6 Einschrittverfahren

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1 6 Einscrittverfaren 6.1 Herleitung von Einscrittverfaren In diesem und den folgenden Abscnitten betracten wir Verfaren zur numeriscen Approximation von Anfangswertproblemen für Systeme von Differentialgleicungen der Form (6.1) y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0. Wie setzen f und damit y als genügend glatt voraus. Nac Abscnitt 5.5 ist damit y zumindest lokal, also in einer Umgebung von x 0, eindeutig bestimmt. Für eine (kleine) Scrittweite > 0 gilt aufgrund der Definition der ersten Ableitung oder y(x+) y(x) f(x,y(x)), y(x+) y(x)+f(x,y(x)). Hieraus können wir leict ein Verfaren ableiten, das Näerungslösungen η i von y i = y(x i ), x i = x 0 +i, liefert: η 0 = y 0, (6.) η i+1 = η i +f(x i,η i ), x i+1 = x i + für i = 0,1,,... y (x 3, η3) (x, η) (x 0, η0) (x 1, η1) x 0 x 1 x x 3 x Dieses Verfaren wird nac seinem Erfinder Eulersces Polygonzugverfaren genannt. Natürlic ängen die diskreten Approximationen auc von der gewälten Scrittweite ab. Wir screiben daer auc η(x; ), wobei natürlic nur die Werte x eingesetzt werden können, die auf dem Gitter mit Mascenweite liegen. Das Eulersce Polygonzugverfaren ist ein typisces Einscrittverfaren, weil auf der recten Seite der Verfarensvorscrift nur auf η i, nict aber auf noc ältere η j mit j < i zugegriffen wird. Das allgemeine Einscrittverfaren besitzt die Form η 0 = y 0, (6.3) η i+1 = η i +Φ(x i,η i ;), x i+1 = x i + für i = 0,1,,... mit einer Verfarensfunktion Φ. Bei der Ersetzung von y durc den Differenzenquotient wie im Eulerscen Polygonzugverfaren mact man für y C einen relativ großen Feler der Größenordnung O(). Man kann diesen Feler zu verbessern sucen, indem man andere Verfarensfunktionen als Φ = f(x i,η i ) suct. Die Qualität einer Verfarensfunktion bestimmt man durc folgende Überlegung. Angenommen, wir aben für einen Punkt x = x i eine diskrete Lösung y = η i eralten. Auc 58

2 wenn dieses y nict die exakte Lösung der Differentialgleicung ist, können wir fragen, welcer Feler im näcsten Scritt des Verfarens inzukommt. Wir scauen daer, inwieweit die Lösung von y = f(x,y) mit dem Anfangswert y(x) = y die Verfarensgleicung erfüllt und nennen (6.4) τ(x,y;) = 1 (y(x+) y(x)) Φ(x,y;) den lokalen Diskretisierungsfeler. Die anscaulice Vorstellung über den Feler in einem Einscrittverfaren ist doc, dass η 1 y 1 durc den ersten lokalen Diskretisierungsfeer gegeben ist, die späteren Feler auc durc früere Feler bestimmt sind. Den letzten Aspekt berücksictigt der lokale Diskretisierungsfeler nict, daer der Name lokal. Wenn wir annemen, dass das Einscrittverfaren für 0 gegen die exakte Lösung konvergiert, so können wir in (6.4) den Grenzübergang 0 durcfüren und eralten lim Φ(x,y;) = f(x,y), 0 was man als notwendige Bedingung für eine Verfarensfunktion anseen kann. Für