Numerik I. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Prof.Dr.G.Wittum. Teil I:

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1 Numerik I Prof.Dr.G.Wittum Teil I: Gewönlice Differentialgleicungen Sommersemester 2005

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inaltsverzeicnis 1 Numerik gewönlicer Differentialgleicungen Einleitung Einscrittverfaren Konvergenz von Einscrittverfaren Stabilität Inärente Instabilität Absolute Stabilität

3 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2 1 Numerik gewönlicer Differentialgleicungen 1.1 Einleitung In einer gewönlice Differentialgleicung kommen nur Ableitungen nac einer Variablen vor. (Typiscerweise: Zeit t). Allgemein definiert man: Definition (Anfangswertproblem(AWP)) Unter einem Anfangswertproblem (AWP) verstet man die Suce nac einer Funktion u : I R R d, die folgenden Bedingungen genügt: u (t) = f(t, u(t)) t > T 0 u(t 0 ) = u 0 (1.1.1) wobei f : R R d R d. 1.2 Einscrittverfaren Definition (Einscrittverfaren(ESV)) Unter einem Einscrittverfaren verstet man ein Verfaren, das ausgeend von den Startwerten T 0, u 0 gemäß folgender Vorscrift diskrete Näerungswerte u (t + ) für die exakte kontinuierlice Lösung u(t + ) erzeugt: u (T 0 ) = u 0 u (t + ) = u (t) + φ (t, u (t), u (t + )) (1.2.1) Die Funktion φ (t, u (t), u (t + )) eißt Verfarensfunktion. Hängt die Verfarensfunktion nict von u (t + ) ab, also φ (t, u (t), u (t + ))=φ (t, u (t)) so sprict man von einem expliziten Einscrittverfaren. Andernfalls von einem impliziten Einscrittverfaren. Beispiel: Explizites Eulerverfaren Bei diesem Einscrittverfaren ist die Verfarensfunktion gegeben durc φ(t, u (t)) := f(t, u (t)). Die Idee, die bei diesem Verfaren zu Grunde liegt, ist die Diskretisierung des Differentialquotienten: Dies fürt dann zu: u (t) u (t + ) = u (t) + f(t, u (t))

4 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 Definition Sei φ (t, u (t)) eine Verfarensfunktion, u(t) sei die exakte Lösung des AWP. Die Größe τ := φ (t, u(t), u(t + )) (1.2.2) eißt lokaler Diskretisierungsfeler (oder Konsistenzfeler). Bei einem expliziten Verfaren ist φ = φ (t, u(t)) Der lokale Diskretisierungsfeler beantwortet die Frage, wie gut die exakte Lösung der DGL das Näerungsverfaren erfüllt. Sinnvoll wäre: τ (t, u) 0 (1.2.3) 0 Wegen ist dies äquivalent zu u (t) = f(t, u) 0 φ (t, u(t), u(t + )) f(t, u) 0 (1.2.4) Definition Ein ESV (1.2.1) eißt konsistent : (1.2.4) ist erfüllt t T 0, u R Beispiel Beim Eulerverfaren gilt: Das Eulerverfaren ist konsistent. φ (t, u(t), u(t + )) = f(t, u(t)) Definition (Verfaren der Ordnung p) Ein Verfaren mit Verfarensfunktion φ und lokalem Diskretisierungsfeler τ eißt von der Ordnung p, falls gilt: τ (t, u) = O( p ) (1.2.5) Eulerverfaren: Sei u C p, 0 < ϑ < 1. Taylorentwicklung von u liefert: u(t + ) = u(t) + u (t) u (t) + + p p! u(p) (t + ϑ)

5 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 4 Weiter gilt: u (t) = f(t, u) u (t) = d dt f(t, u(t)) = f t(t, u(t)) + f u (t, u(t))u (t) = f t (t, u(t)) + f u (t, u(t))f(t, u(t)). = u (t) + 2! u (t) + + p 1 u (p) (t + ϑ) p! = f(t, u) + 2 [f t(t, u(t)) + f u (t, u(t)) f(t, u)] + (1.2.6) Damit gilt also beim Eulerverfaren: τ (t, u) = φ (t, u(t)) = 2 [f t(t, u(t)) + f u (t, u(t)) f(t, u)] + Das Eulerverfaren ist von 1. Ordnung. (1.2.7) Verbesserte Verfaren: 1. Idee: Taylorentwicklung später abbrecen, etwa φ (t, u(t)) := f(t, u(t)) + 2 [f t(t, u(t)) + f u (t, u(t))f(t, u(t))] (1.2.8) Verfaren 2. Ordnung. Problem: Berecnen und Auswerten der partiellen Ableitungen von f. Anderer Ansatz: φ (t, u(t)) := a 1 f(t, u(t)) + a 2 f(t + p 1, u(t) + p 2 f(t, u(t))) (1.2.9) Bestimme die Konstanten a 1, a 2, p 1, p 2 so, dass die Taylorentwicklung von τ mit einer möglicst oen Potenz anfängt. Entwicklung von φ aus (1.2.9): φ (t, u(t)) = (a 1 + a 2 )f(t, u(t)) + a 2 (p 1 f t (t, u) + p 2 f u (t, u(t))f(t, u(t))) + O( 2 ) (1.2.10) Koeffizientenvergleic mit (1.2.6): a 1 + a 2 = 1 a 2 p 1 = 1 2 (1.2.11) a 2 p 2 = 1 2 (eine)lösung: a 1 = 1 2, a 2 = 1 2, p 1 = p 2 = 1 Mit dieser Lösung für die Konstanten eißt das zugeörige Verfaren Verfaren von Heun (1900). Die Verfarensfunktion lautet explizit: φ (t, u(t)) = 1 (f(t, u(t)) + f(t +, u + f(t, u))) (1.2.12) 2

