, so erhaten wir d φ(α, β, γ) dα = 1 d φ(α, β, γ) α dα φ. α=β=γ=1 Nehmen wir an, dass ). d φ dα α=β=γ=1 =, so erhaten wir die Lösung α2 α1 φ(α, β, γ) = α A 1 (β, γ), da die Integrationskonstante A 1 von zwei weiteren Parametern abhängen kann. Setzen wir diese Lösung in G. (8) ein, so bekommen wir ( ) ( A 1 (β 2, γ 2 ) A 1 (β 1, γ 1 ) = α2 β2 A 1, γ ) 2, α 1 β 1 γ 1 d.h. ( A 1 (β 2, γ 2 ) A 1 (β 1, γ 1 ) = A β2 1, γ ) 2. (10) β 1 γ 1 Das ist eine Geichung vom geichen Typ wie unsere G. (8), aber mit einer Variaben weniger! Wiederhoen wir die Prozedur (differenzieren nach β, setzen β 2 = β 1 = β und γ 2 = γ 1 = γ), so bekommen wir die Differenziageichung für A 1, d A dβ 1(β, γ) = t A 1 (β, γ) β mit t = d A dβ 1(β, γ). Die Lösung autet β=γ=1 A 1 (β, γ) = β t A 2 (γ). Diese Lösung wird in G. (10) eingesetzt. Die Geichung für A 2 fogt: ( ) A 2 (γ 2 ) A 2 (γ 1 ) = A γ2 2. Diese Geichung ist wiederum vom Typ der G. (8) und ihre Lösung autet Insgesamt erhaten wir γ 1 A 2 (γ) = Aγ m. φ(α, β, γ) = Aα β t γ m. Der Wert von A wird durch die Forderung φ(1, 1, 1) = 1 festgeegt und ist A = 1. 7
8 2.2 Das Buckingham sche Π-Theorem Die Dimensionen von verschiedenen physikaischen Größen (Grundgrößen und auch abgeeiteten Größen) können unabhängig oder voneinander abhängig sein. Die Dimensionen von X, Y, Z u.s.w. sind unabhängig, wenn die Dimension von X nicht as monomae Form von Dimensionen von Y, Z u.s.w. dargestet werden kann. Zum Beispie ist die Dimension der Dichte [ρ] = M/L 3 von den Dimensionen der Geschwindigkeit [v] = L/T und der Zeit T unabhängig; die Dimension der Bescheunigung [a] = L/T 2 dagegen nicht. Es ist wichtig, dass die unabhängigen Größen ebenso as Grundgrößen eines Einheitensystems betrachtet werden können. So können wir z.b. die Masse, die Zeit und die Geschwindigkeit, oder die Masse, die Länge und die Bescheunigung as Grundgrößen wähen, und dann entsprechend die Länge oder die Zeit as abgeeitete Größen betrachten. Seien die m Grundgrößen a i, i = 1, 2,..., m festgeegt (in der Mechanik m = 3), deren Dimensionen [a i ] = A i sind. Dann sind die Dimensionen aer anderen physikaischen Größen a as [a] = A p 1 i A p A p m m darzusteen (was aus G. (4) fogt, wobei wir die Dimension der aten Grundgrößen durch die Dimensionen der neuen Grundgrößen ausdrücken). Sei a die gesuchte physikaische Größe, die wir as Funktion der Größen a 1, a 2,..., a n darsteen woen: a = f(a 1, a 2,..., a n ). Von diesen Größen haben die ersten k unabhängige Dimensionen (in der Mechanik k = 3), die Dimensionen der restichen Größen sind von diesen k abhängig. Seien die Dimensionen a dieser Größen wie fogt: [a] = A p 1 1 A p A p k k, gesuchte Größe [a 1 ] = A 1, Grundgröße [a k ] = A k, Grundgröße [a k+1 ] = A q 1 1 A q A p k k, [a n ] = A r 1 1 A r A r n n, abgeeitete Größe abgeeitete Größe Ändert man die Einheiten von a 1,..., a k, so ändern sich die Zahenwerte der Parameter wie fogt: a = α p 1 1 α p α p k k a a 1 = α 1 a 1... Im neuen System git: a k = α k a k a k+1 = α q 1 1 α q α q k k a k+1... a n = α r 1 1 α r α rn n a n a = α p 1 1 α p α p k k a = α p 1 1 α p α p k k f(a 1,..., a n ) = f(α 1 a 1,..., α k a k, α q 1 1 α q α q k k a k+1,..., α q 1 1 α q α q k k a n ) 8
9 Die zwei etzten Geichungen definieren die notwendigen Homogenitätseigenschaften der Funktion f bezügich den Skaenfaktoren. Nehmen wir jetzt die Skaenparameter geich der inversen Zahenwerten der Variaben a 1,..., a k : α 1 = 1 a 1,..., α k = 1 a k. Die numerischen Werte der Parameter a, a k+1,..., a n sind dann durch a = Π = a k+1 = Π 1 =... a n = Π n k = a a p 1 1 a p 2 a k a p k k a q 1 1 a q a q k k a n a r 1 1 a r a r k k gegeben. Betrachtet man nun die Dimension der Parameter Π, Π 1,..., Π n k as Funktionen von Variaben a,..., a n, so merkt man, dass diese dimensionsos sind. Die Zahenwerte der Parameter Π, Π 1,..., Π n k hängen daher nicht von der Wah der Skaa der anfängichen Größen ab. Die Beziehung zwischen n + 1 dimensionsbehafteten Werten, a = f(a 1, a 2,..., a n ) kann demnach as Beziehung zwischen n + 1 k dimensionsosen Kombinationen der Parameter Π, Π 1,..., Π n k dargestet werden: d.h. Π = f(1,..., 1, Π 1,..., Π n k ) = f 1 (Π 1,..., Π n k ), a = a p 1 1 a p a p k k f }{{} 1 (Π 1,..., Π n k ). (11) }{{} (2) (1) Hier ist die Kombination (1) das Produkt der dimensiona unabhängigen Parameter, das die richtige Dimension des gesuchten a hat, und die Funktion (2) ist die Funktion der aus diesen unabhängigen Parametern und der restichen Parameter gebideten dimensionsosen Kombinationen. G. (11) stet die Aussage des Π-Theorems (Buckingham, 1914) dar. 2.3 Beispiee Mathematisches Pende Nehmen wir an, wir wissen, aus wechen Gründen auch immer, dass die gesuchte Periode T, [T ] = T, der keinen Schwingungen eines mathematischen Pendes nicht von ihrer Ampitude (maximaer Ausschag x) abhängt. Dann haben wir insgesamt 3 reevante Parameter: die Länge des Pendes, [] = L, seine Masse m, [m] = M, und die Bescheunigung 9
