Parameterschätzung an einem Anfangswertproblem aus der Physiologie
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- Ingeborg Hofmann
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1 Parameterschätzung an einem Anfangswertproblem aus der Physiologie Erkki Silde und Horatio Cuesdeanu 13. Juli 2010 Erkki Silde und Horatio Cuesdeanu () Parameterschätzung 13. Juli / 7
2 Gegeben sei das Zielfunktional ( J(y, u) = 1 m (y 1 (t i ) ŷ i ) unter der Nebenbedingung i=1 ) 4 β i (u i û i ) 2 i=1 (1) ẏ(t) = A(u)y(t) + g(t, u) t [0, t f ] (2) y(0) = y 0 = 0. Dabei wird für Gleichung (1) mit û = (0.8, 5, 0.8, 5) T der Bereich für physiologisch sinnvolle Werte festgelegt und ŷ 1 sind Messwerte für y 1 (t). Erkki Silde und Horatio Cuesdeanu () Parameterschätzung 13. Juli / 7
3 Für Gleichung (2) benutzen wir die folgenden Definitionen: ( u 4 A(u) = u 1 u 4 u 1 u 4 u 3 u 4 u 2 u 2 g(t, u) = 1 u 1 ( qinf (t) 0 ) (3) ). (4) Also stellt die AWA ẏ(t) = A(u)y(t) + g(t, u) eine lineare inhomogene DGL dar, die eine eindeutige Lösung besitzt. Erkki Silde und Horatio Cuesdeanu () Parameterschätzung 13. Juli / 7
4 Wir definieren: Ĵ(y(u), u) := J(y, u) und lösen das Problem mit Hilfe eines Lagrage-Ansatzes. Dazu formulieren wie die Nebenbedingung wie folgt um: (ẏ ) ( ) f(, y( ), u) 0 L 2 E(y, u) = y(0) y 0 = 0 R 2. = L(y, u, p, p 0 ) = J(y, u) + tf 0 (ẏ(t) f(t, y(t), u(t)) ) T p(t) dt + y(0)p 0 (5) Erkki Silde und Horatio Cuesdeanu () Parameterschätzung 13. Juli / 7
5 Aus 0 = D y L(y, u, p, p 0 ) h gewinnen wir wie in (2.26a) aus der Vorlesung die Differentialgleichung für die adjungierte Variable: m 1 ṗ(t) A(u) T ( ) p(t) = y1 (t i ) ŷ i δti t [0, t f ). (12) i=1 ( ) y1 (t h(0) = 0 p(t f ) = f ) ŷ m 0 (13) h(t f ) = 0 p(0) = p 0 (14) Erkki Silde und Horatio Cuesdeanu () Parameterschätzung 13. Juli / 7
6 Aus 0 = D u L(y, u, p, p 0 ) h gewinnen wir wie in (2.26b) aus der Vorlesung die Darstellung für den Gradienten des reduzierten Zielfunktionals: ( ) Ĵp(p) = β i(u i û i ) i tf 0 ( y T (t)a T u i (u) + g T u i (t, u) ) p(t) dt = 0 (17) Erkki Silde und Horatio Cuesdeanu () Parameterschätzung 13. Juli / 7
7
8 while n n max & Ĵu(u n ) > ε 1 & Ĵ(un ) Ĵ(un 1 ) > ε 2 do
9 while n n max & Ĵu(u n ) > ε 1 & Ĵ(un ) Ĵ(un 1 ) > ε 2 do 1. Berechnen y(, u n ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens (O(h 4 )) gemäß (2).
10 while n n max & Ĵu(u n ) > ε 1 & Ĵ(un ) Ĵ(un 1 ) > ε 2 do 1. Berechnen y(, u n ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens (O(h 4 )) gemäß (2). 2. Berechnen p( ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Rückwärtsverfahrens (O(h 4 )) gemäß (12).
11 while n n max & Ĵu(u n ) > ε 1 & Ĵ(un ) Ĵ(un 1 ) > ε 2 do 1. Berechnen y(, u n ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens (O(h 4 )) gemäß (2). 2. Berechnen p( ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Rückwärtsverfahrens (O(h 4 )) gemäß (12). 3. Berechnen Ĵu(u n ) mit Hilfe der Simpson-Regel (O(h 4 )) gemäß (17).
12 while n n max & Ĵu(u n ) > ε 1 & Ĵ(un ) Ĵ(un 1 ) > ε 2 do 1. Berechnen y(, u n ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens (O(h 4 )) gemäß (2). 2. Berechnen p( ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Rückwärtsverfahrens (O(h 4 )) gemäß (12). 3. Berechnen Ĵu(u n ) mit Hilfe der Simpson-Regel (O(h 4 )) gemäß (17). 4. Ermitteln die Schrittweite t n mit Hilfe der Armijo-Regel.
13 while n n max & Ĵu(u n ) > ε 1 & Ĵ(un ) Ĵ(un 1 ) > ε 2 do 1. Berechnen y(, u n ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens (O(h 4 )) gemäß (2). 2. Berechnen p( ) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Rückwärtsverfahrens (O(h 4 )) gemäß (12). 3. Berechnen Ĵu(u n ) mit Hilfe der Simpson-Regel (O(h 4 )) gemäß (17). 4. Ermitteln die Schrittweite t n mit Hilfe der Armijo-Regel. 5. Setzen u n+1 = u n + t n Ĵu(un ) Ĵu(un ). Setzen n := n + 1. end while
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