Numerik von Differentialgleichungen

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1 Numerik von Differentialgleichungen Einführung und Überblick Winfried Auzinger Institut für Analysis and Scientific Computing winfried Anwendungsgebiete der Mathematik, SS / 35

2 Einleitung In der VO Anwendungsgebiete der Technischen Mathematik wird an vielen Stellen auf mathematische Modelle Bezug genommen, die auf gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen (DGL) führen. Zugrunde liegt immer ein Modellierungsprozess; dieser führt (außer in Trivialfällen) nicht direkt zur Problemlösung, sondern nur auf eine zu lösende Gleichung. Wenn z.b. die unabhängige Variable der Zeit t entspricht, so erhält man eine Differentialgleichung immer dann, wenn die (zeitliche) Änderung eines Zustandes vom Zustand selbst abhängt, so dass Ableitungen (Geschwindigkeit, Beschleunigung,... ) in den Gleichungen auftreten (im Gegensatz zu algebraischen Gleichungen). 2 / 35

3 Einleitung Die mathematische Modellierung dient der Simulation eines realen Vorganges auf einem Computer z.b. um Vorhersagen über das Verhalten eines Systems zu gewinnen (wann ist die nächste Sonnenfinsternis?) oder aufwendige bzw. undurchführbare Experimente (1000 verschiedene Crashtests mit einem Testfahrzeug?!) virtuell durchführen zu können. Die Entwicklung auf dem Informatiksektor erlaubt immer komplexere Simulationen und die Numerik von Differentialgleichungen liefert eine der zentralen mathematischen Grundlagen, die diese erst ermöglichen. In den Medien liest und hört man meist nur von Prozessoren und Taktfrequenzen und coolen Grafiken etc. die Mathematik dahinter wird kaum wahrgenommen. 3 / 35

4 Einleitung Notation Einfachste Standardform einer gewöhnlichen DGL (ODE): y (t) = f (t, y(t)) für eine gesuchte Funktion y(t) (y = dy/dt). t... unabhängige Variable (in Anwendungen oft die Zeit, oder z.b. räumliche Koordinate) f (t, y)... gegebene Datenfunktion (ergibt sich aus zugrunde liegenden Modell) Gleiche Schreibweise für Systeme von DGL: mehrere DGL für mehrere gesuchte Funktionen y 1 (t),..., y n (t) simultan gegeben Gleichungen untereinander verkoppelt Hier: y = (y 1,..., y n ) und f = (f 1,..., f n )... vektoriell 4 / 35

5 Beispiel: Pendel Das mathematische Modell Mathematisches Modell für Pendelschwingung unter Einwirkung der Gravitation Punktmasse am Ende konzentriert (Modellvereinfachung!) Grundlage: 2. Newtonsches Gesetz ( Kraft = Masse Beschleunigung ) Variablen: Zeit t (z.b. in s), Auslenkungswinkel ϕ(t) DGL. 2. Ordnung (Notation: ϕ = Ableitung nach t) ϕ(t) = ω 2 sin(ϕ(t)) ω := g/l (g... Erdbeschleunigung, l... Pendellänge) 5 / 35

6 Beispiel: Pendel Die Differentialgleichung DGL ist nichtlinear in ϕ(t), Ordnung=2 ( ϕ tritt auf) Konkrete Lösung durch zusätzliche Vorgabe eines konkreten Anfangszustandes (Auslenkung ϕ(0), Winkelgeschwindigkeit ϕ(0) zum Zeitpunkt t = 0) Oft wird die Ableitung ψ(t) := ϕ(t) als eigenständige Zustandsvariable betrachtet. äquivalentes DGL-System 1. Ordnung: ϕ(t) = ψ(t) ψ(t) = ω 2 sin(ϕ(t)), d.h. y = (ϕ, ψ) und f (t, y) = f (y) = (ψ, ω 2 sin(ϕ)). Exakte Lösung kann nicht explizit formelmäßig angegeben werden. 6 / 35

7 Beispiel: Pendel Anmerkungen Viele vereinfachende Annahmen: Gesamte Masse im Endpunkt konzentriert Räumliche Ausdehnung klein, so dass Annahme g = const. gerechtfertigtm Starrer Körper (keine Verformungen) Reibungsfreie Aufhängung; kein Luftwiderstand Derartige Modellfehler hat man so gut wie immer; eine exakte formelmäßige Lösung wäre daher ohnehin nicht wirklich exakt. Numerische Approximation erforderlich in der Praxis der Normalfall. 7 / 35

