Ein Ansatz für die Systemsimulation von Ultraschallwandlerarrays

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1 Ein Ansatz für die Systemsimulation von Ultraschallwandlerarrays A. Wilde, P. Schneider Fraunhofer Institut für Integrierte Schaltungen, Außenstelle EAS, Dresden, Germany Zusammenfassung Das Transmission Line Matrix Verfahren (TLM) ist eine schnelle und einfach anzuwendende Methode zur Berechnung von Schallfeldern. Damit ist es möglich, für eine Systemsimulation geeignete Werkzeuge mit TLM zu koppeln, um das Verhalten komplexer Systeme mit akustischen Komponenten schon im Entwurfsstadium zu berechnen. Solche Simulationen sind besonders bei mikromechanischen Systemen (z.b. Ultraschallwandler) von Bedeutung, da hier die Kosten für die Fertigung von Prototypen extrem hoch sind. Um die Strategie zu testen wurde hier ein einfacher Aufbau zur aktiven Lärmbekämpfung entworfen, zweidimensional simuliert und anschließend bewertet. Die Ergebnisse belegen die Machbarkeit von Berechnungen akustischer Felder parallel zu Systemsimulationen von elektronischen Bauelementen und Wandlern. Dadurch können komplexe Systeme mit akustischen Komponenten unter realistischen Bedingungen simuliert werden. Stichwörter: Akustik, Systemsimulation, Transmission Line Matrix (TLM), Simulatorkopplung, Ultraschallwandler 1. Einführung Die fortschreitende Miniaturisierung von mikromechanischen Bauelementen auf der Basis hoch entwickelter Produktionsprozesse bringt sehr hohe Kosten für die Herstellung von Prototypen während der Entwicklung mit sich. Speziell für akustische Systeme wie kapazitive Ultraschallwanderarrays werden daher Simulationswerkzeuge benötigt, die eine Vorausberechnung des Verhaltens auf System-Ebene unter Einbeziehung der Schallfelder ermöglichen. Daher ist eine sehr schnelle, robuste und leicht bedienbare Methode zur Berechnung von akustischen Feldern notwendig, die sich zudem gut mit gängigen Systemsimulationsprogrammen koppeln lassen sollte. Hier bietet sich das Transmission Line Matrix Verfahren an, daß einen ebenso einfachen wie effizienten Algorithmus für die Lösung von Wellengleichungen in zwei bzw. drei Dimensionen beinhaltet. Die theoretischen Grundlagen des TLM-Verfahrens wurden schon in den 40er Jahren durch Kron 3 und Whinnery 1, 2 gelegt, die äquivalente Ersatzschaltungen aus diskreten Elementen zur Simulation der Maxwell schen Gleichungen entwickelten. Seit dem wurde das Verfahren erfolgreich auf verschiedene Probleme in den Bereichen Akustik, elektromagnetische Wellen, aber auch bei Diffusionund Wärmeleitungsproblemen angewandt. Der Hauptunterschied zwischen dem TLM-Ansatz und klassischen Verfahren wie Finite Differenzen oder Finite Elemente Verfahren ist Folgender: Normalerweise wird das physikalische Problem durch eine partielle Differentialgleichung (PDE) beschrieben. Diese PDE wird räumlich diskretisiert und ihre Lösung dann numerisch approximiert. Beim TLM-Verfahren wird das an sich kontinuierliche Medium ersetzt durch ein Netz von diskreten Elementen, deren Eigenschaften durch einfache Gleichungen exakt beschrieben werden können. In dieser Studie werden die Einsatzmöglichkeiten des TLM-Verfahrens in zwei Stufen untersucht: Erstens wird nachgewiesen, dass das TLM-Verfahren in der Lage ist, alle für den Entwurf von Ultraschallwandlerarrays relevanten Effekte zu reproduzieren. Zweitens wurde für eine erste

