5.1 Einführung. 5.2 Die Raumdiskretisierung. Vorlesungsskript Hydraulik II 5-1

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1 Vorlesungsskript Hydraulik II 5-5 Numerische Methoden Das vorliegende Kapitel dient dazu, numerische Methoden unabhängig vom Anwendungsgebiet einzuführen. Es soll die Grundzüge der verschiedenen Verfahren erläutern und die Hauptbegriffe definieren. Damit soll die Basis geschaffen werden, bei der Entwicklung oder Anschaffung von Software die richtigen Entscheidungen fällen zu können. 5. Einführung Durch die rasante Entwicklung auf dem Gebiet der Computertechnik stehen heute dem gewöhnlichen Anwender Rechenkapazitäten zur Verfügung, die noch vor Jahren nur auf einem Superrechner erhältlich waren. Diese Rechenkapazität erlaubt es uns, numerische Verfahren anzuwenden, wo früher mit vereinfachten Ansätzen Abschätzungen gemacht werden mussten. Im Bereich der Strömungsberechnungen wird oft der englische Begriff "computational fluid dynamics" gebraucht, abgekürzt CFD. CFD befasst sich mit der numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDG) aus dem Bereich der Strömungsmechanik, d.h. mit den Navier- Stokes-, Euler- oder Flachwassergleichungen u.a.. Zur Lösung dieser Differentialgleichungen stehen drei Methoden im Vordergrund: die Methode der finiten Differenzen (FD-Methode), die Methode der finiten Volumen (FV-Methode) und die Methode der finiten Elemente (FE-Methode). 5. Die Raumdiskretisierung Damit eine PDG numerisch gelöst werden kann, muss in einem ersten Schritt das Berechnungsgebiet in Teilgebiete unterteilt werden. Diesen Vorgang nennt man Diskretisierung. Er dient dazu, die unendliche Zahl von Freiheitsgraden der kontinuierlichen Gleichung durch eine endliche und damit vom Rechner behandelbare Anzahl von Freiheitsgraden zu ersetzen. Je feiner die Unterteilung des Berechnungsgebietes ist, desto geringer fallen die Approximationsfehler auf den Untergebieten ins Gewicht. Es gibt verschiedene Wege, um ein Rechengebiet zu diskretisieren. Nicht notwendigerweise, aber oft sind bestimmte Diskretisierungsmethoden auch eng mit den Lösungsverfahren verknüpft. Es geht im folgenden nicht darum, die Diskretisierungsverfahren im Detail auszuführen, sondern vielmehr darum, die verschiedenen Ansätze kennen zu lernen und deren Vor- und Nachteile zu verstehen. Eine Hauptunterteilung ist die Unterteilung in strukturierte und unstrukturierte Netze. 5.. Strukturierte Netze Strukturierte Netze sind die einfachsten Netze, die zur Unterteilung eines Rechengebiets verwendet werden können. Sie können dadurch charakterisiert werden, dass die Anzahl von Unterteilungen in einer Raumdimension unabhängig von der anderen immer konstant ist, d.h. ein D Netz hat eine bestimmte Anzahl Zellen n x bzw. n y in x- bzw y-richtung. Damit kann jede Zelle im Berechnungsgitter oder jeder Berechnungsknoten eindeutig mit zwei Indizes (für ein D Netz) identifiziert werden. Strukturierte Netze können weiter unterteilt werden in: Reguläre Netze, bei denen die Zellenlängen in die jeweiligen Raumrichtungen immer konstant sind, Orthogonale Netze, in denen die Netzlinien aufeinander senkrecht stehen, und Krummlinige Netze, bei denen die Netzlinien beliebigen Raumkurven folgen können.

2 5- Vorlesungsskript Hydraulik II Abb. 5-: Verschieden Arten strukturierter Netze: Reguläre, orthogonale Gitter (A und B), krummliniges Gitter (C) und orthogonal, krummliniges Gitter (D). Strukturierte, und speziell strukturierte, reguläre Gitter eignen sich ausgezeichnet für die FD- Methode. Dank der speziellen Gittereigenschaften können die Ableitungen in den Raumrichtungen gut bestimmt werden, ohne dass eine Koordinatentransformation notwendig wäre. Ein grosser Vorteil der strukturierten Netze besteht darin, dass der Speicherbedarf auf dem Computer klein ist, da die zu einer Zelle gehörigen Knoten und die Nachbarn aufgrund der Zellenidentifikation bestimmt sind. Bezüglich der Rechenzeiten ist dies ebenfalls von Vorteil. Die aufwendige Ausarbeitung von Beiträgen von Nachbarknoten zu einem bestimmten Knoten entfällt und die Struktur der zu lösenden Matrix ist von Anfang an gegeben. Der grösste Nachteil von strukturierten Gittern besteht darin, dass sie wenig flexibel sind, um komplizierte Gebiete zu diskretisieren. 5.. Multiblock Gitter Multiblock Gitter sind eine Kombination von mehreren Blöcken, die in sich selber strukturiert sind. Sie vereinigen damit die Vorteile von strukturierten Gittern, ohne die rigiden Einschränkungen bei der Netzflexibilität aufzuweisen. In jedem einzelnen Block eines Multiblock Gitters kann wie auf einem strukturierten Netz gerechnet werden. Der Uebergang von einem Block auf einen anderen muss allerdings speziell behandelt werden. Abb. 5-: Multiblock Gitter bestehend aus Blöcken.

