Lösung Semesterendprüfung

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Klaudia Daniela Stein
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1 MNUM Mathematik: Numerische Methoden Herbstsemester 17 Dr Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Aufgabe 1 : Lösung Semesterendprüfung Wir schreiben zuerst die Gleichungen f(x i ; a, a 1, a y i, i 1,,, 1, als lineares Gleichungssystem für die unbekannten Parameter a, a 1, a : f(x i ; a, a 1, a a + a 1 x i + a x i x i x i + 1a + } {{ } :A R 1 3 x i x i + 1a 1 + x i x i + 1a y i, (1 i 1,,, 1 Damit erhalten wir ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem Ax b in Matrixform: 1 x 1 x x 1 +1 x x 1 +1 y 1 1 x x x +1 x a +1 x +1 a 1 y ( a 1 x 1 x x 1 +1 x 1 }{{} y x 1 +1 :x R 3 } {{ } :b R 1 Die Einträge der Matrix A berechnen wir aus den gegebenen Werten x i, und die Einträge des Vektors b sind die gegebenen Werte y i, i 1,,, 1 Jetzt gehen wir wie im Kap 411 der Vorlesung vor: 1 Wir berechnen eine reduzierte QR-Zerlegung der Matrix A Q 1 R 1, Q 1 R 1 3, R 1 R 3 3, mit dem Befehl numpylinalgqr: Q 1, R Wir berechnen y Q b (3 (4 3 Wir lösen das lineare Gleichungssystem R 1 x y durch Rückwärtseinsetzen (z B mit dem Programm aus Serie 5, Aufgabe 1b, und wir erhalten die Kleinste- Quadrate-Lösung x a 15, a 1 494, a 85 (5 Die Residuenquadratsumme ist gegeben durch Ax b 4 1

2 Aufgabe : Wir schreiben zuerst die gewöhnliche Differenzialgleichung (gdgl in Standardform hin (Auflösen nach y : y 3xy + 5 : f(x, y (6 Diese gdgl ist nichtlinear und auch nicht separierbar, so dass Sie die analytischen Methoden aus der Vorlesung MA3 hier nicht anwenden können Wir lösen daher das gegebene Anfangswertproblem numerisch Die beiden Runge-Kutta-Verfahren sind gegeben durch a b k 1 f(x i 1, y i 1 k 1 f(x i 1, y i 1 k f ( x i 1 + 1h, y i 1 + 1hk 1 k f ( x i 1 + 5h, y 8 i 1 + 5hk 8 1 k 3 f ( x i 1 + 1h, y i 1 + 1hk (7 k 4 f(x i 1 + h, y i 1 + hk 3 y i y i 1 + h ( 1 k k 3 + 1k k 6 4 y i y i 1 + h ( 1 k k 5 Wir erhalten die folgenden globalen Fehler bei Vergleich mit dem Referenzwert an der Endstelle X : N Schrittweite h a (8 b Daraus erkennen wir die Konvergenzordnung p für das zweistufige Verfahren (b Für das klassische vierstufige Runge-Kutta-Verfahren (a lesen wir (für dieses Anfangswertproblem eine Konvergenzordnung p > 4 ab Da wir nur einen (numerisch berechneten Referenzwert und keine exakte Lösung für dieses Problem haben, können wir die Konvergenzordnung nicht viel genauer bestimmen Aufgabe 3 : a Wir wollen den Satz 7 der Vorlesung verwenden und benötigen dazu die Konditionszahl der Matrix A Die durch die Euklidische Norm (-Norm induzierte Matrixnorm ist die Spektralnorm, und die Konditionszahl einer Matrix bzgl der Spektralnorm ist gemäss Satz 1 der Vorlesung gegeben durch das Verhältnis zwischen dem grössten und dem kleinsten Singulärwert Wir berechnen also Mit Satz 7 erhalten wir nun cond (A σ (9 σ 5 35 x x x cond (A b b b 763 b b b Die letzte Ungleichung ist sicher erfüllt, wenn! < 1 (1 b b b < (11 gilt Der relative Fehler (bzgl der Euklidischen Norm in b sollte also höchstens betragen

3 Aufgabe 4 : b Wir gehen wie im Kap 3 der Vorlesung vor, wobei wir die Programme aus Serie 4, Aufgabe 3, sowie aus Serie 5, Aufgabe 1, verwenden: 1 Wir berechnen die LR-Zerlegung der Matrix A ohne Spaltenpivotisierung, A LR, mit einer linken (unteren Dreiecksmatrix L R 5 5 mit Einsen auf der Hauptdiagonalen, sowie mit einer rechten (oberen Dreiecksmatrix R R 5 5 Für diese LR-Zerlegung erhalten wir die folgenden Lösungen der linearen Gleichungssysteme Ly 1 b 1 und Ly b (durch Vorwärtseinsetzen: y , y R5 (1 3 Für die Lösungen der linearen Gleichungssysteme Rx 1 y 1 und Rx y (durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir x 1 551, x R5 (13 Mit dem Befehl numpylinalgnorm berechnen wir b b 1 b , und damit den Fehlerverstärkungsfaktor x x 1 x , (14 x x 1 x 1 b b cond (A (15 b 1 a Gemäss Kap 133 der Vorlesung ist die Maschinengenauigkeit von Gleitkommazahlen, bei denen p Bits für die Darstellung der Mantisse verwendet werden, gegeben durch ε p Für p 11 erhalten wir die Maschinengenauigkeit Die Aussage ist also falsch b Für das Verfahren aus Aufgabe b erhalten wir ε > 1 4 (16 k 1 f(x i 1, y i 1 y i 1, (17 ( k f x i h, y i hk 1 y i hy i 1 ( h y i 1, (18 ( 1 y i y i 1 + h 5 k k y i hy i (1 h + 58 h y i 1 (19 ( h + 45 h + 1 h y i 1 (1 + h + 1 h y i 1 ( 3