8 Beispiel: Pendel Modellvereinfachung (Linearisierung) Für hinreichend kleine Auslenkungen ϕ(t): sin ϕ ϕ vereinfachte, linearisierte DGL ϕ(t) = ω 2 ϕ(t) mit exakter Lösung ϕ(t) = C 1 sin(ωt) + C 2 cos(ωt)... keine numerische Approximation erforderlich. Beachte jedoch: Auch sin, cos müssen am Computer approximiert werden! Grenze zwischen exakter und numerischer Lösung ist nicht ganz scharf definiert. Exakte Lösungsdarstellungen (sofern verfügbar) dienen eher zum theoretischen Verständnis; sie eignen sich auch oft nicht für die numerische Umsetzung. 8 / 35

9 Ein Urproblem : (Numerische) Integration Was heißt integrierbar? Einfacher Spezialfall einer DGL: Löse y (t) = f (t) ( f (t, y) f (t) ) Lösung zu Anfangswert y(0) = y 0 : y(t) = y 0 + t 0 f (τ) dτ... bestimmtes Integral von f Konkrete Darstellung mittels Stammfunktion F (t) von f (t) (d.h. F (t) f (t)) : y(t) = y 0 + (F (t) F (0)))... setzt voraus, dass F (t) explizit bekannt ist und Implementierung/Approximation von F am Rechner verfügbar ist (z.b. sin, cos,...) Jede (z.b.) stetige Funktion f (t) ist integrierbar, aber die Stammfunktion ist i.all.g. nicht explizit angebbar. 9 / 35

10 Ein Urproblem : (Numerische) Integration Numerische Integration Integration erfordert numerische Approximation für (i) das Integral (ii) t 0 f (τ) dτ die Stammfunktion F (t). oder (i) ist die allgemeinere Strategie: Man verwendet Approximationsmethoden, die sich (im Prinzip) für beliebige Integranden einsetzen lassen. Approximationsprinzip: Diskretisierung, z.b. t f (τ) dτ f (t i ) t i 0 i über einem geeignet gewählten Gitter {t i }. Die nachfolgende betrachteten Verfahren für DGL basierend auf der Idee der Diskretisierung angewendet auf die DGL (oder eine äquivalente Integralgleichung). 10 / 35

11 Ein Urproblem : (Numerische) Integration Lineare Differentialgleichungen Die Lösung y(t) einer linearen DGL, z.b. y (t) = a y(t) + b(t) kann ebenfalls direkt als Integral angegeben werden: y(t) = e ta y 0 + t 0 e (t τ)a b(τ) dτ Dennoch ist direkte Diskretisierung der DGL (siehe unten) meist sinnvoller. Für Systeme linearer DGL, z.b. (y(t) R n ) y (t) = A y(t) + b(t) gilt analog y(t) = e ta y 0 + t 0 e (t τ)a b(τ) dτ Auswertung der Matrix-Exponentialfunktion e ta (Lösung des homogenen Problems) ist i. allg. nichttrivial. 11 / 35

12 Numerischer Zugang: Diskretisierung Euler-Verfahren Basierend auf der Approximation y y(t + h) y(t) (t), h ersetzt man die DGL über einem Gitter {t i = i h} durch die Differenzengleichung mit Schrittweite h, ỹ i ỹ i 1 = f (t i 1, ỹ i 1 ), i = 1, 2,... h Rekursion für die Näherungswerte ỹ i y(t i ) : ỹ i = ỹ i 1 + h f (t i 1, ỹ i 1 ), i = 1, 2,... Approximationsfehler ( lokaler Diskretisierungsfehler ) in jedem einzelnen Schritt: y(t + h) y(t) y (t) = O(h) für h 0 h 12 / 35

13 Numerischer Zugang: Diskretisierung Fehlerbetrachtung Lokaler Diskretisierungsfehler: Genauere Darstellung (a priori - Schätzung) : y(t + h) y(t) h y (t) = h y (t) + O(h 2 ) für h 0 A priori : Zeigt qualitativ, wie lokaler Fehler von h und der (unbekannten) Lösung y(t) abhängt. Dies ist jedoch (klarerweise) keine berechenbare Größe. A priori Schätzungen dienen dem theoretischen Verständnis und bilden die theoretische Basis für die Konstruktion praktikabler a posteriori Schätzer. Der wirkliche (globale) Fehler ist ỹ i y(t i ) =?, i = 1, 2, / 35