teoretisce Zwecke setzen wir daer Φ(x,y;0) = f(x,y). Beispiel Im Eulerscen Polygonzugverfaren gilt Φ(x, y; ) = f(x, y). Um den lokalen Diskretisierungsfeler (6.4) für diesen Fall bestimmen zu können, verwenden wir Taylorentwicklung für die Lösung von y = f(x,y), y(x+) = y(x)+y (x)+ y (x)+o( 3 ) und eralten = y(x)+f(x,y)+ (f x(x,y)+f y (x,y)f(x,y))+o( 3 ) τ(x,y;) = 1 (y(x+) y(x)) f(x,y) (6.5) = (f x(x,y)+f y (x,y)f(x,y))+o( ) = O() Allgemein sprecen wir von einem Verfaren der Ordnung p, wenn τ(x,y;) = O( p ), für alle x und alle genügend oft differenzierbaren f(x,y) erfüllt ist. In diesem Fall sagt man auc: Das Verfaren ist von der Ordnung p konsistent. Das Eulersce Polygonzugverfaren ist demnac von erster Ordnung konsistent. Damit ist allerdings nict gesagt, dass das Verfaren auc von der Ordnung p konvergent ist, dass also y( ) η( ;) = O( p ) erfüllt ist, wobei eine für Gitterfunktionen definierte Norm ist. In der Numeriscen Matematik lassen sic genügend Beispiele finden, in denen konsistente Verfaren nict konvergieren oder umgekert eine bessere Konvergenzordnung besitzen als von der Konsistenzordnung vorergesagt. Im Falle der Einscrittverfaren können solce ungewönlicen Dinge nict passieren, wie wir später seen werden. Aus der Konsistenzüberlegung im obigen Beispiel get ervor, dass die Verfarensfunktion Φ(x,y;) = f(x,y)+ ( fx (x,y)+f y (x,y)f(x,y) ) 59

3 ein Verfaren zweiter Ordnung liefert, weil in (6.5) die Terme der Größenordnung O() verscwinden. Man kann dieses Argument auf die Terme noc öerer Ordnung anwenden und so Verfaren beliebig oer Ordnung bekommen. Allerdings benötigen diese Verfaren viele Auswertungen von f und der partiellen Ableitungen von f. Einfacere Verfaren öerer Ordnung erält man durc den Ansatz Φ(x,y;) = a 1 f(x,y)+a f(x+p 1,y +p f(x,y)). Man versuct die Konstanten a 1,a,p 1,p so zu bestimmen, dass eine möglicst oe Konsistenzordnung erzielt wird. Aus eralten wir f(x+p 1,y +p f(x,y)) = f(x,y)+f x (x,y)p 1 +f y (x,y)p f(x,y)+o( ) Φ(x,y;) = (a 1 +a )f(x,y)+a ( p 1 f x (x,y)+p f y (x,y)f(x,y) ) +O( ). Um ein Verfaren zweiter Ordnung zu bekommen, müssen nac obigem Beispiel die Terme f(x,y), ( fx (x,y)+f y (x,y)f(x,y) ) durc die Verfarensfunktion erzeugt werden. Dies fürt auf das Gleicungssystem Lösungen sind das Verfaren von Heun (1900) a 1 +a = 1, a p 1 = 1, a p = 1. a 1 = 1, a = 1, p 1 = 1, p = 1, also Φ(x,y;) = 1 ( f(x,y)+f(x+,y +f(x,y)) ), und das modifizierte Euler-Verfaren von Collatz (1960) a 1 = 0, a = 1, p 1 = 1, p = 1, also Φ(x,y;) = f ( x+ 1,y + 1 f(x,y))). Beide Verfaren benötigen zwei Auswertungen von f in jedem Scritt. Eine allgemeinere Vorgeensweise gestatten die s-stufigen Runge-Kutta Verfaren, mit denen man Einscrittverfaren ser oer Ordnung erzeugen kann. Wir bescränken uns ier auf den Fall s = 4, was dem Originalverfaren von Runge und Kutta entsprict. Die Verfarensfunktion ist dann von der Form (6.6) Φ(x,y;) = 1 6 (k 1 +k +k 3 +k 4 ) mit k 1 = f(x,y), k = f(x+ 1,y + 1 k 1), k 3 = f(x+ 1,y + 1 k, k 4 = f(x+,y +k 3 ). 60

