Erhaltungssätze & Finite Volumen. Einführung

Transkript

1 Erhaltungssätze & Finite Volumen Einführung

2 Übersicht 1. Allgemein 2. Verschiedene Formen und 5. Erhaltungssätze 6. Finite Volumen Methoden 7. Zusammenfassung

3 1. Allgemein Hyperbolische (DGL): - jene Systeme, die in sich geschlossen sind, d.h. es geht keine Energie, Masse, Wärme, etc. verloren, sondern wird nur umtranspor@ert Hyperbolische DGL Parabolische DGL

4 1. Allgemein Hyperbolische DGLen stellen Wellenphänomene dar Probleme meist zeitabhängig Lösung hängt somit zumindest in 1 Variable von der Zeit ab Wich@gste Anwendungsgebiete:

5 1.1 Anwendungsgebiete

6 1.1 Anwendungsgebiete

7 1.1 Anwendungsgebiete

8 1.1 Anwendungsgebiete

9 1.1 Anwendungsgebiete

10 1.1 Anwendungsgebiete

11 1.1 Anwendungsgebiete

12 1.1 Anwendungsgebiete

13 1.1 Anwendungsgebiete

14 1.1 Anwendungsgebiete

15 1.1 Anwendungsgebiete

16 2. Verschiedene Formen und im eindimensionalen hat eine homogene DGL erster Ordnung (abhängig von x,t) die Form q t (x,t) + Aq x (x,t) = 0 (1.1) q: IR x IR IR m Vektor mit m Komponenten, welche die gesuchten unbekannten Funk@onen (Druck, Geschwindigkeit, etc.) repräsen@eren

17 2. Verschiedene Formen und 2.1 Homogene DGL q t (x,t) + Aq x (x,t) = 0 A konstante m x m Matrix Reelle Eigenwerte und entsprechende Menge linear unabhängiger Eigenvektoren, damit Problem hyperbolisch

18 2. Verschiedene Formen und 2.1 Homogene DGL q t (x,t) + Aq x (x,t) = 0 Einfachster Fall: m=1 A ist skalarer Wert Kann bereits Wellenbewegung oder advek@ven Transport modellieren

19 2. Verschiedene Formen und 2.2 Transport Ausbreitung einer Substanz, die von einem Fluid wird Beispiel: Stromabwärts gerichteter Transport einer Verunreinigung durch eine 1- dim Röhre mit konstanter Geschwindigkeit u

20 2. Verschiedene Formen und

21 2. Verschiedene Formen und 2.2 Transport q t (x,t) + uq x (x,t) = 0, x ϵ IR, t > 0 (1.2) q(x,0) = q 0 (x) Lösung: q(x,t) = q 0 (x - ut) für alle Funk@onen q 0 (1.3)

22 2. Verschiedene Formen und 2.3 Wellenbewegung Etwa das Modellieren von Schallwellen, die sich in einem gasgefüllten Rohr oder einem Festkörper ausbreiten one- way wave equa,on: w t (x,t) + cw x (x,t) = 0 (1.4)

23 2. Verschiedene Formen und Vergleich von (1.2) und (1.4): q t (x,t) + uq x (x,t) = 0 und w t (x,t) + cw x (x,t) = 0 Thema@sch unterschiedlich, aber mathema@sch gesehen iden@sch

24 2. Verschiedene Formen und 2.3 Wellenbewegung Gleichung: - für akus@sche Wellen in 2 Richtungen - gegeben durch: p t (x,t) + Ku x (x,t) = 0 (1.5) u t (x,t) + (1/ρ)p x (x,t) = 0

25 2. Verschiedene Formen und p t (x,t) + Ku x (x,t) = 0 (1.5) u t (x,t) + (1/ρ)p x (x,t) = 0 Gesucht: Druck p(x,t), Geschwindigkeit u(x,t) Gegeben: das Maß der Kompressibilität K und die Dichte ρ

26 2. Verschiedene Formen und p t (x,t) + Ku x (x,t) = 0 (1.5) u t (x,t) + (1/ρ)p x (x,t) = 0 (1.5) in Form von q t + Aq x = 0: q= p, A= 0 K (1.6) u 1/ρ 0

27 2. Verschiedene Formen und p + 0 K p = 0 u 1/ρ 0 u Beispiel Schallgeschwindigkeit Lul vs Wasser

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30 3. Erhaltungssätze Homogene hyperbolische Gleichung = Erhaltungssatz Einfachstes Beispiel eines 1- dim Erhaltungssatzes: par@elle Differen@algleichung (PDE) q t (x,t) + f(q(x,t)) x = 0, (1.8) f(q) ist die Flussfunk@on

31 3. Erhaltungssätze q t (x,t) + f(q(x,t)) x = 0 in quasilineare Form: q t + f (q)q x = 0 (1.9) (1.9) hyperbolisch, wenn die Fluss- Jacobi- Matrix die Bedingungen erfüllt, die vorher der Matrix A auferlegt waren q t (x,t) + Aq x (x,t) = 0 (1.1) ist Erhaltungssatz mit linearer Flussfunk@on f(q)=aq

