Elektrotechnik Formelsammlung

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1 Eektrotechnik Formesammung

2 INHALTSVERZEICHNIS Inhatsverzeichnis Geichstromkreise. Spannung, Strom, Widerstand, Energie, Leistung Spannungs- / Stromqueen Leistungsanpassung Beispie Serie- / Paraeschatung Temperaturabhängigkeit von Widerständen Spezifischer Widerstand Stern-Dreick-Umwandung Brückenschatung mit Stern-Dreieck-Umwandung Brückenschatung mit Zweipoverfahren Überagerungssatz Knotenpotentiaverfahren Rezept Ideae Spannungsqueen Eektrische Feder 3 2. Eektrisches Strömungsfed Eektrostatisches Fed Eektromagnetisches Fed Beispie Die Beschreibung des eektromagnetischen Fedes Ha-Effekt Transformator Kräfte im eektromagnetischen Fed Induktion Schatvorgänge RC - Gied Beispie Beispie RL-Gied Seite ii Eektrotechnik Formesammung

3 INHALTSVERZEICHNIS 4 Nichtineare Kenninien Vorgehensweisen Linearisierung Beispie: Ladung eines Akkus Wechsestrom Agemein Speziafäe Kompexe Spannung Kompensation Kompexer Widerstand und Leitwert Kompexe Leistung Wechsestromeistung Fiter, Übertragungsfunktion und Bodediagramm Bodediagramm RC - Tiefpassfiter RC - Hochpassfiter RLC - Tiefpassfiter RLC - Hochpassfiter Doppe-T-Fiter Umwandung der Schatung Berechnung der Übertragungsfunktion Operationsverstärker Beispie Beispie Messtechnik Messfeher Zufäig Berechnen der Messfeher Systematisch Eektrotechnik Formesammung Seite iii

4 GLEICHSTROMKREISE Geichstromkreise. Spannung, Strom, Widerstand, Energie, Leistung Zeichen Beschreibung Einheit I Strom (bewegiche Ladung) A J U Spannung As = Nm As = V R Widerstand V/A = Ω r Widerstand (differentie) V/A = Ω G Leitwert /Ω = S Q Ladungsmenge As = C t Zeit s W E. Arbeit (Energie) VAs = Ws = J P E. Leistung W Strom: I = U R = UG Ladung: Q = It Differentieer Widerstand: r = U I Arbeit: W = UQ = UIt = Pt Leistung:P = UI = I 2 R = U2 R = W t Für Queen git: Leistung P ist am grössten, wenn der Innenwiderstand geich dem Lastwiderstand ist: R i = R L. Eektrotechnik Formesammung Seite

5 GLEICHSTROMKREISE.2 Spannungs- / Stromqueen Ideae Spannungsquee: U konstant Reae Spannungsquee: U sinkt bei Beastung (mit zunehmenden Strom) Ideae Stromquee: I konstant Reae Stromquee: I sinkt mit zunehmender Spannung Umwandung: siehe Abb. S.4 U U q I q I R i I I I q U q U G i U Spannungsquee (Abb. inks): Abbidung : Queenumwandung R i = U I = U q I q U q = I q G i Stromquee: (Abb. rechts): G i = I U = I q U q I q = U q R i Seite 2 Eektrotechnik Formesammung

6 GLEICHSTROMKREISE.3 Leistungsanpassung Leistungsanpassung eines Lastwiderstands an den Innenwiderstand des Spannungserzeugers ermögicht die grösstmögiche Leistungsentnahme. Die Leistungsabgabe eines Spannungserzeugers ist am grössten, wenn der Lastwiderstand geich dem Innenwiderstand ist. R L = R i P max = U2 0 4 R i R i = U U 2 I 2 I R i = U I.3. Beispie Ein Spannungserzeuger hat eine Leeraufspannung von U 0 = 0V und einen Innenwiderstand R i = 00Ω. Berechnen Sie die Abgabeeistung bei Leistungsanpassung! Lösung: R L = R i = 00Ω P max = U2 0 4 R i = (0V)2 4 00Ω = 0.25W Eektrotechnik Formesammung Seite 3

7 GLEICHSTROMKREISE.4 Serie- / Paraeschatung Serie I übera geich U teit sich auf Parae U übera geich I teit sich auf U = U + U 2 + U 3 I = I + I 2 + I 3 I = U R + R 2 + R 3 U = I G + G 2 + G 3 Spannungsteierrege R tot = R + R 2 + R 3 Stromteierrege G tot = G + G 2 + G 3 U U = IR I(R + R 2 + R 3 ) = R R tot U U 2 = IR IR 2 = R R 2 I I = UG U(G + G 2 + G 3 ) = G G tot I I 2 = UG UG 2 = G G 2 Seite 4 Eektrotechnik Formesammung

8 GLEICHSTROMKREISE S.3.5 Temperaturabhängigkeit von Widerständen Zeichen Beschreibung Einheit R Widerstandsänderung Ω R Widerstand bei Anfangstemp. Ω α Temp. Beiwert für Anfangstemperatur K ϑ Temp. Änderung K PTC: pos. temp. coefficient (Widerstand steigt wenn Temp. steigt) NTC: neg. temp. coefficient (Widerstand sinkt wenn Temp. steigt) R = R α ϑ S.58.6 Spezifischer Widerstand Zeichen Beschreibung Einheit R Widerstand des Leiters Ω ρ Spezifischer Widerstand Ωm Länge des Leiters m A Querschnitt des Leiters m 2 R = ρ A Eektrotechnik Formesammung Seite 5

9 GLEICHSTROMKREISE.7 Stern-Dreick-Umwandung S.8 R R 3 R 2 R 3 R R 2 3 Abbidung 2: Stern-Dreieck-Umwandung Zeichen Beschreibung Einheit R, R 2, R 3 Widerstände in Sternschatung Ω R 2, R 23, R 3 Widerstände in Dreieckschatung Ω Stern-Dreieck-Umwandung R 23 = R 2 + R 3 + R 2R 3 R R 3 = R + R 3 + R R 3 R 2 R 2 = R + R 2 + R R 2 R 3 Dreieck-Stern-Umwandung R = R 3 R 2 R 2 + R 23 + R 3 R 2 = R 23 R 2 R 2 + R 23 + R 3 R 3 = R 23 R 3 R 2 + R 23 + R 3 Seite 6 Eektrotechnik Formesammung