6 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 5 Es andelt sic also um ein explizites Verfaren 2. Ordnung mit 2 Auswertungen von f in jedem Scritt. Weiteres Verfaren: Verfaren von Runge-Kutta (1895) Allgemeiner Ansatz für φ : φ (t, u(t)) = 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) mit : k 1 := f(t, u(t)), k 2 := f(t + 2, u + 2 k 1), k 3 := f(t + 2, u + 2 k 2) k 4 := f(t +, u + k 3 ) (1.2.13) Es andelt sic ier um ein explizites Verfaren 4.Ordnung mit 4 Auswertungen von f pro Scritt. Bemerkung: Falls f(t, u) = f(t) AWP: u (t) = f(t), u(t 0 ) = u 0 Lösung: u(t) = u 0 + t T 0 f(x)dx Die ESV entsprecen dann den Quadraturformeln für das Integral: expl. Euler: bescr. Riemann-Summe Heun: Trapezregel Runge-Kutta: Simpson-Regel 1.3 Konvergenz von Einscrittverfaren Definition Sei u die durc ein ESV bestimmte diskrete Lösung des AWP, u sei die exakte Lösung. Dann eißt e (t i ) := u (t i ) u(t i ) (1.3.1) t i = T 0 + i globaler Diskretisierungsfeler. Das Einscrittverfaren eißt konvergent, falls lim e (t) = 0 t [T 0 ; T ] (1.3.2) 0

7 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 6 Bemerkung: Die Konvergenz für 0 für festes t [T 0 ; T ] definiert man am besten für { } t T0 H t := n = 1, 2,.. n Konvergenzuntersucung: bekannt: Für ein Verfaren der Ordnung p gilt: (1.3.3) für 0, 0 > 0. τ (t, u(t)) = φ (t, u(t)) = O( p ) C p (1.3.4) e (t + ) = u (t + ) u(t + ) = u (t) + φ (t, u (t), u (t + )) u(t + ) = e (t) + φ (t, u (t), u (t + )) = e (t) + [φ (t, u (t), u (t + )) φ (t, u(t), u(t + ))] [ ] + φ (t, u(t), u(t + )) }{{} = τ Weitere nötige Abscätzung: (1.3.5) φ (t, u (t), u (t + )) φ (t, u(t), u (t + )) L 1 u (t) u(t) }{{} e (t) φ (t, u (t), u (t + )) φ (t, u (t), u(t + )) L 2 e (t + ) (1.3.6) L 1, L 2 : Lipscitzkonstante des Problems. Betracte nun nur explizite Verfaren, d.. φ (t, u(t), u(t + )) = φ (t, u(t)) (1.3.5),(1.3.6) e (t + ) e (t) + L e (t) + C p+1 (1.3.7) = (1 + L) e (t) + C p+1 Außerdem folgt damit: (wegen u (T 0 ) = u 0 ). e (t 1 ) = e (T 0 + ) C p+1

