Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen

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1 Kapitel 1 Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen 11 Definition und grundlegende Eigenschaften Bemerkung 11 Motivation Auch die Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher lässt sich aus einer Eigenschaft differenzierbarer reellwertiger Funktionen einer reellen Veränderlichen motivieren Wenn eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen im Punkt ξ ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, kann man in diesem Punkt eine Tangente anlegen Die Tangente ist eine Gerade, also kann man die Funktion in ξ durch ein lineares Polynom Taylor Polynom 1 Grades, Satz 7 approximieren Auch bei der Definition der Differentiation von vektorwertigen Funktionen mehrerer Veränderlicher besteht die Grundidee darin, dass man die Funktion in einer Umgebung eines Punktes durch ein lineares Polynom approximieren kann Aus der Schule ist bereits das Beispiel der Tangentialebene an einer Kugeloberfläche bekannt Definition 1 Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen Seien D R n offen und f : D R m Die Funktion f heißt im Punkt ξ D differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung M : R n R m und eine in ξ stetige Funktion r : D R m gibt, so dass fx fξ + M x ξ + rx x ξ, x D, 11 und rξ gelten Man nennt M die erste Ableitung von fx in ξ, im Zeichen f ξ : M Bemerkung 13 Komponentenschreibweise Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass sich lineare Abbildungen M : R n R m durch m n Matrizen und die Wirkung von M auf den Vektor x ξ als Matrix Vektor Produkt schreiben lassen In Komponentenschreibweise kann 11 daher mit M m ij i1,,m;j1,,n in der Form n f i x f i ξ + m ij x j ξ j + r i x x ξ, x D, i 1,,m, 1 j1 geschrieben werden 78

2 Bemerkung 14 Eindeutigkeit von M und rx Es muss geklärt werden, ob M und r in 11 eindeutig bestimmt sind Seien e j der j te kartesische Einheitsvektor und t R aus einer hinreichend kleinen Umgebung von Null, so dass x ξ + te j in D liegt Dann folgt aus 1 m ij f ix f i ξ r i x x ξ t Das gilt für alle hinreichend kleinen Werte t Betrachte jetzt t Wegen x ξ t e j t, der Stetigkeit von rx in ξ und rξ gilt m ij f i x f i ξ r i x x ξ lim f i x f i ξ t r i x lim lim t t t t t t f i ξ + te j f i ξ lim : i ξ t t x j Die Abbildung M ist also eindeutig bestimmt Sie wird Jacobi 1 Matrix genannt, Schreibweise: M f ξ Jfξ Aus 11 folgt somit auch, dass rx in eindeutiger Weise gegeben ist fx fξ M x ξ x ξ, rx x ξ x ξ Die Differenzierbarkeitsbedingung 11 kann nun komponentenweise wie folgt geschrieben werden 1 1 f 1 x f 1 ξ ξ ξ x 1 x n x 1 ξ 1 + f m x f m ξ r 1 x + r m x m x 1 ξ x ξ m x n ξ x n ξ n Satz 15 Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit Ist die Funktion f : D R n R m in ξ D differenzierbar, so ist fx in ξ stetig Beweis: Aus der Differenzierbarkeit von fx in ξ folgt mit der Dreiecksungleichung fx fξ M x ξ + rx x ξ Mit der Cauchy Schwarz schen Ungleichung für Summen erhält man M x ξ mx i1 mx 4 i1 mx m ijx j ξ j j1 j1 i1 j1 m ij m ij 1 Carl Gustav Jacob Jacobi Hermann Amandus Schwarz !! 1/!! 3 1/ x j ξ j 5 j1! x j ξ j M F x ξ, j1 79

