Teil 8. Vektoranalysis

Transkript

1 Teil 8 Vektoranalysis 5

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3 8. kalar- und Vektorfelder kalarfeld alternative chreibweisen: U = U(x, y, z) = U( r) R 3 P U(P ) R Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschränkungen auf achsenparallele Ebenen Vektorfeld R 3 P F (P ) R 3 alternative chreibweisen: F = F (x, y, z) = F ( r) Komponenten bzgl. eines kartesischen Koordinatensystems: F x, F y, F z Visualisierung als Richtungsfeld oder mit Hilfe von Feldlinien Vektorfelder in Polarkoordinaten auf den Punkt (x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ) bezogene orthonormale Basis Darstellung e r = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ F (x, y) = F (r, ϕ) = F r e r + F ϕ e ϕ, F r = F e r, F ϕ = F e ϕ y e ϕ e r ϕ r x 7

4 Vektorfelder in Zylinderkoordinaten auf den Punkt (x, y, z) = (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, z) bezogene orthonormale Basis cos ϕ sin ϕ e ϱ = sin ϕ, e ϕ = cos ϕ, e z = Darstellung F (x, y, z) = F (ϱ, ϕ, z) = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z mit F ϱ = F e ϱ, F ϕ = F e ϕ, F z = F e z z-achse e z e ϕ P O ϕ z e y-achse x-achse Vektorfelder in Kugelkoordinaten auf den Punkt (x, y, z) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) bezogene orthonormale Basis cos ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ e r = sin ϕ sin ϑ, e ϑ = sin ϕ cos ϑ, e ϕ = cos ϕ cos ϑ sin ϑ Darstellung F (x, y, z) = F (r, ϑ, ϕ) = F r e r + F ϑ e ϑ + F ϕ e ϕ mit F r = F e r, F ϑ = F e ϑ, F ϕ = F e ϕ 8

5 z-achse e r e ϕ ϕ ϑ r P e ϑ y-achse x-achse 9

6 8.2 Differentialoperatoren Gradient grad U = x U y U z U für ein kalarfeld U(x, y, z) entspricht Richtung des stärksten Anstiegs invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen alternative Definition: grad U(P ) = lim diam V vol V mit der Oberfläche eines den Punkt P enthaltenden räumlichen Bereichs V und nach außen orientiertem vektoriellem Flächenelement d Divergenz Ud entspricht der Quelldichte div F = x F x + y F y + z F z invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen alternative Definition: div F (P ) = lim diam V vol V F d mit der Oberfläche eines den Punkt P enthaltenden räumlichen Bereichs V und d dem nach außen orientierten vektoriellen Flächenelement Rotation rot F = y F z z F y z F x x F z x F y y F x entspricht der Wirbeldichte invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen Darstellung mit Hilfe es ε-tensors ( rot F ) = i 3 3 ε ijk j F k, F = F i e i j,k= 2 i=

7 alternative Definition: ( n rot F )(P ) = lim diam area F d r mit regulären Flächen mit orientiertem Rand : t r(t), die den Punkt P enthalten und dort die Normale n haben Laplace-Operator U = div(grad U) = 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 2 z 2 invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen Rechenregeln für Differentialoperatoren Hintereinanderschaltung rot(grad U) = div(rot F ) = rot(rot F ) = grad(div F ) F Produkte grad(uv ) = U grad V + V grad U div(uf ) = U div F + F grad U div( F G) = G rot F F rot G rot(uf ) = U rot F F grad U Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten Transformation von kalar- und Vektorfeldern U(x, y, z) = Φ(ϱ, ϕ, z) F (x, y, z) = F x e x + F y e y + F z e z = Ψ ϱ e ϱ + Ψ ϕ e ϕ + Ψ z e z = Ψ(ϱ, ϕ, z) auf Zylinderkoordinaten x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z grad U = ϱ Φ e ϱ + ϱ ϕφ e ϕ + z Φ e z div F = ϱ ϱ(ϱψ ϱ ) + ϱ ϕψ ϕ + z Ψ z ( ) rot F = ϱ ϕψ z z Ψ ϕ e ϱ + ( z Ψ ϱ ϱ Ψ z ) e ϕ + ϱ ( ϱ(ϱψ ϕ ) ϕ Ψ ϱ ) e z U = ϱ ϱ(ϱ ϱ Φ) + ϱ 2 2 ϕφ + 2 zφ 2

8 Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten Transformation von kalar- und Vektorfeldern U(x, y, z) = Φ(r, ϑ, ϕ) F (x, y, z) = F x e x + F y e y + F z e z = Ψ r e r + Ψ ϑ e ϑ + Ψ ϕ e ϕ = Ψ(r, ϑ, ϕ) auf Kugelkoordinaten x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ grad U = r Φ e r + r ϑφ e ϑ + r sin ϑ ϕφ e ϕ div F = r 2 r rot F = ( r 2 Ψ r ) + r sin ϑ ϕψ ϕ + r sin ϑ ϑ (sin ϑψ ϑ ) r sin ϑ ( ϑ(sin ϑψ ϕ ) ϕ Ψ ϑ ) e r + r sin ϑ ( ϕψ r sin ϑ r (rψ ϕ )) e ϑ + r ( r(rψ ϑ ) ϑ Ψ r ) e ϕ U = r 2 r ( r 2 r Φ ) + r 2 sin 2 ϑ 2 ϕφ + r 2 sin ϑ ϑ (sin ϑ ϑ Φ) 22