4 Durc eine einface, aber langwierige Recnung kann man zeigen, dass dieses Verfaren von vierter Ordnung ist. Hängt die recte Seite nict von y ab, so ist die Lösung von y = f(x), y(x 0 ) = y 0 das Integral y(x) = y 0 + x x 0 f(t)dt. Die Metode von Heun entsprict dann der Trapezregel und das obige Runge-Kutta-Verfaren der Simpson-Regel. 6. Konvergenz von Einscrittverfaren Sei x 0 < b. Wir betracten das Anfangswertproblem (6.7) y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0, für ein genügend glattes f : [x 0,b] Ê n Ê n mit Lösung y : [x 0,b] Ê n. Zur Approximation dieses Problems verwenden wir das Einscrittverfaren η 0 = y 0, (6.8) η i+1 = η i +Φ(x i,η i ;), x i+1 = x i + für i = 0,1,,..., mit einer Verfarensfunktion Φ(x,y;). Für ein x 0 < x b betracten wir die Scrittweiten, mit denen wir den Punkt x erreicen können, nämlic n = (x x 0 )/n. Wir sagen, dass das Einscrittverfaren konvergent ist, wenn e(x; n ) = η(x; n ) y(x) 0 für n für alle x (x 0,b] erfüllt ist. Als Vorbereitung für den entsprecenden Konvergenzsatz zeigen wir das folgende Lemma Seien ξ i Zalen, die für δ > 0 und B 0 einer Abscätzung der Form genügen. Dann gilt ξ i+1 (1+δ) ξ i +B, i = 0,1,,... ξ n e nδ ξ 0 + enδ 1 B. δ Beweis: Wir wenden sukzessiv die vorausgesetzte Rekursion an, ξ 1 (1+δ) ξ 0 +B, ξ (1+δ) ξ 0 +B(1+δ)+B,. ξ n (1+δ) n ξ 0 +B ( 1+(1+δ)+(1+δ) +...+(1+δ) n 1) = (1+δ) n ξ 0 +B (1+δ)n 1 δ e nδ ξ 0 +B enδ 1 δ wegen 0 < 1+δ e δ. Satz Das Anfangswertproblem (6.7) werde durc das Einscrittverfaren (6.8) approximiert. Die Verfarensfunktion Φ(x, y; ) sei stetig auf G = {(x,y,) : x 0 x b, y y(x) γ, 0 0 }, 0 > 0, γ > 0. 61

5 Weiter erfülle Φ auf G eine Lipscitzbedingung bezüglic y, also Φ(x,y;) Φ(x,z;) M y z für alle (x,y,),(x,z,) G. Ferner sei das Verfaren konsistent von der Ordnung p > 0, τ(x,y(x);) = 1 (y(x+) y(x)) Φ(x,y(x);) Np für alle (x,y(x),) G. Dann gibt es ein mit 0 < 0, so dass für alle x (x 0,b]. e(x; n ) p nn em(x x 0) 1 M, n = x x 0, n n Bemerkung Lässt man aus den Voraussetzungen dieses Satzes die Luft eraus, so kann man etwas vereinfact sagen: Konsistente Einscrittverfaren sind bei glatten f konvergent und die Konvergenzordnung stimmt mit der Konsistenzordnung überein. Scränkt man nämlic ein glattes f auf eine kompakte Menge ein, so ist dort f auc lipscitz bezüglic y. Zumindest die von uns als Beispiele angegebenen Einscrittverfaren waren glatte Funktionen in f. Auf G sind die Verfarensfunktionen daer Kompositionen von Lipscitzfunktionen und daer selber lipscitz in y. Dass wir die Konvergenz nur für genügend kleine beweisen können, liegt daran, dass für zu grobe Scrittweiten die diskreten Werte aus der Menge G erauslaufen können. Beweis: Für den