2 Untersuchung die Kopplung von TLM mit dem Systemsimulationswerkzeug SABER realisiert und damit ein einfacher Testfall für den Entwurf von akustischen Systemen untersucht. Dabei handelt es sich um ein System zur aktiven Lärmbekämpfung in einem Abgasrohr. Das Augenmerk wurde hier nicht auf eine optimale Lärmminderung gelegt, vielmehr sollten die Möglichkeiten zur Bewertung eines gegebenen Systems untersucht werden. 2. Das Transmission Line Matrix Verfahren, Die Grundidee des TLM-Verfahrens läßt sich nach Kagawa 4 5 folgendermaßen zusammenfassen: D ie Wellenausbreitung entsprechend des Huygens schen Prinzips wird durch ein Netz von disktreten Elementen nachgebildet. Das Huygens sche Prinzip besagt, dass die Ausbreitung von Wellen als Überlagerung von an jedem Punkt des Raumes gestreuten Elementarwellen betrachtet werden kann. Dieser Vorgang wird diskretisiert, in dem das kontinuierliche Medium durch ein rechtwinkliges Gitternetz von Rohrleitungen ersetzt wird (siehe Abb. 1). Die Rohre sind jeweils an den Kreuzungspunkten miteinander verbunden. Die Abstände zwischen den Kreuzungspunkten x (Knoten) sind ebenso wie die Rohrdurchmesser alle gleich. Reibungseffekte werden vernachlässigt. Breitet sich in einem Rohr eine Druckwelle aus, so braucht sie für die Strecke von einem Knoten zum nächsten die Zeit t = x c, wobei c die Schallgeschwindigkeit im Rohr ist. Erreicht die Druckwelle einem Knoten, so wird sie dort aufgrund der Impedanzänderung gestreut. Der transmittierte und der zurückgestreute Anteil hängt dabei von der Anzahl der Rohre ab, die sich an einem Knoten treffen. Bei einem rechtwinkligen, zweidimensionalen Gitter sind dies vier, in drei Dimensionen sechs, in einem hexagonalen, zweidimensionalen Gitter ebenfalls sechs Rohre. In einem zweidimensionalen, rechtwinkligen Gitter erfährt eine Druckwelle somit eine Impedanzänderung um den Faktor 3:1. Die Druckwellen wird also mit dem Faktor -1/2 zurückgestreut und mit dem Faktor 1/2 in die anderen Rohre übergehen. Dieser Vorgang ist durch lineare Gleichungen zu beschreiben, d.h. mehrere Druckwellen überlagern sich ohne Wechselwirkung untereinander. Die Streuung einer Druckwelle wird für jeden Knoten des Gitters zu jedem Zeitschritt berechnet und läßt sich folgendermaßen mathematisch formulieren: f i ( x + x i, t + = S ij f (1) wobei f i ( x + x i, t + die Amplitude der Druckwelle repräsentiert, die zwischen den Zeitpunkten t undt + tvon Knoten am Ort x zum Knoten am Ort x + x i läuft. Der Vektor x i zeigt von Knoten zum nächsten Nachbarknoten in Richtung des i-ten Rohres. ist die Streumatrix Aus Gl. (1) folgt f ĩ ( x + x i, t + = S ij = wobei ĩ so definiert ist, dass x ĩ = x i. Schalldruck p ak und Schnelle v ak können aus den f i mit Hilfe folgender Formel berechnet werden: p ak S ij 1 -- f 2 j f i j 1 = -- f 2 i i (2) (3)

3 D x i vor der before Streuung scattering nach after der scattering Streuung p/2 p -p/2 p/2 p/2 Abbildung 1:TLM: Das akustische Medium wird durch ein Gitternetz von Rohren mit gleichen Durchmessern in gleichen Abständen ersetzt. Eine an einem Knoten eintreffende Schallwelle wird entsprechend der Skizze unten gestreut. v x x, y x i t , t = x 2 2 ρc ( f t i ( x x i, f ĩ ) sofern die x i parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sind. 3. Oberflächenwellen auf Wandlerarrays Die aktiven Flächen von Ultraschallwandlerarrays stellen mit ihren nachgiebigen Membranen eine Oberfläche dar, entlang der sich Oberflächenwellen ähnlich wie an der Wasseroberfläche ausbreiten können. Diese Oberflächenwellen sind i.a. sehr störend, weil sie nur relativ langsam abklingen und Messungen, bei denen die Wandler als Mikrofone betrieben werden, stark verfälschen können. Diese Phänomene sollten mit dem TLM-Verfahren nachzubilden sein, um anschließend die Effektivität von Gegenmaßnahmen durch Simulation bestimmen zu können. Zum Nachweis werden daher die Wandler durch einfache Feder-Masse-Systeme modelliert, von denen die links gelegenen mit einer sinusförmigen Wechselkraft angeregt werden. Daraufhin breiten sich im Fluid einerseits eine Schallwelle, andererseits aber auch Oberflächenwellen mit einer etwas kleineren Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge aus, die im Druckfeld über der Wandleroberfläche deutlich zu sehen sind (siehe Abb.2, oben links). 4. Kopplung von SABER und TLM Das TLM-Verfahren eignet sich gut zur Kopplung mit Schaltungssimulatoren, weil sich für das Verfahren eine Ersatzschaltung angeben läßt, die die Formulierung der Kopplungsgleichungen vereinfacht. Das Modell der verlustlosen Leitung ist nach Branin 6 (4) Z 0 u( 0, = P r ( t + τ) p( 0, Z 0 udt (, ) = P l () t + pdt (, + τ) (5) (6)