10 g, [g] = L/T 2. Diese drei sind unabhängig. Es gibt nur eine Kombination dieser Parameter mit der Dimension der Zeit. Betrachten wir die monomiae Form T = L α ( L T 2 ) β M γ, oder Dann sehen wir, dass T 1 = L α+β T 2β M γ. 0 = α + β 1 = 2β 0 = γ d.h. α = 1/2, β = 1/2 und γ = 0, sodass T g. Angenommen, die Ampitude der Schwingungen ist auch gegeben. In diesem Fa haben wir einen zusätzichen dimensionsosen Parameter Π 1 = x, sodass T = ( x ) g f. Das vorherige Resutat bekommen wir, wenn x/ 0, da es keinerei Grund gibt anzunehmen, dass f(0) = Fuss in einem Rohr Hier ist ein Beispie aus dem Ihnen weitgehend unbekannten Gebiet der Hydrodynamik. Betrachten wir einen Fuss in einem Rohr unter Einwirkung des Druckgefäes p = (p 2 p 1 )/. Der Druck ist die pro Fächeneinheit wirkende Kraft. Uns interessiert der Massenstrom Q, der durch die über den Querschnitt des Rohres gemittete Geschwindigkeit v gegeben wird: Q = πr 2 ρv. Die Dimensionen der wichtigen Parameter sind: [Q] = M T, und [ p] = M L 2 T 2, [v] = L T sowie die Dichte ρ [ρ] = M L 3, 10
11 die Viskosität η, und der Radius des Rohres r [η] = M LT [r] = L. Die Viskosität η ist eine wichtige Eigenschaft der Füssigkeit, die ihre Zähigkeit beschreibt: Honig hat eine höhere Viskosität as Wasser, Wasser hat eine höhere Viskosität as Luft. Sie wird im Experiment mit Hife von zwei Patten gemessen, wobei sich die obere Patte gegenüber der unteren mit der Geschwindigkeit v (reativ angsam) bewegt. Der Abstand zwischen den Patten ist L. Man hat festgestet, dass die pro Fächeneinheit der oberen Patte wirkende Kraft (Scherspannung) proportiona zu v und invers proportiona zu L ist: F A v L. Der Proportionaitätskoeffizient ist genau die Viskosität. Ihre Dimension ist aus der oberen Geichung zu bestimmen: ML/T 2 = [η] L/T L 2 L und ist [η] = M/LT wie angegeben. Bemerkung: Diese Diskussion ist ein bisschen anders as in der Voresung, wo ich die Diskussion an den Lösungsweg der Hausaufgabe angepasst habe! Nur drei der fünf Parameter haben unabhängige Dimensionen, und es ist deswegen mögich, aus diesen zwei dimensionsose Kombinationen zu bauen. Nehmen wir z.b. ρ, v und r as soche unabhängige Parameter, so sind diese dimensionsosen Größen: Das heißt: Π = p ρ α v β r γ und Π 1 = p = Πρ α v β r γ η = Π 1 ρ α 1 v β 1 r γ 1. η ρ α 1 v β 1r γ 1. Lösen wir das System der agebraischen Geichungen für α, β u.s.w., die aus diesen Beziehungen fogen: [ p] = M L 2 T 2 = ( M L 3 ) α ( ) β L L γ, T [η] = M LT = ( M L 3 ) α1 ( L T) β1 L γ 1, so erhaten wir 1 = α 2 = 3α + β + γ 2 = β und 11 1 = α 1 1 = 3α 1 + β 1 + γ 1 1 = β 1
12 und α = 1, β = 2, γ = 1, α 1 = 1, β 1 = 1 und γ 1 = 1. Laut Π-Theorem G. (11) bekommen wir nun Π = f(π 1 ) oder ( ) p 2 p 1 r η ρv = f. (12) 2 ρvr Das Argument der Funktion auf der rechten Seite der Geichung ist nichts anderes as die inverse Reynods-Zah: Re = ρvr η. Die Funktion f ist unbekannt, aerdings muss man sagen: Wir haben vie geernt! Betrachten wir z.b. die Bewegung mit sehr keinen Geschwindigkeiten (keinen Reynodszahen), bei der sich ae Teichen der Füssigkeit mit konstanten Geschwindigkeiten auf geraden Bahnen entang des Rohrs bewegen. Eine soche Bewegung heißt aminar. Die Bescheunigung der Teichen verschwindet, und deswegen können ihre Massen (und damit auch die Dichte der Füssigkeit) keine Roe spieen! Das ist nur der Fa, wenn die Funktion f(x) eine ineare Funktion ihres Arguments ist: f(x) = const x. Setzen wir diese Funktion in G. (12) ein und ösen wir diese nach v auf, so erhaten wir v = const p2 p 1 r 2, η weshab für den Massenstrom Q = πr 2 ρv fogt: Q = const π p 2 p 1 r 4. η Das einzige, dass wir mit diesem Zugang nicht bekommen haben, ist der numerische Faktor const = 1/8! Im Agemeinen ist die Abhängigkeit des Massenstromes Q (oder der über den vertikaen Schnitt des Rohres gemitteten Geschwindigkeit v) von dem Parameter kompex, aber es ist wichtig, dass dieser eine Funktion von einen einzigen Parameter Re ist, und diese Funktion kann experimente ermittet werden. Dabei reicht es vokommen, nur ein Rohr und eine Füssigkeit zu untersuchen! Die geiche Überegung git z.b. für die Widerstandskraft F, die auf eine Kuge einwirkt, die sich mit der Geschwindigkeit v in einer Füssigkeit bewegt (Hausaufgabe). Die Parameter sind hier praktisch dieseben: und [F] = ML/T 2 [v] = L T der Radius der Kuge sowie die Dichte ρ [r] = L [ρ] = M L 3, 12
13 die Viskosität η der Füssigkeit. Hier kann [η] = M LT Re = ρvr η. ebenfas as einzige dimensionsose Kombination der Parameter angesehen werden, die das gesuchte Druckgefäe nicht einschießt. (Die kinematische Viskosität ν = η/ρ ist m 2 /s für die Luft bei 20 C und 10 6 m 2 /s für das Wasser bei 20 C.) Die geichen Überegungen geten für Körper von geometrisch ähnicher Form aber unterschiedichen Größen, die sich mit unterschiedichen Geschwindigkeiten bewegen. Hier sind einige typische Größenordnungen für Reynodszahen: Objekt Reynodszah Re Bakterien 10 4 Fiegen 10 2 But in einem großen Gefäß 10 3 Schwimmer 10 6 Großes Schiff / Fugzeug 10 9 Für Fugzeuge und Schiffe kommt aerdings noch jeweis ein anderer dimensionsoser Parameter in Frage: Durch die Bewegung von einem sochen Objekt in einem Fuid (d.h. in einem füssigen oder gasförmigen Medium) können Ween erzeugt werden: Im Fa vom Fugzeug sind das die Schaween (Geschwindigkeit v = c S, Schageschwindigkeit, praktisch konstant), im Fa vom Schiff sind das die Oberfächenween in tiefem Wasser (Geschwindigkeit hängt stark von der Weenänge λ ab, v gλ). Deswegen gibt es entsprechende zusätziche dimensionsose Parameter: Mach-Zah Ma = v/c S beim Fugzeug Froude-Zah Fr = v/ gl beim Schiff Bohrscher Radius Eine andere wichtige Anwendung der Dimensionsanayse bezieht sich auf die Ermittung der intrinsischen charakteristischen Skaen des Systems. Das Wasserstoffatom besteht aus einem Eektron und einem Proton, dessen Masse m P as sehr groß vergichen mit der Eektronenmasse m e angenommen werden kann (ζ = m e /m p 1/1836). Das Keper-Probem in einem Wasserstoff-Atom (Couomb- Wechsewirkung) hat demnach fogende festgeegte Parameter: Masse m e des Eektrons (oder entsprechende reduzierte Masse) mit Dimension M die Eektronenadung e, deren Dimension von der Wah des Einheitensystems abhängig ist. 13