4 Aufgabe 5 : Für die exakte Lösung des Anfangswertproblems u u, u(x i 1 y i 1, verwenden wir den Hinweis: u(x Ce x, u(x i 1 Ce x i 1! y i 1 C y i 1 e x i 1 (1 Damit erhalten wir u(x i Ce x i y i 1 e x i 1 e x i e x i x i 1 y i 1 e h y i 1 ( Gemäss Def 1 der Vorlesung ist der lokale Fehler des Verfahrens für dieses Anfangswertproblem gegeben durch die Differenz τ i,h y i u(x i (1 + h + 1 h e h y i 1, i {1,,, N} (3 Die Aussage ist also wahr c Durch eine elementare Zeilenumformung bringen wir das Tableau auf Zeilenstufenform: 4 II II + 1 (A b I 4 ( Wir erkennen rang(a 1 < rang(a b, und daher hat das lineare Gleichungssystem gemäss Satz 3 der Vorlesung keine Lösung Die Aussage ist also falsch d Der Rechenaufwand für die QR-Zerlegung einer rellen (m n-matrix mit m n beträgt O(mn gemäss Kap 41 der Vorlesung Für die gegebenen Matrizen berechnen wir das Verhältnis (5 Der Rechenaufwand für die QR-Zerlegung der grösseren Matrix beträgt daher ungefähr Sekunden, also ungefähr 119 Stunden Die Aussage ist also wahr a Wir fassen die Funktionen y 1, y, y 3 : D R, D R, in einer vektorwertigen Funktion y 1 y y 3 : y : D R 3 (6 zusammen Diese vektorwertige Funktion y erfüllt die gdgl ẏ 1 3y 1 3y + y 3 ẏ ẏ ẏ 3 (1 (3 y 1 4y + 3y 3 5y 1 y + y : f(t, y (7 4

5 b Wir schreiben f(t, y a 3y 1 3y + y 3 y 1 4y + 3y 3 5y 1 y + y } {{ }} {{ } } {{ } :A R 3 3 y R 3 :b R 3 Ay b (8 y 1 y y 3 c Die Stufengleichung für das implizite Euler-Verfahren ist gemäss Kap 55 der Vorlesung gegeben durch 4 k 1 f(t i 1 + h, y i 1 + hk 1, (9 also im Allgemeinen ein nichtlineares Gleichungssystem für k 1 Weil jedoch die Funktion f aus b linear ist in y erhalten wir in der Tat ein lineares Gleichungssystem für k 1 : k 1 A ( y i 1 + hk 1 b (I3 ha k 1 Ay i 1 b, (3 wobei I 3 R 3 3 die (3 3-Einheitsmatrix bezeichnet Dieses lineare Gleichungssystem kann in jedem Schritt des impliziten Euler- Verfahrens mit den Methoden aus dem Kap 3 der Vorlesung gelöst werden Hierbei kann man zusätzlich ausnutzen, dass die Matrix I 3 ha nicht von i abhängt, d h sie ist in jedem Schritt gleich Also muss man z B nur ein einziges Mal eine LR-Zerlegung dieser Matrix berechnen und kann dann das System (3 in jedem Schritt durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen schnell lösen d Mit den Bezeichnungen aus b gelten für y ( 1, 1, : ẏ 1 ẏ ẏ (konstante Funktionen, (31 ẏ 3 Aufgabe 6 : f(t, y Ay b (3, (33 und damit ẏ R 3 f(t, y Die konstante Funktion y ( 1, 1, ist also tatsächlich eine Lösung der gdgl ẏ f(t, y a Mit Kap 131 der Vorlesung erhalten wir (34 5

6 b Wir schreiben die Gleichung zuerst in der Form f(x, z B mit der Definition f(x : 3x sin(x x (35 Für das Newton-Verfahren (Kap 1 der Vorlesung benötigen wir die Ableitung der Funktion f: Damit erhalten wir die Iterationsvorschrift f (x 3 sin(x + 3x cos(x + x (36 x k x k 1 f(x k 1 f (x k 1 x 3x k 1 sin(x k 1 x k 1 k 1 3 sin(x k 1 + 3x k 1 cos(x k 1 +, (37 x k 1 für k N, mit einem gegebenen Startwert x R \ {} c Für das Gauss-Seidel-Verfahren erhalten wir die Verfahrensmatrix 1 a B B A (38 a 1 Mit dem Hinweis berechnen wir a C B 1 (B A a ( 1 v B 1 a 1 b a Für x R erhalten wir ( 1 3 x 1, x 6 ( 13, x 3 6 a ( 4, (39 (4 ( 51, x 4 1, (41 also offenbar eine unbeschränkte und damit divergente Vektorfolge x k Bemerkung: Das Gauss-Seidel-Verfahren für dieses lineare Gleichungssystem ist genau dann konvergent, wenn 1 < a < 1 gilt 6

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