Beweis nemen wir zunäcst an, dass die diskrete Lösung inneralb von G verläuft. Später erfüllen wir diese Voraussetzung, indem wir genügend klein wälen. Sei x i = x 0 + i, i Æ, und y i = y(x i ) die exakte Lösung Wir subtraieren die beiden Gleicungen η i+1 = η i +Φ(x i,η i ;), y i+1 = y i + y i+1 y i und eralten für den Feler e i = η i y i e i+1 = e i + ( Φ(x i,η i ;) Φ(x i,y i ;) ) + ( Φ(x i,y i ;) y i+1 y i ). Auf der recten Seite wenden wir die Lipscitzbedingung von Φ bezüglic y sowie die Konsistenzbedingung an, Damit eralten wir die Rekursion Φ(x 1,η i ;) Φ(x i,y i ;) M η i y i = M e i, Φ(x i,y i ;) y i+1 y i N p. e i+1 (1+M) e i +N p+1, e 0 = 0, und nac dem letzten Lemma e n N penm 1 M. Für x (x 0,b] und n = (x x 0 )/n ist dann n n = x x 0, wir eralten also genau die beauptete Felerabscätzung. Aus dieser Felerabscätzung und x x 0 b x 0 können wir das bestimmen: Es ist die größte Zal, so dass N pem(b x 0) 1 γ. M Für 0 < verbleiben dann alle η i in G. 6

6 Vernaclässigen wir alle irrelevanten Terme, so lässt sic der Feler im Punkt x durc N p ne M(x x 0) abscätzen. Für die skalare Differentialgleicung y = My ist der Feler auc genau in dieser Größenordnung, die Abscätzung ist daer im Wesentlicen scarf. Änlic wie bei der stetigen Abängigkeit der Lösungen von den Anfangswerten get auc ier die Lipscitzkonstante mit der Intervallänge eine uneilige Allianz ein. Man beacte, dass die Ordnungseröung, die sic aus dieser Abscätzung anbietet, wenn man den Feler verkleinern will, eventuell auc nict viel bringt, weil die Konstante N ebenfalls von p abängt. 6.3 Asymptotisce Entwicklungen des globalen Diskretisierungsfelers In diesem Abscnitt beandeln wir wieder das Verfaren (6.8) zur Approximation des Anfangswertproblems (6.7). Es wird vorausgesetzt, die Lösung y auf dem Intervall [x 0,b] existiert. Satz Sei f C N+1 ([x 0,b] Ê n ) n und Φ C ([x 0,b] Ê n [0, )) n. Das Verfaren (6.8) besitze die Konsistenzordnung p > 0 und für den Konsistenzfeler gelte (6.9) y(x+) y(x) Φ(x,y(x);) = d p+1 (x) p d N+1 (x) N+1 +O( N+ ). Dann besitzen die Aproximierenden η(x; ) eine asymptotisce Entwicklung in : Es gibt differenzierbare und -unabängige Funktionen e p (x),...,e N (x) mit e k (x 0 ) = 0 und η(x;) = y(x)+e p (x) p +e p+1 (x) p e N (x) N +E N (x;) N+1 für alle x [x 0,b] und alle = n = (x x 0 )/n, n Æ. Das Restglied ist bescränkt für jedes x und alle n = (x x 0 )/n, sup n Æ E N+1(x, n ) <. Beweis: Im ersten Scritt des Beweises verwenden wir von (6.9) lediglic Wir betracten y(x+) y(x) Φ(x,y(x);) = d p+1 (x) p+1 +O( p+ ). ˆη(x;) = η(x;) e p (x) p, wobei e p später gewält wird. ˆη erfüllt die Gleicung eines Einscrittverfarens ˆη(x+;) = ˆη(x;)+ˆΦ(x,ˆη(x;);) mit ˆΦ(x,y;) = Φ(x,y +e p (x) p ;) (e p (x+) e p (x)) p 1 wegen ˆη(x;)+ˆΦ(x,ˆη(x;);) = ˆη(x;)+e p (x) p +Φ(x,η(x;);) e p (x+) p = η(x;)+(η(x+;) η(x;)) e p (x+) p = ˆη(x+;). Aus Φ(x,y,0) = f(x,y) folgt Φ y (x,y;0) = f y (x,y) und damit wegen Φ C nac Taylor Φ y (x,y;) = f y (x,y)+o(). Mit dieser Bezieung folgt y(x+) y(x) ˆΦ(x,y(x);) = y(x+) y(x) Φ(x,y +e p (x) p ;) (e p (x+) e p (x)) p = y(x+) y(x) Φ(x,y(x);) f y (x,y(x))e p (x) p+1 +O( p+ ) (e p (x+) e p (x)) p = ( d p+1 (x) f y (x,y(x))e p (x) e p(x) ) p+1 +O( p+ ). 63