14 In rein-mechanischen cgs-system (LMT-System) ist diese durch das Couomb-Gesetz in der Form F = q2 r 2 gegeben. Daher [q] = M 1/2 L 3/2 T 1. In SI (LMTI-System) gibt es eine zusätziche Fundamentagröße, Strom I (in Amper gemessen); die Dimension der Ladung ist [q] = IT, das Couomb-Gesetz erhät ein zusätzichen, dimensionsbehafteten Umrechnungskoeffizienten 1/4πε 0 : F = 1 q 2 4πε 0 r. 2 Die Dimension von ε 0 ist demnach [ε 0 ] = M 1 L 3 T 4 I 2. Aus e und m e (in cgs), oder aus e, m e und ε 0 (in SI) kann man keine Kombination mit der Dimension der Länge biden: in einem kassischen Probem gibt es keine Fundamentaänge. Die Längenskaa der Bewegung ist durch Anfangsbedingung festgeegt hat Max Panck verstanden (und postuiert), dass es eine Naturkonstante gibt, die, wie wir jetzt wissen, die Effekte auf sehr keinen Skaen reget: die Pancksche Konstante h. Diese hat die Dimension [h] = ML 2 T 1 (die Dimension der Wirkung, die geiche wie Drehimpus). Aus den Naturkonstanten e, m e und h (in cgs) oder e, m e, ε 0 und h (in SI) kann man eine charakteristische Länge biden: den Bohrschen Radius oder a 0 h2 me 2 (in cgs) a 0 ε 0h 2 (in SI). me 2 Die Roe, die die Pancksche Konstante h in der Atomphysik spieen würde, wurde 1910/11 von dem österreichischen Physiker A.E. Haas erkannt, vor der Einführung des Bohrschen Atommodes und 15 Jahre vor der Formuierung der Quantenmechanik. Bemerkung: Der numerische Wert von h J s ist kein, und a 0 ist a m. Für Interessierte. Finden Sie das Anaogon des Bohrschen Radius für das Keper- Probem (Gravitationswechsewirkung). Wie groß ist diese für das Sonne-Erde-System? Weche Schussfogerungen können Sie daraus ziehen? Pancksche Skaen Die Naturkonstanten h (Pancksche Konstante) mit der Dimension [h] = ML 2 /T, γ (Gravitationskonstante) mit der Dimension [γ] = L 3 /MT 2 und c (Lichtgeschwindigkeit) mit der Dimension [c] = L/T haben unabhängige Dimensionen, und können as Grundgrößen eines Einheitensystems benutzt werden, wie es von Max Panck in 1899 vorgeschagen wurde (vor der Formuierung der Quantenmechanik und der Reativitätstheorie!). Die Werte von diesen Naturkonstanten egen die charakteristischen Skaen fest, auf 14
15 denen die Quanteneffekte in Gravitation eine Roe spieen können. Diese sind hc m p = = kg (Pancksche Masse), γ hγ p = = m (Pancksche Länge), c hγ 3 t p = = s (Pancksche Zeit). c 5 Das Kürze h = h/2π ist die Standardnotation. Es wird angenommen, dass der Raum und die Zeit auf den entsprechenden Skaen anders geartet sind, as auf den uns übichen Skaen, und deren Beschreibung neue Theorien erfordert (Quantengravitation). 15
WÄRMELEITFÄHIGKEIT UND ELEKTRISCHE LEITFÄHIGKEIT VON METALLEN
INSIU FÜR ANGEWANDE PHYSIK Physikaisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Hamburg, Jungiusstraße WÄRMELEIFÄHIGKEI UND ELEKRISCHE LEIFÄHIGKEI VON MEALLEN Eineitung In diesem
MehrVorwort 6 1 Der TI-Nspire CX CAS 7
Inhatsverzeichnis 3 Inhatsverzeichnis Vorwort 6 1 Der TI-Nspire CX CAS 7 1.1 Der Hauptbidschirm............................... 8 1.2 Die Bidschirmeemente des TI-Nspire CX CAS................ 9 1.3 Das
MehrPraktische Einführung in die Chemie Integriertes Praktikum:
Praktische Einführung in die Chemie Integriertes Praktikum: Versuch 1-1 (ABS) Optische Absorptionsspektroskopie Versuchs-Datum: 13. Juni 2012 Gruppenummer: 8 Gruppenmitgieder: Domenico Paone Patrick Küssner
MehrKlasse : Name : Datum :
Widerstand eins Drahtes; Widerstandmessung mit der Wheatstone-Brücke Kasse : Name : Datum : Versuchszie : Wir woen untersuchen, von wechen Größen der Widerstand eines Drahtes abhängig ist. Vermutung: Wir
MehrBlatt 5. - Lösungsvorschlag
Fautät für Physi der LMU München Lehrstuh für Kosoogie, Prof Dr V Muhanov Übungen zu Kassischer Mechani (T) i SoSe Batt 5 - Lösungsvorschag Aufgabe 5 Binäres Sternsyste a) Wieviee Freiheitsgrade hat das
Mehr1.3 Elektrothermische Energiewandlungsvorgänge in Gleichstromkreisen
6 Vorgänge in eektrischen Netzwerken bei Geichstrom.3 Eektrothermische Energiewandungsvorgänge in Geichstromkreisen.3. Grundgesetze der Erwärmung und des ärmeaustauschs Erwärmung So ein örper der Masse
MehrMathematisches Pendel und Federpendel
INSIU FÜR ANGEWANE PHYSIK Physikaisches Praktiku für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Haburg, Jungiusstraße 11 Matheatisches Pende und Federpende 1 Zie In zwei Versuchsteien soen die
MehrAbbildung 1: Die Einheitszelle ist rot markiert - sie enthält zwei Atome. Die hcp (hexagonal closly packed) hat eine zweiatomige Basis.