3 wobei M F die Frobenius 3 Norm der Matrix M ist Somit gibt es eine Konstante K >, so dass M x ξ K x ξ gilt Nun ist rx stetig in ξ mit rξ Man findet also zu jedem ε > ein δε > derart, dass aus x ξ < δε die Ungleichung rx < ε folgt Setzt man δ ε : min j δε, so gilt für alle x mit x ξ < δ ε die Beziehung ε K + ε ff, fx fξ < K + ε x ξ < K + ε δ ε ε Das heißt, fx ist im Punkt ξ stetig Man hat in Satz 95 gesehen, dass die Stetigkeit vektorwertiger Funktionen f : D R n R m im Punkte ξ D äquivalent zur Stetigkeit aller Komponenten f i : D R n R im Punkte ξ D ist Eine ähnliche Aussage gilt auch für die Differenzierbarkeit Satz 16 Komponentenweise Differenzierbarkeit Die Funktion f : D R n R m ist im Punkte ξ D genau dann differenzierbar, wenn jede ihrer Komponenten f i : D R n R im Punkte ξ D differenzierbar ist Beweis: Der Beweis erfolgt direkt mit Hilfe der Definition der Differenzierbarkeit, aus Zeitgründen siehe Literatur Beispiel 17 Die Funktion f : R R 3, x1 x 1 + x x x 1 x ist für alle x R differenzierbar Es gilt x 1 x Jfx 1 1 Zum Beweis dieser Behauptung betrachtet man die Definitionsgleichung 11 mit beliebigem x,ξ R Ziel ist es, eine Funktion rx zu finden, welche die Bedingungen von Definition 1 erfüllt Es ist rx x ξ Daraus folgt x 1 + x x 1 x ξ 1 + ξ ξ 1 ξ ξ 1 ξ 1 1 x 1 + x ξ1 ξ ξ 1 x 1 + ξ1 ξ x + ξ x 1 ξ 1 + x ξ rx x ξ x ξ x1 ξ 1 x ξ Diese Funktion ist für alle x R definiert, sie ist im R stetig und für x ξ folgt rξ Damit sind alle Bedingungen von Definition 1 erfüllt 3 Ferdinand Georg Frobenius

4 1 Richtungsableitung und Gradient Bemerkung 18 Motivation In Analysis I wurde die Ableitung einer skalaren Funktion einer Variablen in einem inneren Punkt ξ ihres Definitionsbereiches eingeführt f fξ + h fξ ξ : lim h h Dieser Ableitungsbegriff ist auch anwendbar bei vektorwertigen Funktionen einer Variablen Für f 1 x fx f m x definiert man die Ableitung in einem inneren Punkt ξ der Definitionsbereiche aller Komponenten f 1ξ f ξ : f mξ In diesem Abschnitt wird das Konzept der Ableitung in eine Dimension eine Richtung auf skalare Funktionen mehrerer Variablen f : D R n R verallgemeinert Definition 19 Richtungsableitung, partielle Ableitungen Seien D R n offen, f : D R und ξ D Für einen Vektor v R n mit v 1 heißt fξ + hv fξ ξ : lim v h h die Richtungsableitung Gateaux 4 Ableitung von fx in ξ in Richtung v Die Ableitungen in Richtung der kartesischen Einheitsvektoren e 1,,e n nennt man partielle Ableitungen von fx nach x i im Punkt ξ Man schreibt f xi ξ : fξ + he i fξ ξ : lim h h Beispiel 11 Partielle Ableitung Betrachte f : R R mit fx 1, x x 3 1 cos x Es lässt sich mit Hilfe der Definition der partiellen Ableitungen leicht nachrechnen, dass x 1, x 3x 1 cos x, x 1, x x 3 1 sinx x 1 x gelten Das bedeutet, man erhält die partielle Ableitung nach x i indem man wie gewohnt nach x i differenziert und alle anderen Variablen x j, j i, dabei als Konstante betrachtet Bemerkung 111 Zur Jacobi Matrix Die i te Zeile der Jacobi Matrix Jfξ enthält gerade die partiellen Ableitungen der i ten Komponente f i x im Punkt ξ 4 René Eugène Gateaux