14 Numerischer Zugang: Diskretisierung Stabilität und Konvergenz Die Frage nach der Stabilität eines Verfahrens ist omnipräsent in der Numerik: Diverse unvermeidliche Fehler (lokale Fehler, auch: Modellungenauigkeiten, Approximationsfehler bei Auswertung der Datenfunktionen,... ) sollen sich nicht unnatürlich stark auf auf das Endergebnis auswirken. Satz: Das explizite Euler-Verfahren ist stabil. (Eigentlich: stabil für nicht allzu große Schrittweiten h.) Beweis: Studium der Differenzengleichung für den globalen Fehler und a priori Abschätzung seiner Lösung. Folgerung: Für den globalen Fehler ỹ i y(t i ) gilt ỹ i y(t i ) = O(h) für h 0 d.h. das Verfahren ist konvergent von der Ordnung / 35

15 Numerischer Zugang: Diskretisierung FAQ, (i): Relevante Fragen zu Diskretisierungsverfahren Welches Diskretisierungsverfahren eignet sich für welche Klasse von Differentialgleichungen? Das Super-Universalverfahren gibt es nicht. beliebig hoher Ordnung p > 1. Fehlerverhalten: ỹ i y(t i ) = O(h p ). Bei einem Verfahren z.b. 4. Ordnung (p = 4, z.b. klassisches Runge-Kutta -Verfahren) geht der Fehler auf das (ca.) 2 p = fache, also um einen Faktor 1/16 zurück, wenn die Schrittweite h halbiert wird. höherer Rechenaufwand pro Schritt lohnt sich. Aber: Wird ineffizienter für schwierigere Probleme mit Glattheitsdefekten. Weitere Problematik: Abklingverhalten mit stark gedämpfter Dynamik kann Instabilität verursachen. 15 / 35

16 Numerischer Zugang: Diskretisierung Beispiel: Flug einer Rakete im inhomogenen Gravitationsfeld Differentialgleichung für die Flughöhe h = h(t) : h (t) = g r 2 (r + h(t)) 2, g = Erdbeschleunigung r = Erdradius Grafik zeigt exakte Lösung, Euler-Approximation und Runge-Kutta Approximation angewendet auf äquivalentes System 1. Ordnung, mit Geschwindigkeit h (t) = v(t) als eigener Variable. 16 / 35

17 Numerischer Zugang: Diskretisierung Beispiel: Gedämpfter Oszillator (Pendel, kleine Auslenkung, mit Reibung) Differentialgleichung für den Winkel ϕ(t) : ϕ(t) + 2ρ ϕ(t) + ω 2 ϕ(t) = 0, ρ = Dämpfungsparameter ω = Eigenfrequenz Grafik zeigt exakte Lösung, Euler-Approximation und Runge-Kutta Approximation, angewendet auf äquivalentes System 1. Ordnung, für den Fall ρ = ω 0. Beide Verfahren verhalten sich instabil, obwohl exakte Lösung sehr stabil (glatter Verlauf, leicht abklingend). 17 / 35

18 Numerischer Zugang: Diskretisierung FAQ, (ii): Relevante Fragen zu Diskretisierungsverfahren... Beispiel für steifes Verhalten: Originalproblem ist super-stabil, Störungen werden sehr schnell weggedämpft Aber: Verfahren reagieren empfindlich auf Störungen (falls nicht h extrem klein) Abhilfe: Z.B. modifiziertes, implizites Euler-Verfahren: ỹ i ỹ i 1 = f (t i, ỹ i ), i = 1, 2,... h Differenzengleichung ist implizit, d.h. die Bestimmung von ỹ i für gegebenes ỹ i 1 erfordert die Lösung einer Gleichung (i. allg. eines Systems): Löse z h f (t i, z) = ỹ i 1 ỹ i = z. 18 / 35

19 Numerischer Zugang: Diskretisierung FAQ, (iii): Relevante Fragen zu Diskretisierungsverfahren Wie kann man sicherstellen, dass wichtige probleminhärente Eigenschaften auch in der numerischen Lösung möglichst getreu wiedergegeben werden? Beispiel Reibungsfrei schwingendes Pendel: Beispiel für ein konservatives mechanisches System, dessen gesamte (potentielle + kinetische) Energie über die Zeit hinweg konstant ist. Zur verlässlichen numerischen Integration über längere Zeiten: Benötige Verfahren, die ebenfalls energieerhaltend sind. Die Euler-artigen Verfahren sind dafür ungeeignet. Es wurden spezielle Verfahren für diesen Zweck entwickelt. Anwendung: Z.B. in der Astronomie, exakte langfristige Vorhersage von Planetenbahnen. 19 / 35

20 Numerischer Zugang: Diskretisierung Beispiel: Die äußeren Planeten im Sonnensystem Beispiel: c E. Hairer, C. Lubich, E. Wanner Grafik zeigt verschiedene (qualitativ falsche und richtige) Simulationen der Planetenbahnen (Langzeitverhalten). (J=Jupiter, S=Saturn, U=Uranus, N=Neptun, P=Pluto) 20 / 35

