Inhaltsverzeichnis. 2 Numerische Methoden Dirichlet Problem der Poisson Gleichung RAWP der Wärmeleitungsgleichung...

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Partielle Differentialgleichungen Allgemeines und Klassifikation Grundbegriffe Klassifikation der QLPDGL 2. Ordnung Nebenbedingungen Ausgewählte Lösungsverfahren zu bestimmten PDGLn D Alembert-Methode Separationsansatz Numerische Methoden Dirichlet Problem der Poisson Gleichung RAWP der Wärmeleitungsgleichung i

2 1 Partielle Differentialgleichungen In diesem Kapitel werden neben einigen allgemeinen Bemerkungen hauptsächlich die partiellen Differentialgleichungen (PDGL) 2. Ordnung mit 2 unabhängigen Veränderlichen behandelt. Der Schwerpunkt (v.a. in den Übungsaufgaben) liegt auf der expliziten Analyse der drei PDGLn Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung und Potentialgleichung. 1.1 Allgemeines und Klassifikation Grundbegriffe Definition 1 (Grundlegende Begriffe) Eine Gleichung der Form ( m F x 1, x 2,..., x n, u, u x1,..., u xn,..., x s n... x k 1 ) u = 0 (1.1) in der neben einer unbekannten Funktion u = u(x 1,..., x n ) in n Variablen auch partielle Ableitungen u xi = u x i, u xi,x j = 2 u x j x i,... auftreten, heißt partielle Differentialgleichung. Sie hat die Ordnung m, wenn m = k + + s die höchste vorkommende Ableitungsordnung bezeichnet. Sei G R n ein Gebiet. Jede Funktion u : G R, die partielle Ableitungen bis zur m-ten Ordnung besitzt und (1.1) erfüllt, heißt eine Lösung der PDGL (1.1). Im Fall von zwei Variablen x, y stellt jede Lösung z = z(x, y) über G eine Fläche dar, man nennt sie eine Lösungsfläche oder Integralfläche. Im folgenden betrachten wir der Einfachheit halber den Fall n = 2, die Verallgemeinerung der Aussagen kann jedoch oft einfach durchgeführt werden. Die einfachsten Typen werden schematisch wie folgt eingeteilt: 1. Ordnung: lineare PDGL : A(x, y)u x + B(x, y)u y + C(x, y)u = F (x, y) (1.2a) 2. Ordnung: quasilineare PDGL : A(x, y, u)u x + B(x, y, u)u y = F (x, y, u) (1.2b) lineare PDGL : A(x, y)u xx + 2B(x, y)u xy + C(x, y)u yy + +D(x, y)u x + E(x, y)u y + F (x, y)u = G(x, y) (1.3a) quasilineare PDGL : A(x, y, u, u x, u y )u xx + 2B(x, y, u, u x, u y )u xy + +C(x, y, u, u x, u y )u yy = F (x, y, u, u x, u y ) (1.3b) 1

3 1 Partielle Differentialgleichungen Allgemein ist eine PDGL genau dann quasilinear (abgekürzt QLPDGL), wenn die Terme der höchsten Ableitung nur linear auftreten. Daher ist jede lineare PDGL auch eine quasilineare PDGL. Die Bezeichnungen homogen und mit konstanten Koeffizienten werden in analoger Weise gegeben wie im Fall der gewöhnlichen DGL Klassifikation der QLPDGL 2. Ordnung Gleichungen diesen Typs lassen sich weiter klassifizieren mit Hilfe der folgenden Definition 2 Die Funktion ( A B d det B C heißt Diskriminante der PDGL (1.3b). Man bezeichnet (1.3b) dann als hyperbolisch d < 0, parabolisch d = 0, elliptisch d > 0. ) = AC B 2 (1.4) Diese Begriffe entstammen der ebenen analytischen Geometrie, in der eine quadratische Form Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F (1.5) eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse darstellt, je nachdem, ob AC B 2 < 0, = 0 oder > 0 ist. Analog dazu wird auch folgender Entartungsfall definiert. Definition 3 (Rangbedingung bei parabolischen QLPDGLn) Ist die QLPDGL linear, d.h. von der Form (1.3a), so liefert der Fall {( ) ( )} A B D Rang < 2 (1.6) B C E den Spezialfall einer gewöhnliche DGL (evtl. erst nach Koordinatentrafo). Typische Stellvertreter einer hyperbolischen, parabolischen bzw. elliptischen PDGL sind die Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung bzw. die Potentialgleichung Nebenbedingungen Um eine Schar von Lösungen einer PDGL zu einer eindeutigen Lösungsfunktion zu reduzieren, ist die Angabe von Nebenbedingungen notwendig. Der Typ einer Nebenbedingung ist abhängig vom Typ der PDGL und meist durch ihre physikalische Anwendung begründbar. Sind die unabhängigen Veränderlichen Ortskoordinaten, so macht die Angabe von Bedingungen auf dem gesamten Rand G, i.e. einem begrenzten Raumgebiet, Sinn. Man unterscheidet zwischen und Dirichlet-Randbedingungen, bei denen die Funktionswerte selbst auf G gegeben sind: u(x, y) = u 0,D (x, y) (x, y) G, (1.7) 2

4 1.2 Ausgewählte Lösungsverfahren zu bestimmten PDGLn von-neumann-randbedingungen, bei denen die Werte der Richtungsableitung in Richtung des Normaleneinheitsvektors n von G gegeben sind: n u(x, y) = n, u(x, y) = u 0,N (x, y) (x, y) G. (1.8) Obige Randbedingungen (RB) definieren ein Randwertproblem (RWP). Beschreibt eine der Koordinaten die Zeit, so genügt oft die Angabe von Anfangsbedingungen (AB) der Werte der Funktion und ihrer Zeitableitung in der Form u(x, t 0 ) = u 0 (x), u t (x, t 0 ) = u 1 (x) (x, y) G. (1.9) Man spricht dann von einem Anfangswertproblem (AWP). Eine Kombination beider Aufgabenstellungen wird als Rand-Anfangswertproblem (RAWP) bezeichnet. 1.2 Ausgewählte Lösungsverfahren zu bestimmten PDGLn Da es keine universellen Lösungsverfahren für DGLn und somit auch für PDGLn gibt, muss man i.a. jeden Typ einzeln untersuchen. Dabei stellt eine Lösungsmethode einer PDGL oft nur eine Vereinfachung des Problems dar, z.b. durch Zurückführen der PDGL auf eine oder mehrere gewöhnliche DGL(n). Im folgenden beschreiben wir die Methode von d Alembert zur Lösung der eindimensionalen Wellengleichung und den Separationsansatz, der für mehrere Typen von PDGL genutzt werden kann D Alembert-Methode Dieser Ansatz beruht auf der allgemeineren Charakteristikenmethode, auf die hier aber nicht weiter eingegangen wird. Charakteristiken, im Zusammenhang mit PDGL, werden Koordinaten genannt, die, nachdem man die ursprünglichen Koordinaten mit Hilfe dieser ausgedrückt hat, spezielle Ableitungsterme in der PDGL zum Verschwinden bringen. Geht man aus von der eindimensionalen homogenen Wellengleichung so kann man die folgenden Charakteristiken u tt c 2 u xx = 0, c R\{0}, (1.10) ξ = x + ct, η = x ct. (1.11a) (1.11b) und damit die neue Funktion U(ξ, η) u(x, t) von diesen definieren. Mit Hilfe der Kettenregel (u t = U ξ ξ t + U η η t etc.) schreibt man (1.10) dann um in eine Gleichung für U(ξ, η): U ξη = 0. (1.12) Diese läßt sich nun einfach aufintegrieren, wobei zu beachten ist, dass bei der Integration nach einer Variable die entsprechende Integrationskonstante eine beliebige Funktion der anderen Variable ist: U ξη (ξ, η) = 0 U ξ (ξ, η) = ϕ(ξ) U(ξ, η) = ϕ(ξ)dξ + ψ(η) = ϕ(ξ) + ψ(η). (1.13) 3

5 1 Partielle Differentialgleichungen Nach Rücksubstitution ergibt sich somit als Lösungsschar u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x ct) mit ϕ, ψ C 2. (1.14) Mit Hilfe von AB in der Form (1.9) gelangt man zur Lösungsformel von d Alembert: u(x, t) = 1 { u 0 (x + ct) + u 0 (x ct) + 1 x+ct } u 1 (ξ)dξ. (1.15) 2 c x ct Separationsansatz Der Separationsansatz in der Form macht Sinn, wenn u(x, y) = X(x)Y (y) (1.16) die PDGL (abgesehen von Einzelfällen) linear ist. Zusätzlich müssen die Koeffizienten in den Koordinaten x, y ebenfalls per Division durch eine Funktion p(x, y) separierbar sein. die Nebenbedingungen ebenfalls in den Koordinaten separiert sind, d.h. wenn die Ränder durch x = const, y = const gekennzeichnet werden können. Ziel ist, die PDGL in folgende schematische Form zu bringen Φ(x) + Θ(y) = 0 Φ(x) = Θ(y) = const = λ, (1.17) wobei Φ(x) alle Terme mit X(x) und dessen Ableitungen zusammenfaßt und Θ(y) analog nur Y (y) und dessen Ableitungen enthält. Die Größe λ wird Separationskonstante genannt. Man erhält damit die zwei gewöhnlichen DGLn Φ(x) = λ und Θ(y) = λ. (1.18) Die Randbedingungen erlauben meist nur eine Lösung zu bestimmten Werten λ k der Separationskonstante λ. In diesem Fall heißt die Lösung zu einem λ k eine Eigenlösung u k (x, y) = X k (x)y k (y) (1.19) zum Eigenwert λ k. Die vollständige allgemeine Lösung ist dann wie im Fall der gewöhnlichen DGL gegeben durch die Superposition der Eigenlösungen u(x, y) = a k u k (x, y), (1.20) k=1 wobei die Koeffizienten durch die restlichen Nebenbedingungen zu bestimmen sind. Erhöht man die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen, so muss für jede dieser im Separationsansatz ein zusätzlicher Faktor in Form einer Funktion nur dieser Variablen hinzugefügt werden. Dies führt jeweils auch zu einer zusätzlichen Separationskonstante. Beispiel 1 (Laplacegleichung in drei Dimensionen) Für die Gleichung u xx + u yy + u zz = 0 (1.21) führt der Separationsansatz u(x, y, z) = X(x)Y (y)z(z) nach Division durch XY Z auf 4

6 1.2 Ausgewählte Lösungsverfahren zu bestimmten PDGLn X X + Y Y = Z Z = a und a X X = Y Y = b, (1.22) was bedeutet, dass folgende gewöhnliche DGLn separat zu lösen sind: i) Z + az = 0, (1.23a) ii) Y + b Y = 0, (1.23b) iii) X (a + b)x = 0. (1.23c) 5

7 2 Numerische Methoden Da die meisten in der Natur vorkommenden PDGLn nicht analytisch lösbar sind, d.h. deren Lösungen sind nicht durch Kombinationen der elementaren Funktionen darstellbar, sind numerische Methoden unumgänglich. Diese sind unterschiedlich je nach Typ der PDGL. Ziel in jedem Fall ist, die Differentialoperatoren in Differenzenoperatoren umzuwandeln und (für lineare PDGLn direkt, für nichtlineare PDGLn erst nach linearer Approximation) ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufzustellen, deren Lösungen die genäherten Werte der gesuchten Funktion an den vorher festgelegten Punkten sind. In den folgenden Beispielen wird die Vorgehensweise zur Poisson- und zur Wärmeleitungsgleichung skizziert. 2.1 Dirichlet Problem der Poisson Gleichung Gegeben sei die Poisson Gleichung in der Form u(x, y) = f(x, y) (x, y) Ω = ]0, 1[ 2, (2.1) mit den Dirichlet-RB auf dem Rand Ω des Rechteckgebietes Ω u(x, y) = u 0 (x, y) C 0 (x, y) Ω. (2.2) Abbildung 2.1: Diskretisierung des Rechteckgebietes Ω Der erste Schritt bei allen numerischen Methoden ist eine Diskretisierung. Hier wird der einfachste Fall mit einer äquidistanten Gitterweite in beiden Raumrichtung gewählt, siehe Abb.2.1. Die Gitterpunkte h = 1 N + 1, N N (2.3) 6