10 GLEICHSTROMKREISE.8 Brückenschatung mit Stern-Dreieck-Umwandung ges.: I m R R 2 I U m q R m R 3 R 4. Stern-Dreick-Umwandung (siehe.7): Abbidung 3: Brückenschatung R R 2 R 2 U 3 q U 3 q R 2 R m R 3 R 3 R 4 R 23 R Gesamtwiderstand berechnen 3. Gesamtstrom berechnen 4. Mit Stromteierrege I m berechnen Eektrotechnik Formesammung Seite 7

11 GLEICHSTROMKREISE.8. Brückenschatung mit Zweipoverfahren S.34 ges.: I m R R 2 I U m q R m R 3 R 4 Abbidung 4: Brückenschatung. Mitte herausschneiden (Schatung wird von hier aus as Zweipo betrachtet). 2. Spannung U m mit Hife der Teispannungen U und U 2 berechnen (U m = U 2 U ). U m entspricht der Leeraufspannung des Zweipos. U R U 2 R 2 Um U q R 3 R 4 3. Spannungsqueen kurzschiessen und Stromqueen herausschneiden: U q = 0 setzen. Gesamtwiderstand der Schatung vom Zweipo aus gesehen berechnen. Dieser entspricht dem Innenwiderstand R i des Zweipos. R R 2 R R 3 R 3 R 4 R 2 R 4 4. Stromfuss des Zweipos berechnen (I m = U m R i +R m ) I m R i U m R m Seite 8 Eektrotechnik Formesammung

12 GLEICHSTROMKREISE S.3.9 Überagerungssatz Bemerkung: Funktioniert nur mit inearen oder inearisierten Systemen (keine Dioden, usw.).. Einfuss jeder Quee separat berechnen 2. Resutat berechnen (Summe der Einfüsse) Damit der Einfuss einer einzenen Quee berechnet werden kann, müssen ae anderen Queen auf Nu gesetzt werden: Spannungsqueen kurzschiessen: U q R i 0V R i R i Stromqueen herausschneiden: I q 0A G i G i G i Eektrotechnik Formesammung Seite 9

13 GLEICHSTROMKREISE.0 Knotenpotentiaverfahren.0. Rezept S.33. Lineares Ersatzschatbid aufzeichnen und Werte der Eemente berechnen. 2. Lineare Spannungsqueen in ineare Stromqueen umwanden und Widerstände in Leitwerte. (a) Ideae Spannungsqueen können nicht umgeformt werden. Der Bezugsknoten muss so gewäht werden, dass ein Anschuss der ideaen Spannungsquee am Bezugsknoten iegt. (b) Gesteuerte ineare Spannungsqueen werden in gesteuerte ineare Stromqueen umgewandet. 3. Bezugsknoten wähen (übicherweise Schatungsmasse) und mit 0 bezeichnen. 4. Knoten durchnummerieren und ae Knotenspannungen eintragen mit Pfeirichtung zum Bezugsknoten hin. 5. Matrix [G] aufsteen. (a) Die Hauptdiagonae enthät die Knoteneitwerte. Ein Knoteneitwert ist die Summe der am betreffenden Knoten angeschossenen Leitwerte. Das Vorzeichen ist immer positiv. (b) Die anderen Eemente enthaten die Koppungseitwerte. Ein Koppungseitwert ist der Leitwert zwischen den zwei betreffenden Knoten. Das Vorzeichen ist immer negativ. (c) Kontroe: Die Matrix muss symmetrisch sein. 6. Vektor [I] aufsteen (a) Ein Eement ist die vorzeichenrichtige Summe aer an diesem Knoten angeschossenen Stromqueen. Stromqueen, deren Pfei auf den Knoten hin zeigen werden positiv gezäht, Stromqueen, deren Pfei vom Knoten weg zeigen negativ. (b) Kontroe: Ae Stromqueen kommen im Stromvektor zwei Ma vor, ausser jene, die einen Anschuss am Bezugsknoten haben. 7. Speziafäe (a) Ideae Spannungsqueen. Die Knotenspannung bei der ideaen Spannungsquee ist bekannt. Deshab muss dieser bekannte Term aus dem Spannungsvektor auf die andere Seite des Geichungssystems verschoben werden. Die Zeie mit der ideaen Spannungsquee kann gestrichen werden, wei sie nur redundante Informationen enthät. Der Grad des Geichungssystems verringert sich pro ideae Spannungsquee um und die Matrix wird wieder symmetrisch (Kontroe). (b) Gesteuerte Queen. Die unbekannten Terme im Stromvektor müssen auf die andere Seite des Geichungssystems verschoben werden. Der Grad des Geichungssystems beibt erhaten und die Leitwertmatrix wird unsymmetrisch. Seite 0 Eektrotechnik Formesammung

14 GLEICHSTROMKREISE 8. Zahenwerte einsetzen und Geichungssystem mit Rechner aufösen ergibt den Spannungsvektor mit den Knotenspannungen 9. Aus den Knotenspannungen assen sich bei Bedarf die Zweigspannungen berechnen und daraus die Zweigströme..0.2 Ideae Spannungsqueen Ideae Spannungsqueen assen sich nicht in ineare Stromqueen umwanden (mathematisch gesehen ergäbe sich eine Division durch 0). Eine ideae Spannungsquee bedeutet, dass die Spannung, unabhängig vom Strom, konstant ist. Das heisst, dass eine Zweig- resp. Knotenspannung bereits bekannt ist und gar nicht berechnet werden muss. Im Spannungsvektor [U] dürfen nur unbekannte (zu berechnende) Werte vorkommen. Die Terme der ideaen Spannungsqueen müssen aso eiminiert werden, was zu einer Verkeinerung der Matrix führt. Bezugsknoten wähen und ae Knoten nummerieren Der Bezugsknoten muss an einem Anschuss der ideaen Spannungsquee gewäht werden. Sind mehrere ideae Spannungsqueen vorhanden muss der gemeinsame Anschuss aer Spannungsqueen as Bezugsknoten genommen werden (das ist meistens sowieso der Schatungs-Nupunkt). Gibt es keinen gemeinsamen Anschuss für mehrere ideae Spannungsqueen, kann das hier beschriebene Verfahren nicht angewendet werden. Ausweg: Maschenstrom-Verfahren anwenden. Das funktioniert immer. Ausweg2: Zu den ideaen Spannungsqueen (gedankich) keine Widerstände in Serie schaten, die (nun inearen, nicht ideaen) Spannungsqueen in ineare Stromqueen umwanden und ganz norma weiterfahren. Probematisch sind die hierbei entstehenden Rundungsfeher. Aso mit verschiedenen Widerständen ausprobieren, ob die Resutate konvergieren. U0 G G2.47mS Gm Im =? 0mS.667mS 2 3 Uq 2V G2.47mS U20 0 U30 G22 /P t00 Im Beispie ist U0 = U q bereits bekannt und muss nicht berechnet werden. Matrizen auf- und umsteen Zuerst werden die Matrizen in gewohnter Weise aufgestet: [G] [U] = [I] Die Zeie in [G] mit der ideaen Spannungsquee muss nicht weiter beachtet werden, wei diese Knotenspannungen ja bekannt ist. Eektrotechnik Formesammung Seite