Prof. Dr. Sehuber-Unke Biokompatibe Nanomateriaien Lösungen zu Batt Aufgabe 7: Hexagonaes Gitter Abbidung : Die Einheitszee ist rot markiert - sie enthät zwei Atome a) Bestimmung der Koordinaten der Basisatome
MehrEin Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen
Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung paraboischer Differentiageichungen Dissertation zur Erangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.) der Mathematisch Naturwissenschaftichen Fakutät der Rheinischen
MehrDie Transaktionskasse
z z ˆ =.4 Prof. Dr. Johann Graf Labsdorff Uniersität Passau 4. Transaktionskasse und Vorsichtskasse WS 007/08 F n Pfichtektüre: Jarchow, H.-J.: Theorie und Poitik des Gedes, 11. überarb. und wesent. erw.
MehrUmrechnung der Feuchtegrößen bei Stickstoff und Druckluft
Reort Nr. 2 Seteber 2003 Urechnung er Feuchtegrößen bei Stickstoff un Druckuft Doh Pharaceutica Engineering Autor Dr. Wof Zieer wof.zieer@he.e Seite 3 Urechnung er Feuchtegrößen bei Stickstoff un Druckuft
MehrMichelson-Versuche ohne Lorentz-Kontraktion
Miheson-Versuhe ohne Lorentz-Kontraktion Horst P. H. Meher, Potsdam Zusammenfassung Der Miheson-Versuh (MV) und seine zahreihen Wiederhoungen sowie Varianten und Modifikationen iefern mit ihren Nuresutaten
MehrRingbildung beim Michelson-Interferometer
1 Ringbidung beim Micheson-Interferometer Ausgangspunkt ist das Hygensche Prinzip, dass von jedem Punkt einer Weenfront Kugeween, d.h. Ween in ae Raumrichtungen, ausgehen. Das erstauniche ist nun, dass
MehrInterferenzen gleicher Dicke
Fakutät für Physik und Geowissenschaften Physikaisches Grundpraktikum O9 Interferenzen geicher Dicke Aufgaen 1. Bestimmen Sie den Krümmungsradius einer konvexen Linsenfäche durch Ausmessen Newtonscher
MehrQuantitative Analyse mittels Titration
Quantitative Anayse mittes Titration - Ermittung des Säuregehats in Speiseessig - Hausarbeit im Seminarfach Chemie Patrick Heinecke 25. November 2008 Inhatsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Theorie 3 2.1 Titration.......................................
MehrFachbereich Bauingenieurwesen 31.03.2010 Fachgebiet Bauinformatik Semesterklausur Bauinformatik I (Nr.19) Name :... Matr.-Nr.:...
FH Potsdam Fachbereich Bauingenieurwesen 31.03.2010 Fachgebiet Bauinformatik Semesterkausur Bauinformatik I (Nr.19) Name :... Matr.-Nr.:... Geburtsdatum: (voräufig) max. COMPUTER Nr.:.. Erreichte Aufgabe
MehrLeitfähigkeitstitrationen
. Leitfähigkeitstitration. Leitfähigkeitstitrationen Einführung Übicherweise werden bei Säure-Base-Titrationen zur Erkennung des Äquivaenzpunktes Farbindikatoren eingesetzt. Wenn aerdings die Lösungen
MehrChemisches Gleichgewicht
Chemisches Geichgewicht ohensäure und Carbonate Eperiment 1: Gasförmiges CO wird in ein Reagenzgas mit Wasser und BTB (Bromthymobau eingeeitet. Das Reagenzgas wird daraufhin erhitzt. Beobachtung: Man kann
MehrÜbung 6 - Musterlösung
Experimentaphysik für Lehramtskandidaten und Meteoroogen 6. Mai 00 Übungsgruppeneiter: Heiko Dumih Übung 6 - Musterösung Aufgabe 5: Kupfereiter Cu-Leiter: Länge =.5m, Eektronenadung q =.60 0 9 C, Leitungseektronendihte
Mehr2 Lineare, partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung - Lösungsmethoden
Lieare, partiee Differetiageichuge zweiter Ordug - Lösugsmethode Treug der Variabe Homogee Probeme Der recherische Aufwad, eie ieare, partiee Differetiageichug -ter Ordug i die Normaform zu brige, wird
MehrÜbungen zur Vorlesung. Mobile und Verteilte Datenbanken. WS 2008/2009 Übung 2 Anfrageoptimierung in zentralisierten Datenbanksystemen LÖSUNG
Dr. rer. nat. Sven Groppe Übungen zur Voresung Mobie und Verteite Datenbanken WS 28/29 Übung 2 Anfrageoptimierung in zentraisierten Datenbanksystemen Aufgabe 1: Fogende Reationen seien gegeben: LÖSUNG
MehrLaborpraktikum Sensorik. Versuch. ph-wertsensoren S 5
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakutät für Eektrotechnik und Informationstechnik Institut für Mikro- und Sensorsysteme (IMOS) Fakutät für Verfahrens- und Systemtechnik Chemisches Institut Laborpraktikum
MehrPatiententipps zu IGeL-Leistungen. Wenn Sie beim Arzt extra bezahlen sollen
Patiententipps zu IGeL-Leistungen Wenn Sie beim Arzt extra bezahen soen Patiententipps zu IGeL-Leistungen Zur Orientierung: vier IGeL-Gruppen Wenn Sie beim Arzt extra bezahen soen Ob Innendruckmessung
MehrTransformator. Technische Universität Dresden Fachrichtung Physik. Inhaltsverzeichnis. Physikalisches Praktikum. 1 Aufgabenstellung 2
Technische Universität Dresden Fachrichtung Physik Transformator Inhatsverzeichnis Physikaisches Praktikum L. Jahn 03/ 1996 Versuch: TR bearbeitet 04/ 004 1 Aufgabensteung Stromdurchossene Spue.1 Spue
MehrEinleitung: Was ist Marketing?
Eineitung: Was ist Marketing? Die Abäufe auf Märkten geich wecher Art haben sich im Grundsatz nie geändert: Es geht um die Befriedigung von Bedürfnissen durch den Austausch von Waren gegen Ged. Aus Bedürfnissen
MehrINstallation. Installation. High-Performance ISDN by...
