Institut für Analysis SS 2014 Prof. Dr. Roland Schnaubelt Dipl.-Math. Leonid Chaichenets. Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

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1 Institut für Analysis SS 4 Prof. Dr. Roland Scnaubelt Dipl.-Mat. Leonid Caicenets Höere Matematik II für die Facrictung Pysik Lösungsvorscläge zum 3. Übungsblatt Aufgabe 68: Wir arbeiten den Folgenden Plan ab: Es ist sin( Im ei : f( für alle R. Die einzige isolierte Singularität von f : C \ {} C definiert durc f(z eiz z für alle z C \ {} ist z :. Aus HM ist bekannt, dass das uneigentlice Integral sin( d konvergiert und folglic gilt für seinen Wert (Grenzen dürfen symmetrisc gewält werden sin( d R R R sin( d. Sei R >. Wegen der Linearität des Integrals gilt R R sin( d sin( R d + sin( R d + sin( d. Es ist sin( > für alle <. Nac dem Satz über die Monotone Konvergenz (vgl. Abscnitt 9.4 der Vorlesung gilt sin( d ρ ( ρ sin( d + ρ Seien nun für den Augenblick R > > ρ fest gewält. Dann gilt ρ R sin( R d + ρ sin( d. sin( e d Im (γ iz z γ dz + e iz z dz mit γ : [ R, ρ] C definiert durc γ (t t, sowie γ : [ρ, R] C definiert durc γ (t t. Wir scließen nun den Weg im Kompleen durc γ ρ : [, ] C γ ρ (t ρe i( t, γ 3 : [, S] C γ 3 (t R + it, γ 4 : [ R, R] C γ 4 (t is + t, ab, mit einem biser freien Parameter S > ρ. γ 5 : [, S] C γ 5 (t R + i(s t

2 Der Weg γ + γ ρ + γ + γ 3 + γ 4 + γ 5 ist einfac, gesclossen und scließt keine isolierten Singularitäten von f ein. Folglic gilt ( f(zdz + f(zdz f(zdz + f(zdz + f(zdz + f(zdz. γ γ γ ρ γ 3 γ 4 γ 5 Wir scätzen die Integrale über γ j mit j {3, 4, 5} mit der Standardabscätzung f(zdz L(γ ma { f(z : z γ([a, b]} γ aus Abscnitt.5 des Skriptes ab zu f(zdz e i(r+it S ma γ 3 t [,S] R + it S ma e t t [,S] R S R, f(zdz e i(is t R ma γ 4 t [ R,R] is t Re S S, f(zdz e i(r+i(s t S ma γ 5 t [,S] R + i(s t S ma e t S t [,S] R S R ab. Mit der Wal S R folgt demnac f(zdz, γ 3 f(zdz, γ 4 f(zdz R. γ 5 Es bleibt das Integral γ ρ f(zdz im Limes ρ zu bestimmen. Es gilt f(zdz i e iρeit dt i e ρ sin(t+iρ cos(t dt. γ ρ Der Betrag des Integranden e ρ sin(t+iρ cos(t e ρ sin(t ist über [, ] bescränkt. Nac dem Satz über die dominierte Konvergenz (vgl. Abscnitt 9.4 der Vorlesung gilt desalb ρ e ρ sin(t+iρ cos(t dt ρ e ρ sin(t+iρ cos(t dt. Damit gilt zusammenfassend ( sin( R ( sin( d R R d Im f(zdz + f(zdz R ρ γ γ ( Im f(zdz + f(zdz + f(zdz + f(zdz R ρ γ ρ γ 3 γ 4 γ 5 ([ ] [ ] Im f(zdz + f(zdz + f(zdz + f(zdz ρ γ ρ R γ 3 γ 4 γ 5 ( Im f(zdz. ρ γ ρ