5 Satz 11 Existenz und Darstellung der Richtungsableitungen Sei f : D R n R in ξ D differenzierbar Dann existiert in ξ die Richtungsableitung in jede Richtung v und es gilt n v ξ Jfξ v ξv i 13 Beweis: Man setzt in die Definition der Differenzierbarkeit x ξ + hv Durch Umstellen erhält man unter Nutzung der Linearität von Jfξ fξ + hv fξ h i1 Jfξ v + rξ + hv v {z } 1 Für h verschwindet der letzte Term, da rx stetig ist und rξ ist Beispiel 113 Richtungsableitung Gesucht ist die Richtungsableitung von fx,y e x siny in Richtung im Punkt, π/6 Es gelten v 1, v 3/5 4/5 f x x,y e x siny f x, π , f y x,y e x cos y f y, π Daraus folgt mit 13, π v T f, π 3 v Beispiel 114 Existenz aller Richtungsableitungen reicht nicht für Differenzierbarkeit Die Umkehrung des eben bewiesenen Satzes 11 gilt nicht Betrachte dafür die Funktion f : R R mit x y fx,y x + y für x,y,, für x,y, Betrachtet man den Koordinatenursprung, dann hat ein beliebiger Einheitsvektor dort die Gestalt v v 1, v mit v 1 + v 1 Man erhält, lim v h h 3 v1v hh v1 + v h 3 v lim 1v h h 3 v1v Diese Richtungsableitung ist keine lineare Funktion von v, wie es in der Definition der Differenzierbarkeit verlangt wird Daher kann fx,y in x,y, nicht differenzierbar sein 8

6 Man sieht an diesem Beispiel, dass die Näherung auf jeder beliebigen Gerade einen Wert für die Richtungsableitung in der betreffenden Richtung liefert Für Differenzierbarkeit benötigt man jedoch die Untersuchung beliebiger Annäherungen, nicht nur die auf Geraden Definition 115 Gradient, Nabla Operator Seien D R n offen und f : D R in ξ D nach allen x i partiell differenzierbar Dann nennt man den Vektor der ersten partiellen Ableitungen gradfξ : fξ : ξ x 1 x n ξ den Gradienten von fx in ξ Manche Bücher definieren gradfx als Zeilenvektor und fx als Spaltenvektor Den vektorwertigen Operator x 1 : x n nennt man Nabla Operator nach der Form eines ägyptischen Musikinstruments Folgerung 116 Existenz des Gradienten und Darstellung der Richtungsableitungen für skalare Funktionen Sei f : D R n R in ξ D differenzierbar Dann existiert der Gradient von fx in ξ und für die Richtungsableitung von fx in ξ in Richtung v gilt ξ fξ v v Beispiel 117 Aus Existenz des Gradienten folgt nicht Existenz aller Richtungsableitungen Aus der Existenz des Gradienten folgt nicht notwendig die Existenz der Richtungsableitung in einer von den Koordinatenrichtungen verschiedenen Richtung Betrachte dazu die Funktion { für xy fx,y 1 sonst 83

7 Für diese Funktion existiert der Gradient im Punkt, In allen anderen Richtungen als den Koordinatenrichtungen ist die Funktion im Punkt, jedoch unstetig, also existiert in diese Richtungen keine Richtungsableitung Bemerkung 118 Bedeutung des Gradienten für skalare Funktionen Sei f : D R n R eine skalare Funktion 1 Für fξ nimmt die Richtungsableitung ihren größten Wert für an Das folgt aus der Beziehung v fξ fξ v fξ cos v, fξ v fξ cos v, fξ fξ, da der Kosinus am größten wird, wenn v in Richtung fξ zeigt Dann gilt fξ ξ v fξ fξ fξ fξ v fξ fξ Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs In der Gegenrichtung v fξ fξ gilt v ξ fξ 3 Wählt man eine Richtung v die orthogonal zu fξ ist, erhält man v ξ f ξ f fξ ξ Somit ist die Steigung Null, wenn man eine Richtung orthogonal zum Gradienten betrachtet Damit steht der Gradient fξ in ξ senkrecht zu den sogenannten Höhenlinien {x D : fx fξ const} Satz 119 Hinreichendes Kriterium für die Differenzierbarkeit Existieren für f : D R n R in einer Umgebung Bξ, ρ Kugel mit Mittelpunkt ξ und Radius ρ von ξ alle partiellen Ableitungen : Bξ, ρ R n R, und seien diese in Bξ, ρ stetig Dann ist fx in ξ differenzierbar Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit beschränken wir uns auf den Fall n Das Ziel besteht darin, die Definition der Differenzierbarkeit zu überprüfen Mit Hilfe des ersten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt fx 1, x fξ 1, ξ fx 1, x fξ 1, x + fξ 1, x fξ 1, ξ x 1 ξ 1 + θ 1x 1 ξ 1, x x 1 ξ 1 + ξ 1, ξ + θ x ξ x ξ x X ξ 1, ξ x i ξ i + R, i1 84

