Differenzierbare Funktionen
|
|
- Fritz Böhler
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 5 Differenzierbare Funktionen In diesem Kapitel widmen wir uns dem Begriff der Differenzierbarkeit und entwickeln die Eigenscaften differenzierbarer Funktionen. Darüberinaus wollen wir auc unsere Kenntnisse spezieller Funktionen erweitern. Inaltsangabe 5. Differenzierbarkeit Ableitungen bekannter Funktionen Extrema Injektivität und Differenzierbarkeit Umkerfunktionen trigonometriscer Funktionen Die Regeln von de l Hospital Stammfunktionen Differenzierbarkeit Wir wollen Differenzierbarkeit definieren und dabei aben wir sowol reelle wie komplexe Funktionen im Auge. Definition 5.. (Differenzenquotient) Es sei D eine offene Menge in Ê oder in. Sie f : D Ê (oder f : D ) stetig und x 0 D. Für Ê oder, mit x 0 + D sei x 0 (f) = f(x 0 + ) f(x 0 ) der Differenzenquotient von f im Punkt x 0 zur Differenz. 99
2 00 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Beispiel 5..2 (Differenzenquotient in Ê) Im reellen Fall kann man sic den Begriff durc die folgende Abbildung veranscaulicen. Dieses Bild zeigt, dass wir den Differenzenquotienten nutzen können um die Steigung der Funktion im Punkt x 0 zu bescreiben, wobei Steigung die Steigung der Geraden ist, die f am besten approximiert. f(x) Abbildung 5.: Veranscaulicung des Differenzenquotienten x Definition 5..3 (Differentialquotient) Existiert der Grenzwert x0 (f) = 0 x 0 (f) so nennen wir diesen Grenzwert die Steigung oder auc die Ableitung von f an der Stelle x 0, oder auc den Differentialquotienten von f an der Stelle x 0. Wir sagen auc f ist im Punkt x 0 differenzierbar. Definition 5..4 (Differenzierbarkeit) Ist D Ê oder D offen und f : D Ê bzw. f : D stetig und in jedem Punkt x D differenzierbar, so ist f auf D differenzierbar. Definition 5..5 (Ableitung) Ist f in jedem Punkt x D differenzierbar, so at man eine Funktion f : D Ê oder f : D mit f : D Ê (oder f : D ) : x x (f). Die Funktion f eißt die Ableitung von f.
3 5.. DIFFERENZIERBARKEIT 0 Bemerkung 5..6 (Screibweise für Ableitung) Für f (x) screiben wir auc oft Df(x). Satz 5..7 (Recnen mit Ableitungen) Sind f, g : D Ê, bzw. f, g : D differenzierbar, so sind die Funktionen. f ± g 2. f g 3. : D \ { } x D g(x) = 0 Ê( ) : x f(x), g(x) differenzierbar und es gilt für x D, bzw. in (3) für x D\. (f ± g) = f ± g 2. (Produktregel) (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). 3. (Quotientenregel)) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x). g (g(x)) 2 { } x D g(x) = 0 Beweis. () Natürlic reict es die Aussage für jedes x 0 D zu beweisen. Wir wissen, dass für Folgen n 0 gilt ( f(x0 + n ) f(x 0 ) ± g(x ) 0 + n ) g(x 0 ) = n n n (2) Wir betracten f(x 0 + n ) f(x 0 ) g(x 0 + n ) g(x 0 ) = ±. n n n n f(x 0 + )g(x 0 + ) f(x 0 )g(x 0 ) = = f(x 0 + )g(x 0 + ) f(x 0 )(g(x 0 + ) + f(x 0 )g(x 0 + ) f(x 0 )g(x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) g(x 0 + ) + f(x 0 ) g(x 0 + ) g(x 0 ) Der Grenzwert der linken Seite für 0 ergibt (f g) (x 0 ), der auf der recten Seite f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ),
4 02 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN wobei die Stetigkeit von g ausgenutzt wurde. (3) Ist g(x 0 ) 0, so existiert aufgrund der Stetigkeit von g ein δ > 0, so dass für < δ gilt g(x 0 + ) 0. Dann ist f(x 0 +) f(x 0) g(x 0 +) g(x 0 ) = g(x 0)f(x 0 + ) g(x 0 + )f(x 0 ). g(x 0 + )g(x 0 ) Mit dem üblicen Trick 0 in der Form g(x 0 )f(x 0 )+g(x 0 )f(x 0 ) einzufügen erält man das gewünscte Resultat. Eine weitere wictige Regel ist die sogenannte Kettenregel, die wir nun formulieren wollen. Satz 5..8 (Kettenregel) Sei à = Ê oder à =. Es seien E, D à offene Mengen und f : D E sei im Punkt x 0 differenzierbar, g : E à sei im Punkt y 0 = f(x 0 ) differenzierbar. Dann ist g f im Punkt x 0 differenzierbar und es gilt (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ) mit y 0 = f(x 0 ). Beweis. Wir betracten den Differenzenquotienten g f(x 0 + ) g f(x 0 ) = g f(x 0 + ) g f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ). Mit k = f(x 0 + ) f(x 0 ) den Ausdruck g(f(x 0 ) + k) g(f(x 0 )) f(x 0 + ) f(x 0 ) k für den Differenzenquotienten. Wir beacten, dass mit auc k gegen Null konvergiert, daer ist g f(x 0 + ) g f(x 0 ) g(f(x 0 ) + k) g(f(x 0 )) = 0 k 0 k 0 Die recte Seite ergibt offenbar g (f(x 0 ))f (x 0 ). f(x 0 + ) f(x 0 ). Wir geben nun eine alternative Carakterisierung der Differenzierbarkeit.