15 GLEICHSTROMKREISE G G m + G + G2 Gm G2 G m G m + G2 + G22 U q U20 U30 = Eigentich ist die Matrix-Darsteung nur eine abgekürzte Schreibweise für ein ineares Geichungssystem. Damit die nächsten Schritte kar verständich sind, schreibe ich das Geichungssystem in der konventioneen Form auf: I : +... U q +... U U30 =... II : G U q + (G m + G + G2) U20 G m U30 = 0 III : G2 U q G m U20 + (G m + G2 + G22) U30 = 0 Die Terme mit U q müssen vom Spannungsvektor [U], wo nur gesuchte Grössen vorkommen dürfen auf die andere Seite des Geichungssystems verschoben werden (Vorzeichen beachten!). I : +... U U30 = U q II : + (G m + G + G2) U20 G m U30 = 0 + G U q III : G m U20 + (G m + G2 + G22) U30 = 0 + G2 U q Wir assen die Zeie mit der ideaen Spannungsquee (Knotenspannungen bekannt) weg und schreiben das Geichungssystem wieder in der Matrix-Darsteung: [ + Gm + G + G2 G m G m + G m + G2 + G22 ] [ U20 U30 ] = [ G Uq G2 U q Wir erhaten wieder eine symmetrische Matrix (Kontroe), aber der Grad wurde um die Anzah ideaer Spannungsqueen erniedrigt und im Stromvektor [I] erscheinen forma nun Ströme. Das Verschieben der Terme auf die inke Seite kann natürich direkt in der Matrix- Schreibweise erfogen. Das Umformen geschieht dabei nur gedankich. Spannungsvektor [U] und Resutate berechnen Der weitere Lösungsweg bis zu den Resutate geschieht genau geich wie oben. U[] = [ U20 U30 Gesucht ist der Strom durch das Messinstrument. ] = [ Spannung am Messinstrument: U m = U30 U20 = 6.942V 6.34V = 0.60V Strom durch das Messinstrument: I m = U m /R m = 0.6V/600W =.00mA ] V ] Seite 2 Eektrotechnik Formesammung

16 2 ELEKTRISCHE FELDER 2 Eektrische Feder S Eektrisches Strömungsfed Zeichen Beschreibung Einheit I E. Strom A A J od. S E. Stromdichte A Querschnittsfäche m 2 V E E. Fedstärke m U E. Spannung V ϕ Potentia V Strecke (Länge des Fedes) m σ spezifische Leitfähigkeit (spez. Leitwert) Ω mm ρ spezifischer Widerstand 2 m V R Widerstand = Ω A G Leitwert = S V S m Eigenschaften Leitendes Materia I 0 Äquipotentiafächen rechtwinkig zu Fedinien Fedinien haben Anfang und Ende agemein: J = di da I = J da A homogen: J = I A I = J A E = du d E = U U 2 = 2 E d U = E Kirchhoffsche Knotenrege: I = A J d A = 0 Kirchhoffsche Maschenrege: U = E d = 0 I = U = I n U n ϕ = E d U = ϕ Eektrotechnik Formesammung Seite 3

17 2 ELEKTRISCHE FELDER Materiaeinfuss: J = σ E E = ρ J Widerstand, Leitwert: Strom-Spannungs-Geichung R = G = U I = ρ A = σ A R = U I Leistung P = V E J dv P = U I Seite 4 Eektrotechnik Formesammung

18 2 ELEKTRISCHE FELDER S Eektrostatisches Fed Zeichen Beschreibung Einheit Ψ od. Q E. Fuss (sich verschiebende Ladung) As = C As D E. Fussdichte (Verschiebungsdichte, e. Erregung) A Querschnittsfäche m 2 V E E. Fedstärke m U E. Spannung V φ Potentia V Strecke (Länge des Fedes) m 2 As Permittivität im Vakuum ɛ 0 = As ɛ 0 ɛ r C Permittivität des Materias Kapazität Vm Vm As Vm As V = F Eigenschaften Isoator zwischen Eektroden I = 0 Äquipotentiafächen rechtwinkig zu Fedinien Fedinien haben Anfang und Ende agemein: D = dq da Q = D da A homogen: D = Q A Q = D A E = du d E = U U 2 = 2 E d U = E Gesetz von Gauss für eektrostatisches Fed: Q = A D d A Kirchhoffsche Maschenrege: U = E d = 0 Q = U = Q n U n Materiaeinfuss: φ = E d U = φ D = ɛ 0 ɛ re Eektrotechnik Formesammung Seite 5

19 2 ELEKTRISCHE FELDER Kapazität: C = dq du C = Q U Strom-Spannungs-Geichung: Gespeicherte Energie: C Pattenkondensator = ɛ A i = C du dt W = 2 V EDdV W = 2 U Q W = 2 C U2 = 2 Q2 C Kräfte (geichgerichtet wie Fedinien): F = Q E Seite 6 Eektrotechnik Formesammung