3 Aufgabe 69: Wir arbeiten den Folgenden Plan ab: Für alle + iy z C gilt cos(z ez + e z e+iy + e iy e (cos(y + i sin(y + e (cos(y i sin(y cos(y cos( + i sin(y sin( Folglic ist cos( + iy (cos(y cos( (sin(y sin( (cos(y ((sin(y (sin( (cos(y (sin( ( ( ( y + Z. Desalb ist f : C \ i ( + Z C definiert durc f(z cos(z olomorp und i ( + Z ist genau die Menge der Isolierten Singularitäten von f. Für den Integranden gilt cos( > für alle R. Folglic gilt R d cos( R R cos( d. Sei für den Augenblick R > fest gewält. Dann gilt R R cos( d f(zdz, γ mit dem Weg γ : [ R, R] C, definiert durc γ (t t für alle t [ R, R]. Wir scließen nun den Weg im Kompleen durc ab. γ : [, ] C γ (t R + it, γ 3 : [ R, R] C γ 3 (t i t, γ 4 : [, ] C γ 4 (t R + i( t Der Weg γ + γ + γ 3 + γ 4 ist einfac, gesclossen und positiv orientiert. Er scließt genau eine isolierte Singularität z : i von f ein. Folglic gilt nac dem Residuensatz ( f(zdz + f(zdz i Res(f, z f(zdz + f(zdz. γ γ 3 γ γ 4 Wir scätzen die Integrale über γ j mit j {, 4} mit der Standardabscätzung f(zdz L(γ ma { f(z : z γ([a, b]} γ 3

4 aus Abscnitt.5 des Skriptes ab zu f(zdz ma γ t [,] e R+it + e R it e R e R f(zdz ma γ 4 t [,] e R+i( t + e ( R+i( t Wegen für alle t R, gilt cos(i + t ei+t + e i t γ 3 f(zdz R R et e t R, e R e R cos(t R. R cos(i t dt R cos(t dt f(zdz. γ Damit ergibt sic f(zdz i Res(f, z ( R f(zdz + f(zdz i Res(f, z. γ γ γ 4 Wegen cos (z sin(z für alle z C und ( sin(z sin i ei e i folgt nac Abscnitt.3 (b des Skriptes Res(f, z cos (z i i. i, Zusammenfassend ergibt sic d. cos( Aufgabe 7: (a Da f eine gerade Funktion ist, ist β k (f für alle k N. Für k ist wärend für k N gilt. α k (f α (f cos(k tf (tdt a Da für jedes t (, ] die Grenzwerte + cos( tf (tdt a a a a a dt, cos(ktdt ak [sin(kt]t t pi sin(ak ak (t t t + : f (t +, (t t t : f (t, f (t + f (t + f (t + f (t : f (t +, : f (t 4

5 eistieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t nac Abscnitt.9 der Vorlesung gegen (f (t ++(f (t. Insbesondere stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ] \ { a, a} die Funktion f dar, da f dort stetig ist. Für t { a, a} gilt (S Nf (t (f (t + + (f (t N 4a. Folglic kann die Konvergenz auc nict gleicmäßig sein, da die Grenzfunktion unstetig bei a und a ist. (b Da f eine gerade Funktion ist, ist β k (f für alle k N. Für k ist α (f cos( tf (tdt ( cos(t dt cos(tdt cos(tdt ( [sin(t] t t [sin(t]t t 4. Für α k (f mit k N berecnen wir mit dem Pöni-aus-der-Asce-Trick vorbereitend eine Stammfunktion von cos(t cos(kt dt sin(t cos(kt + k sin(t sin(ktdt }{{}}{{} Für k ist also cos (tdt sin(t cos(t + cos (tdt cos (tdt (t + sin(t cos(t, für k > fürt eine weitere partielle Integration auf sin(t cos(kt + k sin(t sin(kt dt sin(t cos(kt + k }{{}}{{} cos(t cos(ktdt Damit folgt dann für jedes k > ( cos(t sin(kt + k (sin(t cos(kt k cos(t sin(kt. k α k (f cos(t cos(ktdt cos(t cos(ktdt ( cos(t cos(ktdt cos(t cos(ktdt ( ( k ( ( ( k cos k ( + cos k für k 4m 3 4 für k 4m (k (m N. für k 4m für k 4m 4 (k cos(t cos(ktdt [sin(t cos(kt k cos(t sin(kt] [sin(t cos(kt k cos(t sin(kt] 4 (k ( k cos 5