32 3. Erhaltungssätze Viele physikalische Probleme erzeugen nichtlineare Erhaltungssätze, bei denen f(q) eine nichtlineare von q ist q ist der Vektor der Erhaltungsgrößen

33 3. Erhaltungssätze Integralform Erhaltungssätze entstehen zumeist aus physikalischen Gesetzen in einer Integralform für 2 beliebige Punkte x und y / t x y q(x,t) t = f(q(x,t)) - f(q(y,t)) (1.10)

34 3. Erhaltungssätze / t x y q(x,t) t = f(q(x,t)) - f(q(y,t) (1.10) jede Komponente von q misst die Dichte der Erhaltungsgrößen Die Gesamtmasse dieser Größen kann sich nur aufgrund des Flusses vorbei an den Endpunkten x und y verändern

35 3. Erhaltungssätze q t (x,t) + uq x (x,t) = 0 (1.2) ist aus der Tatsache abgeleitet, dass die Gesamtmasse des Feststoffes gleich bleibt Dazugehörige Flussfunk@on f(q) = uq Bleibt die Gesamtmasse hier nicht gleich (etwa wegen einer chemischen Reak@on), muss der Erhaltungssatz ebenso Quellterme beinhalten

36 3. Erhaltungssätze Lösungen q t (x,t) + f(q(x,t)) x = 0 (1.8) kann aus / t x y q(x,t) t = f(q(x,t)) - f(q(y,t) (1.10) hergeleitet werden Voraussetzung: q und f(q) genügend glaw Praxis: viele interessante Lösungen nicht glaw, sondern beinhalten Unste@gkeiten (Schockwellen o.ä.)

37 3. Erhaltungssätze Integralform hat mehr Lösungen als die Bei nichtlinearen Erhaltungssätzen: können auch aus glawen Ursprungsdaten entstehen Integralform ist die fundamentalere Gleichung

38 4. Finite Volumen Methoden führen zu rechnerischen Schwierigkeiten Haupwhema: Lösungen

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40 4. Finite Volumen Methoden Anstaw punktweise an Giwerpunkten, teilen wir den in Giwerzellen (finite Volumina) und approximieren das gesamte Integral von q über jede einzelne Giwerzelle

41 4. Finite Volumen Methoden Diese Werte werden in jedem Zeitschriw durch den Fluss durch die Grenzen der Giwerzellen verändert Ziel ist es, gute Fluss- zu welche die korrekten Flüsse gut approximieren

42 4. Finite Volumen Methoden Riemann Problem Grundlegendes Instrument zur Entwicklung von finiten Volumen Methoden Eigentlich nur hyperbolische Gleichung mit speziellen Anfangsdaten: die Daten sind konstant bis auf einen einzelnen in einem Punkt, etwa x=0:

43 4. Finite Volumen Methoden Riemann Problem q t (x,t) + uq x (x,t) = 0 (1.2) q, für x < 0 q(x,0) = (1.11) r, für x > 0

44 4. Finite Volumen Methoden Riemann Problem Seien Q i- 1 und Q i die Zelldurchschniwe zweier benachbarter Zellen eines endlichen Volumenrasters Lösen des Problems mit q = Q i- 1 und r = Q i zur Ermiwlung des numerischen Flusses Update der Zellen nach Zeitschriw

45 4. Finite Volumen Methoden Riemann Problem Hyperbolische Probleme: Lösung typischerweise eine Ähnlichkeitslösung Lineare hyperbolische Probleme: Lösung durch Eigenwerte und vektoren der Matrix A

46 4. Finite Volumen Methoden Riemann Probleme Ein endliches 2 dimensionales Volumenraster besteht in der Regel aus polygonalen Rasterzellen Riemann Problem senkrecht zu jeder Kante lösbar

47 4. Finite Volumen Methoden Riemann Probleme Im dreidimensionalen kann jede Außenfläche einer endlichen Volumenzelle durch eine Ebene approximiert werden Das Riemann Problem senkrecht zu dieser Ebene lösbar

48 Übersicht 1. Allgemein 2. Verschiedene Formen und 5. Erhaltungssätze 6. Finite Volumen Methoden 7. Zusammenfassung

49 Übersicht q t (x,t) + uq x (x,t) = 0, x ϵ IR, t > 0 (1.2) q(x,0) = q 0 (x) Lösung: q(x,t) = q 0 (x - ut) für alle Funk@onen q 0 (1.3)

50 Übersicht one- way wave equa,on: w t (x,t) + cw x (x,t) = 0 (1.4) Wellenbewegung in zwei Richtungen: p t (x,t) + Ku x (x,t) = 0 (1.5) u t (x,t) + (1/ρ)p x (x,t) = 0

51 Übersicht / t x y q(x,t) t = f(q(x,t)) - f(q(y,t) (1.10) Die entscheidende Form bei unste@gen Lösungen

52 Übersicht Finite Volumen Lösungen Auleilung in Giwerzellen

53 Übersicht Riemann Problem q t (x,t) + uq x (x,t) = 0 (1.2) q, für x < 0 q(x,0) = (1.11) r, für x > 0

54 Quellen LEVEQUE, R. (Jahr): Finite- Volume Methods for Hyperbolic Problems. Ort. Bilder: k.a.