20 2 ELEKTRISCHE FELDER S Eektromagnetisches Fed Zeichen Beschreibung Einheit Φ Magnetischer Fuss Vs = Wb B Magnetische Fussdichte (magnetische Induktion) T = Vs m 2 A Querschnittsfäche m 2 A H Magnetische Fedstärke (magn. Erregung) m V m Magnetische Spannung A Θ E. Durchfutung A Länge der Fedinie m µ 0 Permeabiität im Vakuum (magn. Fedkonstante) µ 0 = 4π 7 Vs Vs 0 = Am Am µ r Reative Permeabiität des Materias (Für Vakuum und Luft: ) µ Permeabiität A R m Magnetischer Wiederstand Vs Vs Λ Magnetischer Leitwert L L 2 Induktivität Induktivität einer Ringspue mit zwei Wickungen N und N 2 N Anzah Wickungen einer Ringspue u L Induktive Spannung V Vs Am Vs Am A Vs A Vs A = H = H Eigenschaften Magnetfed ohne Strom Fedinien sind in sich geschossen agemein: B = dφ da Φ = B da V m2 = A H = dθ d 2 H d homogen: B = Φ A Φ = B A H = Θ = I N V m = H Gesetz von Gauss für magnetisches Fed: Φ = Maxwesche Geichung: A B d A = 0 Θ = H d = A J d A Θ = I n Θ = I N = H Eektrotechnik Formesammung Seite 7

21 2 ELEKTRISCHE FELDER Materiaeinfuss: B = µ 0 µ r H = µ H Magnetischer Widerstand, Magnetischer Leitwert: Induktivität: Gegeninduktivität: Spuen- oder Verkettungsfuss: Übersetzungsverhätnis: R m = Λ = Θ Φ = µ A L = N dφ di = N2 dφ dθ = N2 Λ L Ringspue = N 2 µ A L 2Ringspue = N N 2 µ A N Φ = L I ü = N N 2 Strom-Spannungs-Geichung (Induktive Spannung) u L = L di dt Induktionsgesetz von Faraday: Gespeicherte Energie: u 2 = L 2 di dt U i = dφ dφ = N dt dt U i = E d = ( v B) d W = 2 V HBdV W = 2 Θ Φ W = 2 L I2 Seite 8 Eektrotechnik Formesammung

22 2 ELEKTRISCHE FELDER 2.3. Beispie Spue mit Luftspat Geg. Φ, E, L, A, N B E = B L = Φ A H E aus Kurve f (B) H L = B µ 0 Θ = I N = H E E + H L L I = H E E + H L L N Geg. µ r, A, N I = ( ) B 2π r + L µ 0 N µ r Eektrotechnik Formesammung Seite 9

23 2 ELEKTRISCHE FELDER Die Beschreibung des eektromagnetischen Fedes Ein stromdurchfossener Leiter erzeugt ein Magnetfed. Ursache dafür ist die Bewegung von eektrischen Ladungen. Auf eine Magnetnade oder Eisen-Späne wird von diesem Magnetfed eine Kraft ausgeübt. Es handet sich aso um ein Vektorfed. Die magnetischen Fedinien geben, wie die eektrischen Fedinien, in jedem Punkt die Richtung der Kraft an. I Die magnetische Fedstärke H Für die Ringspue git: H = n I m mit m = π d m (mittererfedinienänge) Einheit von H: A/cm oder A/m. Der Zusammenhang zwischen eektrischem Strom und dem entstehenden Magnetfed wird agemein mit dem Durchfutungssatz beschrieben. Die magnetische Fussdichte B Es git agemein B = µ r µ 0 H für die Ringspue ist B = µ r µ 0 n I m Dabei ist µ r die reative Permeabiität und µ 0 = 2, Vs/(Acm) die absoute Permeabiität. Einheit von B: Vs/cm 2 oder Vs/m 2 = T(Tesa) Häufig schreibt man auch µ wobei µ = µ r µ 0 git. Der magnetische Fuss φ Für die Ringspue git: φ = B A Bei Verwendung dieser Geichung muss der Vektor der magnetischen Fussdichte Bsenkrecht auf der wirksamen Fäche A stehen und über der ganzen Fäche einen konstanten Wert haben. Ansonsten muss man über Integra rechnen. Einheit von φ: Vs= Wb (Weber) Die Durchfutung Θ Die Durchfutung bezeichnet man mit Θ = n I mit der Einheit A und meint damit die eektrische Erregung des magnetischen Fedes. Seite 20 Eektrotechnik Formesammung

24 2 ELEKTRISCHE FELDER e.g. - Durchfutungsgesetz Dies ist ein Beispie in dem das magnetische Fed durch die Luft und durch Eisen geht. Dieses Probem kann mit dem Durchfutungsgesetz geöst werden. Bei der Aufösung nach der gesuchten Variabe ergibt sich eine Geradengeichung, diese Gerade kann direkt in die Magnetisierungskenninie eingetragen werden und somit wird der gesuchte ersichtich. Durchfutungsgesetz (Fedinien durch Eisen und Luft): Θ = I N = H Eisen Eisen + H Lu f t Lu f t = H Eisen Eisen + B Lu f t µ 0 Lu f t B Lu f t = µ 0 Eisen H Eisen Lu f t }{{} } {{ } m Steigung x Variabe + µ 0 Lu f t } {{ } q Achsenabschnitt (Gerade: B Lu f t = f (H Eisen )) H = 0 B = µ 0 H B = I N ag repacements Geraden mit Kenninie) Bemerkung: Maximae Permeabiität bei steister Tangente durch Nupunkt. Eektrotechnik Formesammung Seite 2