7 Also besitzt das Einscrittverfaren mit Verfarensfunktion ˆΦ die Konsistenzordnung p+1, wenn wir e p als Lösung des linearen Anfangswertproblems e p(x) = d p+1 (x) f y (x,y(x))e p (x), e p (x 0 ) = 0 definieren. Mit dieser Wal von e p eralten wir aus dem Konvergenzsatz in Abscnitt 6. ˆη(x;) y(x) = η(x;) y(x) e p (x) p = O( p+1 ). Eine Wiederolung dieses Arguments mit ˆΦ an Stelle von Φ liefert die Beauptung. Als Anwendung dieser asymptotiscen Entwicklung scätzen wir den globalen Diskretisierungsfeler ab. Dazu setzt man für ein Verfaren der Ordnung p in erster Näerung η(x;) y(x). = e p (x) p, vernaclässigt also den Term der Größenordnung O( p+1 ). Hieraus erält man (6.10) η(x; ( ) y(x) =. ) p. e p (x) Subtraktion der beiden letzten Gleicungen liefert η(x;) η(x; ( ) =. ) p( e p (x) p 1), und durc Einsetzen in (6.10) ( p. e p (x) = ) η(x;) η(x; ) p, 1 (6.11) η(x; ) y(x) =. η(x;) η(x; ) p. 1 Insbesondere erält man für das Runge-Kutta-Verfaren in (6.6) wegen p = 4, dass η(x; ) y(x) =. η(x;) η(x; ) Scrittweitensteuerung Alle Felerabscätzungen des letzten Abscnitts bleiben rictig, wenn man statt der Scrittweite im i-ten Scritt eine Scrittweite i wält, die Scrittweite also variabel lässt. Nac der Herleitung der Konsistenzbedingung ängt der Konsistenzfeler bei einem Verfaren der Ordnung p von y (p+1) ab. Es ist daer sicerlic eine gute Idee, in den Bereicen, in denen diese Ableitung groß ist, mit einer kleineren Scrittweite zu recnen. Wir leiten einen Felerscätzer er, mit dessen Hilfe die aktuelle Scrittweite bestimmt werden kann. Dazu nemen wir an, dass in einem Einscrittverfaren der Ordnung p im Punkt x 0 die Näerung exakt ist. Für eine Zal ε > 0, die in Abängigkeit der Mascinengenauigkeit nict zu klein gewält werden darf, soll eine Scrittweite bestimmt werden mit e(x 0 +;) ε. Nac Satz 6.3 gilt in erster Näerung e(x;). = e p (x) p und wegen e p (x 0 ) = 0 ebenfalls in erster Näerung (6.1) e(x;). = (x x 0 )e p(x 0 ) p. Damit gilt e(x 0 +;) ε, wenn (6.13) ε. = p+1 e p(x 0 ). 64

8 Um zu bestimmen, wälen wir zunäcst eine provisorisce Scrittweite H, die später in der praktiscen Umsetzung aus dem vorigen Zeitscritt bestimmt wird, berecnen η(x + H; H) und η(x+h;h/) sowie nac (6.11) (6.14) e(x 0 +H; H ) =. η(x 0 +H;H) η(x 0 +H; H ) p. 1 Andererseits ist nac (6.13) e(x 0 +H; H ( ) =. H ) p. e p(x 0 )H Wir können (6.14) und die letzte Gleicung nac e p(x 0 ) auflösen und eralten Gleicung (6.13) liefert daer (6.15) e p(x 0 ) =. 1 p ( H p+1 p η(x 0 +H;H) η ( x 0 +H; H ) ). 