Numerik von Anfangswertaufgaben Teil II

Transkript

1 Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Numerik von Anfangswertaufgaben Teil II Numerik partieller Differentialgleichungen Oliver Ernst Hörerkreis: 6. Mm, 8. Mm Sommersemester 2012

2 Inhalt 1. Hyperbolische Differentialgleichungen 1.1 Übersicht 1.2 Randbedingungen 1.3 Differenzenverfahren 1.4 Konsistenz und Konvergenz 2. Analyse von Differenzenschemata 2.1 Fourier-Analyse 2.2 Von Neumann Analyse Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

3 Inhalt 1. Hyperbolische Differentialgleichungen 1.1 Übersicht 1.2 Randbedingungen 1.3 Differenzenverfahren 1.4 Konsistenz und Konvergenz 2. Analyse von Differenzenschemata 2.1 Fourier-Analyse 2.2 Von Neumann Analyse Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

4 Lineare Wellengleichung erster Ordnung Die einfachste partielle Differentialgleichung hyperbolischen Typs ist die lineare Wellengleichung erster Ordnung Hierbei bezeichnen u = u(x, t), und a eine reelle Konstante. u t + au x = 0. (1.1) u t = u t, u x = u x Die mathematische Problemstellung, eine Funktion u = u(x, t) zu bestimmen, welche (1.1) erfüllt und zu einem festgelegten Anfangszeitpunkt t 0, den wir als t 0 = 0 annehmen, vorgegebene Anfangsbedingung u(x, 0) = u 0 (x), x R, (1.2) erfüllt, heißt Anfangswertaufgabe (AWA) oder Anfangswertproblem (AWP). Eine AWA, bei der die räumliche Variable x im ganzen räumlichen Bereich variieren kann, nennt man auch Cauchy-Problem. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

5 Lineare Wellengleichung erster Ordnung Ist u 0 differenzierbar, so erfüllt die Funktion u(x, t) = u 0 (x at), x R, t 0, (1.3) sowohl (1.1) als auch (1.2), ist also eine Lösung der AWA. Beachte: (1.1) ist nur sinnvoll, wenn u 0 differenzierbar; (1.3) hingegen für beliebige Funktionen. Die Lösung (1.3) ist konstant längs der Kurvenschaar x at = c, c R. Solche Kurven nennt man Charakteristiken. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

6 Lineare Wellengleichung erster Ordnung Weiteres Beispiel zu Charakteristiken Wir betrachten die AWA u t + au x + bu = f(x, t), u(x, 0) = u 0 (x), (1.4a) (1.4b) mit reellen Konstanten a, b. Unter der Variablensubstitution τ = t τ = t, ξ = x at, x = ξ + aτ, sowie ũ(ξ, τ) = u(x, t) geht (1.4a) über in die gewöhnliche AWA ũ τ = bũ + f(ξ + aτ, τ), ũ(ξ, 0) = u 0 (ξ), mit Lösung (Variation der Konstanten) ũ(ξ, τ) = u 0 (ξ)e bτ + τ 0 f(ξ + aσ, σ)e b(τ σ) dσ. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

7 Lineare Wellengleichung erster Ordnung Weiteres Beispiel zu Charakteristiken Umschreiben in die ursprünglichen Variablen ergibt u(x, t) = u 0 (x at)e bt + t 0 f(x a(t s), s)e b(t s) ds. Wir stellen fest: die Lösung u im Punkt (x, t) bleibt unverändert, wenn wir (x, t) ersetzen durch (x, t ) sofern x at = x at. Die Lösung hängt also nur ab von den Werten von u 0 und f längs der Chakteristik durch (x, t) mit 0 s t. Ein Punkt, der sich entlang der Charakteristik x at = konst bewegt besitzt das Weg-Zeit-Gesetz x = at + konst, und somit die Geschwindigkeit dx dt = a. Daher bezeichnet man den Koeffizienten a auch als charakterisctische Geschwindigkeit der hyperbolischen Gleichung (1.4a). Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

