Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations
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- Bertold Kranz
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1 Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations Autoren: Shen Dong & Michael Garland, SMI 07 Nicola Sheldrick Seminar Computergrafik April 6, 2010 Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Quasi-konforme Parametrisierungen 4 Nicht- Lineare Optimierung 5 Ergebnisse Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
3 Einleitung Was ist eine Parametrisierung? Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
4 Einleitung Anwendungsbeispiele Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
5 Grundlagen Planare Parametrisierungen planare Parametrisierungen bilde eine 3D-Fläche auf eine 2D-Fläche ab minimiere dabei Verzerrungen, vor allem Streckung definiere eine Fehler-Metrik messe einige spezielle Fehler der Abbildungsfunktion Fehlerminimierung Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
6 Grundlagen Grundlagen Theorema Egregium (C.F. Gauß) Satz aus der Differentialgeometrie besagt, dass die Erde nicht auf einer Karte dargestellt werden kann ohne Verzerrung (distortion). eine Parametrisierung kann entweder nur authalisch (Flächenerhaltend) oder conform (Winkelerhaltend) sein keine Abbildung kann isometrisch (Distanzerhaltend) sein, gleichzeitig authalisch und conform Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
7 Grundlagen Grundlagen Theorema Egregium (C.F. Gauß) Satz aus der Differentialgeometrie besagt, dass die Erde nicht auf einer Karte dargestellt werden kann ohne Verzerrung (distortion). eine Parametrisierung kann entweder nur authalisch (Flächenerhaltend) oder conform (Winkelerhaltend) sein keine Abbildung kann isometrisch (Distanzerhaltend) sein, gleichzeitig authalisch und conform Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
8 Grundlagen Conforme und Harmonische Parametrisierungen conforme = winkelerhaltende Abbildungen haben einige günstige Eigenschaften stehen in direkter Beziehung zu komplexer Funktionstheorie eine solche Abbildung kann als eine Funktion einer komplexen Variable ω = f (z) betrachtet werden somit werden die Cauchy-Riemann schen Gleichungen aus der Funktionstheorie erfüllt mit z = x + iy und ω = u + iv folgt u x = v y, u y = v x differenziert man einer dieser Gleichungen einmal mit Bezug auf x und einmal mit Bezug auf y erhählt man die zwei Laplace Gleichungen Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
9 Grundlagen Conforme und Harmonische Parametrisierungen Laplace Gleichungen differenziert einmal mit Bezug auf x und einmal mit Bezug auf y erhählt man u = 0, v = 0 wobei der Laplace Operator gilt = 2 x y 2 jede Abbildung, die diese Laplace Gleichungen erfüllt bezeichnet man als eine harmonische Abbildung also ist eine conforme Abbildung auch harmonisch und impliziert isometrisch conform harmonisch Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
10 Grundlagen Harmonische Parametrisierungen Vorteile einfach zu berechnen, relativ gut annäherbar formulierbar als ein Optimierungsproblem lösbar durch ein PDE, approximierbar durch verschiedene Methoden führt zu einem Linearen Gleichungssystem vermindern Verzerrungen im Sinne, dass sie Dirichlet Energie minimieren Dirichlet Energie, beliebtes Maß um Verzerrung zu messen Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
11 Grundlagen Gradient und Divergenz Differentialoperator Gradient: f (x, y, z) = grad f (x, y, z) = f x î + f y ĵ + f z ˆk = Vektorfeld zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion f x î. f z ˆk Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
12 Grundlagen Gradient und Divergenz Differentialoperator Gradient: f (x, y, z) = grad f (x, y, z) = f x î + f y ĵ + f z ˆk = Vektorfeld zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion Divergenz: F oder div F f x î. f z ˆk bezeichnet ein bestimmtes Funktional eines Vektorfeldes die Divergenz für jede Stelle gibt die Tendenz an, ob ein Teilchen in der Nähe zu diesem Punkt hin- bzw. von diesem Punkt wegzeigt sagt aus, ob und wo das Vektorfeld Quellen F > 0 oder Senken hat F < 0 F = 0 ist das Feld quellenfrei Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
13 Quasi-konforme Parametrisierungen Erstellen einer Parametrisierung Oberfläche M R 3 parameter domain D R 2 Menge Knoten V, Kanten E, Dreiecke F M = (V, F ) Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