5 5.. DIFFERENZIERBARKEIT 03 Satz 5..9 (Carakterisierung der Ableitung als lineare Abbildung) Sei à = Ê oder à =. Es sei D à offen und x 0 D ein Punkt. f : D à ist genau dann im Punkt x 0 differenzierbar, wenn es eine Zal c Ã, so dass die durc f(x) = f(x 0 ) + c(x x 0 ) + ϕ(x) definierte Funktion ϕ der Bedingung In diesem Fall ist c = f (x 0 ) x x 0,x =x 0 ϕ(x) x x 0 = 0. Beweis. Wir nemen an, f sei differenzierbar, und die Funktion ϕ wie oben definiert und c = f (x 0 ) Dann ist ϕ(x) x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ). Mit = x x 0 und dem Grenzwert für 0 eralten wir das Ergebnis x x 0,x =x 0 ϕ(x) x x 0 = 0. Für die Umkerung betracten wir ϕ wie definiert und nemen an, dass Dann ist also x x 0,x =x 0 ϕ(x) x x 0 = 0. ( ) f(x0 + ) f(x 0 ) ϕ(x 0 + ) c = 0 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) 0 Damit existiert der Grenzwert und ist gleic c. = c. = 0, Bemerkung 5..0 (Approximation und Ableitung) Dieser Satz besagt, dass eine Funktion genau differenzierbar ist, wenn sie durc eine affin-lineare Abbildung approximiert werden kann. Definition 5.. (Höere Ableitung) Ist f f, bzw. f (n) definiert, definiere (f (n) ) = f (n+).
6 04 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN 5.2 Ableitungen bekannter Funktionen In diesem Abscnitt wollen wir die Ableitungen bekannter Funktionen angeben. Satz 5.2. (Ableitungen) Alle ier auftretenden Funktionen seien auf à = Ê oder à = definiert. Die Ableitung der Funktion f(x) = x ist f (x) =. Allgemeiner gilt, die Ableitung von f n (x) = x n ist f n (x) = nxn. Beweis. Wir beginnen mit der einfacen Funktion f(x) = x. Für deren Differenzenquotienten an der Stelle x 0 und der Differenz ergibt sic x 0 (f) = f(x 0 + ) f(x 0 ) = =. Damit ist unabängig von x 0 à Damit ist die erste Formel gezeigt. 0 x 0 (f) =. Den zweiten Teil beweisen wir durc vollständige Induktion. Der Induktionsanfang ist durc den ersten Teil gegeben. Angenommen, die Beauptung sei gezeigt für n. Dann ist (mit der Produktregel) f n+ (x 0) = f (x 0 )f n (x 0) + f (x 0)f n (x 0 ) = x 0 nx n 0 + x n 0 = (n + )x n. Dies ist gerade die angegebene Formel für n +. Satz (Ableitung von E(x), log(x)) (a) Die Ableitung der Exponentialfunktionen E(z) auf à ist E(z). (b) Die Ableitung des reellen Logaritmus auf Ê + ist gegeben durc (log) (x) = x. Beweis. Sei z 0 und. Der Differenzenquotient nimmt die Form z 0 (E) = E(z 0 + ) E(z 0 ) = E(z 0 ) E(). Dabei aben wir die Funktionalgleicung der Exponentialfunktion benutzt.für den Differentialquotienten eralten wir daer E() z0 (E) = E(z 0 ). 0
7 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 05 Diesen Grenzwert berecnen wir wieder mit der Felerabscätzung, wobei wir nac dem ersten Term abbrecen < und eralten E() Die Felerabscätzung liefert = + + f () f () 2 2 2! und damit E() 2!. Daer ist und E() =. 0 z0 (E) = E(z 0 ). = + f (). Unter der Anname, dass die Logaritmus-Funktion differenzierbar ist, lässt sic die Ableitung leict ausrecnen: E(log(x)) = x (E(log(x))) = E (log(x)) (log(x)) = x (log(x)) = (log(x)) = x. Die Existenz der Ableitung des Logaritmus ist damit biser nict gezeigt, wir scließen sie aus einem allgemeinen Satz zur Existenz der Ableitung der Umkerfunktion. Satz (Ableitung der Umkerfunktion) Sei D Ê ein Intervall, f : D Ê eine auf D definierte, stetige und streng monotone Funktion mit Umkerfunktion f : f(d) D. Ist f im Punkt x 0 D differenzierbar und f (x 0 ) 0, dann ist f im Punkt y 0 = f(x 0 ) differenzierbar und die Ableitung (f ) at im Punkt y 0 den Wert Beweis. Zu gibt es ein mit (f ) (f(x 0 )) = f (x 0 ). y 0 + = f(x 0 + ).
8 06 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Die Stetigkeit von f impliziert, dass 0 mit 0. (Genauer, ist n eine gegen 0 konvergierende Folge, so ergibt sic eine Folge n, die ebenfalls gegen 0 konvergiert.) Damit eralten wir f (y 0 + ) f (y 0 ) = f (f(x 0 + )) f (f(x 0 )) f(x 0 + ) f(x 0 ) = = x 0 + x 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ). Betracten wir links den Grenzwert 0, so müssen wir rects den Grenzwert für 0 betracten und eralten die gewünscte Aussage. Wir berecnen nun die Ableitungen der trigonometriscen Funktionen. Für die nötigen Abscätzungen wollen wir ein Hilfsmittel zur Verfügung stellen, das sic in allen Anwendungen der Matematik großer Beliebteit erfreut und wesentlice Vereinfacungen der Notation nac sic ziet. Allerdings, und darauf sei besonders ingewiesen, werden diese Hilfsmittel auc oft ungenau angewendet, davor wird eindringlic gewarnt. Es get darum das Grenzwertveralten von Funktionen f und g für x x 0 zu vergleicen, oft wird dabei x 0 = 0, bzw. x 0 = sein. Definition (Landau Symbole) Es sei D Ê eine Teilmenge, mit entweder x 0 D, oder D entalte eine Menge der Form (a, ), f, g seien auf ganz D definierte Funktionen. Wir sagen f(x) = o(g(x)) für x, falls es zu jedem ε > 0 ein K > a gibt, so dass für alle x > K gilt f(x) < ε g(x), f(x) = o(g(x)) für x x 0, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x B δ (x 0 ) D impliziert f(x) < ε g(x).