25 2 ELEKTRISCHE FELDER Ha-Effekt Der Ha-Effekt eraubt es, das Ladungsvorzeichen zu bestimmen und er bietet eine einfache Mögichkeit, die Stärke eines Magnetfedes zu messen. Betrachtet man einen Leiter- oder Habeiterstreifen mit der Länge und der Breite b, durch den ein Strom I fiesst. In einem homogenen Magnetfed senkrecht zur Oberfäche des Streifens werden die Ladungsträger aus ihrer Fussrichtung abgeenkt gemäss der Lorentz-Kraft. Der Ha-Effekt eraubt es, das Ladungsvorzeichen zu bestimmen und er bietet eine einfache Mögichkeit, die Stärke eines Magnetfedes zu messen. Betrachtet wird ein Leiter- oder Habeiterstreifen mit der Länge und der Breite b, durch den ein Strom I fiesst. In einem homogenen Magnetfed senkrecht zur Oberfäche des Streifens werden die Ladungsträger aus ihrer Fussrichtung abgeenkt gemäss der Lorentz-Kraft. F L = Q ( v B) Das bedeutet für den Fa, der in der Grafik dargestet ist, dass die Ladungen auf die inkes Seite wandern werden, unabhängig von ihrem Ladungsvorzeichen. Wenn die Ladungsträger positiv sind, wird die inke Seite positiver as die rechtes Seite und es bidet sich zwischen inks und rechts eine Potentiadifferenz. U H = φ(inks) φ(rechts) > 0 Für negative Ladungsträger dagegen ergibt sich U H = φ(inks) φ(rechts) < 0 Das bedeutet für den Fa, der in der Grafik dargestet ist, dass die Ladungen auf die inke Seite wandern werden, unabhängig von ihrem Ladungsvorzeichen. Wenn die Ladungsträger positiv sind, wird die inke Seite positiver as die rechte Seite und es bidet sich zwischen inks und rechts eine Potentiadifferenz. Der Wert der Ha-Spannung U H ergibt sich aus dem Geichgewicht der eektrischen Kräfte F C = Q E H und der magnetischen Kräfte F L. E H + v B = 0 Hereitung der Haspannung: F = Q v B = Q B b d n F = Q E = Q U b v = I A n e = I A ρ C ρ C dies ist die Ladungsträgerdichte, sie kann mit Hife der Beziehung µ = ρ Ω ρ C ermittet werden. Dabei ist ρ Ω der spezifische Widerstand des Materias. Die Hakonstante R H besteht aus fogender Beziehung: R H = ρ C. Somit ässt sich jetzt die Ha-Spannung (resp. Ha-Effekt) berechnen: U H = B I d ρ C Für negative Ladungsträger dagegen ergibt sich U H = φ(inks) φ(rechts) < 0 Seite 22 Eektrotechnik Formesammung

26 2 ELEKTRISCHE FELDER ag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N chnittpunkt der n mit Kenninie) Eektrotechnik Formesammung Seite 23

27 2 ELEKTRISCHE FELDER Transformator Zeichen Beschreibung Einheit k Koppungsfaktor k (µ Fe = 0.9, µ Lu f t ) ü Übersetzungsverhätnis PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N U U 2 i i 2 Geraden mit Kenninie) N N 2 Durchfutungsgesetz I N = H Φ = B A B = µ H H = I N Spue : u = N dφ dt = N A db dt = N A µ dh dt = N A µ N di dt } {{ } (Induktivität L ) Spue 2: u 2 = N 2 k dφ dt = N 2 k A µ N di dt } {{ } (Gegenind. L 2 = L 2 ) Transformator Geichungen U = L di + L 2 di 2 dt dt } {{ } } {{ } Sebstinduktion Gegeninduktion U 2 = L 2 di 2 + L 2 di dt dt } {{ } } {{ } Sebstinduktion Gegeninduktion Seite 24 Eektrotechnik Formesammung

28 2 ELEKTRISCHE FELDER Übersetzungsverhätnis Für k = (Fe-Kern) git: Leistung ü = U U 2 = L L 2 = N N 2 = L 2 L 2 = L L 2 ü = i i 2 P = u i P 2 = u 2 i 2 P P2 = u ( i = ü ) = u 2 i 2 ü PSfrag repacements Kräfte im eektromagnetischen H = 0 Fed B = µ 0 H B = I N B Geraden mit Kenninie) F Abbidung 5: Kraft im Magnetfed Zeichen Beschreibung Einheit Länge des Drahts. Richtung ist Richtung des Stromfusses. m F Kraft, die auf den Draht wirkt. N F = I ( B) F = Q ( v B) Eektrotechnik Formesammung Seite 25

29 2 ELEKTRISCHE FELDER 2.4 Induktion Zeichen Beschreibung Einheit F Kraft entgegen der Verschiebung N s Strecke der Verschiebung m Länge des Drahtteis im Magnetfed m S.?? Bewegen eines Drahtes im Magnetfed: F = B I s F = B Q t s F = B Q s t F = B Q v F = Q ( v B) Induzierte Spannung: U = E = B v Seite 26 Eektrotechnik Formesammung

30 PSfrag repacements H = 0 3. RC - Gied H B = I N 3 Schatvorgänge B = µ 0 3 SCHALTVORGÄNGE Geraden mit Kenninie) U q R u(t) i(t) C Abbidung 6: Schatvorgang RC Eigenschaften Zeichen Beschreibung Einheit i C Strom am Kondensator A u C Spannung am Kondensator V U Spannung am Kondensator nach unendich anger V Zeit U 0 Spannung am Kondensator zur Zeit 0 V C Kapazität des Kondensators F G Leitwert des dem Kondensator vorgeschateten S Widerstandes τ Zeitkonstante: τ = R C s Strom ist proportiona zur Spannungsänderung. Spannung an einem Kondensator kann nicht sprunghaft ändern. Bei t = τ ist 63% (= e ) des Endwerts erreicht. Bei t = 5τ ist 99% (= e 5 ) des Endwerts erreicht. Tangenten schneiden den Endwert nach der Zeit τ. Der Kondensator verhät sich kurze Zeit nach dem Einschaten wie ein Kurzschuss, unendiche Zeit nach dem Einschaten wie eine Unterbrechung. Kapazitätsgeichung: i C = C du C dt u C = U (U U 0 ) e t τ i C = (U U 0 ) G e t τ τ = C G = R C Eektrotechnik Formesammung Seite 27

31 3 SCHALTVORGÄNGE U = u C ( ) U 0 = u C (0) Seite 28 Eektrotechnik Formesammung

