Satz von Stokes. P(x,y)dx+Q(x,y)dy +R(x,y)dz. rot F = F = ± r. v r. u r

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1 Sat von Stokes F (,) = (P(,),Q(,),R(,)) rot F n o d = P(,)d+Q(,)d +R(,)d R P Q rot F = F = Q = P R Q R P Links steht der Fluss des Vektorfeldes rot F durch die Fläche (Oberflächenintegral), rechts ein Wegintegral (Zirkulation) des Vektorfeldes F längs der geschlossenen Randkurve. Plättet man den Sat von Stokes (R = ), so ergibt sich der Sat von Green. Sei r = ((u,v), (u,v), (u,v)) eine Parameterdarstellung der Fläche mit dem Parameterbereich D. Der Fluss des Vektorfeldes rot F durch die Fläche ist rot F n o d = D rot F ± r u r v r r u r v u r v D dudv = rot F [± r u r v ]dudv Das Voreichen des Vektorprodukts wird durch die Fließrichtung bestimmt. Bewegt man sich aufrecht in Richtung der Flächennormalen entlang der Randkurve, so muss die Fläche links liegen.

2 nschauung Wird im Sat von Green P(,)d+Q(,)d = (Q (,) P (,)) dd L der in der -Ebene liegende Bereich nach oben gewölbt, so entsteht der Sat von Stokes: P(,)d+Q(,)d +R(,)d = rot F n o d us der Wirbeldichte Q (,) P (,) wird die der Fläche angepassten Dichte rot F n o. Bei der Summation (Integration) heben sich in beiden Fällen die Verwirbelungen innerhalb den Flächen auf. Übrig bleibt die Zirkulation über den Rand. 2

3 Sat von Stokes F (,) = (P(,),Q(,),R(,)) rot F n o d = P(,)d+Q(,)d +R(,)d Gegeben ist das Vektorfeld F= (,,). Es soll der Fluss der Rotation durch die Halbkugelschale mit R = 2 berechnet werden. rot F = Parametrisierung der Schale: ( ) sinϑ cosϕ 2 sinϑ sinϕ, ϕ [;2π], ϑ [;π/2], 4 cosϑ rot F n o d = 4 π/2 2π ( ) sinϑ cosϕ sinϑ sinϕ cosϑ ( ) sinϑ sinϕ sinϑ cosϕ = 4sinϑ [sin 2 ϑcosϕ+sin 2 ϑ sinϕ+sinϑcosϑ]dϕdϑ =... = 4π ( ) sinϑ cosϕ sinϑ sinϕ cosϑ ndererseits betrachten wir die Randkurve: ( ) cost 2 sint, t [;2π] P(,)d+Q(,)d +R(,)d = 4 2π ( ) cost sint 3 ( ) sint 2π cost dt = 4 cos 2 tdt = 4π

4 Sat von Stokes F (,) = (P(,),Q(,),R(,)) rot F n o d = P(,)d+Q(,)d +R(,)d Gegeben ist noch einmal das Vektorfeld F= (,,). Es soll erneut der Fluss der Rotation durch die Halbkugelschale mit R = 2 berechnet werden. rot F = Da nach dem Sat von Stokes der Fluss der Rotation von der Flächenform unabhängig ist (es kommt nur auf den Rand an), nehmen wir die Kreisfläche K. n o = K rot F n o dk = K dk = 4π 4

5 Vektorpotential F (,) = (P(,),Q(,),R(,)) rot F n o d = P(,)d+Q(,)d +R(,)d Gegeben ist das Vektorfeld V = (,,). Es soll der Fluss von V durch die Kreisfläche mit R = 2, dem Mittelpunkt M( ) und dem Normalenvektor n = (,,) berechnet werden. Sei r = (,,) +(t 2sinϕ, tcosϕ, tcosϕ), ϕ [;2π], t [;] eine Parameterdarstellung der Kreisfläche mit dem Rand für t =. Beachte: Die Summanden stehen senkrecht aufeinander. Um den Sat von Stokes anwenden u können, ist unächst das Vektorfeld (Vektorpotential) F u bestimmen, für das gilt: rot F = V 2 2 F = Maple with(vectorcalculus): with(linearlgebra): V:= VectorField(<,,>, cartesian [,,]); Divergence(V); # notw. Bed. divv = F:=VectorPotential(V); Curl(F); # Kontrolle 5

6 Vektorpotential Randkurve L = ( 2sinϕ, cosϕ,+cosϕ), ϕ [;2π] P(,)d+Q(,)d +R(,)d = 2π L:=<sqrt(2)*sin(phi), cos(phi), +cos(phi)>; L:=map(diff, L, phi); F:=< 2/2 *, *, >; :=sqrt(2)*sin(phi); := cos(phi); :=+cos(phi); DotProduct(F, L) assuming t:: real; int(%,phi=..2*pi); rot F n o d = 2π Kreisfläche = (t 2sinϕ, tcosϕ,+tcosϕ), ϕ [;2π], t [;] V:=<,, >; K:=subs(=t*sin(phi), = t*cos(phi),=+t*cos(phi),v); :=<t*sqrt(2)*sin(phi), t*cos(phi), +t*cos(phi)>; K:=map(diff,, t); K2:=map(diff,, phi); P:=CrossProduct(K, K2); simplif(p); DotProduct(P,K) assuming t:: real assuming phi:: real; int(int(%, phi=..2*pi), t=..); 6

7 Sat von Stokes Ergänungen F (,) = (P(,),Q(,),R(,)) rot F n o d = P(,)d+Q(,)d +R(,)d a) Nehmen wir an, dass um Vektorfeld eine Potentialfunktion eistiert, F = gradφ. Dann ist das rechte Wegintegral null und aus der linken Seite wird [rot gradφ] n o d =. Da dieses für alle gleich berandeten Flächen gilt, liegt rot grad φ = Dies kann durch Nachrechnen bestätigt werden. nahe. b) Ziehen wir nun die Randkurve im Sat von Stokes auf null usammen. Wir erhalten für die Oberfläche : rot F n o d = Mit dem Sat von Gauss ( ist die Oberfläche des Volumes V) F n o d = ergibt sich daraus: divrot F dv =. V V div F dv. Die naheliegende Vermutung divrot F = kann durch Nachrechnen bestätigt werden. 7