Klausur Numerisches Rechnen ( ) (Musterlösung)

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Hetty Koch
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1 Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Numerisches Rechnen WS 01/013 Prof. Dr. M. Grepl J. Berger, P. Esser, L. Zhang Klausur Numerisches Rechnen Musterlösung Hilfsmittel: nur dokumentenechtes Schreibgerät blau oder schwarz; genau ein Taschenrechner, der auf der Liste der erlaubten Taschenrechner steht; zwei beidseitig handbeschriebene Din-A4-Blätter kein eigenes Papier benutzen und nicht mit Blei-, Rot- oder Grünstift schreiben Bearbeitungszeit: 10 Minuten Deckblätter ausfüllen und unterschreiben Aufgabenblätter kontrollieren: insgesamt sechs Aufgaben Studenten- und Lichtbildausweis zur Kontrolle bereitlegen keine vorzeitige Abgabe während der letzten 15 Minuten Zum Bestehen der Klausur sind 40 der insgesamt 80 erreichbaren Punkte erforderlich. Die Klausurergebnisse werden voraussichtlich ab Freitag, den. Februar 013, auf der Webseite zur Veranstaltung bekanntgegeben. Die Klausureinsicht findet am Montag, den 5. Februar 013, von 14:00 16:00 Uhr im Raum 149 Hauptgebäude statt. Danach sind keine Einsprüche gegen die Korrektur mehr möglich. Die Klausur kann nach einer Aufbewahrungsfrist von 5 Jahren innerhalb von 3 Wochen am Institut für Geometrie und Praktische Mathematik abgeholt werden. Matrikelnummer: Name: Taschenrechner: Vorname: Hiermit erkläre ich, dass ich keine anderen als die erlaubten Hilfsmittel benutze. Ferner nehme ich zur Kenntnis, dass bei Täuschungsversuchen, auch solchen zugunsten anderer, die Klausur als nicht bestanden bewertet wird. Datum: Unterschrift: Korrekturvermerke A1 A A3 A4 A5 A6

2 Numerik 1. Klausur RWTH Aachen WS 01/ 013 Prof. Grepl Aufgabe 1: 3 Punkte a Ist die Abbildung f: R^ -> R mit fx1, x^t x1 + 3x eine Norm? b 3 Eigenschaften von Maschinenzahlen c vollbesetze 3x3 die bei Gauß ohne Pivot versagt d Nenne zwei Verfahren zur Darstellung einer Interpolationsploynom in geschlossener Form und die Unterschiede der Verfahren e Was ist der Sinn/ Vorteil bei der Verwendung von iterativen Verfahren f symetrisch positiv definit, n x n welche Verfahren? Aufgabe : 7 Punkte Folgende Matrix ist gegen x mit Zeichne die a1 und a in ein Koordinatensystem ein und führe einen Schritt der Householderspiegelung aus. Zeichne die Spiegelungsachse ein und Beschrifte alles. Führe die Spiegelung am kostengünstigsten durch.

3 Klausur Numerisches Rechnen, Aufgabe 3 Gegeben seien die Messwerte die zu dem Bildungsgesetz gehören. t i 1 4 f i , ft =e λt α a Stellen Sie das zugehörige nichtlineare Ausgleichsproblem zur Bestimmung der unbekannten Parameter λ und α auf Messwerte schon einsetzen!. b Für das Gauß-Newton-Verfahren seien die Startwerte α 0 =3,λ 0 =0.5 gegeben. Wie lautet das lineare Ausgleichsproblem für den ersten Schritt? Setzen Sie die Mess-werte und Startwerte ein Der erste Schitt muss nicht durchgeführt werden. c Lösen Sie stattdessen das lineare Ausgleichsproblem Ax b min für A = und b = mittels Givens-Rotationen. Geben Sie den Wert des Residuums explizitan. d Betrachten Sie nun eine zu b gestörte rechte Seite b mit zugehöriger Lösung x, d.h. x ist Minimum von A x b A und b aus Teil c. Wie groß darf die relative Abweichung b b / b höchstens sein, damit der relative Fehler x x / x nicht größer als 0.05 ist? Hinweis: κ A 7. Musterlösung a Mit x =λ, a lautet das nichtlineare Ausgleichsproblem e λ1 a 0. F x = F λ, a = e λ a 0.7 e λ4 a =15 Punkte min b Eine Zeile der Jakobischen zu F lautet grad [λ,a] f = t a e λ t a λ t a e λ t a Da außerdem nach a F bekannt und somit F 0.5, 3 = ist, fehlt für den ersten Schritt F x 0 x 0 F x 0 min nur noch F x 0 : F 0.5, 3 =

4 8 Klausur Numerisches Rechnen, c A b = Spalte 1, Zeile : r = =1, c =0.8, s =0.6 A b A b 1 = Spalte 1, Zeile 3: r =, c = s =1/ =0.7071: A b A 1 b = Spalte, Zeile 3: r = =0.7660, c = , s = A b A b = Durch Rückwärtseinssetzen erhalten wir x =0.5879, T und das Residuum ist d Es gilt: x x x κ A b b mit cosθ = Ax = cosθ b b x x x b b b κ A b b cosθ b! 0.05! 0.05 cosθ κ A = = 1.77 b

