Aufgabensammlung Regelungs- und Systemtechnik 2 / Regelungstechnik für die Studiengänge MTR/BMT

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT ILMENAU Institut für Automatisierungs- und Systemtechnik Fachgebiet Simulation und Optimale Prozesse Aufgabensammlung Regelungs- und Systemtechnik 2 / Regelungstechnik für die Studiengänge MTR/BMT Stand: Oktober 2009 Mehrschleifige Regelungen. Regelkreisstrukturen am Wärmeübertrager Ziel: Erkennen regelungstechnischer Strukturen aus Geräteschemata; Ableiten von Wirkungsplänen und Diskussion der regelungstechnischen Aufgabenstellung. Gegenstand: Wärmeübertrager werden in der chemischen Verfahrenstechnik in sehr vielfältiger Art als Vorwärmer, Verdampfer, Kühler und Kondensator eingesetzt. Je nach Betriebsart (Gleich-, Gegen-, Kreuzstrom), Aggregatzustand, möglichen Aggregatzustandsänderungen eines oder beider Durchflussmedien und einer Vielzahl anderer Faktoren können die zweckmäßigen regelungstechnischen Lösungen zur Regelung einer oder mehrerer Regelgrößen sehr unterschiedlich sein. Die Wahl einer geeigneten Struktur wird außerdem wesentlich von technologischen Randbedingungen und dem Zusammenwirken des Systems Wärmeübertrager mit anderen verfahrenstechnischen Aggregaten abhängen. Aufgabenstellung: Ausgehend von der Grundstruktur einer Ausgangsregelung in Bild a) der Anlage sind die erweiterten Strukturen b) bis f) zu analysieren. Auf der Grundlage der zugehörigen Wirkungspläne sind für die Erweiterungsstrukturen die regelungstechnischen Ziel- bzw. Aufgabenstellungen zu charakterisieren. Für die Grundstruktur in Bild a) gilt (siehe Abb..2): y=ϑ Wa Regelgröße (Wassertemperatur am Ausgang) w=ϑ Wa, soll Führungsgröße (Sollwert von ϑ Wa ) u Stellgröße (Ventilhub, beeinflusst den Dampfstrom q D ) z = q We Störgröße (Wasserstrom) z 2 = ϑ We Störgröße 2 (Wassertemperatur am Eingang) z 3 = ϑ De Störgröße 3 (Dampftemperatur am Eingang) (Dampfdruck p De, Wasserdruck p We und Außentemperatur ϑ A seien konstant.)

2 .2 Störverhalten bei mehrschleifigen Regelungen Das Störverhalten a) in einem einschleifigen Standardregelkreis mit G R (s) = = K I st s, G S (s) = K S = 0, 5 +st +s, G S2 (s) = K S2 = 2 +st 2 +s5, Z m (s) = s, ist (qualitativ) zu vergleichen mit dem der mehrschleifigen Strukturen b) Störgrößenaufschaltung, c) Hilfsregelgröße (Kaskadenregelung), d) Hilfstellgröße und e) Störgrößenvorregelung!

3 3

4 2 Zustandsbeschreibung, Steuer und Beobachtbarkeit 2. Aufstellen der Zustandsbeschreibung für ein Analogmessinstrument a) Nach welchen Kriterien werden Zustände in einem System zugeordnet? b) Stellen Sie für ein Analogmessinstrument, das durch folgendes Ersatzschaltbild beschrieben werden kann, die Zustandsbeschreibung auf, wenn der Weg des Zeigers s(t) (gleichzeitig Ausgangsgröße y(t)) und die Geschwindigkeit des Zeigers ṡ(t) die Zustandsgrößen des Systems sind! Dabei bedeuten: F e (t) einwirkende Kraft, F d (t) Kraft an der Dämpfungseinrichtung, F f (t) Federkraft, s(t) Weg des Zeigers, m Masse des Zeigers, c,d Feder bzw. Dämpfungskonstante. Fe(t) m s(t) F d (t) F f (t) 2.2 Berechnung von freier und erzwungener Bewegung ausgehend von der Zustandsbeschreibung für einen Gleichstrommotor Für einen mit konstanter Erregung und konstanter Last betriebenen Gleichstrommotor gilt folgende Zustandsbeschreibung: [ ẋ ẋ 2 = [ y = [ 0 0 ckφ 2 0 R A L A θ L [ A x x 2 [ x x 2 + [ 0 kφ 0 L A θ mit x = n = ω - Drehzahl (Winkelgeschwindigkeit), x 2 =ṅ = ω - Winkelbeschleunigung, i A - Ankerstrom, u i - im Motor induzierte Spannung, Φ 0 - konstante Erregung, R A, L A - Ankerwiderstand bzw. -induktivität, θ -Drehträgheit der mit der Welle verbundenen Massen von Anker und Arbeitsmaschine, m i - inneres Moment (vom Motor erzeugt), m a - äußeres u 4