3 Vorlesungsskript Hydraulik II Unstrukturierte Gitter Unstrukturierte Netze sind am komplexesten zu generieren, weisen demgegenüber aber die höchste Flexibilität auf. Ein unstrukturiertes Netz kann so charakterisiert werden, dass die Anzahl der Nachbarn einer Zelle variabel ist. Damit ist es nicht mehr möglich, eine bestimmte Zelle durch zwei bzw. drei Indizes (D bzw. 3D) zu identifizieren. Ausserdem sind die Knoten, die eine Zelle bilden nicht a priori gegeben sondern müssen definiert werden. Ein unstrukturiertes Netz muss mindestens zweierlei Informationen beinhalten: Sämtliche Knoten und deren Koordinaten, und sämtliche Zellen und die Information, welche Knoten jeweils Bestandteil dieser Zelle sind. Unstrukturierte Netze werden vor allem bei finiten Elementen verwendet. Auch für die Methode der FV werden teilweise unstrukturierte Gitter gebraucht, allerdings verbunden mit dem Nachteil, dass Rechengeschwindigkeit verloren geht. Abb. 5-3: Unstrukturiertes Gitter Gittergenerierung Für einfache Rechengebiete, die nur eine kleine Anzahl von Zellen aufweisen, lässt sich eine Gittergenerierung notfalls von Hand durchführen. Bei komplexeren Gebieten und einer grossen Anzahl von Zellen wäre ein solches Vorgehen aber zu zeitaufwendig. Deshalb werden Werkzeuge eingesetzt, die ausgehend von einer Gebietsumrandung eine automatische Unterteilung in Zellen vornehmen. Ein solches Werkzeug nennt man Gittergenerator. Algebraische Gittergeneratoren erzeugen die Zellen, indem sie algebraische Ausdrücke zur Generierung verwenden. Dabei berücksichtigen sie bei der Generierung verschiedene Vorgaben, z.b. eine grösstmögliche Fläche der Zellen, ein Winkelkriterium o.ä.. Daneben gibt es auch Gittergeneratoren, die eine PDG lösen und so die Unterteilung erzeugen. Nach Art der verwendeten PDG bezeichnet man die Generatoren entsprechend, z.b. verwendet man bei elliptischen Gittergeneratoren eine elliptische PDG wie die Poisson-Gleichung. Dabei wird ein einfaches Ausgangsnetz mittels dieser PDG auf ein komplexeres Gebiet transformiert, indem die neuen Berandungskoordinaten als Randbedingungen für die PDG gesetzt werden. 5.3 Rand- und Anfangsbedingungen Wenn ein Problem numerisch angegangen wird, so muss, wie im vorhergehenden Abschnitt diskutiert, das Gebiet zuerst diskretisiert werden. Auf dem diskretisierten Teilgebiet wird