5 Klausur Numerisches Rechnen, Aufgabe 4 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = und b = a Berechnen Sie die LR Zerlegung von A mit Spaltenpivotisierung, d.h. PA = LR, wobeip eine geeignete Permutationsmatrix ist. Geben sie P, L und R explizit an. b Lösen Sie das Gleichungssystem Ax = b mit Hilfe der unter a berechneten LR Zerlegung. c Betrachten Sie nun das gestörte Gleichungssystem Ãx = b, wobeiã eine Störung von A ist. Wie groß darf der relative Fehler in A höchstens sein, damit der relative Fehler in x gemessen in der. 1 -Norm nicht größer als 3% ist? Hinweis: Für die Kondition von A bzgl. der 1-Norm gilt κ 1 A Musterlösung. 8+3+=13 Punkte a Wir speichern die Permutation in einem Vektor, den wir an A anhängen / / Und somit L = 1/3 1 0 und R = b Wir benutzen P für die Permutation von b und erhalten: Vorwärtseinsetzen: / y = Rückwärtseinsetzen: c Aus der Fehlerformel erhalten wir r A r x x = κa! r A ε 1 κa r A ε 1 + ε κa = sowie P = = % 3 1 =

6 10 Klausur Numerisches Rechnen,

7 Klausur Numerisches Rechnen, Aufgabe 5 Gegeben sei die D-Fixpunktgleichung x y x y = x y π cos π x + y =: F 1 x, y =: F x, y. F x, y 4 a Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass F x, y indembereiche := [0, 1] [0, 1] einen eindeutigen Fixpunkt besitzt. Verwenden Sie die -Norm. b Führen Sie ausgehend vom Startwert x 0,y 0 :=0., 0.3 einen Fixpunktiterationsschritt durch. c Wie viele Iterationsschritte sind ausgehend vom Startwert x 0,y 0 := 0., 0.3 höchstens erforderlich, um den Fixpunkt in der -Norm bis auf einen Fehler von ε := 10 3 anzunähern? Musterlösung 5+1+3=9 Punkte a i E ist abgeschlossen. ii Selbstabbildung: Wegen x, y [0, 1] gilt 0 x y 1und0 cos π x+y 4 1 und damit 0 F 1 x, y = y x y = 3 8 = F x, y = x π cos π x + y π Insgesamt gilt also F E Ẽ := [0, 0.375] [0, 0.66] E F ist selbstabbildend auf Ẽ E. iii Kontraktivität: E ist konvex. Als Jacobi-Matrix ergibt sich x y 1 F x, y = 4 4 x y sin π x + y sin π x + y. 4 Wegen x, y E =[0, 1] gilt x y 1 sowie 1 x y 1 und sin π x+y , so dass wir durch elementweise Betragsabschätzung zulässig in der 1 -und -Norm, nicht jedoch in der -Norm erhalten: 1 1 { F x, y =max 4 + 1, { 3 =max 4} 4, 7 } = 3 =: L<1, d.h. F ist kontraktiv auf E.

8 1 Klausur Numerisches Rechnen, Somit sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. x y 0.66 Bemerkung: InẼ =[0, 0.375] [0, 0.66] gilt =0.165 sowie 1 x y = und 1 sin π x+y 1 sin π =0.1816, und man erhält max F x, y x,y Ẽ } max { , =max{0.58, } =0.58 =: L <1, d. h. durch die kluge Wahl von Ẽ statt E erhält man eine erheblich bessere Kontraktionskonstante. b 1.Schritt: x 1 := x 1 y 1 = Startwert: x 0 := cos π π 4 x0 y 0 := =, x 1 x = c Es gilt gemäß a-priori-abschätzung n ln ε1 L x 1 x 0 ln L = ln 10 3 / ln 3 4 =1.57. Es sind also höchstens n =Schritteerforderlich,umeineGenauigkeitvonε := 10 3 zu erreichen. Bemerkung: Mit L folgt n 10.44, d. h. in Wahrheit reichen sogar schon n =11Schritte.

9 Klausur Numerisches Rechnen, Aufgabe 6 Für das Integral I = 1 sollen numerisch Näherungen bestimmt werden. 1 e cos x dx a Wie viele Unterteilungen n des Intervalls[ 1, 1] werden mit der i summierten Mittelpunktregel, ii summierten Trapezregel, höchstens benötigt, um eine Genauigkeit von ε =10 3 zu erreichen? Schätzen Sie dazu die entsprechende Ableitung ab, ohne Extrema zu benutzen. b Berechnen Sie für die summierten Simpsonregel die Näherung zum obigen Integral mit n = und schätzen Sie den Fehler ab. Hinweis: Für fx =e cos x gilt max ξ R f 4 ξ =4 e Musterlösung 6+5=11 Punkte a Die Ableitungen sind fx =e cos x f x = sinxe cos x f x =sin x cos xe cos x Damit kann man die zweite Ableitung abschätzen mit f x e besser: f x sin }{{} <1.71 e i Für den Fehler der summierten Mittelpunktsregel auf [ 1, 1] gilt: f M 1 4 h M1 1 max x [ 1,1] f x 1 4 h M4 e! 10 3 h M Und somit n M =4.6.. n M =43 ii Für den Fehler der summierten Trapezpunktsregel auf [ 1, 1] gilt: f T 1 1 h T 1 1 max x [ 1,1] f x 1 1 h T 4 e! 10 3 h T Und somit n T =60... n T =61

10 14 Klausur Numerisches Rechnen, b n = und h S =1 I S = h S 6 ecos 1 +4e cos 0.5 +e cos0 +4e cos0.5 + e cos1 = e = e 3 = Für den Fehler der summierten Simpsonregel auf [ 1, 1] gilt: f S h4 S1 1 max f 4 x 1 8 e x [ 1,1] 880

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