8 2.1 Dirichlet Problem der Poisson Gleichung Z k = (x i, y j ) = (ih, jh), i, j Z, k N (2.4) können mit Hilfe verschiedener Nummerierungsmethoden indiziert werden. Zwei häufig verwendete Methoden sind die lexikographische - und die Schachbrett-Anordnung, siehe Abb.2.2. Abbildung 2.2: Nummerierungsmethoden beispielhaft für 16 Gitterpunkte. Nun muss der Laplace-Operator diskretisiert werden. Wir wählen die Darstellung durch den 5- Punkte-Stern, 5 u(x i, y j ) = 1 h 2 ( 4u(xi, y j ) u(x i+1, y j ) u(x i 1, y j ) u(x i, y j+1 ) u(x i, y j 1 ) ), (2.5) der diesen Namen trägt, da er die vier Nachbarpunkte um einen zentralen Punkt berücksichtigt. Durch Taylorentwicklung der Terme auf der rechten Seite von (2.5) lässt sich zeigen, dass der so definierte Operator im Limes h 0 gegen den Laplaceoperator konvergiert: u(x, y) = 5 u(x, y) + O(h 2 ). (2.6) Ersetzt man den Laplaceoperator nun mit 5 in der Poisson-Gleichung (2.1) und wählt eine Nummerierung, so erhält man ein LGS der Form ( Ah u(z k ) ) = ( f(z k k ) ) + Anteil der RB (2.7) k wobei A h die Systemmatrix genannt wird. Auf der rechten Seite wurden alle Terme u 0 (x, y) mit (x, y) Ω der Funktionswerte an den Rändern angedeutet. Bei der lexikographischen Anordnung ist die Systemmatrix A h blocktridiagonal: A h = 1 h 2 B I 0 I B I 0 I B mit B = RN N, (2.8) wobei I = 1 N N. 7

9 2 Numerische Methoden Verwendet man die Schachbrett-Anordnung, so hat die Systemmatrix folgende 2 2-Blockgestalt: A h = 1 ( 4I H h 2 H T 4I ), (2.9) mit einer Matrix H mit höchstens vier 1 -Einträgen pro Zeile. Die explizite Form dieser Matrix hängt ab von der Größe des Gebietes. 2.2 RAWP der Wärmeleitungsgleichung Im Unterschied zu dem oben beschriebenen Verfahren stellen die nachfolgend beschriebenen Methoden iterative Verfahren dar, d.h. bei Vorgabe einer AB zum Zeitpunkt t 0 werden Lösungen zu späteren Zeitpunkten aus Lösungen zu vorherigen Zeitpunkten berechnet. Gegeben ist die Wärmeleitungsgleichung innerhalb des RAWP u t = u xx mit { u(x, 0) = u 0 (x) C 0, 0 x 1, u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t t f, (2.10) mit der Kompatibilitätsbedingung u 0 (0) = u 0 (1) = 0. Zunächst wird wieder ein Gitter über den Parameterraum [0, 1] [0, t f ] gelegt: (x, t) (x l, t j ) (l x, j t) mit l = 0,..., n + 1; j = 0,..., m + 1, u(x, t) appr. u(x l, t j ) u lj und den Gitterweiten x = 1 und t = t f. Die Gesamtheit der Gitterpunkte zu einem festen n+1 m+1 Zeitpunkt wird Zeitschicht genannt. Alle Funktionswerte von u lj (außer am Rand) auf der j-ten Zeitschicht werden zu einem Vektor zusammengefasst: u j (u 1,j,..., u n,j ) T R n. (2.11) Schließlich benötigen wir noch eine diskrete Darstellung der Differentialoperatoren. Für die erste Zeitableitung verwenden wir die Euler-Vorwärtsdifferenz, u t (x, t) u l,j+1 u l,j t und für die zweite Ableitung in x die zentrale Differenz 2. Ordnung, (2.12) u xx (x, t) u l+1,j 2u l,j + u l 1,j ( x) 2. (2.13) Unter Verwendung der Vektorschreibweise (2.11) für die Differenzenoperatoren (2.12), (2.13) und der Definition des Operators A 0 für die zweite Ableitung ergibt sich die direkt diskretisierte Wärmeleitungsgleichung als u j+1 u j t = (uj ) k+1 2(u j ) k + (u j ) k 1 x 2 1 ( x) 2 (A 0u j ), (2.14) 8

10 2.2 RAWP der Wärmeleitungsgleichung oder, in eine iterative Struktur umgeschrieben: u j+1 = (1 n + t x 2 A 0)u j = u m+1 = (1 n + t x 2 A 0)u 0. (2.15) Definition 4 (Stabilität) Eine numerisches Verfahren der obigen Art wird stabil genannt, wenn im Kontinuitätslimes die Lösungen beschränkt bleiben: m = ( u m+1) l <. (2.16) In unserem Fall kann die symmetrische Matrix T (1 n + t x 2 A 0 ) durch eine orthogonale Matrix O in der folgenden Art diagonalisiert werden, T = O diag(µ k ) O T, (2.17) wobei µ k die Eigenwerte von T sind. Aus obiger Stabilitätsforderung folgt somit u m+1 = O diag(µ m+1 k ) O T u 0 = µ k 1. (2.18) Aus letzter Ungleichung kann man eine Bedingung für die Gitterweiten x, t ableiten. 9