Partielle Ableitungen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Partielle Ableitungen"

Rudolph Kopp
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Partielle Ableitungen Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik Bettina Bieri 24. Juli 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen von zwei Variablen Aufbau solcher Funktionen Beispiel Beispiel partielle Ableitungen Berechnung der partiellen Ableitungen Aufgaben Gradient Definition: Gradient Beispiel Aufgaben Bedeutung des Gradienten Berechnung von Steigungen in beliebigen Richtungen Definition: Richtungsableitung Beispiel Aufgaben

3 Kapitel 1 Funktionen von zwei Variablen Bisher habt ihr immer mit Funktionen gearbeitet, welche einem x ein y zuordnen. Es lässt sich leicht vorstellen, dass es auch Funktionen geben muss, welche aus mehreren verschiedenen x-werten, ein y berechnen. Wir werden uns im Folgenden mit Funktionen befassen, welche zwei x-werten ein y zuordnen. Solche Funktionen lassen sich nämlich noch grafisch darstellen. Bei Funkionen, welche eine grössere Menge x als Werte benötigen, ist das dann nicht mehr so einfach. Im MuPAD gibt es einen Befehl, welcher plotfunc3d() heisst und genau solche Funktionen zeichnet. Der Graf solcher Funktionen ist eine (allenfalls gebogene) Fläche im dreidimensionalen Raum. 1.1 Aufbau solcher Funktionen Beispiel 1 Betrachten wir die Funktion f : R 2 R mit f(x, y) = sin(x) sin(y). Anschaulich haben wir hier als Wertebereich die xy-ebene. Jedem Punkt dieser Ebene (also jeder Kombination von x und y) wird eine neue Zahl (die z Koordinate) zugeordnet. 1

4 So kommen wir auf folgenden Grafen: Beispiel 2 Betrachten wir die Funktion f : R 2 R mit f(x, y) = sin(x) y. Diese Funktion ist in einer Richtung linear und in der anderen Richtung enspricht sie einem gestreckten Sinus. Damit kommen wir auf folgenden Grafen: 2

5 Kapitel 2 partielle Ableitungen Auch Funktionen mit mehreren Variablen können abgeleitet werden. Am oberen Grafen sehen wir sofort, dass auch solche Funktionen Steigungen haben. Allerdings spielt es da eine Rolle, in welche Richtung man die Steigung betrachtet. Z.B. ist bei unserem Beispiel 1 im Punkt ( π /0.5/z) die Steigung in y-richtung 2 viel grösser, als diejenige in x-richtung. Steigung in x-richtung: 3

6 Steigung in y-richtung: Beim Beispiel 2 ist die Steigung in y-richtung linear mit Steigung sin(x). Also ist die Steigung in jedem Punkt mit x = π genau 1: 2 4

7 2.1 Berechnung der partiellen Ableitungen Partielle Ableitungen werden gleich berechnet, wie die Ableitungen, welche wir bisher kennengelernt haben. Um die Ableitung in x-richtung zu berechnen, leitet man einfach nach x ab und behandelt y wie eine ganz normale Zahl. Bei der Ableitung in y-richtung leitet man nach y ab und behandelt x als Zahl. Für partielle Ableitungen verwenden wir folgende Abkürzungen: Ableitung nach x: f(x,y) x Ableitung nach y: f(x,y) y = f x = f y Aufgaben Leite die Funktionen sowohl nach x, als auch nach y ab: a) f(x, x) = sin(x)sin(y) b) f(x, y) = 2x 2 3y c) f(x, y) = 4x 3 + 2y 4 d) f(x, y) = 4xy 2 2x 3 y 2 e) f(x, y) = (x 2 3y 3 ) 10 f) f(x, y) = 3x 2y g) f(x, y) = 2x3 y y x h) f(x, y) = sin(x)sin(y)cos(x)cos(y) 5

8 6

9 7

10 Kapitel 3 Gradient Oft suchen wir nicht die Ableitung in einer bestimmten Richtung, sondern die Richtung des steilsten Anstiegs. Diese wird durch den Gradienten gegeben. 3.1 Definition: Gradient Den Gradienten berechnet man folgendermassen: ( ) fx (x, y) grad f(x, y) := f(x, y) := f y (x, y) Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x, y) = 2x 2 4y 4. Der Gradient dieser Funktion im Punkt (5/2) ist folgendermassen gegeben: ( ) ( ) ( ) fx (x, y) 4x 20 grad f(x, y) := f(x, y) := = f y (x, y) 16y 3 = 128 8

11 3.1.2 Aufgaben Berechne die Gradienten der folgenden Funktionen im Punkt (1/2): a) f(x, y) = 4x 5y 3 b) f(x, y) = sin(x)cos(y) c) f(x, y) = (2x 4y) 15 9

12 3.2 Bedeutung des Gradienten Wie bereits oben angetönt gibt der Gradient die Richtung des steilsten Anstiegs an. Gleichzeitig entspricht die Länge des Gradienten gerade der Steigung dieses steilsten Anstiegs Berechnung von Steigungen in beliebigen Richtungen Wir haben jetzt gelernt, wie wir die Steigungen in Richtung der Koordinatenachsen, bzw. in Richtung des steilsten Anstiegs berechnen können. Jetzt kann es ja aber auch sein, dass wir eine Steigung in eine beliebige Richtung berechnen möchten. Auch dafür kann man den Gradienten gebrauchen. Die Formel für die Steigung in Richtung e ist gegeben durch: Definition: Richtungsableitung Richtungsableitung von f in (x 0, y 0 ) in Richtung e: D e (f)(x 0, x 0 ) :=< f(x 0, y 0 ), e > Dabei ist wichtig, dass e = 1 gilt Beispiel Sei f(x, y) :=( 2x + ) xy 2. Berechne die Richtungsableitung von f in (1/0) in 3 Richtung e =. 4 ( 2 + y 2 f(x, y) = 2xy ) f(1, 0) = ( 2 0 ). 10

13 Leider ist v kein Einheitsvektor. Wir müssen ihn noch normieren und können dann die gesuchte Richtungsableitung berechnen: e v = v v = 3 ( 4 3 ) 3 = D e (f)(x 0, y 0 ) =< f(1, 0), e v >=< ( 2 0 ), ( ) >= = Aufgaben Berechne die folgenden Richtungsableitungen: a) f(x, y) = 2x 4y im Punkt (1, 2) in Richtung (2, 4) T. b) f(x, y) = 5x 2 2y 2 im Punkt (0, 1) in Richtung (0, 1) T. c) f(x, y) = sin(x)cos(y) im Punkt (π, 2π) in Richtung (1, 1) T. d) f(x, y) = 6x 2 6y 2 im Punkt (2, 2) in Richtung (2, 2) T. Bemerkung Das T steht für Transponiert. Das Bedeutet, dass der Vektor, der als Zeilenvektor geschrieben ist, eigentlich ein Spaltenvektor sein soll. Das Transponiert ist eine Matrixoperation und spiegelt eine Matrix über ihre Diagonale. 11

14 12

Ähnliche Dokumente

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung