Teubner Studienbiicher

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1 Teubner Studienbiicher Mathematik Ahlswede/Wegener: Suchprobleme. OM 29,80 Aigner: Graphentheorie. OM 29,80 Ansorge: Differenzenapproximationen partieller Anfangswertaufgaben. OM 29,80 (LAMM) Behnen/Neuhaus: Grundkurs Stochastik. OM 36,- Bohl: Finite Modelle gewohnlicher Randwertaufgaben. OM 32,- (LAMM) Bohmer: Spline-Funktionen. OM 32,- Brocker: Analysis in mehreren Variablen. OM 34,- Bunse/Bunse-Gerstner: Numerische Lineare Algebra. 314 Seiten. OM 36, Clegg: Variationsrechnung. OM 19,80 v. Collani: Optimale Wareneingangskontrolle. OM 29,80 Collatz: Differentialgleichungen. 6. Auf!. OM 34,- (LAMM) Collatz/Krabs: Approximationstheorie. OM 29,80 Constantinescu: Distributionen und ihre Anwendung In der Physik. OM 22,80 Oinges/Rost: Prinzipien der Stochastik. OM 36,- Fischer/Sacher: Einfuhrung in die Algebra. 3. Autl. OM 23,80 Floret: MaB- und Integrationstheorie. OM 34,- Grigorieff: Numerik gewohnlicher Differentialgleichungen Band 2: OM 34,- Hackbusch: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen. OM 38, Hainzl : Mathematik fur Naturwissenschafller. 4. Autl. OM 36,- (LAMM) Hassig: Graphentheoretische Methoden des Operations Research. OM 26,80 (LAMM) Hettich/Zenke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infinitiven Optimierung. OM 26,80 Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 12. Autl. OM 28,80 Jeggle: Nichtlineare Funktionalanalysis. OM 28,80 Kall: Analysis fur Okonomen. OM 28,80 (LAMM) Kall: Lineare Algebra fur Okonomen. OM 24,80 (LAMM) Kall: Mathematische Methoden des Operations Research. OM 26,80 (LAMM) Kohlas: Stochastische Methoden des Operations Research. OM 26,80 (LAMM) Krabs: Optimierung und Approximation. OM 28,80 Lehn/Wegmann: EinfUhrung in die Statistik. OM 24,80 Muller: Darstellungstheorie von endlichen Gruppen. OM 25,80 Rauhut/Schmitz/Zachow: Spieltheorle. OM 34,- (LAMM) Schwarz: FORTRAN-Programme zur Methode der finiten Elemente. OM 25,80 Schwarz: Methode der finiten Elemente. 2. Aufl. OM 39,- (LAMM) Stiefel: EinfUhrung In die numerische Mathematik. 5. Auf!. OM 34,- (LAMM) Stiefel/Fassler: Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung. OM 29,80 (LAMM) Stummel/Hainer: Praktische Mathematik. 2. Aufl. OM 38,- Fortsetzung auf der 3. Umschlagseite

2 Theorie und Numerik eli iptischer Differentialgleichungen Von Or. rer. nat. Wolfgang Hackbusch Professor an der Universităt Kiel Mit zahlreichen Abbildungen, Beispielen und Obungsaufgaben m Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

3 Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang Hackbusch Geboren 1948 in Westerstede. Von 1967 bis 1971 Studium der Mathematik und Physik an den Universităten Marburg und Koln; Diplom 1971 und Promotion 1973 in Koln. Von 1973 bis 1980 Assistent am Mathematischen Institut der Universitiit zu Ko1n und Habilitation im Jahre Von 1980 bis 1982 Professor an der Ruhr-Universitiit Bochum. Seit 1982 Professor am Institut fur Informatik und Praktische Mathematik der Christian-Albrechts-Universitiit zu Kiel. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Hackbusch, Wolfgang: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen / von Wolfgang Hackbusch. Stuttgart : Teubner 1986 (Teubner StudienbUcher : Mathematik) ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschliefljlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung aulserhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzullissig und strafbar. Das gilt besonders fur Vervielfliltigungen, Vbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Springer Fachmedien Wiesbaden 1986 Urspriinglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1986 Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim Umschlaggestaltung: M. Koch, Reutlingen

4 Vorwort Dieses Buch ist aus Vorlestmgen entstanden, die der Autor an der Ruhr-Universitiit Bochum und an der Christian-Albrechts-Universitiit Kiel fur Studenten der Mathematik gehalten hat. Die vorliegende Abhandltmg beschriinkt sich auf partielle Differentialgleichtmgen yom ell i p tis c hen Typ, da andemfalls die Darstelltmg entweder zu oberfliichlich oder zu umfangreich geriete. Die folgende Skizze zeigt, welche Aufgaben sich bei elliptischen Differentialgleichungen ergeben. A: Theorie der B: Diskretisierungen C: Numerische Analyse: elliptischen (Differenzenverfahren, Konvergenz, Gleichtmgen finite Elemente, etc) Stabilitiit ~ ~ elliptische Randwertaufgabe E: Theorie der Iterationsverfahren diskrete Gleichung i D: Gleichungsauflbsung a) direkt oder durch b) I terationsverfahren Die The 0 r i e der elliptischen Gleichtmgen (A) beschiiftigt sich mit den Fragen nach Existenz, Eindeutigkeit und Eigenschaften der Lbsung. Das erste Problem der Numerik ist die Beschreibtmg von Dis k ret i s i e run g s ve r fa h r en (B), die endlichdimension ale Gleichungen fur Niihertmgen der Lbsung ergeben. D~r anschlieeende zweite Teil der Numerik ist die n u mer i s c h e A n a 1 y s e (C) der betreffenden Verfahren. Insbesondere ist zu kliiren, ob tmd wie schnell die Niiherung gegen die exakte Lbsung konvergiert. Die Auflbstmg der endlichdimensionalen Gleichtmgen CD, E) ist i. allg. kein einfaches Problem, da 10 3 bis 10 6 Unbekannte auftreten kennen. Die Diskussion dieses dritten numerischen Problemkreises ist hier ausgespart (man findet es z. B. bei Hackbusch [25]) Die Beschreibtmg der Diskretisierungsverfahren tmd ihre Analyse steht in engem Zusammenhang mit entsprechenden Kapiteln aus der Theorie der elliptischen Gleichtmgen. AuEerdem ist eine ftmdierte numerische Analyse ohne Grundkenntnisse der Theorie der elliptischen Differentialgleichungen nicht mbglich. Da letztere i. allg. yom Leser nicht vorausgesetzt werden kann, scheint es mir notwendig, die Numerik zusammen mit der Theorie der elliptischen Gleichungen zu priisentieren.

5 4 Vorwort Das Buch ist zuniichst als eine Einftihrung in die Behandlung elliptischer Randwertaufgaben gedacht. Es so11 den Leser aber auch an weiterftihrende Literatur zu spezie11en Themen und an anwendungsorientierte Aufgaben heranftihren. Absichtlich wurden Kapitel, die hiiufig zu kurz behandelt werden (z. B. Eigenwertaufgaben) ausftihrlicher dargeste11t. Die Darste11ungen beschriinken sich grundsiitzlich auf lin ear e elliptische Gleichungen. Darnit ist die Diskussion der flii die Anwendungen in der Stromungsmechanik wichtigen Navier-Stokes-Gleichung zwar ausgeschlossen, aber man findet den Zugang hierzu tiber die Stokes-Gleichung, die als ein Beispiel eines elliptischen Systems eingehend behandelt wird. Urn den Umfang dieses Buches nicht zu sprengen, wurde darauf verzichtet, weitere Diskretisierungsverfahren (Ko11okationsverfahren, Volumen-Element-Methoden, Spektralverfahren) und die Integralgleichungsmethode (Randelementverfahren) zu behandeln. Die aufgeftihrten tlbungsaufgaben, die auch als Bemerkungen ohne Beweis verstanden werden konnen, sind integrierter Bestandteil der Darste11ung. Wird dieses Buch als Grundlage einer Vorlesung benutzt, konnen sie als tlbungen dienen. Aber auch der Leser so11te versuchen, sein Verstiindnis der Lekttire an den Aufgaben zu testen. Der Autor dankt seinen Mitarbeitern Dr. G. Hofmann, G. Wittum und J. Burmeister flii die Untersttitzung beim Lesen und Korrigieren des Manuskriptes. Dem Teubner Verlag gilt der Dank flii die freundliche Zusammenarbeit. Kiel, im Dezember 1985 W. Hackbusch

6 Inhaltsverzeichnis Vorwort lnhaltsveneichnis Notation Partielle Differentialgleichungen und ihre Einteilung in Typen Beispiele Typeneinteilung bei Gleichungen zweiter Ordnung Typeneinteilung bei Systemen erster Ordnung Unterschiedliche Eigenschaften der verschiedenen Typen Die Potentialgleichung Problemstellung Singularitatenfunktion Mittelwerteigenschaft und Maximumsprinzip Stetige Abhangigkeit von den Randdaten Die Poisson-Gleichung Problemstellung Losungsdarstellung durch die Greensche Funktion Die Greensche Funktion flir die Kugel Die Neumann-Randwertaufgabe Differenzenmethode fur die Poisson-Gleichung Einftihrung: Der eindimensionale Fall Ftinfpunktformel M-Matrizen, Matrixnormen, positiv definite Matrizen... " Eigenschaften der Matrix Lh Konvergenz ' Diskretisierungen hoherer Ordnung Die Diskretisierung der Neumann-Randwertaufgabe Einseitige Differenz flir au/an... " Symmetrische Differenz flir au/an Symmetrische Differenz flir au/an im verschobenen Gitter Beweis des Stabilitatssatzes Die Diskretisierung im allgemeinen Gebiet... " Shortley-Weller-Approximation Interpolation in randnahen Punkten... " 82

7 6 Inhaltsverzeichnis 5 Allgemeine Randwertaufgaben Dirichlet-Randwertaufgaben flir line are Differentialgleichung zweiter Ordnung Problemstellung Maximumprinzip Eindeutigkeit der Lasung und stetige Abhangigkeit Differenzenverfahren fur die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung Greensche Funktion Allgemeine Randbedingungen Formulierung der Randwertaufgabe Differenzenverfahren bei allgemeinen Randbedingungen Randwertaufgaben haherer Ordnung Die biharmonische Differentialgleichung Allgemeine lineare Differentialgleichung der Ordnung 2m Diskretisierung der biharmonischen Differentialgleichung Exkurs iiber Funktionalanalysis Banach-Raume und Hilbert-Raume Normierte Raume Operatoren Banach-Raume Hilbert-Raume Sobolev-Raume L 2 (n) Hk(n) und H~(Q) Fourier-Transformation und Hk(Rn) HS(Q) flir reelles s;;;' Spur- und Fortsetzungssatze..., Dualraume Dualraum eines normierten Raumes Adjungierte Operatoren Skalen von Hilbert-Raumen Kompakte Operatoren Bilinearformen Variationsfonnulienmg Historische Bemerkungen Gleichungen mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen Inhomogene Dirichlet-Randbedingung Natiirliche Randbedingungen

8 Inhaltsverzeichnis 7 8 Die Methode der fmiten Elemente Das Ritz-Galerkin-Verfahren Fehlerabschiitzungen Finite Elemente Einflihrung: Lineare Elemente fur n = (a, b) Lineare Elemente fur n c R Bilineare Elemente fur n c R Quadratische Elemente fur n c R Elemente fur n c R Behandlung von Nebenbedingungen Fehlerabschiitzungen bei Finite-Element-Verfahren Hl_Abschiitzungen fur!ineare Elemente L 2 - und H S -Abschiitzungen flir!ineare Elemente Verallgemeinerungen Fehlerabschiitzungen fur andere Elemente Finite Elemente flir Gleichungen hoherer Ordnung Einfiihrung: Eindimensionale biharmonische Gleichung Der zweidimensionale Fall Fehlerabschiitzungen Finite Elemente flir Nichtpolygon-Gebiete Weitere Hinweise Nichtkonforme Elemente Trefftz-Verfahren Finite-Element-Verfahren flir singuliire Lbsungen Adaptive Triangulation Hierarchische Basen Superkonvergenz Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix Regularitiit der L6sung L6sung der Randwertaufgabe in HS(n), s > m Das Regularitiitsproblem Regulari tii tssii tze flir n = R n Regularitiitssiitze fur n = R~ Regularitiitssiitze flir a1lgemeines n C Rn Regularitiitssiitze fur konvexe Gebiete und Gebiete mit Ecken Regularitiit im Inneren Regularitiitseigenschaften der Differenzengleichung Diskrete Hl-Regularitiit Konsistenz Optimale Fehlerabschiitzungen H~-Regularitiit

9 8 Inha1tsverzeichnis 10 Spezielle DifferentiaIgleichungen DifferentiaIgleichungen mit unstetigen Koeffizienten Formulierung Diskretisierung Ein singular gestbrtes Problem Die Konvektionsdiffusionsgleichung Stabile Differenzenschemata Finite Elemente Eigenwertprobleme Formulierung von Eigenwertproblemen Finite-Element-Diskretisierung Diskretisierung Qualitative Konvergenzresultate Quantitative Konvergenzresultate Komplementlire Probleme Diskretisierung durch Differenzverfahren Stokes-Gleichungen Elliptische DifferentiaIgleichungssysteme Variationsformulierung Schwache Formulierung der Stokes-Gleichungen Sattelpunktprobleme Existenz und Eindeutigkeit der Ltisung eines Sattelpunktproblems Ltisbarkeit und Regularitat des Stokes-Problems Eine Vo-elliptische Variationsformulierung der Stokes- Gleichung Gemischte Finite-Element-Methode fur das Stokes-Problem Finite-Element-Diskretisierung eines Sattelpunktproblems Stabilitatsbedingungen Stabile Finite-Element-Verfahren flir das Stokes-Problem Stabilitatskriterium Finite-Element-Diskretisierungen mit der Bubble-Funktion Stabile Diskretisierungen mit linearen Elementen in Vb Fehlerabschlitzungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

10 Notation Fonnelnummem Gleichungen im Unterkapitel X.Y sind mit (X.Y.1), (X.Y.2), usw. numeriert. Die Gleichung (3.2.1) wird im Kapitel3.2 nur mit (I) zitiert. In anderen Unterkapiteln des Abschnittes 3 heifl>t sie (2.1). Satznumerienmg AIle Satze, Definitionen, Lemmata etc. werden gemeinsam durchnumeriert. 1m Unterkapitel3.2 wird Lemma als "Lemma 1" zitiert. Spezielle Symbole Die folgenden Grof!.en haben eine feststehende Bedeutung: A,B,... B,B j C CS(D), Ck.1(D) Ck(D), C~(D) co'(n) Matrizen Randdifferenzenoperator (vgl. (S.2.1a, b), (5.3.6» komplexe Zahlen Holder- bzw. Lipschitz-stetig differenzierbare Funktionen (vgl. Def.3.2.B) k-fach (unendlichfach) stetig differenzierbare Funktionen unendlich oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Trager (vgl. (6.2.3» Abstand der Funktion u yom Unterraum V N (vgl. Satz B.2.1» Oberflachenelement bei Oberflachenintegralen Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen db d 2,. Funktion; meist rechte Seite einer Differentialgleichung d(u, V N ) dr, dr x diag {db d 2,. } f g(.,.) Greensche Funktion (vgl. Abschn. 3.2) h Schrittweite (vgl. Abschn. 4.1 und 4.2) Hk(n), HS(n), H~(n), Ht(n) Sobolev-Raume (vgl. Abschn , 6.2.4) KR (y) offene Kugel urn y mit Radius R (vgl. (2.2.7), Abschn ) I Identitat oder Inklusion (vgl. Abschn , 6.1.3) L L Lh L(X, Y) L~(n) L 2 (n) N n=n(x) o 0(.) p R,R+ Rh,Rh s(.,.) Tr(f) Differentialoperator (vgl. (1.2.6» oder der zur Bilinearform gehbrende Operator (vgl ') Steifigkeitsmatrix (vgl. Abschn. B.1) Matrix des diskreten Gleichungssystems (vgl. ( a» linearer Raum der Operatoren von X nach Y (vgl. Abschn ) Raum der beschrankten Funktionen (vgl. Abschn ) Raum der quadratintegrierbaren Funktionen (vgl. Abschn ) natiirliche Zahlen {l, 2,...} Normale (vgl. (2.2.3a» Nullmatrix Landau-Symbol: f(x) = O(g(x», falls I f(x) I ~ const Ig(x)1 vgl. (B.1.6) reelle Zahlen, positive reelle Zahlen Restriktionen (vgl. (4.5.2) und (4.5.Sb» Singularitatenfunktion (vgl. Abschn. 2.2) Trager der Funktion f (vgl. Lemma 6.2.2)

11 10 Notation u = u(x) = U(XI,..., Xn) Funktion, z. B. Lbsung der Differentialgleichung uh Gitterfunktion (diskrete Lbsung; vgl. Abschn. 4) V N, Vh Finite-Element-Raum (vgl. (8.1.3) und Abschn ) qh Gitterfunktion (rechte Seite der diskreten Gleichung (4.1.9a)) x, (x, y), (x, y, z) unabhangige Variablen x = (Xl, X2,'., Xn) Vektor der unabhangigen Variablen Z ganze Zahlen Rand von Omega r r h Randpunkte des Gitters (vgl. (4.2.1b), (4.8.4)) r(.,.) Grundfunktion (vgl. (2.2.9)) pea) Spektralradius der Matrix A (vgl. (4.3.5)) n offene Menge des Rn oder Gebiet (vgl. Def ) nh Gitter (vgl. (4.1.6a), (4.2.1a), (4.8.2)) ~ Laplace-Operator (vgl. (2.1.1a)) ~h Fiinfpunktdifferenzenoperator (vgl. (4.2.3)) V Gradient (vgl. (2.2.3a)) a+, a-, a O, a~, a;,.. _ Differenzen (vgl. (4.1.2a-c), (4.2.3)) a~, a~ Differenzen in Normalenrichtung (vgl_ (4_7.4)) a/an Normalableitung (vgl. (2.2.3a)) <.,.> Skalarprodukt (vgl. (2.2.3c), (4.3.14a)) <., '>xxx' Dualform (vgl. Abschn ) (.,.) Skalarprodukt (vgl. Abschn ) (., ')0, (., k2(u), 1.1 0, 1.IL2(u) Skalarprodukt und Norm in L 2 (n) (., ')k, (.,.)., 1.lk, 1.1. Skalarprodukt und Norm in Hk(n) bzw. HS(n) 1.1 Euklidische Norm (vgl. (2.2.2)) II.lb Euklidische Norm und Spektralnorm (vgl. Abschn. 4.3) 1.1;,1.[; aquivalente Normen zu 1.lk, 1.ls (vgl. (6.2.15), (6.2.16b)) Maximumnorm (vgl. (4.3.3)), Zeilensummennorm (4.3.11) bzw. Supremumsnorm (2.4.1), vgl. auch Abschn Vektor (1, 1,...) (vgl. Abschn. 4.3)

12 1 Partielle Differentialgleichungen und ihre Einteilung in Typen Eine gewbhnliche Differentialgleichung bestimmt eine Funktion, die von nur einer Variablen abhiingt. Leider ist die Beschriinkung auf eine einzige Variable fur viele Probleme nicht mbglich_ Fast alle physikalischen Grb&n hangen von Raurnkoordinaten x, y, z und der Zeit t ab_ Auch wenn die Zeitabhiingigkeit flir stationare Prozesse entfallt und sich durch spezielle geometrische Annahmen oft eine Raumdimension einsparen liillt, bleiben noch wenigstens zwei unabhiingige Variable. Gleichungen, die die ersten partiellen Ableitungen UXj = Uxj(Xl, X2,..., xn) = OU(Xl,..., xn)/oxj (1';;; i';;; n) oder auchhbhere partielle Ableitungen u X ' x " usw., enthalten,heiben par- I J tie1le Differentialgleichungen. Anders als gewbhnliche Differentialgleichungen lassen sich partielle Differentialgleichungen nicht einheitlich analysieren. Vielmehr unterscheidet man d rei T y pen von Gleichungen, die verschiedene Eigenschaften besitzen und auch unterschiedliche numerische Methoden erfordern. Bevor die Typenmerkmale definiert werden, sollen zunachst Beispiele partieller Differentialgleichungen vorgefoort werden. 1.1 Beispiele AIle folgenden Beispiele werden nur zwei unabhiingige Variable x, y enthalten. Die beiden ersten Beispiele sind partielle Differentialgleichungen e r s t e r 0 r d nun g, da nur erste partielle Ableitungen auftreten. Beispiell.!.l Gesucht ist eine Lbsung u(x, y) von uy(x, y) = O. (1.1.1) Offenbar mub u(x, y) von y unabhiingig sein, d. h. die Lbsung hat die Form u(x, y) = 'P(x). Andererseits ist u(x, y) = 'P(x) flir beliebiges 'P eine Lbsung von (I). Gl. (1) ist ein Spezialfall von Beispiel Gesucht ist eine Lbsung u(x, y) von cu X -u y = 0 (c Konstante). (1.1.2) u sei eine Lbsung. Man foore neue Koordinaten ~ = x + cy, 1'/ = Y ein und definiere vet 1'/) := u(x(~, 1'/), y(~, 1'/» mit Hilfe von x(t 1'/) = ~ - c1'/, yet 1'/) = 1'/. Da V1J = UXx1J + u Y Y1J (Kettenregel) und x1j = -c, Y1J = I, folgt v1j(~' 1'/) = 0 aus (2). Diese Gleichung stirnrnt mit (1) iiberein, und Beispiel 1 zeigt, dab v(~, 1'/) = 'P(n. Ersetzt man t 1'/ wieder durch x, y, erhiilt man die Darstellung u(x, y) = 'P(x + cy). (1.1.3)

13 12 I Partielle Differentialgleichungen und ihre Einteilung in Typen Umgekehrt ist durch (3) offenbar eine Lasung der Gl. (2) gegeben, sobald.p einmal stetig differenzierbar ist. Urn die Lasung einer gewahnlichen Differentialgleichung u' - feu) = 0 eindeutig festzulegen, braucht man eine Anfangswertvorgabe u(xo) = uo. Die partielle Differentialgleichung (2) kann man vervollstandigen durch die Anfangswertvorgabe u(x, Yo) = uo(x) flir x E R ( 1.1.4) auf der Geraden y = Yo, Yo fest. Der Vergleich der Gleichungen (3) und (4) zeigt.p(x + cyo) = uo(x). Damit ist.p festgelegt:.p(x) = uo(x - cyo). Die eindeutige Lasung des Anfangswertproblems (2) und (4) lautet u(x, y) = uo(x - c(yo - y)). ( 1.1.5) Die folgenden drei Beispiele sind Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Beispiel (Po ten t i a I g lei c hun god e r Lap I ace - G Ie i c hun g) Sei n eine offene Teilmenge des R2. Gesucht ist eine Lasung von u xx + Uyy = 0 in n. (1.1.6) Identifiziert man (x, y) E R2 mit der komplexen Zahl z = x + iy E C, so labt sich die Menge der Lasungen so fort angeben: Die Real- und Imaginarteile jeder in n holomorphen Funktion fez) sind Lasungen der Gl. (6). Beispiele sind Re zo = 1, Re z2 = = x2 - y2 und Re log (z - zo) =Iog v(x - xo)2 + (y - Yo?, falls zo Ej: n. Zureindeutigen Festlegung der Lasung braucht man Randwerte u(x, y) =.p(x, y) ftir alle (x, y) auf den Rand r = an von n. Beispiel1.1.4 (Well eng lei c hun g) Aile Lasungen von u xx - Uyy = 0 (1.1.7) sind gegeben durch u(x, y) =.p(x + y) + 1/I(x - y), ( 1.1.8) wobei.p und 1/1 bejiebige zweifach stetig differenzierbare Funktionen sind. Geeignete Anfangswertvorgaben sind zum Beispiel u(x, 0) = uo(x), uy(x, 0) = ul (x) (x E R) (1.1.9) wobei Uo und UI gegebene Funktionen sind. Setzt man (8) in (9) ein, findet man Uo =.p + 1/1, UI =.p' - 1/1' (.p', Ableitung von.p) und folgert.p' = (UI + u~)/2, 1/1' = (u~ - ud/2. Hieraus lassen sich.p und 1/1 bis auf Integrationskonstanten bestimmen. Eine Konstante kann bejiebig festgesetzt werden (z. B. durch.p(0) = 0), die zweite ist durch u(o, 0) = = uo(o) =.p(0) + 1/1(0) gegeben. tibungsaufgabe Man beweise, dabjede Lasung der Wellengleichung (7) die Darstellung (8) besitzt. Hinweis: Man verwende ~ = x + y und T/ = x - y als neue Variable.

14 1.1 Beispiele 13 Beispiel (War mel e i tun g s g lei e hun g) Gesueht ist die Uisung von u xx - uy = 0 (1.1.10) (physikalisehe Interpretation: u = Temperatur, y = Zeit). Der Separationsansatz u(x, y) = v(x)w(y) liefert fur jedes e E R u(x, y) = sin (ex). exp (-e 2 y). Eine weitere Losung von (10) fur y > 0 ist (1.1.11a) 1 ~ u(x, y) = r;c:-: J uom exp (-(x - ~)2/(4y»d~, V 47TY -~ (1.1.11b) wobei uo(-) eine bejiebige stetige und besehrankte Funktion ist. Die zu Gl. (10) pas sende Anfangsbedingung enthalt anders als (9) nur eine Vorgabe: u(x, 0) = uo(x). (1.1.12) Die Losung (11 b), die zunaehst nur fur y > 0 definiert ist, labt sich stetig in y = 0 fort setzen und erftillt dort die Anfangswertvorgabe (12). Obungsaufgabe Uo sei beschrankt in R und stetig in x. Man beweise, dab die reehte Seite der Gl. (II b) fur y... 0 gegen uo(x) strebt. Hinweis: Man zeige zunachst, ~ dab u(x, y) = uo(x) + J [uom - uo(x)] exp (-(x - ~)2/(4y)d~/V41TY und zerlege das Integral in Integrale tiber [x -0, x + 0] und (-00, x-o) U (x + 0,00). Wie bei gewohnjichen Differentialgleiehungen lassen sich Gleiehungen hoherer Ordnung in Systeme von Gleichungen erster Ordnung umsehreiben. 1m folgenden geben wir einige Beispiele an. Beispiel Das Paar (u, v) sei Losung des Systems U x + Vy = 0, Vx + u y = O. (1.1.13) Falls u und v zweifaeh differenzierbar sind, liefert die Differentiation von (13) die Glei ehungen Uxx + vxy = 0, v xy + Uyy = 0, die zusammen u xx - Uyy = 0 ergeben. Damit ist u eine Losung der Wellengleichung (7). Gleiehes labt sich fur v zeigen. Beispiel (C a u e h y - R i e man n - D iff ere n t i a I g lei e hun g en) Erftillen u und v das System Ux + Vy = 0, (1.1.14) so ergibt die gleiehe OberJegung wie in Beispiel 8, da sowohl u als aueh v der Potentialgleiehung (6) geniigen. Beispiel Erftillen u und v das System U x + Vy = 0, Vx + u = 0, (1.1.15) so lost v die Warmeleitungsgleichung (10).