6 Wegen 4 3 und α (f ( gilt die obige Formel für alle k N. cos (tdt cos (tdt [t + sin(t cos(t]t t Da für jedes t (, ] die Grenzwerte + [t + sin(t cos(t]t t (t t t + : f (t +, (t t t : f (t, f (t + f (t + f (t + f (t : f (t +, : f (t eistieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t nac Abscnitt.9 der Vorlesung gegen (f (t ++(f (t. Da die periodisce Fortsetzung von f, wegen f ( t + f (t, stetig ist, stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ] die Funktion f dar. Wegen α k (f 4 k <, k ist f l (Z und nac Abscnitt.8 der Vorlesung konvergiert (S N (f 4 N N gleicmäßig. (c Da f 3 eine ungerade Funktion ist, ist α k (f 3 für alle k N. Für β k (f 3 mit k N berecnen wir mit dem Pöni-aus-der-Asce-Trick vorbereitend eine Stammfunktion von sin(t sin(kt dt cos(t sin(kt k cos(t cos(kt dt }{{}}{{}}{{}}{{} cos(t sin(kt k sin(t cos(kt k sin(t sin(ktdt Damit folgt sin(t sin(ktdt β k (f 3 k (cos(t sin(kt k sin(t cos(kt. + k sin(ktf 3 (tdt sin(kt sin(tdt ( + k [cos(t sin(kt k sin(t cos(kt] sin( ( k+ k + k. Da für jedes t (, ] die Grenzwerte + 3(t t t + : f 3 (t +, 3(t t t : f 3 (t, f 3 (t + f 3 (t + f 3 (t f 3 (t : f 3(t +, : f 3(t + 6

7 eistieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t nac Abscnitt.9 der Vorlesung gegen (f 3(t ++(f 3 (t. Insbesondere stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ]\{} die Funktion f 3 dar, da f 3 dort stetig ist. Für t gilt (S sin( + sin( Nf 3 (t. N Folglic kann die Konvergenz auc nict gleicmäßig sein, da die Grenzfunktion unstetig bei ist. (d Es gilt sin (t sin (t+ sin (t sin (t+ ( cos (t (cos (t sin (t cos(t für alle t R. Da Fourier-Koeffizienten eindeutig bestimmt sind, folgt durc Koeffizientenvergleic, dass β k (f 4 für alle k N, α (f 4, α (f 4, α (f 4, sowie α k (f 4 für alle k >. Da in diesem Fall die Fourier-Reie eine endlice Summe ist, konvergiert sie überall (gleicmäßig gegen f 4. Aufgabe 7: (a Da f eine gerade Funktion ist, ist β k (f für alle k N. Für k ist α (f cos( t sin(t dt sin(tdt [ cos(t]t t 4. Für α k (f mit k N berecnen wir mit dem Pöni-aus-der-Asce-Trick vorbereitend eine Stammfunktion von sin(t cos(kt dt cos(t cos(kt k cos(t sin(ktdt. }{{}}{{} Für k ist also sin(t cos(ktdt cos (t, für k > fürt eine weitere partielle Integration auf cos(t cos(kt k cos(t sin(kt dt cos(t cos(kt k }{{}}{{} Damit folgt sin(t cos(ktdt ( sin(t sin(kt k k (cos(t cos(kt + k sin(t sin(kt. α k (f cos(ktf (tdt cos(kt sin(tdt { [ cos (t ] tpi für k, t (k [cos(t cos(kt + k sin(t sin(kt] +( k für k >. k sin(t cos(ktdt 7

8 Da für jedes t (, ] die Grenzwerte + (t t t + : f (t +, (t t t : f (t, f (t + f (t + f (t f (t : f (t +, : f (t + eistieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t nac Abscnitt.9 der Vorlesung gegen (f (t ++(f (t. Da die periodisce Fortsetzung von f, wegen f ( t + f (t, stetig ist, stellt die Fourier-reie für jedes t (, ] die Funktion f dar. Wegen α k (f 4 k <, k ist f l (Z und nac Abscnitt.8 der Vorlesung konvergiert (S N (f N N gleicmäßig. (b Da f eine gerade Funktion ist, ist β k (f für alle k N. Für k ist α (f cos( tf (tdt k cos(tdt [sin(t]t t sin(. Für α k (f mit k N berecnen wir mit dem Pöni-aus-der-Asce-Trick vorbereitend eine Stammfunktion von cos(t cos(kt dt sin(t cos(kt + k sin(t sin(kt dt }{{}}{{}}{{}}{{} sin(t cos(kt + k cos(t sin(kt k cos(t cos(ktdt Damit folgt sin(t cos(ktdt α k (f k (sin(t cos(kt + k cos(t sin(kt. + cos(ktf (tdt cos(kt cos(tdt (k + [sin(t cos(kt + k cos(t sin(kt] sin( ( k k +. Da für jedes t (, ] die Grenzwerte + (t t t + : f (t +, (t t t : f (t, f (t + f (t + f (t f (t : f (t +, : f (t + 8