21 Numerischer Zugang: Diskretisierung FAQ, (iv): Relevante Fragen zu Diskretisierungsverfahren Wie kann man den Fehler a posteriori, d.h. für eine konkret berechnete Näherungslösung verlässlich berechenbar schätzen? Eine Möglichkeit (Grundidee Rückwärtsanalyse): Interpretiere die berechnete Folge von Näherungswerten ỹ i (bzw. eine die ỹ i interpolierende Funktion ỹ(t)) als Lösung einer gestörten DGL. Der Störungsterm lässt sich mit Hilfe der ỹ i und der gegebenen DGL berechnen bzw. genau schätzen. verschiedene Techniken, um aus dieser Störung auf ihren Effekt (= globaler Fehler!) zurückzuschließen. Allerdings auch hier nicht 100% Sicherheit auch Fehlerschätzer operiert diskret und unterliegt einem (allerdings geringeren) Diskretisierungsfehler. 21 / 35

22 Numerischer Zugang: Diskretisierung FAQ, (v): Relevante Fragen zu Diskretisierungsverfahren Wie ist die (im allgemeinen variable) Schrittweite h (= h i ) zu wählen, damit man eine vorgegebene Genauigkeitsforderung möglicht verlässlich und ohne unnötig hohen Rechenaufwand erfüllt? Die Grundlage dafür besteht in einer verlässlichen a-posteriori Fehlerschätzung (siehe oben). Darauf basierend wurden verschiedene Algorithmen entwickelt, bei denen versucht wird, die Schrittweite so zu steuern, dass der Fehler möglichst gleichmäßig kontrolliert wird. adaptive Methoden 22 / 35

23 Randwertprobleme Problemtyp; Beispiel Randbedingungen (an mehreren Stellen) ergeben globales Problem Beispiel: Poisson-Gleichung (1D, linear) u (x) = f (x), x (a, b) + Randbedingungen am Rand des Intervalles [a, b], z.b. u(a) = α, u(b) = β Anwendung: Z.B. in Mechanik Lösung u(x)... Verformung einer gespannten, elastischen Saite, wobei f (x) = gegebene Dichtefunktion, beschreibt load Allgemeiner: Nichtlineares Problem (z.b. nichtlineares Spannungs-Verformungs-Verhalten) u (x) = f (x, u(x), u (x)), x (a, b) 23 / 35

24 Randwertprobleme Numerische Behandlung: Z.B. Differenzenverfahren für u (x) = f (x, u(x), u (x)) Approximiere Ableitung über diskretem Gitter {x i }, Schrittweite h Z.B. mit x i = a + i h : u (x i ) u(x i 1) 2u(x i ) + u(x i+1 ) h 2... Ergibt großes (algebraisches) Gleichungssystem für die u i u(x i ): u i 1 2u i + u i+1 h 2 = f (x i, u i, u i u i 1 h ), i = 1, 2,... + Randbedingungen System A u = F (u), u = (u i ) R n ; A R n n Allgemeiner: Schrittweite h = h i variabel Adaptivität 24 / 35

25 Randwertprobleme Großes, schwach besetztes Gleichungssystem Systemmatrix A (entspricht Approximation von u ): A = h Gleichungssystem ist schwach besetzt (tridiagonal), leicht lösbar falls n nicht extrem groß. Beachte: n für h 0. Benötige Stabilität für numerische Umsetzbarkeit am Digitalrechner Konvergenz der Approximation für h 0 Stabilität: Untersuchung der Inversen A 1 für h 0 das ist Lineare Algebra. 25 / 35

26 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Stationäre Probleme Beispiel: Poisson-Gleichung (2D, linear) u(x, y) = f (x, y), (x, y) Ω R 2 ( u := ( ) u = u xx + u yy... Laplace-Operator ), + Randbedingungen am Rand des Gebietes Ω Ein Anwendungsbeispiel: Lösung u(x, y)... Verformung einer gespannten, elastischen Membran, wobei f (x, y) = gegebene Dichtefunktion, beschreibt load Poisson Gleichung tritt auch auf in Strömungsmechanik, Elektrostatik,... Analog in 3D 26 / 35

27 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Stationäre Probleme: FD-Verfahren (i) Approximiere die PDE durch eine partielle Differenzengleichung über einem diskreten Gitter {x i, y j } Ω h h... führt auf großes lineares Gleichungssystem für die u i,j u(x i, y j ); sehr groß im 3D-Fall 27 / 35