15 14 1 Partielle Differentialgleichungen und ihre Einteilung in Typen Ein in der Strbmungsmechanik interessantes System zweiter Ordnung findet sich in Beispiel (S to k e s - G lei c hun g en) In dem System uxx + uyy - Wx = 0, vxx + vyy - Wy = 0, =0 ( a) (1.1.16b) (l.l.l6c) bedeuten u und v die Strbmungsgeschwindigkeiten in x- und y-richtung, wahrend w den Druck bezeichnet. 1.2 Typeneinteilung bei Gleichungen zweiter Ordnung Die allgemeine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Variablen lautet a(x, y)uxx + 2b(x, Y)UXy + c(x, y)uyy + d(x, y)u x + e(x, y)u y + f(x, y)u + g(x, y) = O. ( 1.2.1) Defmition (a) Gl. (1) heibt ell i p tis chin (x, y), falls a(x, y)c(x, y) - b 2 (x, y) > o. (b) Gl. (l)heibt hyperbolisch in (x,y), falls a(x, y)c(x, y) - b 2 (x, y) < O. (c)gi.(1) heibt parabolisch in(x,y),falls (1.2.2a) (1.2.2b) ac - b 2 = 0 und Rang [ ~ ~ : 1 = 2 in (x, y). (1.2.2c) (d) Gl. (1) heibt elliptisch (hyperbolisch, parabolisch) in n C R2, falls sie in allen (x, y) En elliptisch (hyperbolisch, parabolisch) ist. Gelegentlich wird der parabolische Typ nur durch ac - b 2 = 0 definiert. Aber die Gleichung uxx(x, y) + ux(x, y) = 0 oder gar die rein algebraische Gleichung u(x, y) = 0 mochte man nicht als parabolisch bezeichnen. Beispiel Die Potentialgleichung (1.6) ist elliptisch, die Wellengleichung (1.7) ist yom hyperbolischen Typ, wiihrend die Warmeleitungsgleichung (1.10) parabolisch ist. Die Typendefinition kann leicht flir den Fall verallgemeinert werden, dab mehr als zwei unabhiingige Variable Xl,..., Xn auftreten. Die allgemeine line are Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen x = (Xl,..., Xn) lautet n n k ajj(x)ux'x' + k aj(x)ux. + a(x)u = f(x). i,j = I I J j = I I ( 1.2.3) Da flir zweifach stetig differenzierbare Funktionen Ux.x. = ux'x' gilt, darf ohne Bel J J I

16 1.2 Typeneinteilung bei Gleichungen zweiter Ordnung 15 schrankung der Allgemeinheit ai/x) = liji(x) (1.2.4a) angenommen werden. Damit definieren die Koeffizienten aij(x) eine symmetrische n x n-matrix A(x) = (aij(x))r,j = I> (l.2.4b) die demnach nur reelle Eigenwerte besitzt. Defmition (a) Gl. (3) heifh ell i p tis chin x, falls aue n Eigenwerte der Matrix A(x) das gleiche Vorzeichen (± 1) besitzen (d. h. falls A(x) positiv oder negativ definit ist). (b) Gl. (3) heibt h y per b 0 lis chin x, falls n - 1 Eigenwerte von A(x) gleiches Vorzeichen (± 1) besitzen und ein Eigenwert das entgegengesetzte Vorzeichen hat. (c) Gl. (3) heibt par abo lis chin x, falls ein Eigenwert verschwindet, die iibrigen n - 1 Eigenwerte das gleiche Vorzeichen besitzen und Rang (A(x), a(x)) = n, wobei a(x) = (al (x),..., an(x))t. (d) Gl. (3) heibt e II i P tis chin n C Rn, wenn sie in allen x E n elliptisch ist. Die Definition 3 macht deutlich, dab die drei genannten Typen keineswegs alle Fiille abdecken. Eine unklassifizierte Gleichung liegt z. B. vor, wenn A(X) zwei positive und zwei negative Eigenwerte besitzt. AnsteUe von (3) schreibt man auch wobei Lu= f, (1.2.5) n a2 n a L= L lijj--+ L lij-+a i,j = 1 axiaxj i = 1 axi (1.2.6) einen linearen Differentialoperator zweiter Ordnung darstellt. Als H a u p t t e i I von L bezeichnet man den Operator n ~ aija2/axiaxj, i,j der nur noch die hochsten Ableitungen von L enthalt. Bemerkung Die Elliptizitat bzw. Hyperbolizitat der Gl. (3) hangt nur vom Hauptteil des Differen tialoperators ab. tlbungsaufgabe (Typinvarianz gegeniiber Koordinatentransformation) Gl. (3) sei in x E n definiert. Die Transformation <t> : n C Rn -+ n' C R n habe in x eine nichtsingullire Funktionalmatrix S = a<t>/ax Eel (n). Man beweise: Gl. (3) lindert ihren Typ in x nicht, wenn sie in den neuen Koordinaten ~ = <t>(xfgeschrieben wird. Hinweis: Die Matrix A = (aij) wird nach der Transformation zu SAS. Man verwende Bemerkung 4 und den Trligheitssatz von Sylvester (vgl. Gantmacher [17, p. 273]).