9 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 07 Definition (Landau Symbole (Fortsetzung)) Wir sagen f(x) = O(g(x)) für x falls es ein K > a und ein M Ê + gibt, so dass für alle x > K gilt f(x) < M g(x), f(x) = O(g(x)) für x x 0, falls es ein δ > 0 und eine Zal M Ê + gibt, so dass x B δ (x 0 ) D impliziert f(x) < M g(x). Die Symbole o, O werden als Landau-Symbole bezeicnet Bemerkung Speziell interessieren wir uns für Ausdrücke der Form f(x) = o( x α ) für x 0 oder x. Diese carakterisieren das Wacstumsveralten bei Grenzwertbetractungen. Ist g 0, so kann man die Bedingungen auc umscreiben: genau dann In diesem Sinne ist falls f(x) = o(g(x)) für x f(x) x g(x) = 0. f(x) = O(g(x)) für x, f(x) g(x) bescränkt ist auf jeder Menge der Form x K, K Ê +. Wir betracten zwei Beispiele. Edmund Landau ( ) promovierte indem er eine auf Euler zurückgeende Formel bewies. Unter anderem bewies er auc den Primzalsatz. Sei Hauptarbeitsgebiet war die sogenannte Funktionenteorie.
10 08 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Lemma Es gilt und genauer gilt sogar: Beweis. cos() cos() = o() für 0, sin() = O() für 0, sin() 0 = + fcos () =. = fcos () 2 =, für inreicend klein. Für sin() bekommen wir sin() = + f sin() + f sin() Da für alle Ê gilt sin() folgt damit sin() 0 =.
11 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 09 Satz (Ableitung der trigonometriscen Funktionen) Es gilt. (sin(x)) = cos(x); 2. (cos(x)) = sin(x); Wir setzen für x π 2 + kπ und tan(x) = sin(x) cos(x) cot(x) = cos(x), x kπ, k. sin(x) Dann sind tan, cot an allen Stellen ires Definitionsbereices differenzierbar und es gilt. (tan(x)) = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 (x) = cos 2 (x) ; 2. (cot(x)) = sin2 (x) cos 2 (x) sin 2 (x) = sin 2 (x) ; Beweis. Wir beginnen mit der Sinus-Funktion, aufgrund von Satz gilt Damit screiben wir denn und sin(x + ) sin(x) 0 sin(x + ) = sin(x) cos() + sin() cos(x). cos() = sin(x) 0 = cos(x), cos() 0 = 0 + cos(x) 0 sin(). sin() =, 0 wie wir oben geseen aben. Die entsprecende Recnung für den Kosinus ist ganz änlic: cos(x + ) = cos(x) cos() sin(x) sin() wegen des ersten Additionsteorems in Satz Damit wird cos(x + ) cos(x) = cos(x) cos() sin(x) sin() cos(x) = cos(x) cos() sin(x) sin().
12 0 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Der Grenzwert der recten Seite für 0 ist sin(x). Die Ableitungen für tan und cot ergeben sic aus der Quotientenregel. In den Übungen (Aufgabe 36) atten wir die yperboliscen Winkelfunktionen sin, cos eingefürt und dafür Additionsteoreme gezeigt. Wir erinnern nocmals an die Definition. Definition (Sinus/Kosinusyperbolicus) Für z definieren wir cos(z) = 2 ( e z + e z), sin(z) = 2 ( e z e z). Diese Funktionen werden als Sinusyperbolicus, bzw. Kosinusyperbolicus bezeicnet. Wir nennen diese die yperbolisc trigonometriscen Funktionen. Im Fall der trigonometrisc yperboliscen Funktionen ergeben sic wie im Fall von Sinus/Kosinus Additionsteoreme. Lemma (Additionsteoreme yperboliscer Winkelfunktionen) Die Additionsteoreme für die yperboliscen trigonometriscen Funktionen lauten cos(z + z 2 ) = cos(z ) cos(z 2 ) + sin(z ) sin(z 2 ), sin(z + z 2 ) = cos(z ) sin(z 2 ) + sin(z ) cos(z 2 ). Beweis. Siee Übungen. Wie im Fall von Sinus und Kosinus ergeben sic die Ableitungen nun. Satz (Ableitung yperbolisc trigonometriscer Funktionen) Es gilt cos (z) = sin(z) sin (z) = cos(z). Beweis. Aufgrund der Additionsteoreme Lemma ergibt sic cos(z + ) = cos(z) cos() + sin(z) sin() sin(z + ) = cos(z) sin() + sin() cos(z),
13 5.3. EXTREMA und daraus cos(z + ) cos(z) sin(z + ) sin(z) = cos(z) cos() = cos(z) sin() + sin(z) sin() + sin(z) cos(). Aufgrund der Definition berecnet man wie für die trigonometriscen Funktionen cos() 0 = 0 und sin() =. Damit ergeben sic sofort die angegebenen Formeln. 