4 einzelner Wandler und Ansteuerung mode select Impuls Generator closed loop control Messung Wandleransteuerung Abbildung 2:Skizze des mikromechanischen Wandlerarrays mit einer Momentaufnahme des Druckfeldes im Fluid. Von der Wandleroberfläche breitet sich eine Schallwelle in das Fluid aus, während gleichzeitig eine Oberflächenwelle mit geringerer Ausbreitungsgeschwindigkeit entlang der Wandlerfläche läuft. p(0, Z 0 Z 0 p(d, P l ( P r ( Abbildung 3:Ersatzschaltung für die verlustlose Leitung, die im TLM-Model genutzt wird. wobei uxt (, ) die Schnelle des Fluides, Z 0 die akustische Impedanz und pxt (, ) der Druck an den jeweiligen Enden der Leitung zur Zeit t ist. P l () t und P r () t sind Druckquellen (siehe Abb.3) und entsprechen den Amplituden der Druckwellen f aus dem vorigen Abschnitt. Die durch diese Quellen erzeugten Drücke werden zu jedem Zeitschritt mit Hilfe folgender Gleichungen aktualisiert: P r ( t + τ) = 2 p( 0, P l () t P l ( t + τ) = 2 pdt (, ) P r () t (7) (8) Mit diesen Gleichungen kann sowohl der Druck als auch die Schnelle als Eingangsgröße für das TLM-Model benutzt werden, worauf das Model dann die komplementäre Größe berechnet. Hier wurde die Schnelle der Membran benutzt. Die Kraft auf die Membran ergibt sich als das Integral des Druckes aus der Gleichung pxt (, ) = vxt (, )Z ak + f( x + x, t 1) (9) Als erster Testfall für die gekoppelte Simulation von Schallfeld und regelnder Elektronik wurde ein

5 Mikrofon 1 (zur Regelung) Mikrofon 2 (Referenz) Schall quelle + _ Verzögerung t t Tiefpass Verzögerung Verstärker Lautsprecher (Aktive Lärmminderung) Abbildung 4: Testaufbau zur aktiven Lärmminderung. In einem Abgasrohr fällt von links Schall ein, der über ein Regelungsmikrofon gemessen und zur Ableitung ein Antischall -Signals genutzt wird, das über den Lautsprecher abgegeben wird. einfacher Aufbau zur aktiven Lärmbekämpfung simuliert. In einem horizontalen Abgasrohr soll der von links einfallende Schall am Austritt rechts vermindert werden. Dazu wird in der Nähe des Schalleintritts links ein Mikrofon und in der Mitte ein Lautsprecher angeordnet. Am Austritt wird hier ein weiteres Mikrofon plaziert, das aber nur zur Erfolgskontrolle dient und keine weitere Funktion hat (siehe Abb. 4). Offensichtlich hängt der Erfolg der Maßnahme von der Geometrie der Anordnung, den Parametern des Mikrofons, des Lautsprechers und der Regelung ab. Während die geometrischen Eigenschaften voll erfaßt und mit simuliert werden, wurde hier bewußt auf eine realistische Modellierung der Wandlereigenschaften oder Details bei der Regelelektronik verzichtet, um das Model einfach zu halten. In der nächsten Stufe der Entwicklung sollten diese Dinge natürlich berücksichtigt werden, was in dem hier beschriebenen Rahmen leicht möglich ist. Die Schalldämpfung des Systems wurde erfaßt, in dem das Leistungsdichtespektrum des einfallenden Schalls mit dem Leistungsdichtespektrum das Signals vom rechten Mikrofon (am Ausgang) verglichen wurde (siehe Abb.5). Unterhalb von 1 khz setzt eine signifikante Minderung des austretenden Schalls ein. Beim Test der Anordnung waren zahlreiche Effekte erkennbar, die auch in realen Anlagen auftreten und mit der geometrischen Anordnung der Systemkomponenten (Mikrofone, Lautspre- Abbildung 5: Spektrum der Leistungsdichte des einfallenden Schalls (punkt-strich, obere Linie) und des am Ausgang gemessenen Schalldruckes (gestrichelt, untere Linie).