8 Systeme hyperbolischer Gleichungen Wir betrachten nun Systeme von n hyperbolischen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten in einer Raumdimension. Die Lösungsfunktion ist nun ein Vektor u R n. Definition 1.1 Ein System der Form u t + Au x + Bu = F (x, t) mit Matrizen A, B R n n und rechter Seite F : R 2 R n für das Vektorfeld u = u(x, t) R n heißt hyperbolisch, wenn A diagonalisierbar ist und reelle Eigenwerte besitzt. Ist A diagonalisierbar, so gibt es eine invertierbare Matrix V deren Spalten linear unabhängige Eigenvektoren von A enthalten und gilt, mit λ i der i-te Eigenwert von A. V 1 AV = Λ := diag(λ 1,..., λ n ) Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

9 Systeme hyperbolischer Gleichungen Die Eigenwerte λ i von A werden charakteristische Geschwindigkeiten des Systems genannt. Führt man die lineare Transformation w(x, t) := V 1 u(x, t) der abhängigen Variablen ein, so geht, im Fall B = O, das System über in die entkoppelten Gleichungen. w t + Λw x = V 1 F =: F, also (w i ) t + λ i (w i ) x = f i, i = 1,..., n. Für B O bleiben die Gleichungen gekoppelt, jedoch nur in den ableitungsfreien Termen. Die wichtigsten Eigenschaften in Bezug auf Ausbreitung von Information (von den Daten in die Lösung) bleiben erhalten, die Matrix B führt lediglich zu zusätzlichen Effekten wie Wachstum, Dämpfung oder Oszillation. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

10 Systeme hyperbolischer Gleichungen Beispiel Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

11 Gleichungen mit variablen Koeffizienten Bei der Gleichung u t + a(x, t)u x = 0 (1.5) ist die charakteristische Geschwindigkeit orts- und zeitanghängig. Die allgemeine Variablensubstitution τ = t, ξ = ξ(x, t) führt auf ũ τ = u t t τ + u x x τ = u t + x τ u x. Analog dem Fall konstanter Koeffizienten setzen wir dx dτ = a(x, t) = a(x, τ). Diese gewöhnliche Dgl. für x als Funktion von τ besitzt längs der Charakteristik im Punkt (x, τ) als Geschwindigkeit a(x, τ). Wir schreiben als Anfangswert der charakteristischen Kurve durch (x, τ) den Wert ξ vor. Wir erhalten somit Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

12 Gleichungen mit variablen Koeffizienten dũ dτ = 0, dx dτ ũ(0, ξ) = u 0(ξ), = a(x, τ), x(0) = ξ. Somit ist ũ (und damit u) konstant längs der durch die zweite Gleichung definierte Charakteristik, die jedoch, im Unterschied zum Fall konstanter Koeffizienten, im Allgemeinen keine Gerade mehr ist. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

13 Gleichungen mit variablen Koeffizienten Beispiel Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

14 Systeme mit variablen Koeffizienten Systeme hyperbolischer Gleichungen mit variablen Koeffizienten führt man, gleichmäßige Diagonalisierbarkeit vorausgesetzt, zurück auf den skalaren Fall. Definition 1.2 Das System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung u t + A(x, t)u x + B(x, t)u = F (x, t) (1.6) heißt hyperbolisch, falls es eine matrixwertige Funktion V = V (x, t) gibt mit V (x, t) 1 A(x, t)v (x, t) = Λ(x, t) = diag(λ 1 (x, t),..., λ n (x, t)), wobei für alle x R und t 0 die Eigenwerte λ i reell und die Normen von V und V 1 beschränkt sind. Die Charakteristiken von (1.6) sind die Lösungen der Dgl. dx i dt = λ i(x, t), x i (0) = ξ i. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

15 Inhalt 1. Hyperbolische Differentialgleichungen 1.1 Übersicht 1.2 Randbedingungen 1.3 Differenzenverfahren 1.4 Konsistenz und Konvergenz 2. Analyse von Differenzenschemata 2.1 Fourier-Analyse 2.2 Von Neumann Analyse Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

16 Randbedingungen Endliches Ortsintervall, e.g. x [0, 1]. Führt auf Anfangs-Randwertaufgabe (ARWA). Auch hier sind Charakteristiken von entscheidender Bedeutung. Beispiel: u t + au x = 0, x (0, 1), t > 0. (1.7) Randwerte können am rechten oder linken Rand vorgegeben werden, nicht aber an beiden. Für die Vorgabe am linken Rand u(0, t) = g(t), t 0, mit Anfangswerten u(x, 0) = u 0 (x) erhält man als Lösung { u 0 (x at), x at > 0, u(x, t) = g(t x/a), x at < 0. Diese besitzt im Fall u 0 (0) g(0) einen Sprung längs {x = at}. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