4 5-4 Vorlesungsskript Hydraulik II anschliessend eine PDG mit einem beliebigen, numerischen Verfahren gelöst. Eine eindeutige Lösung der PDG ist aber nur möglich, wenn Randbedingungen definiert werden. Im Falle eines instationären Problems müssen zusätzlich die Randbedingungen in Zeitrichtung, d.h. die Anfangsbedingungen vorgegeben werden. Die numerische Lösung eines Problems wird durch die Rand- und Anfangsbedingungen massgeblich beeinflusst. Der beste numerische Algorithmus hilft nicht viel, wenn die Randbedingungen schlecht gesetzt wurden, da diese die Lösung am unmittelbaren Rand und fallweise bis weit ins Rechengebiet hinein, beeinflussen. In mehreren sog. Blindtests, d.h. Wettbewerben, in denen Numeriker versuchten, eine Strömung ohne Kenntnis der Messresultate zu berechnen, wurden mit identischen Programmen sehr unterschiedliche Übereinstimmungen mit der Wirklichkeit erzielt, je nach Geschick des Modellierers, die Randbedingungen adäquat zu repräsentieren. Mit den Anfangsbedingungen verhält es sich etwas anders. Natürlich müssen diese korrekt gesetzt werden, falls die zeitliche Entwicklung einer Strömung von Anfang an korrekt wiedergegeben werden soll. Die Strömung vergisst jedoch nach einiger Zeit die Anfangsbedingung. Oftmals spielt die Zeit auch deshalb eine untergeordnete Rolle, weil nur ein stationärer Endzustand interessiert. In diesen Fällen stellt sich die Frage eher so, dass physikalisch sinnvolle Anfangsbedingungen zu setzen sind, damit die Numerik im Falle nichtlinearer Probleme überhaupt konvergiert. Oftmals ist es dann sinnvoll, von einem bekannten Anfangszustand auszugehen, was u.u. die absolute Ruhe sein kann. 5.4 Numerische Verfahren 5.4. Grundlagen Numerische Methoden zur Berechnung von Strömungen können mit experimentellen Untersuchungen einer Strömung verglichen werden. In beiden Fällen kann nur eine begrenzte Anzahl von Strömungsgrössen zur Beschreibung der Strömung gemessen bzw. berechnet werden. Allerdings kann deren Anzahl beliebig hoch gewählt werden, so dass für praktische Fragestellungen keine Einschränkungen entstehen. Im Gegensatz zu den experimentellen Untersuchungen, bei welchen die primären Unbekannten an einer beschränkten Anzahl von Punkten mittels Sonden gemessen werden, schreiben die numerischen Methoden eine diskrete Anzahl von Gitterpunkten für die Unbekannten vor und lösen die sich ergebenden algebraischen Gleichungen mittels eines Lösungsalgorithmus. Indem wir uns auf eine knotenweise Betrachtung der Unbekannten konzentrieren, ersetzen wir eine kontinuierliche Verteilung der unbekannten Variablen durch eine diskontinuierliche. Diesen Vorgang nennt man Diskretisierung. Die algebraischen Ausdrücke werden hergeleitet, indem zwischen den unbekannten Knotenvariablen eine Verteilung angenommen wird. Die Art dieser Verteilung ist je nach Diskretisierungsmethode unterschiedlich. Da die verwendeten algebraischen Verteilungen üblicherweise einfache Ausdrücke sind, ist deren Gültigkeit selbstverständlich nur auf ein kleines Teilgebiet beschränkt. Ein solches Teilgebiet nennt man Element, die Unterteilung die zu solchen Elementen führt, die Raumdiskretisierung, wie wir dies in Kapitel 5. kennengelernt haben. Bis hierhin wurde die Diskretisierungsmethode in sehr genereller Form behandelt. Wie gesagt hängt die Art der verwendeten Gleichungen und die Annäherung des Funktionsverlaufs in den Elementen von der verwendeten Diskretisierungsmethode ab. Ohne dies im Augenblick näher zu erläutern, kann gesagt werden, dass bei der Methode der finiten Differenzen von der Differentialform der PDG, bei der finiten Volumen Methode von der Integralform und bei der finiten Elementmethode von der schwachen Integralform ausgegangen wird. Was dies genau bedeutet soll im folgenden Kapitel anhand eines konkreten Beispiels dargestellt werden.

5 Vorlesungsskript Hydraulik II Beispiel Um die unterschiedlichen Diskretisierungsmethoden und die dazu verwendeten Ausgangsgleichungen zu veranschaulichen diene im Folgenden ein einfaches, eindimensionales Problem, basierend auf der Poisson-Gleichung (z. B. Grundwasserströmungsgleichung). Die verwendete Modellgleichung hat die Form: x = f (5-) in der zum Beispiel das Geschwindigkeitspotential repräsentiert. Ausserdem werden wir homogene Randbedingungen an beiden Rändern annehmen, d.h. dass (x=0) = (x=) = Methode der finiten Differenzen Die Methode der finiten Differenzen geht von der Differentialform der Gleichung aus, wie sie in (5- ) dargestellt ist. Bei den FD wird diese Gleichung durch eine Taylor-Reihe approximiert. Je nach Genauigkeitsansprüchen werden deren Glieder höherer Ableitungen vernachlässigt. Wenn wir von der Diskretisierung in Abb. 5-4 ausgehen, in der Punkt zwischen den Punkten und 3 liegt und annehmen, dass alle Punkte gleichen Abstand untereinander aufweisen, so können wir die folgende Taylor-Reihe entwickeln: = Abb. 5-4: Diskretisierung mit der Methode der finiten Differenzen. + x x (5-)... + x 3 = + x +... (5-3) Wenn wir nach dem dritten Term abbrechen und die Gleichungen (5-) und (5-3) voneinander subtrahieren bzw. zueinander addieren, so erhalten wir: 3 = x und (5-4) = + 3 x (5-5) In einer finite-differenzen-formulierung wird die obige Poisson-Gleichung deshalb durch die folgende Differenzenformulierung aproximiert:

6 5-6 Vorlesungsskript Hydraulik II + 3 f = (5-6) x Weil die Taylor-Serie nur bis zu den quadratischen Termen entwickelt wurde, spricht man davon, dass der Fehler in der Ortsdiskretisierung von der Grössenordnung O( x ) sei, oder dass die verwendete Diskretisierung von der Genauigkeit zweiter Ordnung im Raum sei. Falls wir vom Punkt abstrahieren und in allgemeinerer Form vom Punkt i ausgehen so kann (5-6) wie folgt umgeschrieben werden: i + i+ i f i = für i =,...n- (5-7) x Falls diese Funktion an jedem Punkt des Rechennetzes formuliert wird, so resultiert eine Matrix, die eine tridiagonale Form, d.h. die eine Haupt- und zwei Nebendiagonalen aufweist: A = x (5-8) Bezeichnen wir den Lösungsvektor mit x T = [,, 3,... n ] und die rechte Seite der Gleichung mit b T = [f, f, f 3,... f n ] so können wir folgende Matrixgleichung aufstellen: A x = b für i =,...n- (5-9) Unter Berücksichtigung der beiden Randbedingungen bei x=0 und x=, kann die Matrixgleichung (5-9) mit einem Standardgleichungslöser aufgelöst werden. Im vorliegenden Beispiel wurde gezeigt, dass die FD die PDG in ein System von algebraischen Gleichungen überführten. Des weiteren kann gezeigt werden, dass die approximative Lösung dieses Systems gegen die wirkliche Lösung konvergiert, falls die Anzahl der Diskretisierungspunkte gegen unendlich geht Methode der finiten Volumen Für die Methode der finiten Volumen transformieren wir Gleichung (5-) in eine etwas andere Form. Wir schreiben: = f (5-0) x Wenn wir die Definitionen von Abb. 5-5 berücksichtigen, so können wir die Gleichung (5-0) über ein Kontrollvolumen integrieren, das die Länge x aufweist und sich von einem westlichen Punkt w bis zu einem östlichen Punkt e erstreckt. Tun wir dies, so erhalten wir:

7 Vorlesungsskript Hydraulik II 5-7 e + w e = f dx = 0 w (5-) Wie bei den finiten Differenzen, können die Ableitungen bei den finiten Volumen analog als Differentialquotienten definiert werden. Zu beachten ist, dass die Ableitungen an den Punkten w (west) und e (ost) zwischen den Diskretisierungspunkten liegen. Ausgedrückt durch Knotenwerte kann Gleichung (5-) diskretisiert werden durch: E xe P + xw = f x P W (5-) wobei f den Durchschnitt von f im Kontrollvolumen bezeichnet. Zwei gewichtige Vorteile der finiten Volumen-Methode wurden bis jetzt nicht ausdrücklich erwähnt: Durch die Verwendung der Integralform (5-) ist die Erhaltung von Masse, Impuls oder Energie in den entsprechenden Transportgleichungen gewährleistet, da in jedem Element ein explizites Gleichgewicht von Ein- und Ausströmen unter Berücksichtigung der Speicherung verlangt wird. Die Bilanzierung obiger Flüsse ist im Prinzip unabhängig von der Form des Elements, d.h. dass die Finite-Volumen-Methode sehr viel flexibler ist, als die Methode der finiten Differenzen. Abb. 5-5: Finite Volumen Diskretisierung des Modellproblems Methode der finiten Elemente Wir gehen nochmals zu unserer Ausgangsgleichung (5-) zurück und verwenden die gleiche Raumdiskretisierung wie bei den anderen beiden Diskretisierungsmethoden (FD und FV). Im Gegensatz zu diesen verwenden wir jetzt jedoch weder die Differentialform noch die Integralform der Gleichung, sondern die sogenannte schwache Integralform. Dies geschieht dadurch, dass auf die Ausgangsgleichung (5-) die Methode der gewichteten Residuen angewendet wird. Bei jeder Diskretisierung tritt ein Fehler auf, d.h. dass die Lösung des diskreten Systems von der effektiven Lösung der Ausgangsgleichung verschieden ist. Die Methode der gewichteten Residuen verlangt nun, dass der Fehler, der mit einer Gewichtsfunktion versehenen Ausgangsgleichung an allen Knoten verschwindet, wenn wir über das Gebiet integrieren, d.h.: xi xi W + x f dx = 0 für i=,..n (5-3) Ausserdem wird bei der Methode der finiten Elemente (FE) angenommen, dass die Änderung einer Variablen über ein Raumelement mit einer Polynomfunktion angenähert werden kann. Im einfachsten Fall, ist dies ein linearer Ansatz, d.h. für die Variable gilt: = α + α x (5-4)