8 mit θ 1, θ, 1 und R ξ 1 + θ 1x 1 ξ 1, x x 1 + «ξ 1, ξ x 1 x ξ 1, ξ + θ x ξ x ξ 1, ξ x 1 ξ 1 «x ξ Da die partiellen Ableitungen in ξ 1, ξ stetig sind, gibt es zu jedem ε > ein δε, so dass für x ξ < δε R < ε x ξ gilt Dies zeigt, dass R in der Form R rx x ξ geschrieben werden kann und rx in Bξ, ρ stetig ist mit rξ Bemerkung 1 Die Funktion aus Beispiel 117 besitzt keine stetigen partiellen Ableitungen auf den Koordinatenachsen, mit Ausnahme des Koordinatenursprungs Das Kriterium von Satz 119 ist nicht notwendig Es gibt Funktionen in mehreren Dimensionen, die an einer Stelle differenzierbar sind, deren partielle Ableitungen aber in der Umgebung dieser Stelle nicht stetig sind, siehe Heuser, Analysis II, S 66, Aufg 7 13 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Die vertrauten Differentiationsregeln übertragen sich ohne Änderung, wenn auch äußerlich etwas umständlicher, auf vektorwertige Funktionen von mehreren Veränderlichen Satz 11 Linearität der Differentiation Seien f,g : D R n R m zwei vektorwertige Abbildungen, die im Punkt ξ D differenzierbar sind Dann ist mit beliebigen α,β R die Linearkombination αf + βgx in ξ differenzierbar und es gilt αf + βg ξ αf ξ + βg ξ Beweis: Der Beweis erfolg direkt mit der Definition der Differenzierbarkeit, Übungsaufgabe Bemerkung 1 Linearität der partiellen Ableitungen Da die Jacobi Matrix f ξ die Matrix aller partiellen Ableitungen erster Ordnung ist, sind die partiellen Ableitungen auch linear αf j x + βg j x α j x + β g j x α,β R Satz 13 Kettenregel Seien g : R n R m, f : R m R p und φx f g x fgx die Verkettung Sind gx in ξ R n und fy in η gξ differenzierbar, so ist auch die Verkettung φx in ξ differenzierbar und es gilt beziehungsweise φ ξ f gξ g ξ φ i x j ξ i g 1 ξ 1,,ξ n,,g m ξ 1,,ξ n x j ξ i 1,,p, j 1,,n m k1 i y k gξ g k x j ξ, 85

9 Beweis: Der Beweis erfolgt analog zum Fall m n p 1, siehe Analysis I Bemerkung 14 Kettenregel in Matrixschreibweise Die Verkettung linearer Abbildungen kann als Matrizenprodukt geschrieben werden, siehe Lineare Algebra Interpretiert man die Ableitungen als entsprechende rechteckige Matrizen, so entspricht der Verkettung von f gξ mit g ξ also dem Produkt dieser Matrizen In Komponentenschreibweise gilt daher φ 1 φ 1 ξ ξ x 1 x n φ p φ p ξ ξ x 1 x n 1 1 gξ gξ y 1 y m p p gξ gξ y 1 y m g 1 ξ x 1 g m ξ x 1 g 1 ξ x n g m ξ x n Hat man insbesondere eine Funktion φs, t fxs, t, ys, t : D R R gegeben, so erhält man φ s s φ, t t s, t oder ausgeschrieben x x, y y x, y x s s, t y s s, t x t s, t y t s, t φ s s, t x x, y x s s, t + y x, y y s s, t, φ t s, t x x, y x t s, t + y x, y y t s, t 14 mit x, y xs, t, ys, t Beispiel 15 Kettenregel Betrachte die Abbildungen g : R R x1 x 5 1 3x 1x 5 + x 7 x x 1 + x f : R g1 R g g g 8, sowie ihre Komposition φx 1, x fgx 1, x f g 1 x 1, x, g x 1, x Für die partielle Ableitung nach x 1 erhält man nach Kettenregel φ g 1 x 1, x + g x 1, x x 1 g 1 x 1 g x 1 17g g 1 + 8g 7 g x 1, x x 1 x 1 17g x 4 1 6x 1 x 5 + 8g x 5 1 3x 1x 5 + x x 4 1 6x 1 x x1 + x 7, 86