17 Randbedingungen System Betrachte das System [ ] u1 + u 2 mit a, b R, a b. t [ ] [ ] a b u1 b a u 2 x = 0, x (0, 1), t > 0, (1.8) Charakteristische Variablen: w 1 = u 1 + u 2, w 2 = u 1 u 2. Bezüglich dieser geht das System (1.8) über in [ ] [ ] [ ] w1 a + b 0 w1 + = 0. (1.9) w 2 0 a b w 2 t x Für a, b beide positiv unterscheiden wir Fall 1. 0 < b < a, beide Charakteristiken laufen von links nach rechts, Randvorgabe bei {x = 0}. Fall 2. 0 < a < b. Eine Charakteristik läuft nach rechts, dia andere nach links. Möglichkeit: schreibe w 1 vor bei {x = 0} und w 2 bei {x = 1}. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

18 Randbedingungen System Alternative für Fall 2: w 1 (0, t) = α 0 w 2 (0, t) + β 0 (t), w 2 (1, t) = α 1 w 1 (1, t) + β 1 (t), (1.10) mit Konstanten oder Funktionen α 0, α 1. So kann die Randvorgabe u 1 (0, t) = β 0 (t), u 2 (1, t) = β 1 (t) geschrieben werden als w 1 (0, t) = w 2 (0, t) + 2β 0 (t), w 2 (1, t) = w 1 (1, t) 2β 1 (t), d.h. als Spezialfall von (1.10) mit α 0 = 1, α 1 = 1. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

19 Randbedingungen System Randbedingungen, durch welche die Lösung einer PDE eindeutig bestimmt wird, heißen korrekt gestellt, sachgemäß gestellt, oder englisch well-posed. Im Beispiel: nur korrekt gestell, falls äquivalent zu (1.10). (1.10) schreibt den Wert der charakteristischen Variablen auf der ins Gebiet hineinlaufenden Charakteristik als Funktion der Wertes der charakteristischen Variablen auf der das Gebiet verlassenden Charakteristik vor. Im Beispiel: u 1 oder u 2 bei x = 0 u 1 oder u 2 bei x = 1 u 1 u 2 bei x = 0 u 1 + u 2 bei x = 1 korrekt korrekt inkorrekt inkorrekt Faustregel: Anzahl Randbedingungen = Anzahl hineinlaufender Charakteristiken (Später mehr). Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

20 Randbedingungen Periodische RBen In vielen Fällen ist es interessant, auf einem beschränkten Intervall zu rechnen, aber als RB Periodizität der Lösung vorzuschreiben (periodische Randbedingung): u(0, t) = u(1, t). (1.11) In diesem Fall enthält sozusagen das Rechengebiet einen Rand, nicht aber die ARWA (da die Lösung für alle x definiert ist. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

21 Inhalt 1. Hyperbolische Differentialgleichungen 1.1 Übersicht 1.2 Randbedingungen 1.3 Differenzenverfahren 1.4 Konsistenz und Konvergenz 2. Analyse von Differenzenschemata 2.1 Fourier-Analyse 2.2 Von Neumann Analyse Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

22 Differenzenverfahren Differenzenverfahren beruhen auf dem Prinzip, die Lösung einer Differentialgleichung auf einem räumlich-zeitlichen Gitter {(x m, t n ) : x m = mh, t n = nk, m, n Z} mit positiven Schrittweiten h und k zu approximieren, wobei Ableitungen durch finite Differenzen approximiert werden. Bezeichnung: v(x m, t n ) =: v n m für eine auf dem Gitter definierte Funktion v. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

23 Differenzenverfahren Beispiele für Differenzenschemata zur Approximation von (1.1): 1 v n+1 m v n+1 m v n+1 m v n+1 m v n+1 m vm n k vm n k vm n k vm n 1 2k 1 2 (vn m+1 + v n m 1) k + a vn m+1 v n m h + a vn m v n m 1 h + a vn m+1 v n m 1 2h + a vn m+1 v n m 1 2h + a vn m+1 v n m 1 2h = 0 vorwärts-vorwärts (1.12a) = 0 vorwärts-rückwärts (1.12b) = 0 vorwärts-zentral (1.12c) = 0 leapfrog (1.12d) = 0 Lax-Friedrichs (1.12e) 1 Peter Lax, 1926, Kurt Otto Friedrichs, Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