32 3 SCHALTVORGÄNGE 3.. Beispie Formezeichen Zeichen Beschreibung Einheit R Widerstand Ω C Kapazität F (Farad) U q Spannungsquee V τ Zeitkonstante: τ = R C s PSfrag repacements RC-Schatung H = 0 Gesucht: B = Kurvenverauf µ 0 von u und i, i(00µs) Gegeben: u(t < 0) = 0 (Kondensator ist entaden), R = 4700Ω, C = 0nF, U q = 5V Kurvenverauf H B von = I N u(t) und i(t): Geraden mit Kenninie) U q U q R u τ i Abbidung 7: Schatungsverauf Berechnung von u(t) und i(t): Satz: Nach einem τ ist u = 63% τ = R C = 4700Ω 0nF = 47µs u(t) = U (U U 0 ) e t τ u(00µs) = 5V (5V 0V) e 00µs 47µs = 4.4V i(t) = (U U 0 ) G e t τ i(00µs) = (5V 0V) 4700Ω 00µs e 47µs = 27µA Eektrotechnik Formesammung Seite 29

33 PSfrag repacements 3 SCHALTVORGÄNGE 3..2 Beispie H 2= 0 B = µ 0 Kondensator am B = Anfang 0 geaden [u(t < 0) = 5V] H B = I N Geraden mit Kenninie) U U q τ i u u r R Abbidung 8: Schatungsverauf bei geadenem Kondensator u(t < 0) = 5V t = 0 : u r = 5V 5V = 0V t u(t) = 5V (5V 5V) e 47µs = u(30µs) = 0.28V i(t) = (5V 5V) 4700Ω t e 47µs = i(30µs) =.ma Seite 30 Eektrotechnik Formesammung

34 3 SCHALTVORGÄNGE 3.2 RL-Gied Eigenschaften Zeichen Beschreibung Einheit i L Strom an der Spue A u L Spannung an der Spue V I Strom an der Spue nach unendich anger Zeit V I 0 Strom an der Spue zur Zeit 0 V Vs L Induktivität der Spue A = H R Widerstand des der Spue vorgeschateten Widerstandes Ω τ Zeitkonstante: τ = L R s Spannung ist proportiona zur Stromänderung. Strom an einer Spue kann nicht sprunghaft ändern. Bei t = τ ist 63% (= e ) des Endwerts erreicht. Bei t = 5τ ist 99% (= e 5 ) des Endwerts erreicht. Tangenten schneiden den Endwert nach der Zeit τ. Induktivitätsgeichung: u L = L di L dt i L = I (I I 0 ) e t τ u L = (I I 0 ) R e t τ τ = L R = G L I = i L ( ) I 0 = i L (0) Eektrotechnik Formesammung Seite 3

35 4 NICHTLINEARE KENNLINIEN 4 Nichtineare Kenninien 4. Vorgehensweisen. Korrekt rechnen mit e-funktion oder n oder Poynomen (genau aber aufwändig) 2. Graphisch (anschauich aber ungenau) 3. Linearisierung im 4.2 Linearisierung. abschätzen und Tangente fzeichnenfi 2. Geradengeichung, ineare Ersatzquee 3. Pausibiitätskontroe 4. Iteration Seite 32 Eektrotechnik Formesammung

36 4 NICHTLINEARE KENNLINIEN 4.2. Beispie: Ladung eines Akkus Zeichen Beschreibung Einheit I L Strom am Ladegerät A U L Spannung am Ladegerät V PSfrag repacements R L Innenwiderstand des Ladegeräts Ω U d Spannung an der Diode (Rückstromschutz) V H = 0 A Strom am Akku A B = µ 0 U A Spannung des Akkus V B = R0 A Innenwiderstand des Akkus Ω H B U = I N A2 Spannung über Akku V Geraden mit Kenninie) Ladegerät Akku PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N Geraden mit Kenninie) Abbidung 9: Ladung eines Akkus: Prinzipschema I L R L U L U D U A2 I A R A U A Abbidung 0: Ladung eines Akkus: Schatpan PSfrag repacements I Diode Akku H = 0 B = µ 0 I L Arbeits punkt Steigung: R A Akku & Ladegerät H B = I N Steigung: R L Geraden mit Kenninie) U A Ladegerät U Abbidung : Ladung eines Akkus: Diagramm Für die Akku & Ladegerät Kurve werden der Strom beibehaten und die Spannungen U L und U A addiert. Eektrotechnik Formesammung Seite 33

37 5 WECHSELSTROM 5 Wechsestrom 5. Agemein S.05 Zeichen Beschreibung Einheit T Periodendauer s f Frequenz s = Hz ω Winkefrequenz s = s n Periode (Nummer) u(t) zeitabhängige physikaisch reae Spannung V u(t) kompexe zeitabhängige Spannung V û Ampitude V û kompexe Ampitude V u Arithmetischer Mittewert V u Geichrichtwert V U kompexer Effektivwert V U Effektivwert (geiche Wirkeistung wie bei Geichstrom) V f = T u(t) = u(t + n T) u(t) = û sin(ωt + ϕ n ) u = 0 (per Definition) u = T T 0 u(t)dt (agemein) u = T T 0 u dt U = T T u 2 dt 0 f = ω 2π Seite 34 Eektrotechnik Formesammung

38 5 WECHSELSTROM S Speziafäe Name Forme Sinus Dreieck Rechteck Geichricht u = T T 0 u dt û 2 π û 2 û Mitte u = T T 0 udt Effektiv U = T T 0 u2 dt û 2 û 3 û Formfaktor F = u e f f u..55 Scheitefaktor δ = û u e f f 2 3 Hinweis: Messgeräte (z.b. Oszioskop) messen meistens den Geichrichtwert und zeigen den Effektivwert an Formfaktor Eektrotechnik Formesammung Seite 35