10 14 Der Mittelwertsatz Beispiel 16 Einfache Übertragung des Mittelwertsatzes aus einer Dimension gilt nicht Der Mittelwertsatz in einer Dimension besagt, dass man für eine in einem Intervall [a,b] differenzierbare Funktion f : [a,b] R einen Wert ξ a,b findet, so dass fb fa f ξb a gilt Solche eine Aussage gilt für vektorwertige Funktionen nicht Wir betrachten dazu die Funktion f : [,π] R cos x x sinx Dann gilt für alle ξ,π 1 1 fb fa sinξ π cos ξ f ξb a, da Sinus und Cosinus nicht gleichzeitig Null sind, Satz 18 Man kann aber für skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher einen Mittelwertsatz formulieren Definition 17 Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn mit zwei beliebigen Punkten a,b D immer die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten, das heißt die Menge {ξ : ξ a + θb a, θ,1} in D liegt Satz 18 Mittelwertsatz für skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher Seien a,b D zwei Punkte einer konvexen, offenen Menge D und f : D R n R auf D differenzierbar Dann gibt es auf dem a und b verbindenden Segment einen Punkt ξ a + θb a, θ,1, so dass gilt fb fa f ξ b a Beweis: Der Beweis erfolgt durch Anwendung der Kettenregel Man betrachtet fx auf dem Segment von a nach b Die Kurve über diesem Segment kann mit einer skalarwertigen Funktion einer reellen Veränderlichen identifiziert werden φ : [, 1] R t fa + tb a Da fx differenzierbar ist, existieren nach Satz 11 alle Richtungsableitungen in allen Punkten von D Insbesonder existieren die Richtungsableitungen in allen Punkten des Segments zwischen a und b in Richtung b a Damit ist die Funktion φt auf diesem Segment differenzierbar und sie genügt auf [, 1] den Voraussetzungen des Mittelwertsatzes in einer Dimension Damit gibt es ein θ, 1 mit fb fa φ1 φ φ θ 1 15 Andererseits kann man auf φt die Kettenregel 14 anwenden, womit man φ t i1 n a+tb a xi t X a+tb ab i a i f a+tb a b a i1 erhält Für t θ erhält man in 15 gerade die Behauptung des Satzes 87

11 Beispiel 19 Mittelwertsatz Sei fx,y cos x + sin y, a, b 1 π π Es gilt f, 1 f π, π Nach dem Mittelwertsatz existiert also ein θ,1 mit π f, π θ f, f π π 1 θπ θπ π sin,cos π π cos θπ sin θπ 1 π π In der Tat ist diese Gleichung für θ 1/ erfüllt 15 Höhere partielle Ableitungen Nun wird der Begriff der partiellen Ableitung auf partielle Ableitungen höherer Ordnung verallgemeinert Definition 13 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Seien D R n offen und f : D R Ist fx partiell differenzierbar auf D und sind die partiellen Ableitungen selbst wieder differenzierbar, erhält man als partielle Ableitungen zweiter Ordnung f ξ : ξ x j x j Induktiv definiert man die partiellen Ableitungen k ter Ordnung durch k f ξ : k 1 f ξ für k, k k 1 1 k 1 1 k i 1,,i k {1, n} Man kann zeigen, dass unter gewissen Voraussetzungen die Reihenfolge, in welcher man partielle Ableitungen höherer Ordnung berechnet, keine Rolle spielt Satz 131 Vertauschbarkeitssatz von Schwarz für partielle Ableitungen zweiter Ordnung Seien D R n offen, ξ D und f : D R Falls die partiellen Ableitungen von fx bis zur zweiten Ordnung in einer Umgebung Bξ, ρ D stetig sind, so sind sie vertauschbar f ξ f ξ x j x j i,j {1,,n} Beweis: Der Beweis erfolgt durch Anwendung des Mittelwertsatzes, für Details siehe Literatur Folgerung 13 Vertauschbarkeitssatz von Schwarz für partielle Ableitungen k ter Ordnung SinddiepartiellenAbleitungenvon fx biszurordnung k stetig, so kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen von fx bis zur Ordnung k beliebig vertauschen 88