5 (durch die Arbeitsmaschine abverlangtes) Moment; konstant (m a,0 ), c,k- elektromagnetisch bzw. konstruktiv bedingte Konstanten. a) Berechnen Sie die Fundamentalmatrix (Transitions-, Übergangsmatrix) Φ(t) = e At unter Nutzung der Sylvesterformel (siehe unten) bzw. mittels Laplace-Transformation! b) Ermitteln Sie den Drehzahlverlauf b) bei einer Anfangsdrehzahl von 25 Umdrehungen pro Sekunde und verschwindender Ankerspannung sowie b2) bei Anlegen einer Ankerspannung von 200 Volt zum Zeitpunkt t =0anden stillstehenden Motor! Verwenden Sie die folgende Zahlenwerte für Systemmatrix und Steuervektor! [ [ 0 0 A =, b = Sylvesterformel: Φ(t) = mit F i = n e λit F i i= n - Systemordnung,λ i - Eigenwerte der Systemmatrix n A λ j I,i=, 2,..., n, I - Einheitsmatrix λ i λ j j= ( i) 2.3 Prüfen vollständiger Steuer- und Beobachtbarkeit Steuerbarkeitsmatrix: Q S = [ b Ab...A n b n - Systemordnung Beobachtbarkeitsmatrix: Q B = [ ca T c...(a T ) n c bzw. Q B = c T c T A. c T A n n - Systemordnung Die Systeme sind vollständig steuer- bzw. beobachtbar, wenn die Steuer- bzw. Beobachtbarkeitsmatrix ihren maximalen Rang hat, d. h. die Determinate dieser Matrizen jeweils verschieden von Null ist. Untersuchen Sie die beiden folgenden Systeme jeweils auf vollständige Steuer- und Beobachtbarkeit! 5

6 U s+ X s+2 X 2 Y s+2 X U Y s+2 X Zustandstransformation, Zustandsreglerentwurf mittels Polvorgabe Gegeben sind die Matrizen der Zustandsbeschreibung einer P-T 2 -Strecke [ [ [ 0 0 A = ω0s 2, b = 2d s ω 0S K S ω0s 2,c T = 0,d= 0 die aus der Ein-/Ausgangs-Differentialgleichung ÿ(t)+2d S ω 0S ẏ(t)+ω0s 2 y(t) = K Sω0S 2 u(t),y(0) = 0, ẏ(0) = 0 mit x (t) =y(t) und x 2 (t) =ẏ(t) =ẋ (t) gewonnen wurde. a) Prüfen Sie, ob die Voraussetzung für eine Zustandsregelung erfüllt ist! b) Transformieren Sie die Zustandsbeschreibung in Regelungsnormalform! c) Entwerfen Sie den Zustandsregler so, dass die Dämpfung der Zustandsregelung gleich der Dämpfung der Regelstrecke ist (d Z = d S =0.707) und sich die Dynamik verbessert (ω 0S =,K S =)! d) Berechnen Sie das Vorfilter! 2.5 Zustandsbeobachterentwurf mittels Polvorgabe Für das in Aufgabe 2.4 gegebene System mit folgenden Zahlenwerten (Verstärkung K S =, Kennkreisfrequenz ω 0S = und Dämpfung d S =0.707 der Regelstrecke) ist ein Zustandsbeobachter zu entwerfen! a) Berechnen Sie die Beobachtbarkeitsmatrix und prüfen Sie auf vollständige Beobachtbarkeit! b) Bemessen Sie den Beobachter so, dass er einen Doppelpol bei -4 hat! 6

7 3 Parameteroptimierung zur Identifikation 3. Quadratische Formen Untersuchen Sie, ob es sich bei den nachfolgenden Ausdrücken um quadratischen Formen handelt! a) Q(x) =x +2x 2 2 b) Q(x) =x x 2 c) Q(x) =x 2 x2 2 d) Q(x) =x 2 +3x x 2 +3x Definitheit von Matrizen Untersuchen Sie die Definitheit folgender Matrizen! [ [ [ [ A = ; A = ; A = ; A = Transzendente Gleichung [ ; A = 2 Wie kann die Lösung der transzendenten Gleichung e x = x als Optimierungsproblem formuliert werden? 3.4 Modellanpassung Stellen Sie ein Optimierungsproblem auf, bei dem Sie ein angedachtes Modell an die gegebenen Messwerte einer Funktion (z.b. statische Kennlinie) z = f(y) anpassen! Die Messwerte lauten: y = [ T [ T,z= Das angedachte Modell lautet: z = f(y) =ay 2 + b. Formulieren Sie das Optimierungskriterium entsprechend der Methode der kleinsten Fehlerquadrate! 3.5 Linearer diskontinuierlicher dynamischer Prozess Ein linearer diskontinuierlicher dynamischer Prozess lässt sich durch folgende Differenzengleichung beschreiben: y(k +) = au(k) by(k), k =0,,... K Folgende Messwertepaare liegen vor: k < u 0 y Wie können die Parameter a und b bestimmt werden? 7