24 Beispiele Lax-Friedrichs-Verfahren 1 exakt h=0.1 h= u t + u x = 0 x [ 2, 3], t [0, 1.6] u 0 (x) = max{1 x, 0} λ = k h = 0.8 u(0, t) = 0 v n+1 M = vn+1 M Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

25 Beispiele Lax-Friedrichs-Verfahren Wie oben mit h = 1/60 λ = k h = Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

26 Beispiele Leapfrog-Verfahren 1 exakt h=0.1 h= Wie oben mit λ = k h = 0.8 Leapfrog- Verfahren Anlaufrechnung mit exakter Lösung Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

27 Inhalt 1. Hyperbolische Differentialgleichungen 1.1 Übersicht 1.2 Randbedingungen 1.3 Differenzenverfahren 1.4 Konsistenz und Konvergenz 2. Analyse von Differenzenschemata 2.1 Fourier-Analyse 2.2 Von Neumann Analyse Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

28 Konsistenz und Konvergenz Wie bei der Numerik von ODEs: Konsistenz und Konvergenz eines Differenzenschemas. Letzteres: durch Differenzenschema gelieferte Approximation konvergiert (in zu präzisierender Topologie) für h, k 0 gegen exakte Lösung der AWA. Betrachte hierzu die Klasse von PDEs erster Ordnung in t. Beispiele (neben (1.1)) P ( t, x )u = f(x, t), x R, u t + bu xx + au x = 0, u t cu txx + bu xxxx = 0, u t + cu tx + au x = 0. (1.13) Generelle Annahme: Cauchy-Problem korrekt gestellt. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

29 Konsistenz und Konvergenz Definition Konvergenz Definition 1.3 (Konvergenz) Wir nennen ein Einschritt-Differenzenschema zur Approximation {v n m} der Lösung einer PDE konvergent, falls für jede Lösung u(x, t) der PDE, sofern die Anfangsdaten v 0 m u 0 (x) für mh x gilt v n m u(x, t) für (mh, nk) (x, t) und (h, k) (0, 0). Bei Mehrschrittverfahren: Konvergenz der Anfangsdaten analog für gewählte Anlaufrechnung. Konvergent: Lax-Friedrichs und Leapfrog mit λ = 0.8. Divergent: Leapfrog mit λ = 1.6. Wie bei ODEs: Konvergenz direkt schwierig; einfacher sind Konsistenz und Stabilität. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

30 Konsistenz und Konvergenz Definition Konvergenz Definition 1.4 (Konsistenz) Ein Differenzenschema P h,k v = f heißt konsistent mit einer PDE P u = f, falls für jede hinreichend glatte Funktion φ = φ(x, t) gilt P φ P h,k φ 0 für h, k 0. Beispiele: Vorwärts-Vorwärts und Lax-Friedrichs Verfahren für (1.1). Konsistenz Lösung der AWA löst näherungsweise die Differenzengleichung des Schemas. Konvergenz Lösung des Differenzenschemas löst näherungsweise die AWA. Wie bei der Numerik von ODEs ist Konsistenz notwendig, aber nicht hinreichend für Konvergenz. Beispiel: Konsistenz ohne Konvergenz. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

31 Konsistenz und Konvergenz Stabilität Stabilität ist, wieder wie bei ODEs, ist die zweite notwendige Bedingung für Konvergenz eines Differenzenschemas. Grundgedanke: soll v n m für x m x und t n t gegen u(x, t) konvergieren, so muss die Folge {v n m} n,m notwendig beschränkt bleiben. Wir verstehen unter einem Stabilitätsgebiet R eine beschränkte, nichtleere Teilmenge des positiven Quadranten {(h, k) R 2 : k, k > 0} mit dem Ursprung als Häufungspunkt. Für auf dem (beidseitig unbeschränkten) räumlichen Gitter {x m = mh} m Z definierten Funktionen {w m } m Z definieren wir die diskrete L 2 -Norm. w h := ( h m= w m 2 ) 1/2. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