12 Bemerkung 133 Multiindexschreibweise Hat man eine Funktion, bei welcher die Reihenfolge der partiellen Ableitungen beliebig gewählt werden kann, verwendet man häufig eine abkürzende Schreibweise unter Verwendung von Multiindizes Ein Multiindex ist ein n Tupel α α 1,,α n nichtnegativer ganzer Zahlen α i mit α n i1 α i Man schreibt dann D α fx : α f 1 x f α1α,,α n x xαn n x α1 Beispiel 134 Höhere partielle Ableitungen Für die Funktion fx,y,z z sinx 3 + cos y sinx e x z soll f 111 x,y,z : f xyz x,y,z berechnet werden Es ist zunächst klar, dass von dieser Funktion die partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung existieren und stetig sind Hier bietet es sich an, die Funktion zuerst nach y partiell zu integrieren, weil dann einige Terme sofort verschwinden f xyz x,y,z x z f y x z z siny cos x siny sinxz z siny sinx x Definition 135 Hesse 5 Matrix Seien D R n offen und f : D R sei im Punkt ξ D zweimal partiell differenzierbar Dann nennt man die Matrix der partiellen zweiten Ableitungen Hfξ : f x ξ 1 f x x 1 ξ f x n x 1 ξ f x 1 x ξ f x ξ f x n x ξ f x 1 x n ξ f x x n ξ f x ξ n die Hesse Matrix von fx in ξ Bemerkung 136 Zur Hesse Matrix Für eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung ist die Hesse Matrix nach dem Vertauschbarkeitssatz von Schwarz symmetrisch Die Hesse Matrix spielt eine große Rolle bei der Klassifikation von Extrema einer Funktion mehrerer Variablen, siehe Kapitel 11 Die Euklidische Norm eines Vektors ist invariant unter Rotationen Ähnlich wie bei fx die wichtige rotationsinvariante Größe fx abgeleitet werden kann, kann man auch aus Hfx eine rotationsinvariante skalare Größe gewinnen Hierzu betrachtet man die Summe der Diagonalelemente, die sogenannte Spur, von Hfx 5 Ludwig Otto Hesse

13 Definition 137 Laplace 6 Operator Seien D R n offen und f : D R in ξ D zweimal partiell differenzierbar Dann nennt man fξ : n i1 den Laplace Operator von fx in ξ f x ξ f x1x f xnx n ξ i Bemerkung 138 Anwendungen des Laplace Operators, partielle Differentialgleichungen Viele Prozesse in der Physik und den Ingenieurswissenschaften lassen sich durch Gleichungen beschreiben, welche die Beziehungen zwischen einer gesuchten Funktion, zum Beispiel Druck, Temperatur, Konzentration,, und ihren partiellen Ableitungen der Ordnung kleiner oder gleich Zwei beinhalten Dabei spielt der Laplace Operator oft eine große Rolle Man nennt diese Gleichungen partielle Differentialgleichungen Ordnung, wegen der Ableitungen zweiter Ordnung im Laplace Operator Im folgenden werden einige Beispiele angegeben 1 Die Laplace Gleichung oder Potentialgleichung hat die Gestalt u in D Sie spielt zum Beispiel bei statischen Problemen eine Rolle, beispielsweise in der Elastizitätstheorie Funktionen, die die Laplace Gleichung erfüllen, nennt man harmonische Funktionen Die Wellengleichung besitzt die Form u tt u in, T D Diese Gleichung beschreibt Schwingungsprobleme, zum Beispiel die Ausbreitung von Schallwellen Hierbei ist t die Zeit und u u xx + u yy + u zz misst die örtliche Veränderung 3 Die Diffusionsgleichung oder Wärmeleitungsgleichung hat die Form u t u in, T D Sie beschreibt die Dynamik von Ausgleichsprozessen wie Diffusion und Wärmeleitung Hierbei ist ut,x die Konzentration oder die Temperatur, und t ist die Zeit In der Bildverarbeitung verwendet man Diffusionsprozesse zum Entrauschen Diffusionsfilter Dabei beschreibt ut,x den Grauwert, und die Diffusionszeit t ist ein Maß für die Glättung 16 Die Taylorsche Formel Bemerkung 139 Motivation Ziel ist die Verallgemeinerung der Taylorschen Formel aus Satz 7 auf den Fall skalarer Funktionen f : D R n R Satz 14 Taylorsche Formel mit dem Restglied von Lagrange Seien D R n offen und konvex und sei fx m + 1 mal stetig differenzierbar in D Dann gilt für ξ,ξ + h D fξ + h m i 1 h i 1 f ξ + h m+1 f ξ + θh i! m + 1! : T m h,ξ + R m h,ξ, 6 Pierre-Simon Marquis de Laplace