17 16 I Partielle Differentia1gleichungen und ihre Einteilung in Typen 1.3 TypeneinteiIung bei Systemen erster Ordnung Die Beispiele sind SpeziaWille des allgemeinen linearen Systems erster Ordnung in zwei Variablen: ux(x, y) - A(x, y)uy(x, y) + B(x, y)u(x, y) = f(x, y). (1.3.1) Hierbei ist u = (Ul>..., um? eine Vektorfunktion, und A, B sind m x m-matrizen. Anders als in Abschnitt 1.2 kann A nichtsymmetrisch sein und komplexe Eigenwerte besitzen. Falls die Eigenwerte AI,..., Am reell sind und eine Zerlegung A = S-I DS mit D = diag {Al>..., Am} existiert, heibt Are e 11- d i ago n a lis i e r bar. Definition (a) Das System (1) heibt h y per b 0 lis chin (x, y), falls A(x, y) reell-diagonalisierbar ist. (b) System (1) heibt ell i p tis chin (x, y), falls alle Eigenwerte von A(x, y) nicht reell sind. Falls A symmetrisch ist oder m verschiedene reelle Eigenwerte besitzt, ist das System hyperbolisch, da diese Bedingungen hinreichend flir reelle Diagonalisierbarkeit sind. Insbesondere ist eine einzelne reelle Gleichung stets hyperbolisch. Die Beispiele und sind hyperbolisch gemab der vorangehenden Bemerkung. Das System (1.13) aus Beispiel hat die Form (I) mit Es ist hyperbolisch, da A reell-diagonalisierbar ist: Das eng mit der Potentia1gleichung (1.6) zusammenhangende Cauchy-Riemann-System ( 1.14) ist elliptisch, da es die Form (I) mit A=[~ -b] hat und A die Eigenwerte ±i besitzt. Das der (parabolischen) Warmeleitungsgleichung entsprechende System (1.15) labt sich als System (I) mit schreiben. Die Eigenwerte (AI = A2 = 0) sind zwar reell, aber A ist nicht diagonalisierbar. Damit ist das System (1.15) weder hyperbolisch noch elliptisch. Ein allgemeine res System als (1) ist Al Ux + A2 uy + Bu = f. (1.3.2) Falls Al regular ist, ergibt die Multiplikation mit All die Gestalt (1) mit A = -All A2. Sonst mub man das verallgemeinerte Eigenwertproblem det (MI + A2) = 0 untersu-

18 1.4 Unterschiedliche Eigenschaften der verschiedenen Typen 17 chen. Allerdings kann das System (2) mit singularen Al nicht elliptisch sern, wie aus dem folgenden hervorgeht. Erne Verallgemeinerung von (2) aufn unabhangige Variable stellt das System mit m x m-matrizen Ai = AiCx) = AI(XI,..., Xn) und B = B(x) dar. Als Spezialfall erner spateren Definition (vgl. Abschnitt 12.1) erhalten wir die Defmition Das System (3) heiet e II i P tis chin x, falls flit alle o * (~1>..., ~n) E R n gilt: (1.3.3) det (I~I AI(X)~I) *0. (1.3.4) 1.4 Unterschiedliche Eigenschaften der verschiedenen Typen Die Unterscheidung partieller Differentialgleichungen rn verschiedene Typen ware gegenstandslos, wenn nicht jeder Typ grundlegend andere Eigenschaften hatte. Bei der Diskussion der Beispiele in Abschn. 1.1 wurde schon erwiihnt, dab die Losung erndeutig bestimmt ist, falls Anfangs- bzw. Randwerte vorgeschrieben werden. In Beispiel1.1.2 wird die hyperbolische Differentialgleichung (1.2) durch die Vorgabe (1.4) von u auf der Geraden y = const erganzt (s. Abb. la). 1m Falle der hyperbolischen Wellengleichung (1.7) mue auch uy vorgeschrieben werden (vgl. (1.9)), da die Gleichung von zweiter Ordnung ist. Abb (a) Anfangswertvorgabe und (b) Anfangsrandwertvorgabe fur hyperbolische Probleme (al Es geniigt auch, die Werte u und uy auf einem endlichen Intervall [XI, X2) vorzugeben, wenn u zusatzlich auf den seitlichen Randern des Bereiches n von Abb. Ib vorgeschrieben wird. Diese sogenannten An fan g s ran d w e r t v 0 r gab e tritt z. B. bei folgendem physikalischen Problem auf. Eine schwrngende Saite wird beschrieben durch die Auslenkung u(x, t) im Punkt X E [Xl> X2) zur Zeit t. Die Funktion u erftillt die Wellengleichung (1.7), wobei die Koordinate y der Zeit t entspricht. Zum Anfangszeitpunkt t = to ist die Auslenkung u(x, 0) und die Geschwindigkeit ut(x, 0) flir Xl < X < X2 vorgegeben. Unter der Annahme, dab die Saite an den Randpunkten Xl und X2 fest erngespannt ist, erhiilt man die zusatzlichen Randdaten u(xi> t) = U(X2' t) = 0 flir alle t. Auch flir parabolische Gleichungen zweiter Ordnung lassen sich Anfangswert- und Anfangsrandwertaufgaben formulieren (vgl. Abb. 2). Allerdings darf als Anfangswert nur u(x, Yo) = uo(x) vorgeschrieben werden. Eine zusatzliche Vorgabe von uy(x, Yo) ist