6 cher,...) zusammenhängen, z.b. Erzeugung von stehenden Wellen, Erhöhung des Schalldruckes im linken Rohrabschnitt usw. Bei diesen Rechnungen wurde mit Abstand die meiste Rechenzeit für die Simulation des Schallfeldes benötigt. Aufgrund der hohen Effizienz des TLM-Verfahrens dauerte eine Rechnung jedoch nur etwa 7 Minuten für 100 ms Echtzeit auf ein Sun BLADE 1000 Workstation (750 MHz CPU). 5. Schlußfolgerungen und Ausblick Das Ziel, Simulationen von mikromechanischen Bauteilen und Systemen mit akustischen Komponenten auf Systemebene simulieren zu können, wurde in zwei Schritten erreicht. Der erste Schritt bestand in der Implementation eines geeigneten Algorithmus zur Simulation von Schallfeldern, wobei die Wahl auf des TLM-Verfahren fiel. In einer Testrechnung konnte gezeigt werden, dass die wesentlichen Effekte damit korrekt berechnet werden können. Der zweite Schritt bestand in der Kopplung des TLM-Verfahrens mit dem Systemsimulator SABER. Auch hier konnte in einem Testfall nachgewiesen werden, daß die Kopplung der beiden Programme zu einem Werkzeug führt, mit dem akustische Systeme unter realistischen Bedingungen auf Systemebene simuliert werden können. In Zukunft muß die bereits vorliegende, dreidimensionale Version des TLM-Algorithmus mit geeigneten Simulatoren gekoppelt werden, um die Simulation von Schallwandlerarrays unter realen Bedingungen durchführen zu können. Danksagung Diese Arbeit wurde unterstützt durch die Bundesrepublik Deutschland im Rahmen folgender Projekte: EKOSAS - Entwurf komplexer Sensor-Aktor-Systeme (Ref.-Nr.: 16SV1161/7) und DFG-Sonderforschungsbereich 358 Automatisierter System Entwurf an der Technischen Universität Dresden.. Literatur 1. J. Whinnery und S. Ramo, A new approach to the solution of high-frequency problems, Proc IRE 32, pp , J. Whinnery und S. Ramo, Network analyser studies of electromagnetic cavity resonators, Proc IRE 32, pp , G. Kron, Equivalent circuit of the field equations of Maxwell," Proc IRE 32, pp , Y. Kagawa und T. Yamabuchi, Finite-element equivalent circuits for acoustic field," Journal of the Acoustical Society of America 64, pp , Y. Kagawa, T. Tsuchiya, B. Fujii, und K. Fuchioka, Discrete Huygens model approach to sound wave propagation," Journal of Sound and Vibration 218(3), pp , F. Branin, Transient Analysis of Lossless Transmission Lines," Proceedings of the IEEE 55(11), pp , A. Wilde, P.-C. Eccardt, und W. O Connor, Modeling acoustic transducer surface waves by Transmission Line Matrix method, Proceedings of the 19th CADFEM User s Meeting, Potsdam Oct , 2001