INstaation Instaation in windows Windows NT High-Performance ISDN by... FRITZ!Card in Windows NT instaieren FRITZ!Card in Windows NT instaieren In dieser Datei wird die Erstinstaation aer Komponenten von
MehrVorlesung Quantenchemie
Voresung Quantenchemie Stefan Zahn Physikaisch-Chemisches Institut Justus-Liebig-Universität Gieÿen, Heinrich-Bu-Ring 7, 35392 Gieÿen stefan.zahn@phys.chemie.uni-giessen.de Eineitung Zu Abschnitt bis 2
MehrSchaltzeichen: Q k = U Die Konstante k ist vom Aufbau des Kondensators abhängig. Sie wird Kapazität C genannt:
Kapazität und nduktivität - KOMPKT. Der Kondensator. ufbau Ein Kondensator besteht aus zwei eitfähigen Patten, den Eektroden und einem dazwischen iegenden soierstoff, dem Dieektrikum. Schatzeichen: Wird
MehrElektrische Einheiten und ihre Darstellung
Die Messung einer physikalischer Größe durch ein Experiment bei dem letztlich elektrische Größen gemessen werden, ist weit verbreitet. Die hochpräzise Messung elektrischer Größen ist daher sehr wichtig.
MehrInterview zur BegriffsklŠrung Quelle: Watermann, A Guide to Expert Systems, 1986, 166-169.
Wissensmodeierung: Stadien 6 Einführung in Expertensysteme 17. Voresung: Wissensmodeierung: Rapid Prototyping und Modebasierter Ansatz Methoden der KŸnstichen Inteigenz Ipke Wachsmuth ÊWS 2000/2001 Der
Mehrwww.dergefahrgutbeauftragte.de
Königsdiszipin Lithiumbatterien Lithiumbatterien zu versenden ist nicht einfach. Michae Miska zeigt Ihnen, wie Sie sich orientieren und worauf Sie achten soten. Mehr auf Seite 6 Es fehen Maßstäbe Ein aktuees
MehrDreisatzrechnen bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen
Dreisatzrechnen bei umgekehrt proportionaen Zuordnungen Ein Teich wird ausgepumpt. 2 Pumpen benötigen dazu 9 Stunden. Wie viee Stunden benötigen 3 Pumpen zum Auspumpen des Teichs? Ansatz 2 9 h 3? h Dreisatz
Mehr300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale
300 Arbeit, Energie und Potential 30 Arbeit und Leistung 30 Felder und Potentiale um was geht es? Arten on (mechanischer) Energie Potentialbegriff Beschreibung on Systemen mittels Energie 3 potentielle
MehrMultichannel Verification System (Mehrkanal-Verifizierungssystem)
MVS Mutichanne Verification System (Mehrkana-Verifizierungssystem) Steigern Sie die Quaität Ihres Liquid Handings durch eine einfache und zuverässige Verifizierung Ist die Handhabung kritischer Voumina
MehrVersuch 4: Konzentrationsbestimmung mit der potentiometrischen Titration und Bestimmung der Pufferkapazität eines Essigsäure/Acetatpuffers
1 Versuch 4: Konzentrationsbestimmung mit der potentiometrischen Titration und Bestimmung der Pufferkapazität eines Essigsäure/Acetatpuffers 1. Theorie und Aufgabensteung Theorie und Methode Bei der potentiometrischen
Mehr3 + 4A. 2012 Montag, 11. Juni Qualifikationsverfahren Allgemeinbildung. Grundwissen. Schlussprüfung (SP) für 3-jährige Lehren, Teil 3 und 4, Serie A
2012 Montag, 11. Juni Quaifikationsverfahren Agemeinbidung Schussprüfung (SP) für 3-jährige Lehren, Tei 3 und 4, Serie A 3 3. Lehrjahre Grundwissen 4. Grafiken 3 + 4A Kontronummer Name Vorname Beruf Kasse
MehrAutomatische Parallelisierung
Automatische Paraeisierung Seminar: Srachen für Paraerogrammierung Juian Oermann Die Entwickung von ezienten und korrekten araeen Programmen ist schwierig. Automatische Paraeisierung bedeutet, dass die
MehrGoldene Zeiten für CAD/CAM-Doppelkronen. cehagold Fräsen in Edelmetall
Abb. 1 Anwender streng einzuhaten. C. Hafner offeriert seit über drei Jahren das Fräsen von Edemeta, doch die Erfahrung zeigt, dass optische Scansysteme nicht idea sind, um Primärteie einzuscannen und
Mehr1 + 2A. 4 H Lehrjahre. 2011 Freitag, 10. Juni Qualifikationsverfahren Allgemeinbildung. 1. Lesen 2. Schreiben
2011 Freitag, 10. Juni Quaifikationsverfahren Agemeinbidung Schussprüfung (SP) für 4-jährige Lehren, Tei 1 und 2, Serie A 4 H Lehrjahre Kontronummer Name Vorname Beruf Kasse 1. Lesen 2. Schreiben 1 + 2A
MehrTelefon- und Handyrechnung. Richtig reklamieren
Teefon- und Handyrechnung Richtig rekamieren Ärger mit der Teefonrechnung gehört inzwischen zum Atag vieer Verbraucher. Hierauf hat die Poitik reagiert: Mit dem Teekommunikationsgesetz gibt es einige neue
MehrMIKROLINSEN-IMPRINT-LITHOGRAFIE. Halbleitertechnik für bessere Mobiltelefon-Kameras
52 HALBLEITERTECHNIK Habeitertechnik für bessere Mobiteefon-Kameras Die derzeitige Fertigung von Kameras für Mobiteefone ist noch immer von aufwendigen manueen und habautomatischen Arbeitsschritten geprägt.
MehrDie numerische Behandlung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für chemische Reaktionen
Kapite 2 Die numerische Behandung der zeitabhängigen Schrödinger-Geichung für chemische Reationen In diesem Abschnitt soen grundegende Verfahren zur numerischen Behandung der Schrödinger-Geichung besprochen
MehrElektrotechnik Formelsammlung
Eektrotechnik Formesammung INHALTSVERZEICHNIS Inhatsverzeichnis Geichstromkreise. Spannung, Strom, Widerstand, Energie, Leistung..................2 Spannungs- / Stromqueen.............................