9 eistieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t nac Abscnitt.9 der Vorlesung gegen (f (t ++(f (t. Da die periodisce Fortsetzung von f, wegen f ( t + f (t cos(, stetig ist, stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ] die Funktion f dar. Wegen α k (f sin( k <, k ist f l (Z und nac Abscnitt.8 der Vorlesung konvergiert (S N (f N N gleicmäßig. (c Da f 3 eine ungerade Funktion ist, ist α k (f 3 für alle k N. Für k N berecnen wir mit partieller Integration vorbereitend zwei Stammfunktionen }{{} t sin(kt dt }{{} k t cos(kt + cos(ktdt k v u k k t cos(kt + k sin(kt, }{{} t sin(kt dt }{{} k t cos(kt + k }{{} t cos(kt dt }{{} v u k t cos(kt + k t sin(kt k sin(ktdt k t cos(kt + k t sin(kt + k 3 cos(kt. Damit folgt β k (f 3 sin(ktf 3 (tdt sin(ktt( tdt t sin(ktdt t sin(ktdt [ k t cos(kt + k ] t sin(kt [ k t t cos(kt + k t sin(kt + k ] t 3 cos(kt t ( k+ k + ( k k + 4 k 3 ( ( k 8 ( k k 3 für alle k N. Da für jedes t (, ] die Grenzwerte + 3(t t t + : f 3 (t +, 3(t t t : f 3 (t, f 3 (t + f 3 (t + f 3 (t f 3 (t : f 3(t +, : f 3(t + eistieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t nac Abscnitt.9 der Vorlesung gegen (f 3(t ++(f 3 (t. Da die periodisce Fortsetzung von f 3, wegen f 3 ( t + f 3 (t, stetig ist, stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ] die Funktion f 3 dar. Wegen α k (f 8 k 3 <, k ist f 3 l (Z und nac Abscnitt.8 der Vorlesung konvergiert (S N (f 3 N N gleicmäßig. k 9

10 (d Berecne zunäcst die kompleen Fourier-Koeffizienten von f 4. Für jedes k Z ist f 4 (k e b b ik e bt e ikt dt [e (b ikt] t b ik t ( k {}}{ e ik e b ( k {}}{ e ik Für die reellen Fourier-Koeffizienten gilt nac Vorlesung ( f4 α k (f 4 Re (k + f 4 ( k, β j (f 4 für alle k N und alle j N. Folglic ist e (b ik e (b ik b ik sin(b( k b ik sin(b b + ik ( k b + k. Im ( f4 ( j f 4 (j α (f 4 sin(b b für alle k N., α k (f 4 sin(b Da für jedes t (, ] die Grenzwerte ( k b b + k, sowie β k(f 4 sin(b ( k+ k b + k + 4(t t t + : f 4 (t +, 4(t t t : f 4 (t, f 4 (t + f 4 (t + f 4 (t f 4 (t : f 4(t +, : f 4(t + eistieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t nac Abscnitt.9 der Vorlesung gegen (f 4(t ++(f 4 (t. Insbesondere stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ]\{} die Funktion f 4 dar, da f 4 dort stetig ist. Für t gilt (S Nf 4 (t eb + e b. N Folglic kann die Konvergenz auc nict gleicmäßig sein, da die Grenzfunktion unstetig bei ist. Aufgabe 7: (a Nac Aufgabe 7 (b gilt cos(t α (f + α k (f cos(kt + 4 k k ( k+ 4k cos(kt für alle t (,. Einsetzen von t und auflösen liefert den gesucten Reienwert k ( k+ 4k 4.

11 (b Nac Abscnitt.5 der Vorlesung lauten die reellen Fourier-Koeffizienten der Funktion f : (, ] C, definiert durc f(t t gerade α (f 3, α k(f 4 ( k k, β k (f für alle k N. Nac der Parsevalscen Gleicung (vgl. Abscnitt.7 der Vorlesung in der reellen Version gilt f α (f + α k (f + β k (f. k Einsetzen von f 5 5, sowie der obigen reellen Fourier-Koeffizienten liefert k 4, k wodurc sic durc Auflösen ergibt. k k Aufgabe 73: (a Nac Aufgabe 7 (a gilt sin(t α (f + α k (f cos(kt 4 k k 4k cos(kt für alle t (, ]. Einsetzen von t und auflösen liefert den gesucten Reienwert k 4k. (b Nac Abscnitt.5 der Vorlesung lauten die reellen Fourier-Koeffizienten der Funktion g : (, ] C, definiert durc g(t t gerade { für k m, α (g, α k (g 4 für k m, β k(g k für alle k N. Da g stetig bei ist, und die linksseitige, sowie die rectsseitige Ableitung von g bei eistieren, gilt nac Abscnitt.9 der Vorlesung (t α (g + α k (g 4 k m (m. Folglic ist m (m 8. ttp://