39 5 WECHSELSTROM 5.3 Kompexe Spannung U = Ue jϕ n = U ϕ n Für Sinus: U = U sin(ωt + ϕ) Physikaisch reee Spannung: u(t) = û sin(ωt + ϕ n ) Voständig kompexe Spannung: u(t) = û (cos(ωt + ϕ n ) + j sin(ωt + ϕ n ) ) u(t) = û e j(ωt+ϕ n) Widerstand Induktivität (Spue) Kapazität (Kondensator) u voreiend i voreiend i = u R u = L di dt i = C du dt u = û sin(ωt) i = î sin(ωt) u = û sin(ωt) i = û R sin(ωt) u = L î ω cos(ωt) i = û C ω cos(ωt) û î = R û î = L ω û î = ϕ = 0 ϕ = 90 o = π 2 ϕ = 90 o = π 2 frag repacementsu = û = PSfrag û e jωt repacements < 0 I = î epsfrag jωt repacementsu = û e jωt H = 0 I = u R = û ejωt B = µ 0 2 R U I = R H B = I N en mit Kenninie) I U I C ω H = 0 U = L di dt = L î H = jω e jωt 0 I = C B = µ 0 B = 2 µ 0 U I = jωl H B = I N H B = I N U Geraden mit Kenninie) Geraden mit Kenninie) I û 2 jω e jωt U I = jωc = j ωc U I 5.4 Kompensation Vereinfachte Forme für die Berechnung eines Kompensationskondensators. C = P (tan φ tan φ 2 ) 2 π f U 2 Seite 36 Eektrotechnik Formesammung

40 5 WECHSELSTROM S.23, Kompexer Widerstand und Leitwert Zeichen Beschreibung Einheit Z Scheinwiderstand (Impedanz) Ω R Wirkwiderstand (Resistanz) Ω X Bindwiderstand (Reaktanz) Ω Y Scheineitwert (Admitanz) S G Wirkeitwert (Konduktanz) S B Bindeitwert (Suszeptanz) S Serie-Schatungen Parae-Schatungen Formen Z = R + jx = Z ϕ Y = G + jb = Y ϕ Ohmsches Gesetz Z = U I = Y Y = I U = Z Widerstand Z = R Y = G Induktivität Z = jωl Y = jωl Kapazität Z = jωc Serie-Schatungen Z e = Z n = R n + j X n Y = jωc Parae-Schatungen Y e = Y n = G n + j B n Eektrotechnik Formesammung Seite 37

41 5 WECHSELSTROM 5.6 Kompexe Leistung Zeichen Beschreibung Einheit S Scheineistung W P Wirkeistung W X Bindeistung W I Konjugiert Kompexe von I A S.62 Formen S = P + jq = S ϕ Ohmsches Gesetz S = U I = Z I 2 = Y U 2 Widerstand S = R I 2 = G U 2 Induktivität S = jωl I 2 = j ωl U2 Kapazität Serie-Schatungen S = jωc U 2 = j ωc I2 S = Z I 2 = P n + j Q n Parae-Schatungen S = Y U 2 = P n + j Q n jq PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N Geraden mit Kenninie) Leistungsabgabe (Quee) induktiv kapazitiv Leistungsaufnahme (Verbraucher) P Abbidung 2: Kompexe Leistung Seite 38 Eektrotechnik Formesammung

42 5 WECHSELSTROM S Wechsestromeistung PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N Geraden mit Kenninie) PSfrag repacements Parae Ersatzschatung H = 0 B = µ B 0 I b H B = I N Geraden mit Kenninie) I Reihen Ersatzschatung X R Schatbid I w G U U b U w kompexer Widerstand Z = R + jx kompexer Leitwert Y = G + jb Scheinwiderstand Z = R 2 + X 2 Scheineitwert Y = G 2 + B 2 Wirkwiderstand Wirkeitwert G = Y cos ϕ Y = I w U R = Z cos ϕ = U w I Bindwiderstand Bindeitwert B = Y sin ϕ Y = I b U X = Z sin ϕ = U b I kompexe Leistung S = Y U 2 = (G jb)u 2 S = ZI 2 = (R + jx)i 2 Wirkeistung P = I w U = I2 w G = U 2 G P = U w I = U2 w R = I 2 R Bindeistung Q = I b U = I2 b B = U 2 B Q = U b I = U2 b X = I2 X Scheineistung S = UI = U Iw 2 + I 2 S = UI = I U 2 b w + U 2 b Wirkfaktor cos ϕ = G Y cos ϕ = R Z Bindfaktor sin ϕ = B Y sin ϕ = X Z Wirkstrom I w = I cos ϕ Y = GU Wirkspannung U w = U cos ϕ = RI Bindstrom I b = I sin ϕ Y = BU Bindspannung U b = U sin ϕ = XI Eektrotechnik Formesammung Seite 39

43 6 FILTER, ÜBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6 Fiter, Übertragungsfunktion und Bodediagramm 6. Bodediagramm S.203, 28 Zeichen Beschreibung Einheit G Übertragungsfunktion A(ω) Übertragungsfunktion in db db ω Kreisfrequenz s ω g Grenzkreisfrequenz (ω bei G = = 3dB) 2 s Ω = ω ω g G Ampitudengang ϕ G Phasengang (Winke der Kompexen Zah G) Q Güte, Gütefaktor D Dämpfungsfaktor G = U a U e A(ω) = 20 og 0 ( G ) ω g = τ Ω = ω ω g = f f g D = Q Seite 40 Eektrotechnik Formesammung

44 PSfrag6 repacements FILTER, ÜBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM H = 0 B = µ RC - Tiefpassfiter H B = I N Geraden mit Kenninie) U e R C U a PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N PSfrag (Schnittpunkt repacements der Geraden mit Kenninie) H = 0 B = µ 0 H B = I N G 0dB 20dB 40dB 60dB Geraden mit Kenninie)0 o 45 o 90 o Abbidung 3: RC-Tiefpassfiter 3dB Abbidung 4: Ampitudengang Abbidung 5: Phasengang Ω U a = U e jωc R + jωc = U e + jωrc G = U a U e = + jωrc ω g = RC = τ ω = f = Ω G = ω g f g + j ω ω g = + jω G = ( ) ω + ( ω ω g ) 2 ϕ G = arctan ω g Eektrotechnik Formesammung Seite 4

45 6 FILTER, ÜBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM PSfrag repacements H = RC -B Hochpassfiter = µ 0 H B = I N Geraden mit Kenninie) U e C R U a PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N PSfrag (Schnittpunkt repacements der Geraden mit Kenninie) H = 0 B = µ 0 H B = I N G 0dB 20dB 40dB 60dB 0.00 Abbidung 6: RC-Hochpassfiter Abbidung 7: Ampitudengang Geraden mit Kenninie) 90 o Ω 45 o 0 o Abbidung 8: Phasengang G = R R + jωc = jωrc jωrc + G = jω ω g + jω ω g = jω + jω G = ( + ω ωg ) 2 ϕ G = arctan ω ω g Seite 42 Eektrotechnik Formesammung