19 18 1 Partielle Differentialgleichungen und ihre Einteilung in Typen Abb (a) Anfangswertvorgabe und (b) Anfangsrandwertvorgabe fiir parabolische Probleme nicht moglich, da uy(x, Yo) = uxx(x, Yo) = u~(x) bereits durch die Differentialgleichung (1.10) und Uo festgelegt ist. Die Warmeleitungsgleichung (1.10) mit der An fan g s ran d w e r tv 0 r gab e u(x, to) = uo(x) in [Xl> X2], u(xl> t) = '1'1 (t), u(x2' t) = 'l'2(t) fur t> to (1.4.1) (vgl. Abb. 2b) beschreibt die Temperatur u(x, t) eines Drahtes, dessen Enden bei X = XI und X = X2 die Temperaturen '1'1 (t) und '1'2 (t) haben. Die Anfangstemperaturverteilung zur Zeit to ist durch uo(x) gegeben. Abgesehen von der unterschiedlichen Zahl von Anfangswertvorgaben in Abb. 1 und 2 besteht der folgende Unterschied zwischen hyperbolischen und parabolischen Gleichungen: Bemerkung Der schraffierte Bereich n in den Abb. 1 und 2 entspricht t > to (bzw. y > Yo). Bei hyperbolischen Gleichungen lassen sich ebenso Anfangs(rand)wertaufgaben im Bereich t.e;; to losen, wiihrend parabolische Aufgaben in t < to i. allg. keine Losung besitzen. Andert man die parabolische Gleichung u t - Orientierung urn: Losungen existieren i. allg. nur fur t";; to. uxx = 0 in lit + Uxx = 0 ab, so kehrt sich die Fiir die LOsung einer elliptischen Gleichung werden Ran d w e r t e vorgeschrieben (vgl. Beispiel 1.1.3, Abb. 3). Eine Vorgabe wie in Abb. 2b wiirde die LOsung eines elliptischen Problems nicht eindeutig festlegen konnen, wiihrend die L6sung eines parabolischen Problems durch die Randwerte von Abb. 3a iiberbestimmt ware. u~ Abb b) Randwertvorgabe flii ein elliptisches Problem Ein elliptisches Problem mit Vorgaben wie in Abb. Ib besitzt im allgemeinen keine L6sung. Seien z. B. die Bedingungen u(x, 0) = u(0, y) = u(l, y) = 0 und uy(x, 0) = UI (x) an die Losung der Potentialgleichung (1.6) gestellt, wobei UI nicht unendlich oft differenzierbar sei. Wiirde in n = [0,1] x [0,1] eine stetige LOsung u existieren, so lie& sich u(x, 1) in eine Sinus-Reihe entwickeln und die folgende Aufgabe zeigt, dal.\ UI im Widerspruch zur Annahrne unendlich oft differenzierbar sein miil.\te. = tlbungsaufgabe 'I' E Co[O, I] habe die Fourier-Entwicklung 'I'(x) = ~ IXv sin (V1TX). Man zeige: v= I

20 1.4 U nterschiedliche Eigenschaften der verschiedenen Typen 19 a) Die Losung der Potentialgleichung (1.6) im Quadrat n = (0, 1) x (0, 1) mit Randwerten u(o, y) = u(x, 0) = u(l, y) = 0 und u(x, 1) = lp(x) ist durch 00 a u(x, y) = L. v sin (V1TX) sinh (V1TY) v=l smh (V1T) gegeben. b) Fiir 0";; x.,;; 1 und 0";; y < 1 ist u(x, y) unendlich oft differenzierbar. Hi n wei s: f(x) = ~ ~v sin (V1TX) E Coo[O, 1), falls lim ~vj< = 0 fur aile ken. v-+oo Umgekehrt ist es nicht sinnvoll, Randwertvorgaben wie in Abb. 3a an ein hyperbolisches Problem zu stellen. AIs Beispiel betrachte man die Wellengleichung (1.7) in n = [0, 1] x [0, 1/1T] mit den Randwerten u(x, 0) = u(o, y) = u(1, y) = 0 und u(x, 1/1T) = sin (V1TX) fur v E N. Die Losung lautet u(x, y) = sin (V1TX) sin (V1Ty)/sin v. Obwohl die Randdaten fur alle v E N betragsm~ig durch Eins beschriinkt sind, kann die LOsung in n beliebig gro~ werden, da sup {l/sin v : v E N} = co. Ein derartiges Randwertproblem nennt man,,nicht sachgemlili gestellt" (vgl. Definition 2.4.1). tibungsaufgabe Man beweise: Die Menge {sin v : v E N} ist dicht in [-1, 1). Ein weiteres unterscheidendes Merkmal ist die Regularitat (Glattheit) der LOsung. Sei u Losung der Potentialgleichung (1.6) in n c R2. Wie in Beispiel behauptet, ist u Realteil einer in n holomorphen Funktion. Da holomorphe Funktionen unendlich oft differenzierbar sind, gilt diese Eigenschaft auch fur u. 1m Falle der parabolischen Wiirmeleitungsgleichung (LlO) mit Anfangswerten u(x, 0) = Uo ist die LOsung u durch ( 1.11 b) dargestellt. Fiir y > 0 ist u unendlich oft differenzierbar. Die Glattheit von Uo spielt bei dieser Obedegung ebensowenig eine Rolle wie die Glattheit der Randwerte im Falle der Potentialgleichung. Ein vollkommen anderes Resultat findet man fur die hyperbolische Wellengleichung (1.7). Die Losung lautet u(x, y) = lp(x + y) + I/I(x - y), wobei sich IP und 1/1 direkt aus den Anfangsdaten (1.9) ergeben. Man prtift nach, d~ u k-fach differenzierbar ist, falls Uo k-fach und Ul (k - 1)-fach differenzierbar ist. Wie schon in diesem Abschnitt erwiihnt wurde, spielt die Variable y in den hyperbolischen und parabolischen Gleichungen (1.1), (1.2), (1.7), (1.10) hiiufig die Rolle der Zeit. Man bezeichnet deshalb die durch hyperbolische oder parabolische Gleichungen beschriebenen Prozesse als ins tat ion ii r. Elliptische Gleichungen, die als VariabIen nur Raumkoordinaten enthalten, werden s tat ion ii r genannt. Deutlicher als Definition 1.2.1b, c zeigt Definition 1.2.3b, c die Auszeichnung einer einzigen VariabIen (Zeit), die dem Eigenwert A = 0 bei der parabolischen und dem Eigenwert mit entgegengesetztem Vorzeichen bei hyperbolischen Gleichungen entspricht. Der Zusarnmenhang der verschiedenen Typen wird leichter verstiindlich, wenn man elliptische Gleichungen in den Variablen xl".., xn in Beziehung setzt zu parabolischen und hyperbolischen Gleichungen in den Variablen xl,..., Xn, t. Bemerkung L sei ein Differentialoperator (2.6) in den Variablen x = (X.,..., xn) und habe elliptischen Typ. L sei so skaliert, d~ die Matrix A(x) aus (2.4b) nur negative