5.3 Extrema Definition 5.3. (Extremwert) Es sei (X, d) ein metriscer Raum, f : X Ê { eine Abbildung, } D(f) X offen. Gibt es ein x 0 D(f) mit f(x 0 ) = sup f(y) y D(f), so eißt f(x 0 ) das { } Maximum von f. Gibt es ein x D(f) mit f(x ) = inf f(y) y D(f), so eißt f(x ) das Minimum von f. f(x 0 ), bzw. f(x ) werden als Extremwerte bezeicnet und jedes x D(f) mit f(x) = f(x 0 ) bzw. f(y) = f(x ) als Extremwertstelle. Bemerkung (Extremwert annemen) Wir sagen auc f nimmt in x 0, bzw. x das Maximum, bzw. Minimum an. Definition (Maximum/Minimum) Ist x 0 D(f) ein Punkt und B ε (x 0 ) eine offene Kugel um x 0, mit f(x 0 ) f(x) für alle x B ε (x 0 ), so eißt f(x 0 ) lokales Maximum von f. Gilt f(x 0 ) f(x) für alle x B ε (x 0 ), so eißt f(x 0 ) lokales Minimum von f. x 0 eißt in diesen Fällen lokale Extremwertstelle und f(x 0 ) lokales Extremum. Satz (Notwendige Bedingung für eine Extremwertstelle) Es sei I Ê ein offenes Intervall, f : I Ê sei stetig und überall differenzierbar. Gibt es einen Punkt x 0 I, so dass f(x 0 ) ein lokales Extremum ist, so ist f (x 0 ) = 0. Beweis. Es gibt ein ε > 0, so dass für alle x B δ (x 0 ) gilt f(x) f(x 0 ) oder f(x) f(x 0 ). Der Beweis des zweiten Falles ist eine unwesentlice Modifikation
14 2 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN des Beweises des ersten Falles, wir bescränken uns auf diesen. Gilt x < x 0 und x B ε (x 0 ), dann ist f(x) f(x 0 ) x x 0 0, insbesondere folgt Entsprecend at man für x > x 0 und es folgt f(x) f(x 0 ) 0. x x 0,x<x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 0, f(x) f(x 0 ) 0. x x 0,x>x 0 x x 0 Da der Grenzwert f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 existiert sind die beiden obigen Limites gleic und damit 0. Bemerkung (Notwendige Bedingung ist nict inreicend) Die angegebene Bedingung ist notwendig, jedoc nict inreicend, wie das Beispiel f(x) = x 3 lert, f (0) = 0, jedoc ist 0 keine Extremwertstelle von f. Satz (Rolle 2 ) Es sei I = [a, b] ein abgesclossenes Intervall (a < b) und f : I Ê sei stetig. Ist f auf dem Intervall (a, b) differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so gibt es ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = 0. Beweis. Ist die Funktion f konstant, so ist f (x) = 0 für alle x I und damit der Satz gezeigt. Ist f nict konstant, so gibt es ein x (a, b) mit f(x ) f(a). Sei obda f(x) < f(a). Da f(i) ein kompaktes Intervall ist, gibt es ein x 0 (a, b) mit f(x 0 ) = min { f(x) x I 2 Micel Rolle ( ) stammte aus einfacen Verältnissen und war Autodidakt. Zeitweise war er Gegner der Differentialrecnung. }.
15 5.3. EXTREMA 3 Insbesondere ist x 0 ein lokales Minimum und damit nac Satz f (x 0 ) = 0. Eine unmittelbare Konsequenz dieses Satzes ist der wictige Mittelwertsatz. Korollar (Mittelwertsatz) Es sei I = [a, b], a < b ein Intervall, f : I Ê stetig und f auf (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein x 0 (a, b) mit Beweis. Betracte die Funktion f (x 0 ) = f(b) f(a). b a F(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a). b a Dann gilt und die Funktion F(a) = f(a), F(b) = f(b) G(x) = f(x) F(x) at die Eigenscaft G(a) = G(b) = 0. Also gibt es ein x 0 (a, b) mit G (x 0 ) = 0 oder aber F (x 0 ) = f (x 0 ). Da für alle x (a, b) gilt ist der Satz gezeigt. F (x) = f(b) f(a) b a Korollar (verscwindende Ableitung) Ist I = [a, b] ein Intervall, f : I Ê stetig und auf (a, b) differenzierbar und gilt f (x) = 0 für alle x (a, b), so ist f konstant. Beweis. Wäre f nict konstant, so könnte man ein x, x 2 (a, b) finden mit f(x ) f(x 2 ). Nun wenden wir den Mittelwertsatz auf die Einscränkung von f auf [x, x 2 ] an und eralten einen Punkt x 0 [x, x 2 ] mit f (x 0 ) 0. Eine weitere wictige Konsequenz ist die folgende Wacstumsscranke für f.
16 4 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Korollar (Wacstumsscranken) Ist I = [a, b] ein Intervall, f : I Ê stetig und auf (a, b) differenzierbar. Gibt es Werte m, M mit m f (x) für alle x M, so gilt für alle x, x 2 I m(x x 2 ) f(x ) f(x 2 ) M(x x 2 ). Beweis. Folgt unmittelbar aus dem Mittelwertsatz. Korollar (f = cf) Ist f auf einem Intervall [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar und gilt für alle x (a, b) und eine reelle Zal c Ê f (x) = cf(x), so ist f(x) = f(a)e c(x a). Beweis. Betracte f(x)e c(x a). Nac der Produktregel erält man für die Ableitung (f(x)e c(x a) ) = f (x)e c(x a) + f(x)( c)e c(x a) = 0. Also ist f(x)e c(x a) konstant, für x = a at es den Wert f(a) und somit ist f(x) = f(a)e c(x a). Als Spezialfall erält man Korollar 5.3. (Ableitung gleic Funktion) Gilt f = f für eine differenzierbare Funktion auf Ê, so ist f(x) = f(0)e x.