8 5-8 Vorlesungsskript Hydraulik II Ausgehend von dieser Annahme können die Werte von α und α als Funktionen der diskreten Werte der Variablen an den Knoten ausgedrückt werden, d.h. als Funktion von und. Wir können schreiben: x α x α e = = = Kα (5-5) Indem wir (5-5) in Matrixform schreiben und für α einsetzen, erhalten wir: = [ x] K e (5-6) In Gleichung (5-6) wird die Variation einer Variablen über ein Element mit den diskreten Werten der Variablen an den Knoten verknüpft. Die Grösse [ x] N i = K (5-7) wird als Ansatzfunktion bezeichnet. Die Ansatzfunktion an einem bestimmten Knoten des Elements muss am Knoten selber eins sein und an allen übrigen Knoten des Elements verschwinden. Ausgehend von den Definitionen in Abb. 5-6 kann festgehalten werden, dass sich der Wert der Variablen an einer Stelle x im Element zusammenaddieren lässt aus den Knotenwerten an den beiden Elementknoten multipliziert mit der entsprechenden Ansatzfunktion, d.h.: x = N (5-8) + N x x Abb. 5-6: Finite Elemente Diskretisierung des Modellproblems. Die versuchsweise Lösung wird in das Integral (5-) eingesetzt. Üblicherweise verwendet man als Gewichtsfunktionen W gerade die Ansatzfunktionen (Methode von Galerkin). Da die hier gewählten Ansatzfunktionen nicht zweimal differenzierbar sind, muss eine Differentiation durch partielle Integration eine Ableitung entfernen und auf _W überwälzen. Das resultierende System von linearen Gleichungen für die unbekannten Funktionswerte and den Knoten muss mit einem Gleichungslöser aufgelöst werden. An den Endknoten müssen die Randbedingungen des Problems eingesetzt werden. 5.5 Zeitdiskretisierung Zeit- und Raumdiskretisierungen werden normalerweise streng voneinander getrennt. Eine Ausnahme bilden Raum/Zeitelemente bei der FE-Methode. Solche Elemente werden mit Erfolg bei Problemen angewandt, wo sich die Berandung des Rechengebiets mit der Zeit verändert (freie Wasseroberfläche, bewegliche Berandungen etc.). Vorerst soll hier nicht auf die möglichen Zeitdiskretisierungen eingegangen werden, sondern nur die grundsätzlichen Möglichkeiten erläutert werden. Man unterscheidet bei der Zeitdiskretisierung zwischen expliziten und impliziten Methoden. Als explizit bezeichnet man eine Zeitdiskretisierung, bei welcher die Werte der Variablen zum neuen Zeitpunkt nur von deren Werten zum alten

9 Vorlesungsskript Hydraulik II 5-9 Zeitpunkt abhängen. D.h. dass der Wert jeder Knotenvariablen zum neuen Zeitpunkt nur von den bekannten Werten zum Ausgangszeitpunkt abhängt. Damit erübrigen sich ein Gleichungslöser und das Verfahren ist gut überschaubar und schnell programmierbar. Allerdings wird das Verfahren bei zu grossem Zeitschritt instabil. Es muss ein Stabilitätskriterium eingehalten werden. Das voll implizite Verfahren ist dagegen unbedingt stabil. Bei diesem Verfahren hängen die Werte zum neuen Zeitpunkt von den Werten der Nachbarn zum neuen Zeitpunkt ab, d.h. dass ein echt gekoppeltes System von Gleichungen aufgestellt und gelöst werden muss. Dies ist auch der Fall bei sog. semi-impliziten Verfahren, wo die Variablen auf dem neuen Zeitniveau sowohl vom alten wie vom neuen Zeitpunkt abhängen. Durch semi-implizite Verfahren kann die Genauigkeit der Zeitdiskretisierung verbessert werden, der grosse Vorteil von expliziten Verfahren, der Verzicht auf einen Gleichungslöser, entfällt dagegen ebenfalls.