32 Konsistenz und Konvergenz Stabilität Definition 1.5 Ein Differenzenschema P h,k v n m = 0 für eine PDE erster Ordnung heißt stabil in einem Stabilitätsgebiet R, falls es J N 0 gibt sodass für jede Endzeit T > 0 eine Konstante C T existiert mit v n 2 h C T J v j 2 h n mit 0 nk T und (h, k) R. (1.14) j=0 Diese Definition besagt, dass die durch ein stabiles Differenzenschema erzeugte Gitterfunktion in ihrem Wachstum gemessen in der diskreten L 2 -Norm in jedem festen Intervall [0, T ] für beliebig kleine Zeitschrittweiten k beschränkt ist, und zwar durch einen konstanten (von T abhängenden) Faktor mal der Summe der Normen der ersten J Zeitschichten. I.A. kann J = 0 gewählt werden; J > 0 bei Mehrschrittverfahren mit bestimmten Datenvorgaben auf den ersten J + 1 Zeitschichten. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

33 Konsistenz und Konvergenz Stabilität Unentbehrliches Hilfsmittel bei Stabilitätsanalyse für Differenzenschemata: Fourier-Techniken. Beispiel: (hier geht s direkt) vorwärts-vorwärts-schema. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

34 Konsistenz und Konvergenz Korrekt gestellte AWA Eng verknüpft mit der Stabilität von Differenzenschemata ist die korrekt-gestelltheit von AWAen. Für PDEs erster Ordnung P u = f sei dies wie folgt definiert: Definition 1.6 Die AWA für die PDE erster Ordnung P u = 0 heißt korrekt gestellt, falls es für jeden Zeitpunkt T 0 eine Konstante C T gibt sodass jede Lösung u = u(x, t) die Ungleichung erfüllt. Hierbei bezeichnet u(, t) 2 C T u(, 0) 2, t [0, T ] (1.15) w := R w(x) 2 dx die L 2 -Norm einer auf R definierten Funktion w. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

35 Konsistenz und Konvergenz Das Äquivalenzprinzip Der Fundamentalsatz bei Differenzenverfahren für AWAen: Theorem 1.7 (Lax-Richtmyer Äquivalenzprinzip, 1956) Ein mit einer korrekt gestellten AWA konsistentes Differenzenschema ist genau dann konvergent, wenn es stabil ist. Schwierig zu beweisende Aussage (Konvergenz) zu zwei (oft) leicht zu verifizierende Eigenschaften äuivalent. Instabile Verfahren brauchen nicht betrachtet werden. Beweis später Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

36 Konsistenz und Konvergenz Die CFL-Bedingung Explizite Differenzenschemata: von der Bauart v n+1 m = endliche Summe aus vñ m mit ñ n. (Bisher alle betrachteten Schemata explizit.) Theorem 1.8 Für ein explizites Differenzenschema für die PDE (1.1) von der Form v n+1 m = αv n m 1 + βv n m + γv n m+1 mit konstant gehaltenem λ = k/h ist die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (CFL-Bedingung) 2 aλ 1 notwendig für Stabilität. 2 R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Mathematische Annalen 100 (1): (1928) Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

37 Konsistenz und Konvergenz Die CFL-Bedingung Bemerkungen: Für Systeme solcher PDEs, bei denen α, β und γ Matrizen sind, muss man aλ j 1 für alle Eigenwerte λ j von α fordern. Ähnlich zeigt man: es gibt keine explite und konsistente Differenzenschemata für hyperbolische PDEs, welche für alle Werte von λ stabil sind. Courant, Friedrichs und Lewy: Es gibt keine explizite, konsistente und zugleich unbedingt stabile Differenzenschemata für hyperbolische Systeme von PDEs. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester

38 Konsistenz und Konvergenz Zwei implizite Verfahren v n+1 m v n+1 m vm n k vm n k + a vn+1 m+1 vn+1 m 1 = 0 rückwärts-zentral (1.16a) 2h + a vn+1 m vm 1 n+1 = 0 rückwärts-rückwärts (1.16b) h Beispiel: Rückwärts-rückwärts-Schema für a > 0 stabil für alle Werte von λ. Oliver Ernst (TU Freiberg) AWP Sommersemester