17 5.4. INJEKTIVITÄT UND DIFFERENZIERBARKEIT Injektivität und Differenzierbarkeit Satz 5.4. (Monotonieveralten und Ableitung) Es sei I = [a, b] ein Intervall, f : I Ê stetig und auf (a, b) differenzierbar.. Gilt f (x) 0 für alle x (a, b), so ist f monoton steigend. 2. Ist f (x) > 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton steigend. 3. Gilt f (x) 0 für alle x (a, b), so ist f monoton fallend. 4. Ist f (x) < 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton fallend. Beweis. Wir beweisen nur den ersten Fall, alle anderen ergeben sic durc einface Modifikationen. Wir nemen an f (x) 0 für alle x (a, b). Wäre f nict monoton steigend, so würde man x, x 2 finden, mit x < x 2 und f(x ) > f(x 2 ). Dann gibt es aufgrund des Mittelwertsatzes ein x 0 (x, x 2 ) mit f (x 0 ) < 0. Dies ist ein Widerspruc zum Mittelwertsatz. Eine weitere wictige Anwendung der biser eraltenen Regeln ist der folgende Satz, der ein inreicendes Kriterium für die Existenz lokaler Extrema angibt. Satz (Hinreicende Bedingung für Extremwertstelle) Ist I Ê ein Intervall, f : I Ê überall definiert stetig und differenzierbar. Ist f (x 0 ) = 0 und existiert im Punkt x 0 die zweite Ableitung f (x 0 ) und gilt f (x 0 ) 0, so ist x 0 eine lokale Extremwertstelle. Beweis. Wir betracten obda den Fall f (x 0 ) > 0, der andere Fall get genauso. Wir beginnen mit der Betractung der zweiten Ableitung f f (x 0 + ) f (x 0 ) f (x 0 + ) (x 0 ) = =, 0 0 da f (x 0 ) = 0. Da f (x 0 ) > 0 gibt es ein δ > 0, so dass < δ impliziert, f(x 0 + ) > 0. Dann ist für < δ und < 0 der Wert f (x 0 + ) < 0 und für > 0 der Wert f (x 0 + ) > 0. Dann ist aber auf (x 0 δ, x 0 ) die Ableitung f negativ und daer f streng monoton fallend, auf (x 0, x 0 +δ) ist f positiv und damit f streng monoton steigend. Damit ist für δ > > 0 und f(x 0 ) ist ein lokales Minimum. f(x 0 ) > f(x 0 ) < f(x 0 + ),
18 6 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN 5.5 Umkerfunktionen trigonometriscer Funktionen Die Funktionen sin, cos sind nict injektiv und daer nict umkerbar. Scränken wir die Funktionen jedoc ein, also betracten wir nur einen Teil des Definitionsbereices, so kann man diesen Teil so wälen, dass die Funktionen injektiv sind und damit umkerbar. Der obige Satz über die Differenzierbarkeit der Umkerfunktion liefert dann die Ableitung dieser Funktionen. Definition 5.5. (Monotonie von Sinus/Kosinus). Wir betracten die Einscränkung von sin auf das Intervall ( π, π ). Die 2 2 Ableitung von sin ist cos und dieser ist im angegebenen Intervall positiv, also sin injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arcsin bezeicnen. 2. Wir betracten die Einscränkung von cos auf das Intervall (0, π). Die Ableitung von cos ist sin und dieser ist im angegebenen Intervall negativ, also cos injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arccos bezeicnen. 3. Wir betracten die Funktion tan auf dem Intervall ( π, π ). Die Ableitung 2 2 von tan ist und ist im angegebenen Intervall positiv, also ist tan cos 2 injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arctan bezeicnen. 4. Wir betracten die Funktion cot auf dem Intervall (0, π). Die Ableitung von cot ist und ist im angegebenen Intervall positiv, also ist cot injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arccot sin 2 bezeicnen..5 arctan atan(x) Abbildung 5.2: Arcustangens
19 5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 7 Satz (Ableitung der Umkerfunktion einer Winkelfunktionen) Die Umkerfunktionen der trigonometriscen Funktionen sind nac Satz auf den angegebenen Intervallen differenzierbar und die Ableitungen ergeben sic zu:. Für x ( π 2, π 2 ) ist arcsin (sin(x)) = cos(x). Damit ist für y (, ) arcsin (y) = y Für x (0, π) ist Damit ist für y (, ) arccos (cos(x)) = sin(x). arccos(y) =. y 2 3. Für x ( π 2, π 2 ) ist Damit ist für y (, ) 4. Für x ( π 2, π 2 ) ist Damit ist für y (, ) arctan (tan(x)) = tan (x). arctan (y) = + y 2. arccot (cot(x)) = cot (x). arccot (y) = + y 2. Beweis. Der erste Teil der Aussage folgt immer unmittelbar aus dem Satz zur Differenzierbarkeit der Umkerfunktion Im Fall des arcsin ergibt sic fol-
20 8 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN gende Recnung: setze y = sin(x). Dann ist arcsin (y) = cos(x) = y 2. Im Falle des arccos ist die Recnung eine triviale Modifikation. Wir kommen zum Tangens und eralten (dort wo tan (x) 0 ist) arctan (tan(x)) = Setze y = tan(x) und damit ergibt sic also ist cos 2 (x) = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 x Alle anderen Fälle sind entsprecend. tan (x). arctan (y) = + y 2. = + tan 2 (x) = + y 2, Bemerkung (Zweige von Umkerfunktionen) Natürlic kann man die Injektivität auc erzwingen dadurc, dass man die Funktionen auf ein anderes Intervall einscränkt. Die auf diese Weise gewonnen Umkerfunktionen nennt man Zweige der jeweiligen Umkerfunktion. Bemerkung (Sekans und Kosekans) Oft werden folgende Bezeicnungen verwendet: und sec(x) = cos(x), x π 2 + kπ csc(x) =, x kπ, k. sin(x) Diese Funktionen werden als Sekans und Kosekans bezeicnet. Definition (Hauptzweig) Die im Satz angegebenen Umkerfunktionen werden jeweils als Hauptzweig der entsprecenden Funktion bezeicnet. Wir kommen nun noc zu den yperboliscen Winkelfunktionen. Zunäcst setzen