46 S.36 PSfrag repacements 6 FILTER, ÜBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM H = 0 B = µ RLC - Tiefpassfiter H B = I N Geraden mit Kenninie) R L U e C U a PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N G PSfrag repacements Geraden mit Kenninie) H = 0 B = µ 0 H B = I N 0dB 20dB 40dB 60dB Geraden mit Kenninie)0 o 90 o 80 o 0.00 Abbidung 9: RLC-Tiefpassfiter Q=0.5 Q= Q= Abbidung 20: Ampitudengang Abbidung 2: Phasengang 40dB decade Ω G = jωc R + jωl + jωc = jωrc ω 2 LC + = + j Q Ω Ω2 ω g = LC Q = U a U e (bei ω g ) = ω gl R = ω g CR Eektrotechnik Formesammung Seite 43

47 PSfrag6 repacements FILTER, ÜBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM H = 0 B = µ RLC - Hochpassfiter H B = I N Geraden mit Kenninie) U e R C L U a PSfrag repacements H = 0 B = µ 0 H B = I N PSfrag repacements Geraden mit Kenninie) H = 0 B = µ 0 H B = I N G 0dB 20dB 40dB 60dB Geraden mit Kenninie)80 o 90 o 0 o Abbidung 22: RLC-Hochpassfiter Q=0 Q= Q= Abbidung 23: Ampitudengang Ω Abbidung 24: Phasengang G = jωl R + jωl + jωc = Ω 2 + j Q Ω Ω2 Seite 44 Eektrotechnik Formesammung

48 6 FILTER, ÜBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.5. Doppe-T-Fiter Berechnung der Übertragungsfunktion mit Knotenpotentiaverfahren: PSfrag repacements R R H = 0 B = µ 0 H B = I N U e C 2C C U a Geraden mit Kenninie) R/2 Abbidung 25: Doppe-T-Fiter PSfrag repacements 6.6 Umwandung der Schatung H = 0 B = µ 0 H B = I N R R C I G Geraden mit Kenninie) U e C U e U e I 2 Y Abbidung 26: Umwandung der Quee I = U e R G = R I 2 = U e Y = U e jωc Y = jωc PSfrag repacements I G H = 0 B = µ 0 H B = I N G 2 2C C 3 U a I 2 Geraden mit Kenninie) Y 2G 0 Abbidung 27: Knoten Eektrotechnik Formesammung Seite 45

49 6 FILTER, ÜBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.6. Berechnung der Übertragungsfunktion [Y] [U] = [I] 2G + 2jωC 0 G 0 2G + 2jωC jωc G jωc G + jωc U 0 U 20 U 30 = U e G U e jωc 0 [U] = U 0 U 20 U 30 = ju e ( j+ωrc) 4jωCR+ω 2 C 2 R 2 ωcu e R( j+ωrc) 4jωCR+ω 2 C 2 R 2 U e (ω 2 C 2 R 2 ) 4jωCR+ω 2 C 2 R 2 G = U a U e = U 30 U e = ω 2 C 2 R 2 4jωCR + ω 2 C 2 R 2 = ω 2 R 2 C 2 ω 2 R 2 C 2 + 4jωCR Bemerkung: Tiefe und hohe Frequenzen werden durchgeassen (:). Bestimmter Bereich für ω 2 R 2 C 2 = 0 wird herausgefitert. Seite 46 Eektrotechnik Formesammung

50 PSfrag repacements 7 OPERATIONSVERSTÄRKER H = 0 B = µ 0 H B = I N 7 Operationsverstärker Geraden mit Kenninie) 0A 0A 0V + Abbidung 28: Operationsverstärker Das Schatbid in Abbidung 30 ist der Schüsse für die meisten Schatungen mit Operationsverstärkern. Ausnahmen: Schmidt-Trigger, Schwingungen, Osziatoren 7. Beispie (Mit Widerständen: PSfrag repacements Nicht invertierender Verstärker) H = 0 B = µ 0 H B = I N U e 0A 0A 0V + U a Geraden mit Kenninie) U Z Z Z 2 Abbidung 29: Beispie einer Operationsverstärkerschatung U U e = U Z = U a Z Z + Z 2 Z Z U e = U a Z + Z 2 G = U a U e = Z + Z 2 Z = + Z 2 Z Eektrotechnik Formesammung Seite 47

51 7 OPERATIONSVERSTÄRKER 7.2 Beispie 2 (Mit PSfrag Widerständen: repacements Invertierender Verstärker) H = 0 B = µ 0 H B = I N Geraden mit Kenninie) I Z 0A 0A 0V + U e Z 2 U Z I U Z2 U a Abbidung 30: Beispie einer Operationsverstärkerschatung U Z = U e U Z2 = U a I = U e Z I = U a Z 2 U e Z = U a Z 2 G = U a U e = Z 2 Z Seite 48 Eektrotechnik Formesammung

52 8 MESSTECHNIK 8 Messtechnik 8. Messfeher 8.. Zufäig Jedesma anders, nicht ohne Aufwand korrigierbar Reibung des Zeigers Toeranzen von Widerständen Temperatureinfüsse Störungen eingekoppet Anaoges Messgerät: Genauigkeitskasse k: ±k% vom Messbereich (Voausschag) Digitaes Messgerät ±(0.25% + D) 0.25% Abweichung vom Messwert und ± für die etzte angezeigte Ziffer 8..2 Berechnen der Messfeher Bei der Mutipikation addieren sich die reativen Messfeher. δu R = δr + δi Bei der Addition verwendet man das geometrische Mitte. U NG = U 2 R + U2 A 8..3 Systematisch Messgerät verändert Schatung, jedesma geich, korrigierbar. - Stromfeherschatung - Spannungsfeherschatung Beachte: Wenn der systematische Feher keiner as die Toeranz des Messgerätes ist, muss er nicht berücksichtigt werden! Eektrotechnik Formesammung Seite 49