1 H (. p = p 1 Dies kann in folgender Weise umgesetzt werden: η(x 0 +H;H) η(x 0 +H;H/) ) 1/(p+1) ε Parameter: a=nictakzeptanzfaktor, v=vergröberungsfaktor 1) Seien x 0,y 0,H vorgegeben. ) Bestimme η(x 0 +H;H), η(x 0 +H,H/) sowie H/ nac (6.15). Ist H a, setze H = und gee nac ) 3) Setze und gee nac 1) x 0 = x 0 +H y 0 = η(x 0 +H; H ) H = v In Scritt ) wird die Scrittweite bestimmt. Je größer H/ ist, desto weiter ist die rictige Scrittweite von H entfernt. Dennoc sollte man nict päpstlicer als der Papst sein. Da die Scrittweitensteuerung sowieso nict wirklic funktioniert, wie gleic gezeigt wird, sollte man H möglicst akzeptieren und a 3 wälen. In Scritt 3) wird versuct, die Scrittweite für den folgenden Scritt etwas zu vergrößern. Wenn man davon ausgeen kann, dass die Scrittweite sic nur wenig ändert, sollte man v > nae bei wälen. In der Implentierung felt noc das genaue Treffen des Endwerts b und die Festlegung einer minimalen Scrittweite, um zu verindern, dass sic die Scrittweitensteuerung festfrisst. Beispiel Wir betracten das skalare Anfangswertproblem y = 00xy, y( 3) = mit exakter Lösung y(x) = 1/( x ). Es soll eine Approximation η für y(0) = 1 gefunden werden. Die Ableitungen von y sind klein am Anfangswert und wacsen dann an. Mit dem Runge- Kutta-Verfaren aus Abscnitt 6.1 eralten wir mit Scrittweitensteuerung η y(0) Zal der Scritte Kleinste Scrittweite H

9 Wir vergleicen dieses Ergebnis mit zwei Recnungen mit konstanter Scrittweite, nämlic = 1/1476, was der gleicen Scrittzal wie beim adaptiven Verfaren entsprict, sowie = , also die kleinste Scrittweite im adaptiven Verfaren: η y(0) Zal der Scritte = Es gibt natürlic noc andere Möglickeiten, einen Felerscätzer erzuleiten und eine Scrittweitensteuerung zu implementieren. Das folgende Beispiel zeigt jedoc, dass eine korrekte Lösung dieses Problems wol nict existiert. Beispiel Wir betracten y = y, y(0) = 1, mit Lösung y(x) = e x. Im Intervall [0,1] diskretisieren wir dieses Problem mit dem Eulerscen Polygonzugverfaren η i+1 = η i + i+1 η i = (1+ i+1 )η i, i = 0,...,n 1 unter der Bedingung, dass n i=1 i = 1. Dann stet auf η n eine Approximation von y(1) = e. Aus der Verfarensvorscrift eralten wir η n = n (1+ i ). i=1 Es ist bemerkenswert, dass es bei einer linearen omogenen Differentialgleicung mit konstanten Koeffizienten auf die Reienfolge der i nict ankommt. Von der Ungleicung des geometriscen und aritmetiscen Mittels wissen wir, dass in n i=1 a 1/n i 1 n n i=1 a i genau dann Gleiceit errsct, wenn die a i alle gleic sind. Daer η n = n (1+ i ) ( 1+ n) 1 n < e. i=1 Damit eralten wir die beste Approximation bei Vorgabe der Scrittzal n, wenn wir die Scrittweiten äquidistant wälen. Bei jeder Scrittweitensteuerung können wir davon ausgeen, das am Ende des Intervalls verfeinert wird, einfac desalb, weil dort die Werte größer sind. 66