21 5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 9 wir für z tan(z) = sin(z) cos(z) cot(z) = cos(z) sin(z) wobei wir natürlic nur solce z zulassen, dass cos(z) 0, bzw. sin(z) 0. Man überlegt sic leict einige qualitative Eigenscaften der Funktionen Sinus yperbolicus, Kosinus yperbolicus, Tangens und Kotangens yperbolicus. Satz (Eigenscaften der yperboliscen Winkelfunktionen). Die Funktion sin(x) ist auf Ê streng monoton steigend, es gilt x ± sin(x) = ±. Die Funktion ist ungerade. Es gibt eine einzige Nullstelle bei x = Die Funktion cos(x) ist auf Ê gerade, sie ist streng monoton fallend auf (, 0) und streng monoton steigend auf (0, ). Es gilt x ± cos(x) =. Bei x = 0 at cos eine globale Extremwertstelle, cos(0) = ist ein lokales und globales Minimum. 3. Die Funktion tan(x) ist für alle x Ê definiert. Es gilt tan(x) für alle x Ê und x ± tan(x) = ±. 4. Die Funktion cot(x) ist für alle x Ê, x 0 definiert und es gilt x 0,x>0 cot(x) =, cot ist ungerade und es gilt cot(x) und x cot(x) =. Beweis. () Die Ableitung von sin ist cos. Man siet sofort, dass diese Funktion für reelles x nict Null wird. Die Funktion ist aufgrund irer Definition ungerade und die Grenzwerteigenscaften folgen sofort aus denen für die Exponentialfunktion. Jede Nullstelle genügt der Gleicung e x = e x. Da für x > 0 gilt e x > und für x < 0 gilt e x <, folgt, dass diese Gleicung öcstens die Lösung x = 0 at. Dies ist auc eine Lösung und es ist nicts weiter zu zeigen. (2) Geradeit und Monotonieeigenscaften folgen aus den entsprecenden Eigenscaften von sin. Als einzige Extremwertstelle kommt die Nullstelle von sin(x) in Frage und dort erält man den Wert. Die Abscätzung cos(x) ist eine unmittelbare Konsequenz der Definition. (3) Da für alle x gilt e x e x e x + e x, at man sofort eine Scranke für tan. Die Funktion ist offensictlic ungerade und daer reict es den Grenzwert für x zu untersucen. Wir eralten e x e x e x = =. x e x + e x x e x + e x
22 20 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN (4) Da sin(0) = 0 ist die Unbescränkteit nae x = 0 klar, ebenso folgt aus der gerade gemacten Überlegung cot(x) für alle x und wie eben x cot(x) =. Bemerkung (Grapen) Wir betracten die Grapen der yperboliscen Winkelfunktionen in den folgenden Darstellungen. Nun überlegen wir uns wie eventuelle Umkerfunktionen dieser Funktionen aus cos cos(x) Abbildung 5.3: Kosinus yperbolicus 5000 sin sin(x) Abbildung 5.4: Sinus yperbolicus seen. Als Hilfsmittel verwenden wir eine Formel, die sofort aus dem Additionsteorem für cos folgt, indem man es auf z + ( z) anwendet, also cos 2 (z) sin 2 (z) =. (5.)
23 5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN tan tan(x) Abbildung 5.5: Tangens yperbolicus 0 8 cot cos(x)/sin(x) Abbildung 5.6: Kotangens yperbolicus
24 22 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Satz (Umkerfunktionen trigonometriscer Funktionen). Die Funktion sin ist bijektiv auf Ê, die Ableitung nirgends Null, also existiert eine Umkerfunktion Arsin : Ê Ê mit Damit ergibt sic Arsin (sin(x)) = Arsin (y) = cos(x). + y Die Funktion cos ist auf (0, ) injektiv und umkerbar, die Umkerabbildung Arcos : (, ) (0, ). Diese ist überall differenzierbar und für die Ableitung ergibt sic Arcos (cos(x)) = sin(x) und damit für y > Arcos (y) = y2. Beweis. Jeweils die erste Aussage ist wiederum eine sofortige Konsequenz aus der Differenzierbarkeit der Umkerfunktion. Setzen wir y = sin(x), so ergibt sic aus Gleicung (5.) cos(x) = + y 2.
25 5.6. DIE REGELN VON DE L HOSPITAL Die Regeln von de l Hospital Lemma 5.6. (Grenzwerte für f(x)/x) (a) Es sei (0, c) ein offenes Intervall in Ê und f : (0, c) Ê eine differenzierbare Funktion mit x 0,x>0 f(x) = 0 und Dann gilt f (x) = M. x 0,x>0 f (x) x 0,x>0 x (b) Ist f : (c, ) Ê differenzierbar mit so ist = M. f (x) = M, x f(x) x x = M. Beweis. (a) Zu ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass 0 < x < δ impliziert f (x) M < ε. Ist nun 0 < x < δ so ist nac dem Mittelwertsatz f(x) x f(x) f(0) = = f (ξ), x 0 wobei ξ (0, x). damit ist f(x) x M = f (ξ) M < ε. Dies war zu zeigen. (b) Hier betracten wir zunäcst den Fall M = 0. Wegen x f (x) = M gibt es zu ε > 0 ein c > 0, so dass x > c impliziert f (x) < ε 2. Ist nun x > x 0 > c so gilt f(x) f(x 0 ) ε 2 (x x 0). Damit ist für inreicend großes x, genauer x > max{x 0, 2 f(x 0) }, ε f(x) x = f(x) f(x 0) x + f(x 0) x < ε 2 + ε 2 = ε.