MehrExperimentalphysik I: Lösung Übungsklausur
Experimentalphysik I: Lösung Übungsklausur 3. Januar 1 1 (5 Punkte) Eine Punktmasse, welche sich zum Zeitpunkt t = am Koordinatenursprung befindet, bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = α cos t δ βt
MehrZahnersatzkosten im Griff. Wichtige Regeln zum Zahnersatz speziell zum Heil- und Kostenplan
Zahnersatzkosten im Griff Wichtige Regen zum Zahnersatz spezie zum Hei- und Kostenpan Ega, ob der Zahnarzt eine Krone oder ein Impantat empfieht: Gesetzich Krankenversicherte können die Behandungsmethode
MehrPersonalAusbilden. Das aktuelle Nachschlagewerk für Praktiker
Das aktuee Nachschagewerk für Praktiker von Dr. Günter Cramer, Stefan F. Diet, Prof. Dr. Hermann Schmidt, Prof. Dr. Wofgang Wittwer Grundwerk mit 95. Ergänzungsieferung Deutscher Wirtschaftsdienst Unterscheißheim
MehrPrüfungsaufgaben Modul ANS07: Anwendungssysteme im Finanz- und Rechnungswesen ANS701. Dipl. Kaufmann FH
Bei Postversand: Bitte Seiten zusammenheften. Seite 1 von 5 Prüfungsaufgaben Modu : Anwendungssysteme im Finanz- und Rechnungswesen ANS701 Name/Vorname: Straße: PLZ/Ort: Ausbidungszie/Schuabteiung: Dip.
MehrHandbuch OES. Handreichung 14 Zielvereinbarung mit der Schulverwaltung
Handbuch OES Handreichung 14 Zievereinbarung mit der Schuverwatung Autorenteam: Susanne Thimet (verantwortich) Kutusministerium, Referat Grundsatzfragen und Quaitätsmanagement beruficher Schuen Dr. Rüdiger
MehrHÖHERE TECHNISCHE BUNDESLEHRANSTALT SAALFELDEN Höhere Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik. Angewandte Elektrotechnik AET
HÖHEE TECHNSCHE BNDESLEHNSTLT SLFELDEN Höhere bteiung für Eektrotechnik und nformationstechnik ngewandte Eektrotechnik ET Formesammung Geichstromtechnik- Geichstromschatungen Eektrisches und Magnetisches
Mehr13.Selbstinduktion; Induktivität
13Sebstndukton; Induktvtät 131 Sebstndukton be En- und Ausschatvorgängen Versuch 1: Be geschossenem Schater S wrd der Wderstand R 1 so groß gewäht, dass de Gühämpchen G 1 und G 2 gech he euchten Somt snd
MehrSparkasse Fürstenfeldbruck und Immobilien
Sparkasse Fürstenfedbruck und Immobiien Eigentum schaffen im schönen Landkreis Fürstenfedbruck. In sechs Schritten zum Eigentum. So einfach ist das... mit Ihrer Sparkasse Fürstenfedbruck. S Sparkasse Fürstenfedbruck
MehrInhalt: Seite 3 Wer wir sind und was wir tun. 4-5 Die Alternative. Holzinvestments in Brandenburg. 6-7 Unsere Bäume: Robinie und Paulownie
Inhat: Seite 3 Wer wir sind und was wir tun 4-5 Die Aternative. Hozinvestments in Brandenburg 6-7 Unsere Bäume: Robinie und Pauownie 8 Unsere Pantagen 9 Die Vorgehensweise/Umwetschutz 10 Der Robinien Investmentpan
MehrNatürlich schöne Zähne ein Leben lang. Parodontalerkrankungen
Natürich schöne Zähne ein Leben ang Parodontaerkrankungen Was versteht man unter einer Parodontitis? Die Parodontitis (Entzündung des Zahnhateapparates) ist eine durch Bakterien verursachte Infektionskrankheit,
Mehr7. AUSZUG - STRASSENLÄRM Blatt 7.1 7. AUSZUG - STRASSENLÄRM
7. AUSZUG - STRASSENLÄRM Batt 7.1 7. AUSZUG - STRASSENLÄRM 7.1 Einführung As individuees Verkehrsmitte besitzt das Motorfahrzeug viee Vorteie. Es ermögicht uns eine grosse Mobiität und eine dichte Erschiessung
Mehr1.2 Was ist der Inhalt von NLP? 1. Die Kunst, seine Mitmenschen zu verstehen und sich ihnen verständlich zu machen
1.2 Was ist der Inhat von NLP? NLP behandet den erfogreichen Umgang mit Menschen. Es beschreibt die zwei Bereiche Verstehen und Verändern und vermittet: 1. Die Kunst, seine Mitmenschen zu verstehen und
Mehr2014 Freitag, 6. Juni Qualifikationsverfahren Allgemeinbildung
2014 Freitag, 6. Juni Quaifikationsverfahren Agemeinbidung Schussprüfung (SP) für 4-jährige Lehren, Tei 4, Serie A 4 H Lehrjahre 4. Grundwissen Kontronummer Name Vorname Beruf Kasse Prüfungsteie Tota 1
MehrZum Verständnis und zur Kommunikation über Begriffe aus der Störfallvorsorge: «Risiko» = «Gefahr»? Richtig kommunizieren kann lebenswichtig sein
UMWELTPRAXIS Nr. 11 / Februar 1997 Seite 7 Zum Verständnis und zur Kommunikation über Begriffe aus der Störfavorsorge: «Risiko» = «Gefahr»? Richtig kommunizieren kann ebenswichtig sein Kommunikation ist
MehrEinführung in die Physik
Einführung in die Physik für Pharmazeuten und Biologen (PPh) Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik Übung : Vorlesung: Tutorials: Montags 13:15 bis 14 Uhr, Liebig-HS Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Montags
MehrArbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag
Arbeit und Energie Brückenkurs, 4. Tag Worum geht s? Tricks für einfachere Problemlösung Arbeit Skalarprodukt von Vektoren Leistung Kinetische Energie Potentielle Energie 24.09.2014 Brückenkurs Physik:
MehrTrägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik
Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Die grundlegenden Gesetze der Physik sind Verallgemeinerungen (manchmal auch Extrapolationen) von hinreichend häufigen und zuverlässigen
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrIdee und Konzept der Schriftenreihe»Kundenzentrierte Unternehmensführung«
Idee und Konzept der Schriftenreihe»Kundenzentrierte Unternehmensführung«Markt- und Kundenorientierung eine eementare Ziegröße des Marketing und zugeich das Mantra des Marketing der 80er und 90er Jahre
MehrBesondere Bedingungen zur Unfallversicherung mit XXL-Schutz für das Gesundheitswesen
ALTE LEIPZIGER Versicherung Aktiengeseschaft U 38.5 Besondere Bedingungen zur Unfaversicherung mit XXL-Schutz für das Gesundheitswesen A B C D Dekaration des Versicherungsschutzes Bedingungen für den XXL-Schutz
MehrThementisch Informelle Bildung Lernort Familie
Thementisch Informee Bidung Lernort Famiie In diesem Themenfed ging es um die Darsteung der Zusammenarbeit von Akteuren für Famiien und dem Sport mit dem Zie Famiien und/oder Kinder und Jugendiche die
MehrKantonsspital Aarau AG Tellstrasse 5001 Aarau
Reigion-independenty Kantonsspita Aarau AG Testrasse 5001 Aarau Dienstag, 5. Juni 2007 Inkassowesen Jim-Peter Widmer - Fa Deb. 1504271/683590 Sehr geehrte Damen und Herren Wir sind entsetzt über das Schweizer
MehrZAHLUNGSDIENSTLEISTUNGEN FÜR VERBRAUCHER
ZAHLUNGSDIENST- LEISTUNGEN FÜR VERBRAUCHER www.voksbank.at ALLGEMEINE INFORMATIONEN ZU ZAHLUNGSDIENSTLEISTUNGEN FÜR VERBRAUCHER INHALT Agemeine Informationen zu Zahungsdiensteistungen für Verbraucher 4
MehrENTITY- UND EQUITY-VERFAHREN BEI AUTONOMER FINANZIERUNGSSTRATEGIE
STUDIEN ZUM FINANZ-, BANK- UND VERSICHERUNGSMANAGEMENT Hrsg.: Professor Dr. Reinhod Höscher Band 17 ENTITY- UND EQUITY-VERFAHREN BEI AUTONOMER FINANZIERUNGSSTRATEGIE von Prof. Dr. Reinhod Höscher Dip.-Kfm.