8 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 7 Lemma Wenn für eine Folge (ξ i ) gilt: ξ i+1 (1 + δ) ξ i + b mit δ > 0, b 0 (1.3.8), dann gilt: Beweis: ξ i e iδ ξ 0 + eiδ 1 δ (1.3.9) ξ 1 (1 + δ) ξ 0 + b ξ 2 (1 + δ) 2 ξ 0 + b(1 + δ) + b. ξ i (1 + δ) i ξ 0 + b (1 + (1 + δ) + (1 + δ) (1 + δ) i 1 ) }{{} ξ i (1 + δ) i ξ 0 + b (1+δ)i 1 δ = i 1 j=0 (1 + δ)j = 1 (1+δ)i 1 (1+δ) = (1+δ)i 1 δ Wegen 1 < (1 + δ) < e δ für δ > 1 folgt für δ > 0: (1 + δ) i e iδ und damit: ξ i e iδ ξ 0 + b eiδ 1 δ Mit diesem Lemma folgt für e (t):(setze ξ k := e (T 0 + k) und beacte die oben bewiesene Abscätzung) für t = T 0 + k Insgesamt ist damit folgender Satz bewiesen: e (t) C p+1 ekl 1 L = C p ekl 1 L (1.3.10) Satz Gegeben sei AWP: u (t) = f(t, u(t)) t (T 0 ; T ) u(t 0 ) = u 0 (1.3.11) ein explizites ESV: u (t + ) = u (t) + φ (t, u(t)) φ = φ (t, u(t)) sei stetig in t, u, und es gelte: φ (t, v 1 ) φ (t, v 2 ) L v 1 v 2 t,, v i,... und τ (t, u) C p (1.3.12)

9 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 8 Dann gilt für den globalen Diskretisierungsfeler: e (t) p C e(t T 0)L 1 L (1.3.13) Bem.: Die kontinuierlice Formulierung dieses Satzes ist das sogenannte Lemma von Gronwall. 1.4 Stabilität Inärente Instabilität Beispiel Das AWP: at die Lösung: u (t) = λ(u(t) F (t)) + F (t) u(t 0 ) = u 0 (1.4.1) u(t) = (u 0 F (T 0 ))e λ(t T 0) + F (t) (1.4.2) Falls u 0 = F (T 0 ) u(t) = F (t), d.. kein exponentieller Anteil. aber für u 0 = F (T 0 ) + ɛ (ɛ > 0) gilt: u ɛ (t) = ɛe λ(t T 0) + F (t) Substantiell anderes Veralten: Feler wäcst exponentiell. u ɛ (t) u(t) = ɛe λ(t T 0) (1.4.3) Beispiel AWP: ) u (t) = 10 (u(t) t2 2t t 2 (1 + t 2 ) 2 u(0) = u 0 = 0 (1.4.4) Lsg.: Abilfe: öere Ordnung u(t) = t2 1 + t 2

10 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Absolute Stabilität Die inärente Instabilität ist eine Eigenscaft des AWP(der DGL). Es gibt aber den Fall, dass das AWP gutartig ist, aber die numerisce Lösung sic instabil verält. Betracte das AWP Explizites Eulerverfaren: u (t) = λu(t), u(0) = 1 λ R oder C (1.4.5) u (t + ) = u (t) + f(t, u(t)) = u (t) + λu (t) = (1 + λ)u(t) (1.4.6) u (T 0 + k) = (1 + λ) k u 0 (1.4.7) Keine Probleme bei λ > 0, aber bei λ < 0(exponentiell abklingende Lösung): Konvergenz für k nur, falls 1 + λ < 1 < 2 λ (1.4.8) Definition Die AWA (1.4.5) eißt auc Testanfangswertaufgabe (TAWA). Für ein ESV, das für die TAWA (1.4.5) auf die Form fürt, eißt die Menge Gebiet der absoluten Stabilität des ESV. u (t + ) = F (λ)u (t) (1.4.9) B := {µ C F (µ) < 1} (1.4.10) Die Scrittweite eines ESV ist so zu wälen, dass für Re(λ) < 0 stets λ B gilt. Da λ von außen vorgegeben ist, ist damit die Scrittweite bescränkt. Abilfe: Implizite Verfaren. Implizites Eulerverfaren: Betracte die TAWA: u (t + ) = u (t) + f(t, u (t + )) (1.4.11)

11 1 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 10 Für λ < 0 immer konvergent. u (t + ) = u (t) + λu (t + ) u (t + )(1 λ) = u(t) u (t + ) = 1 (1 λ) u (t) u (t + k) = = ( ) k 1 u 0 1 λ ( ) (1.4.12) k 1 1 λ Bei der allgemeinen AWA ist folgende Gleicung nac u (t + ) aufzulösen: u (t + ) = u (t) + f(t, u (t + )) Im allgemeinen ist dies eine nictlineare Gleicung, obige Gleicung ist äquivalent zu: u (t + ) u (t) f(t, u (t + )) }{{} = 0 g(x = u (t + )) = 0 (1.4.13) Newton-Verfaren zum Lösen von g(x) = 0: x neu = x alt g(x alt) g (x alt ) (1.4.14) Problem: Startwert Idee: Startwert ermitteln mit explizitem Verfaren, z.b: explizitem Eulerverfaren.(Prädikator- Korrektor-Verfaren, Prädikatorscritt: Best. des Startwertes z.b. mit explizitem Euler- Verfaren, Korrektorscritt: Newtonverfaren wie oben). Bem.: Bei einem allgemeinen ESV at die Funktion g die Gestalt: g(x) = x u (t) φ (t, u (t), x)