26 24 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Ist nun M beliebig, so betracten wir die Funktion f(x) = f(x) Mx. Für diese gilt nun f (x) 0 mit x und 0 = x f(x) x = f(x) Mx x x = x f(x) x M. Satz (l Hospital 3 ) Gegeben sei ein Intervall der Form I = (a, b) mit a < b. Es seien f, g : I Ê differenzierbar. Wir setzen voraus g (x) 0 für alle x I und der Grenzwert f (x) x b,x<b g (x) = M Ê existiere. Dann gelten die beiden Aussagen.. Aus x b,x<b g(x) = x b,x<b f(x) = 0 folgt: (a) g(x) 0 für alle x I und (b) f(x) x b,x<b g(x) = M. 2. Aus x b,x<b g(x) = x b,x<b f(x) = ± folgt: (a) es gibt ein x 0 (a, b) mit g(x) 0 für x > x 0 und (b) der Grenzwert f(x) x b,x<b g(x) = M. Entsprecende Aussagen gelten auc für die Grenzwerte bei a. Beweis. Wir beginnen mit dem ersten Teil. Es gibt ein α < b mit g ist injektiv auf (α, b) und g(x) 0 für x (α, b), denn ist g(x) = g(y), so existiert nac dem Satz von Rolle ein ξ (x, y) mit g (ξ) = 0 im Widerspruc zur Voraussetzung g 0 und wäre g(x) = 0, so würde das gleice Argument auf 3 Guillaume François Antoine l Hôpital, Marquis de Sainte Mesme ( ) war Mitglied des französiscen Hocadels, widmete sic dennoc der Matematik. Von Joann I Bernoulli wurde er in die damals neue Infinitesimalrecnung eingefürt und scloss mit im ein Abkommen, dass jener im gegen Bezalung die Recte an matematiscen Erkenntnissen abtrat. So geen auc die ier genannten Regeln auf Joann I Bernoulli zurück, der nac dem Tode von l Hôpital die Entdeckerrecte einforderte.
27 5.6. DIE REGELN VON DE L HOSPITAL 25 dem Intervall (x, b) anwendbar sein. Also existiert eine stetige inverse Abbildung g : (0, β) (α, b). Für y (0, β) gilt f(g (y)) g(g (y)) = f(g (y)) y und der Grenzwert f(x) x 0 g(x) = f(g (y)) y 0 g(g (y)) = f(g (y)) = M, y 0 y denn d dy f(g (y)) = f (g (y)) g (g (y)). Der zweite Teil ist ganz änlic, nur bildet g auf ein Intervall der Form (β, ) ab. Es gibt ein α < b, so dass g auf (α, b) injektiv ist, zum Beweis dient das gleice Argument wie oben. Damit ist g auf (α, b) streng monoton und g wecselt das Vorzeicen nict. Insbesondere können wir obda annemen, dass g > 0 auf (α, ) ist. Das Bild von (α, b) unter g ist also ein Intervall der Form (β, ). Setze F = f g. Es gilt Nun ist F (y) = f (g (y)) g (g (y)). F f (x) (y) = x b,x<b x b,x<b g (x) = M. Damit folgt aus dem Lemma F(y) = M. y y Dann ist f(x) x b,x<b g(x) = f(g (y)) F (y) = = M. y y y y
28 26 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Bemerkung (Anwendungen der l Hospitalscen Regel). Wir betracten für α > 0 log(x). x x α Die Voraussetzungen zur Anwendung des Satzes von l Hospital sind erfüllt und wir eralten log(x) = x x α x αx = 0. α 2. Den Grenzwert ( x 0,x =0 sin(x) ) x kann man erst durc die Umformung sin(x) x = x sin(x) x sin(x) in die erforderlice Gestalt bringen und ausrecnen, dass nac einer zweiten Anwendung von des Satzes von l Hospital folgt, dass dieser Grenzwert 0 ist. 5.7 Stammfunktionen Definition 5.7. (Stammfunktion) Ist f : (a, b) Ê stetig, so eißt eine Funktion F : (a, b) Ê Stammfunktion von f, falls F (x) = f(x) für alle x (a, b) gilt. Bemerkung (Nicteindeutigkeit der Stammfunktion) Eine Stammfunktion ist nict eindeutig: ist F eine Stammfunktion von f, so gilt dies auc für F + c für jede reelle Zal c. Satz (Differenzen von Stammfunktionen) Sind F, F 2 Stammfunktionen von der stetigen Funktion f auf (a, b), so gibt es ein c Ê mit F = F 2 + c. Beweis. Ist x 0 (a, b) und c = F (x 0 ) F 2 (x 0 ) und x (a, b), x x 0. Dann ist (F (x) F 2 (x)) (F (x 0 ) F 2 (x 0 )) = (F (ξ) F 2 (ξ))(x x 0) = (f (ξ) f (ξ))(x x 0 ) = 0. Dann ist F (x) F 2 (x) = c.
29 5.7. STAMMFUNKTIONEN 27 Damit können wir die Stammfunktionen einer großen Klasse von Funktionen (jeweils bis auf Angabe einer Konstanten) angeben. Hier eine kleine Auswal: Funktion f x x a, a x Stammfunktion F x 2 2 a + xa+ log( x ) e x e x log(x) sin cos sin x log(x) x cos sin cos + x 2 arctan(x) y 2 arcsin(y)
30 28 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN
5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 105. f(x) = O(g(x)) für x x 0, f(x) < M g(x). f(x) g(x)
5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 105 Definition 5.2.4 (Landau Symbole (Fortsetzung)) Wir sagen f(x) = O(g(x)) für x falls es ein K > a ein M R + gibt, so dass für alle x > K gilt f(x) < M g(x), f(x)
Mehr5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 115
5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 5 Satz 5.5.2 (Ableitung der Umkehrfunktion einer Winkelfunktionen) Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind nach Satz 5.2.3 auf den
MehrAnalysis 1. Torsten Wedhorn. f(x) f( x) x x. (2) Die Funktion f heißt auf D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x D differenzierbar ist.