14 mit θ,1 Dabei werden T m h,ξ Taylor Polynom vom Grad m und R m h,ξ Restglied nach Lagrange genannt Beweis: Die formale Schreibweise der Taylorschen Formel wird innerhalb des Beweises erklärt Wie im Beweis des Mittelwertsatzes wird eine Funktion einer reellen Veränderlichen betrachtet, nämlich φt fξ + th, t R, ξ + th D Da fx m+1 mal stetig differenzierbar ist, existieren alle Ableitungen in Richtung ξ+th bis zur Ordnung m + 1, Satz 11 Damit erfüllt die Funkion φt die Voraussetzungen des Satzes von Taylor, Satz 7 Um diesen Satz anwenden zu können, muss man φt differenzieren Mit Hilfe der Kettenregel, Bemerkung 14, folgt φ t ξ + th,, ξ + th x 1 x n ξ + thh i : h fξ + th i1 mit der formalen Schreibweise h : h h n x n «h 1,, h n Für die zweite Ableitung erhält man analog betrachte am einfachsten die Summendarstellung der ersten Ableitung mit φ t h : i 1,i 1 h 1 f 1 ξ + thh i1 h i : `h f ξ + th ««h h n h h n x 1 x n x 1 x n x 1 i 1,i 1 + h 1h x 1 x + + h h 1 1 h i1 h i x x h n x n Für die k te Ableitung erhält man schließlich φ k k f t ξ + thh i1 h ik : h k f ξ + th 1 k i 1,,i k 1 Der Satz von Taylor für die Funktion φt ergibt die Darstellung φ1 mx i φ i i! + φm+1 θ m + 1! mit θ, 1 Setzt man die berechneten Ableitungen von φt ein, ergibt sich gerade die Aussage des Satzes Bemerkung 141 Zur Schreibweise der Taylor Formel In der Literatur findet man die äquivalente Darstellung h i h T i WiebereitsimBeweis angedeutet, wirddieserausdruckformalausmultipliziertund dann nach Ableitungen sortiert Die ersten drei Summanden lassen sich übersichtlich wie folgt schreiben: fξ + h fξ + h T fξ + 1 ht Hfξh + 91

15 mit der Hesse Matrix Hfξ Oft wird auch x ξ + h gesetzt Dann hat die Taylor Formel die Gestalt m 1 fx x ξ i 1 f ξ + x ξ m+1 f ξ + θx ξ i! m + 1! i mit θ,1 Dann wird das Taylor Polynom mit T m x,ξ bezeichnet und das Restglied mit R m x,ξ Beispiel 14 Taylor Polynom Gesucht ist das Taylor Polynom zweiten Grades von fx,y,z xy sinz im Entwicklungspunkt ξ 1,, T Zur Lösung dieser Aufgabe benötigt man die Funktionswerte aller partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung im Entwicklungspunkt: Damit erhält man Ableitungen Auswertung in 1,, T f xy sinz f x y sinz f y xy sinz f z xy cos z 4 f xx f yy xsinz f zz xy sinz f xy y sinz f xz y cos z 4 f yz xy cos z 4 fξ, fξ 4, Hfξ und es folgt für das Taylor Polynom Grades mit h x ξ T x,ξ + x 1 1 x x 3 T x 1 1 x x 3 T x x 1 1x 3 + 8x x 3 8x 3 + 4x 1 x 3 + 4x x 3 Bemerkung 143 Zum Satz von Taylor Für m liefert der Satz von Taylor fx fξ + x ξ T fξ + θx ξ, θ,1 x 1 1 x x 3 Dies ist äquivalent zum Mittelwertsatz 18 angewendet auf a ξ, b x Der Mittelwertsatz ist also ein Spezialfall des Satzes von Taylor Für beschränkte partielle Ableitungen der Ordnung m + 1 hat das Restglied die Fehlerordnung O x ξ m+1 Somit folgt für die Approximationsgüte des Taylorpolynoms fx T m x,ξ + O x ξ m+1 9