28 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Stationäre Probleme: FD-Verfahren (ii) System-Matrix mit spezieller Struktur: T I I T I A = R n2 n 2 mit T = 1 h I T I I T R n n / 35

29 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Stationäre Probleme: Finite-Elemente - Methoden (FEM, (i) Approximiere die Lösung in einem endlich-dimensionalen Raum von approximierenden Funktionen (z.b. stückweise linear, polynomial über kleinen Teilgebieten, den Finiten Elementen ), wobei verschiedene Kriterien für die Approximation, z.b. Minimierung eines gewissen Fehlerfunktionals ( Variationsrechnung) Flexibel anpassbar an allgemeine Geometrien große, schwach besetzte Gleichungssysteme Adaptivität Wesentlich: Geeignete Datenstrukturen für Umsetzung am Digitalrechner 29 / 35

30 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Stationäre Probleme: Finite-Elemente - Methoden (FEM, (ii) Beispiel: Poisson-Gleichung mit unglatter Lösung Welche Mathematik brauchen wir dafür: Höhere Analysis (insbesondere Variationsrechnung), Funktionalanalysis, Approximationstheorie, Lineare Algebra / 35

31 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Instationäre Probleme Problemtypen Wärmeleitungsgleichung (Diffusionsgleichung): Wellengleichung: t u(x, t) = x u(x, t) + Verallgemeinerungen 2 t 2 u(x, t) = x u(x, t) Diskretisierung in Ort x R d (d = 1, 2, 3) und t R (simultan oder nacheinander ) Je nach Typ verschiedene Zugänge erforderlich Weiters: Nichtlineare Effekte, z.b. Schockwellen (Überschall) Systeme von PDEs, z.b. Navier-Stokes, Maxwell-Gleichungen / 35

32 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Instationäre Probleme Beispiel: Schrödinger-Gleichung (i) Grundgleichung der Quantenmechanik (n Elektronen): i t ψ(x, t) = H(ψ(x, t)) für die komplexwertige Wellenfunktion ψ. Dabei ist: t... Zeit x = (x 1,..., x n ), x j R 3... Position der Elektronen ψ(x, t) beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass sich zum Zeitpunkt t die Teilchen (Elektronen) an den betreffenden Positionen x j befinden. Numerische Behandlung durch direkte Diskretisierung hoffnungslos, weil extrem hochdimensional: x R 3n! State of the art : Spezielle approximierende Ansatzfunktionen, dann erst Diskretisierung. 32 / 35

33 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Instationäre Probleme Beispiel: Schrödinger-Gleichung (ii) Eine Lösung der homogenen Schrödinger-Gleichung ( ein free particle, 1D, Re ψ(x, t) ): Zeitintegration: aufwendig; für die Integrationsschritte sind effiziente Approximationsverfahren erforderlich. 33 / 35

34 Partielle Differentialgleichungen (PDE) Lösung großer Gleichungssysteme Fast überall treten sehr große Gleichungssysteme auf (nach Linearisierung): A u = b Direkte Lösung oft langsam und/oder speicherintensiv Alternative: Iterative Verfahren Z.B. iterative Minimierung einer Residualnorm Ax b Beispiel: cg-verfahren für positiv definite Systeme: # cg for A.x=b, starting from x[0] r[0] := b-a.x[0]; d[0] := r[0]; for i=0,1,... do alpha[i] := (r[i],r[i])/(a.d[i],d[i]) x[i+1] := x[i]+alpha[i]*d[i] r[i+1] := r[i]-alpha[i]*a.d[i] beta[i] := (r[i+1],r[i+1])/(r[i],r[i]) d[i+1] := r[i+1] + beta[i]*d[i] end Aber: Muss problemabängig angepasst werden für vernünftige Konvergenzrate. 34 / 35

35 Definition der Numerik? Numerische Mathematik ; Scientific Computing... nicht nur Rundungsfehler und so... Die Numerik ist der konstruktive Zweig der Mathematik, der sich mit der konkreten rechnerischen Lösung von Problemen befasst, insbesondere mittels Algorithmen, die sich auf Digitalrechnern implementieren lassen. Konstruktivität, Effizienz und stabile Umsetzung erfordert durchwegs Approximation. Die Numerik ist die Freundin der Angewandten Mathematik. Sie gilt aber auch ein eigenständiges mathematisches Teilgebiet (Numerische Mathematik). Entwicklung eng verbunden mit der Existenz und Weiterentwicklung des Digitalcomputers. Scientific Computing : der zur Implementierung auf Hochleistungsrechnern hin orientierte, praktische und angewandte Aspekt der Numerik. 35 / 35