9 8.3 Integration Kurvenintegral U = b U( r) r (t) dt a für eine Kurve : [a, b] t r(t) = (x(t), y(t), z(t)) t und ein kalarfeld U(x, y, z) unabhängig von der Parametrisierung und insbesondere der Orientierung Weg Kurve mit festgelegtem Durchlaufsinn : [a, b] t r(t) = x(t) y(t) z(t) zusammengesetzte Wege: + + m Weg mit umgekehrtem Durchlaufsinn: Arbeitsintegral F d r = b F ( r(t)) r (t) dt a für einen Weg : [a, b] t r(t) = (x(t), y(t), z(t)) t und ein Vektorfeld F (x, y, z) bei gleichbleibender Orientierung unabhängig von der Parametrisierung; Änderung des Vorzeichens bei Umkehrung der Durchlaufrichtung alternative chreibweise: F x dx + F y dy + F z dz, dx = x (t) dt, dy = y (t) dt, dz = z (t) dt Flächenintegral Ud = U( r(u, v)) n(u, v) dudv, n = u r v r D für eine Fläche : D (u, v) r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) t und ein kalarfeld U(x, y, z) unabhängig von der Parametrisierung 23

10 Flussintegral F d = F n d = F ( r(u, v)) n(u, v) dudv D für eine Parametrisierung D (u, v) r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) t der Fläche und mit d = n d, d = n(u, v) dudv dem vektoriellen Flächenelement in Richtung der Normalen n = u r v r bei gleicher Orientierung des Normalenvektors unabhängig von der Parametrisierung; Änderung des Vorzeichens bei Umkehrung der Normalenrichtung Fluss durch einen Funktionsgraph F d = F x x f F y y f + F z dxdy D für eine skalare Funktion z = f(x, y) mit Definitionsbereich D und Graph (Normale mit positiver z-komponente) Fluss durch einen Zylindermantel Randkurve ϱ = ϱ(ϕ) 2π z max z min F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ, F (ϱ, ϕ, z) = Fϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z (Flussrichtung nach außen) ϱ = a (Kreiszylinder) 2π a z max F ϱ dz dϕ z min Fluss durch eine phäre Radius r = a π 2π F r a 2 sin ϑ dϕ dϑ, F (r, ϑ, ϕ) = Fr e r + F ϑ e ϑ + F ϕ e ϕ radiales Feld F = f(r) e r Fluss 4πa 2 f(a) 24

11 8.4 Integralsätze Orientierter Rand einer Fläche = = + + m links von i, d.h. das Kreuzprodukt aus Normale n von und Tangentenvektor t von zeigt in die Fläche atz von Gauß V div F dv = F d mit der Oberfläche eines Körpers V und d dem nach außen gerichteten vektoriellen Flächenelement Volumenberechnung mit Hilfe des atzes von Gauß vol(v ) = 3 r d mit = V und d dem nach außen gerichteten vektoriellen Flächenelement atz von Gauß in der Ebene div F da = F n d = F d r, F = Fx e x + F y e y A mit div F = x F x + y F y, F d r = Fx y (t) F y x (t) und A = : t r(t) dem orientierten Rand von A Flächenberechnung mit dem atz von Gauß area(a) = 2 mit A = : t r(t) dem orientierten Rand von A r d r atz von Green rot F da = F d r, rot F = x F y y F x mit : t r(t) dem orientierten Rand von A A 25

12 atz von tokes mit dem orientierten Rand der Fläche rot F d = F d r 26

13 8.5 Potentialtheorie Potential U Potential von F F = grad U Arbeitsintegral entspricht Potentialdifferenz F d r = U(B) U(A) = [U] B A für jeden Weg : t r(t), t [a, b] von A nach B F d r = für geschlossene Wege Existenz eines Potentials Existenz eines Potentials Wegunabhängigkeit des Arbeitsintegrals U(P ) = U(P ) + F d r mit P : t r(t) einem beliebigen Weg, der P mit P verbindet Potential bis auf eine Konstante eindeutig Integrabilitätsbedingung P F = grad U = rot F = Umkehrung gültig für einfach zusammenhängende Gebiete Konstruktion eines Potentials grad U = F = (F x, F y, F z ) t Integration von F x bzgl. x U(x, y, z) = F x dx = U (x, y, z) + (y, z) Integration von F y = y U = y U + y bzgl. y (y, z) = (F y y U ) dy = U 2 (y, z) + 2 (z) Integration von F z = z U = z U + z U 2 + z 2 bzgl. z 2 (z) = (F z z U z U 2 ) dz = U 3 (z) + c 27

14 Hakenintegral F = (F x, F y, F z ) t = grad U U(Q) = U(P ) + q q 2 q 3 F x (x, p 2, p 3 ) dx + F y (q, y, p 3 ) dy + p p 2 analoge Integrale bei Permutation der Koordinaten Vektorpotential A Vektorpotential von F F = rot A p 3 F z (q, q 2, z) dz Existenz eines Vektorpotentials F = rot A = div F = Umkehrung gültig auf einfach zusammenhängendem Gebiet Vektorpotential bis auf ein Gradientenfeld eindeutig bestimmt: rot B = rot A = B = A + grad U U = div A (Eichung) div B = Konstruktion eines Vektorpotentials x A(x, y, z) = z F z (ξ, y, z) dξ F x (x, y, ζ) dζ x z x F y (ξ, y, z) dξ x analoge Formeln durch zyklisches Vertauschen der Variablen 28