14 Quasi-konforme Parametrisierungen Erstellen einer Parametrisierung Koordinatenfunktion x : V R 3 Abbildung: φ : D R 2 V Koordinaten (u i, v i ) werden jedem Knotem i V zugewiesen aus Koordinatenfunktionen u, v : M D, zwei Gradientenfelder erstellen u, v : F R 3 gesucht Koordinatenfunktionen u, v : V R, so dass v = R u R: 90 entgegen dem Uhrzeigersinn der Flächennorm gedreht Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
15 Quasi-konforme Parametrisierungen Formulierung als Optimierungsproblem es ist einfacher zwei Vektorfelder zu g 1, g 2 : F R 3 zu finden g 2 = Rg 1 gesucht sind die Koordinatenfunktionen (u, v) dessen Gradientenfelder die Richtungsfelder g 1, g 2 am besten approximieren min (u, v) u g v g 2 2 M Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
16 Quasi-konforme Parametrisierungen Formulierung als Optimierungsproblem es ist einfacher zwei Vektorfelder zu g 1, g 2 : F R 3 zu finden g 2 = Rg 1 gesucht sind die Koordinatenfunktionen (u, v) dessen Gradientenfelder die Richtungsfelder g 1, g 2 am besten approximieren min (u, v) u g v g 2 2 M die Lösung des Problems sind ein System aus Poisson Gleichungen u = g 1 v = g 2 das System kann mit Divergenz und Laplace-Operatoren gelöst werden Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
17 Quasi-konforme Parametrisierungen Berechnung der Vektorfelder g 1 und g 2 g 1 und g 2 sollten die Eigenschaften von konformen Abbildungen besitzen, d.h. überall orthogonal gegeben zwei beliebige Vektorfelder w 1 und w 2, kann man g 1 und g 2 folgendermaßen erzeugen g 1 = 1 2 (w 1 Rw 2 ) g 2 = 1 2 (w 2 Rw 1 ) Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
18 Quasi-konforme Parametrisierungen Erweiterung des Linearen Gleichungssytems bereits vorhandene Verfahren lösen das System indem die Ränder der Abbildungen konvex sind, d.h. auf den Einheitskreis abbilden Die Divergenz des Tangentenvektorfeldes g an dem Knotem i V ist gegeben durch div i g = g Re jk (j,k) LKi wobei LK i der Link eines Knotens ist - die Menge aller verbundenen Kanten die i benachbart Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
19 Quasi-konforme Parametrisierungen Erweiterung des Linearen Gleichungssytems [ ] u = 1 v 2 ([ ] s + t (j,k) Lki [ ]) tj t k s k s j mit w 1 = s und w 2 = t für ein Mesh mit n Knoten, ergibt dies ein n n Lineares Gleichungssytem, eins für u und eins für v das Lösen Gleichungssyteme dieser Art ist in Desbrun et al. [2002] beschrieben Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
20 Quasi-konforme Parametrisierungen Erweiterung des Linearen Gleichungssytems Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
21 Nicht- Lineare Optimierung Nicht- Lineare Optimierung Wie kann man die Verzerrung von Flächen minimieren? wünschenswert ein Kompromiss aus Winkelerhaltung und Flächenerhaltung lineare Methoden sind einfacher zu implementieren und oftmals schneller, jedoch auf Kosten von Verzerrung der Fläche Ziel: Minimierung einer nicht- linearen Energiefunktion E, indem man iterativ eine kleine Anzahl von linearen Systemen löst (3 5) anstatt zu versuchen mit der Parametrisierungsfunktion φ die Energiefunktion E zu minimieren, versucht man die Matrix L zu finden, die φ erzeugt Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
22 Nicht- Lineare Optimierung Nicht- Lineare Optimierung ausgehend davon dass jeder innerer Knoten von φ sich schon an dem Minimum von E im Dreieck befindet man berechnet für eine initiale Parametrisierung φ 0 den Zielort innerhalb eines Dreiecks wo E minimal ist und erhählt damit einen Durchschnittswert für eine Gewichtung bei jedem iterativen Schritt wird die Matrix Reihe für Reihe erzeugt, bis sie schnell konvergiert der Fixpunkt ist dann das Minimum von E der Ort des Minimums wird mit der Nelder-Mead Simplex Methode berechnet Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
23 Ergebnisse Ergebnisse die nicht- lineare Optimierungsmethode reduziert Verzerrung in 4 Iterationsschritten gleich gut bei verschiedenen Auflösungen Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
24 Ergebnisse Ergebnisse Figure: mean value (oben) oder random (unten) das System konvergiert schnell Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
25 Ergebnisse Noch Fragen? Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations April 6, / 22
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