MehrElektrische Energiezähler Grundlagen und Applikationen. Handbuch für den Einsatz von Energiezählern
Handbuch für den Einsatz von Energiezähern Inhat 1 EINFÜHRUNG... 4 2 ANSCHUSS DER ENERGIEZÄHER... 7 2.1 ZWEIEITER-WECHSESTROMNETZ... 7 2.2 DREIEITER-DREHSTROMNETZ BEIEBIGER BEASTUNG... 8 2.3 VIEREITER-DREHSTROMNETZ
MehrService und Support Videojet Remote Service
Service und Support Videojet Remote Service Für Ethernet-fähige Drucker der 1000er-Serie Mit Daten und Konnektivität steigern Sie die Produktivität Dank Sofortzugriff auf Ihre Druckerdaten können Sie jetzt
MehrMittelspannungs-Wandlerzählungen
Mittespannungs-Wanderzähungen im Netzgebiet der Energienetze Mitterhein GmbH & Co. G Ergänzende Hinweise Stand: 01.01.2015 Energienetze Mitterhein GmbH & Co. G Schützenstraße 80-82 56068 obenz www.energienetze-mitterhein.de
MehrWie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern.
Wie hoch ist der - und Luftwiderstand eines Autos? Original s. http://www.arstechnica.de/index.html (Diese Seite bietet außer dieser Aufgabe mehr Interessantes zur Kfz-Technik) Kann man den Luftwiderstand
MehrFragen und Antworten zum Planwechsel der Pensionskasse Novartis
Pensionskasse novartis Base, Juni 2010 Fragen und Antworten zum Panwechse der Pensionskasse Novartis 1 Agemeine Fragen... 3 1.01 Weches sind die Hauptunterschiede zwischen eistungs- und Beitragsprimat?...
MehrJSP, Tomcat, JDBC. Agenda. Übung Informationsintegration 3.5.2004. JSP & Tomcat JDBC. l Syntax. l Implizite Objekte. l Direktiven
JSP, Tomcat, JDBC Übung Informationsintegration 03.05.2004 Agenda JSP & Tomcat Syntax Impizite Objekte Direktiven JDBC 2 Java Server Pages - JSP Was ist eine JSP? Bietet die Mögichkeit, dynamischen Inhat
MehrMethoden der Strukturanalyse: Optische Spektroskopie (IR, VIS, UV) Absorption und Emissionsspektroskopie
Methoden der Strukturanayse: Optische Spektroskopie (IR, VIS, UV) Einaendes Licht (absorbiertes Licht) durchdringendes Licht Absorptionsspektroskopie UV-VIS, IR Lászó Seer eittiertes Licht Luineszenzspektroskopie
MehrGespräche mit Lehrkräften führen
70.11 Gespräche mit Lehrkräften führen ADOLF BARTZ Die Schueitung nimmt ihre Aufgabe der Personaführung wesentich über Gespräche mit den Lehrkräften wahr. Um diese Gespräche wirksam zu führen, muss sich
MehrPRODUKT-INFORMATIONEN VERSION 6.0
Früher war es etwas beschwerich den richtigen Weg zu finden. Heute ist das Zie nur einen Knopfdruck entfernt. INTERAKTIVES GEOGRAPHISCHES INFORMATIONSSYSTEM PRODUKT-INFORMATIONEN VERSION 6.0 Wissen, wo
MehrSONSTIGE BRENNERSYSTEME
65 Fammrichten und -strahen FLAMMRICHTEN RHÖNA Beim Schweißen und Brennschneiden entstehen Spannungen im Materia, die zu unerwünschten Deformationen führen können. Sind diese Deformationen nicht akzeptabe,
MehrWenn... Dann... Sonst... Diese Abfrageoption werden Sie am öftesten benützen, da diese Option für die Serienbriefe von großer Bedeutung ist.
WinWord Water Staufer Die Ersteung von Serienbriefen ist sehr einfach. Anhand dieser Unterage ist es sehr eicht Serienbriefe zu gestaten. Fednamen öschen heraus. Sie können aber auch umgekehrt neue Fedna-
MehrRichtlinien fürdiegestaltungvon wissenschaftlichenarbeiten
LEHRSTUHL FÜR ALLG.BWL UNDWIRTSCHAFTSINFORMATIK UNIV.-PROF.DR.HERBERTKARGL Richtinien fürdiegestatungvon wissenschaftichenarbeiten Dr.rer.po.AxeC.Schwickert 6.,unveränderteAuf.,Dezember1998 Richtinien
MehrSEPA-INFORMATION FÜR UNTERNEHMER. www.volksbank.at SEPA-INFORMATION FÜR UNTERNEHMER
SEPA-INFORMATION FÜR UNTERNEHMER www.voksbank.at SEPA-INFORMATION FÜR UNTERNEHMER SEPA-INFORMATION FÜR UNTERNEHMER SEPA ist die Abkürzung der engischen Bezeichnung Singe Euro Payments Area und so den
MehrNikolaus-von-Kues-Gymnasium BKS Sehr gute Leiter. Physik Der elektrische Strom. Cu 108. 1 Valenzelektron
Sehr gute Leiter Cu Z=29 Ag Z=47 Au Z=79 64 29 Cu 108 47 Ag 197 79 Au 1 Valenzelektron Die elektrische Ladung e - p + Die Grundbausteine der Atome (und damit aller Materie) sind Elektronen und Protonen
MehrWÄRMEÜBERTRAGUNG. Grundbegriffe, Einheiten, Kermgr8ßen. da ( 1)
OK 536.:003.6 STAi... DATIDSTELLE GRUNDBEGRIFFE.. Wärmeleitung WÄRMEÜBERTRAGUNG Weimar Grundbegriffe, Einheiten, Kermgr8ßen März 963 t&l 0-34 Gruppe 034 Verbind.lieh ab.0.963... Die Wärmeleitfähigkeit
MehrHiPath optipoint WL2 professional / optipoint WL2 professional S. LDAP-Funktion an optipoint WL2 professional / optipoint WL2 professional S
HiPath optipoint WL2 professiona / optipoint WL2 professiona S LDAP-Funktion an optipoint WL2 professiona / optipoint WL2 professiona S bktoc.fm Inhat Inhat 0 1 Übersicht..............................................................
Mehr6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum
6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte
MehrEinkaufshilfe oder schöne Worte?
Einkaufshife oder schöne Worte? Verkehrsbezeichnung bei Lebensmitten Verkehrsbezeichnung was ist das? Frühingssuppe Kabswiener Knusper- Chips Sie muss auf verpackten Lebensmitten stehen und so darüber
MehrPsychologische Therapie- und Beratungskonzepte
Psychoogische Therapie- und Beratungskonzepte Theorie und Praxis Bearbeitet von Annette Boeger 1. Aufage 2009. Taschenbuch. 206 S. Paperback ISBN 978 3 17 020811 7 Format (B x L): 15,5 x 23,2 cm Gewicht:
MehrStabilität ein Problem im Holzbau?
Hozbautag Bie 009 René Steiger Dr. sc. techn. / Dip. Bauing. ETH/SIA Empa, Abt. Hoz Dübendorf, Schweiz Stabiität ein Probem im Hozbau? 1 Hozbautag Bie 009 Hozbautag Bie 009 Stabiität Ein Probem im Hozbau?
MehrZur Vorteilhaftigkeit von Zerobonds
Uiversität ugsburg Prof. Dr. Has Urich Buh Kerkompetezzetrum Fiaz- & Iformatiosmaagemet Lehrstuh für BWL, Wirtschaftsiformatik, Iformatios- & Fiazmaagemet Diskussiospapier WI-32 Zur Vorteihaftigkeit vo
MehrPasspunktfreie direkte Höhenbestimmung mittels DFHBF ein Konzept für Positionierungsdienste wie SAPOS
Passpunktfreie direkte Höhenbestimmung mittes DFHBF ein Konzept für Positionierungsdienste wie SAPOS Passpunktfreie direkte Höhenbestimmung mittes DFHBF ein Konzept für Positionierungsdienste wie SAPOS
MehrCheckliste Wärmepumpen 2010
Checkiste Wärmepumpen 2010 Eine Verbraucherinformation Fas Sie in Ihrem Wohngebäude den Einbau einer Wärmepumpe zur Beheizung des Gebäudes und zur Warmwasserbereitung ernsthaft in Erwägung ziehen, bietet
MehrDEUTSCHLAND: 5,99 ÖSTERREICH: 7,10 SCHWEIZ: CHF 11,90 Übrige EU: 7,10 AUDIO TEST TEST-PDF PIEGA COAX 30.2
Gratis AUDIO TEST 01 2015 WWW.AUDIO-TEST.AT DEUTSCHLAND: 5,99 ÖSTERREICH: 7,10 SCHWEIZ: CHF 11,90 Übrige EU: 7,10 AUDIO TEST Audio-CD STEREO STREAMING HIGH END Der neue AV-Receiver von Denon und KEFs R-Serie
Mehr1 Einleitung. 1.1 Definition und Eingliederung des Personalmanagements. Die Ziele dieses Kapitels
15....1 Eineitung 1 Eineitung Die Ziee dieses Kapites Die Ziee und Ziesetzungen des Personamanagements erfahren. Einen historischen Ûberbick çber das Personamanagement erhaten. Die Einbindung des Personamanagements
MehrKontoeröffnungsantrag Direktsparen Fix
Team Direktsparen A-5021 Sazburg Kontoeröffnungsantrag Direktsparen Fix Persöniche Angaben: Anrede/Tite: Vorname: Nachname: Geburtsdatum: Staatsbürgerschaft: Berufsgruppe: Ich erkäre Deviseninänder zu
MehrDokumentation der Vermögensverwaltungsmandate
Dokumentation der Vermögensverwatungsmandate Wir ösen das. nab.ch Inhat 3 Was ist ein Vermögensverwatungsmandat? 4 Weche Diensteistungen erbringt die NEUE AARGAUER BANK im Rahmen eines Vermögensverwatungsmandats?
MehrBerechnung. nach der Walzenfestigkeit.
_ Die which die 367 Eingeangt am 4 November 1935 Berechnung von Kegerädern mit geraden Zähnen nach der Wazenfestigkeit Von Adj DipLJng R»_Eak In addition to the cacuation of spur gears having rectanguar
MehrNatürlich schöne Zähne ein Leben lang. Mundgesundheitsprogramm
Natürich schöne Zähne ein Leben ang Mundgesundheitsprogramm Gesunde Zähne Aber wie? Meistens sind nur zwei Krankheiten für Schäden an Zähnen und Zahnfeisch verantwortich: Karies und Parodontitis. Karies
Mehrin einer kleineren Spule, die sich im Inneren der felderzeugenden Spule befindet, die Flussdichte B bestimmen kann.
Übungen zu 1-1 LK-Physik 5-7 Noveber 6 S. 1 Ageeine inweise zu en Aufgaben: Zunächst sote versucht weren, ie Aufgaben ausschießich unter er Verwenung erjenigen ifsitte zu bearbeiten, ie auch in Kausuren
MehrTechnische Universität München Institut für Informatik
Technische Universität München Institut für Informatik Dipomarbeit Das V-Mode 97 as Softwareentwickungsprozeß aus der Sicht des Capabiity Maturity Modes (CMM) für Software Viktor Schuppan Technische Universität
MehrDas Chemische Gleichgewicht und seine Anwendungen
Das Chemische Geichgewicht und seine Anwendungen 1. und 2. Seminar des zweiten Bocks im Integrierten Praktikum Praktische Einführung in die Chemie Dr. Ingo Hartenbach Institut für Anorganische Chemie,
MehrBeispiel 2: Erprobung elektronischer Übersetzungsdienste
1. Definition Neue Medien Begriff nicht eindeutig definierbar zeitbezogen stetig im Wande Beispie: Radio>Fernseher>Computer heutzutage meist bezogen auf eektronische, digitae, interaktive Dienste, die
Mehr