Analysis Torsten Wedorn 8 Differentiation (A) Differenzierbare Funktionen (B) Recenregeln für die Ableitung (C) Lokale Extrema und Mittelwertsatz (D) Ableitung und Monotonie (E) Der Satz von l Hospital
Mehr8. Differentiation. f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) lim
8. Differentiation Sei I R ein Intervall. Eine Funktion f : I R eißt in x 0 I differenzierbar (Steno: diffbar), wenn der für x I, x x 0 erklärte Differenzenquotient f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) nac x 0 stetig
MehrAbleitung und Mittelwertsätze
Ableitung und Mittelwertsätze Definition. Sei I R ein Intervall und f : I R. ) f eißt differenzierbar an 0 I, wenn der Grenzwert eistiert. f() f( 0 ) lim 0 0 = f ( 0 ) = lim 0 f( 0 + ) f( 0 ) Ist dabei
MehrDie Ableitung einer Funktion
Die Ableitung einer Funktion I. Definition der Ableitung Definition. Sei I R ein Intervall und f : I R. 1) f eißt differenzierbar an x 0 I, wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 existiert.
MehrVorkurs Mathematik Herbst Skript Teil VI
Vorkurs Matematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript Teil VI. Stetigkeit Definition. Eine Funktion f : R R eißt stetig im Punkt p, wenn für alle konvergente Folgen x : N R, n x n mit gleicen Grenzwert
MehrRepetitorium Analysis I für Physiker
Micael Scrapp Ubungsblatt 3 Lösungen Tecnisce Universität Müncen Repetitorium Analysis I für Pysiker Analysis I Aufgabe Wir definieren zunäcst die Funktion g(t) = 2 0 f(t)t 2 dt Die Menge B = g (], 5[)ist
Mehr5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
5 Differenzialrecnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomisce Funktion, so ist oft wictig zu wissen, wie sic die Funktion bei kleinen Änderungen verält. Bescreibt etwa f einen Wacstumsprozess,
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
MehrMathematik für Chemiker I
Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Matematik PD Dr. L. Strüngmann WS 007/08 Übungsmaterial sowie andere Informationen zur Veranstaltung unter: ttp://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.stml
Mehr(1) gegeben. Für x a (und stetige f ) nähert sich (x,f(x)) dem Punkt (a,f(a)), und die Sekante
88 III. Grundlagen der Differential - und Integralrecnung III. Grundlagen der Differential- und Integralrecnung 8. Differenzierbare Funktionen 88 9. Maima und Minima 93 0. Mittelwertsätze und Anwendungen
MehrLösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Anreas Steiger Lösung - Serie 3. MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Es sei ie Funktion f : [0, ) [0, ) efiniert urc f() = ln( + ), wobei er Logaritmus ln zur Basis e ist. Welce
MehrVorlesung Analysis I WS 07/08
Vorlesung Analysis I WS 07/08 Erich Ossa Vorläufige Version 07/12/04 Ausdruck 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Elementare Logik.................................. 1 1.1.A Aussagenlogik................................
MehrV. Differentialrechnung
V.. Die Ableitung 97 V. Differentialrecnung Ausgeend von der Frage nac der Approximierbarkeit von Funktionen durc affine Funktionen, d.., Funktionen, deren Grap eine Gerade ist, werden wir in diesem Kapitel
Mehr10 Differenzierbare Funktionen
10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h
MehrAnalysis I. Guofang Wang , Universität Freiburg
Universität Freiburg 10.1.2017, 11.1.2017 Definition 1.1 (Ableitung) Die Funktion f : I R n hat in x 0 I die Ableitung a R n (Notation: f (x 0 ) = a), falls gilt: f(x) f(x 0 ) lim = a. (1.1) x x 0 x x
MehrEin immer wiederkehrendes Konzept in der Mathematik ist die Zurückführung auf Bekanntes, beziehungsweise auf besonders
Vorlesung 14 Differentialrecnung Ein immer wiedererendes Konzept in der Matemati ist die Zurücfürung auf Beanntes, bezieungsweise auf besonders einface Fälle. Besonders einfac sind lineare Funtionen in
MehrAnalysis I. 8. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I 8. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 9, 207 Grenzwerte Korollar 5.2.2 (Bernoulli-de l Hôpital) Seien f, g : [a, b] R stetig und differenzierbar
MehrIV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen
IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es
MehrÁ 5. Differenzierbarkeit
Á. Differenzierbarkeit Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4 Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4 . Differenzierbarkeit Zur Berecnung der Steigung
MehrDifferentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient
Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient Kapitel 7 Differentialrecnung f f 0 + f 0 f f 0 0 eißt Differenzenquotient an der Stelle 0. f, f Sekante 0, f 0 f 0 Josef Leydold Matematik für
Mehr7.2. Ableitungen und lineare Approximation
7.. Ableitungen und lineare Approximation Eindimensionale Ableitungen und Differentialquotienten einer Funktion bekommt man bekanntlic als Limes von Differenzenquotienten f ( a) = f ( a + ) f( a ) = x
MehrDen Kern dieser Definition kann man in der folgenden Formel zusammenfassen: = f (x 0 ) 0 = 0
Kapitel 4 Differentialrecnung 4. Ableitung einer differenzierbaren Funktion Die Ableitung einer Funktion ist der zentrale Begriff der Differentialrecnung. Diese Teorie wurde unabängig voneinander von Leibniz
MehrAnalysis I. Vorlesung 18. Differenzierbare Funktionen. f: D K
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 18 Differenzierbare Funktionen In dieser Vorlesung betracten wir Funktionen, wobei D K eine offene Menge in K ist. Das ist eine Menge derart,
Mehrf(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0
5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure (Wintersemester 2008/09) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 9. November 2008) Die
MehrThema 5 Differentiation
Thema 5 Differentiation Definition 1 Sei f : D R. Dann ist f im Punkt x 0 differenzierbar, falls f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 auf der Menge D \ {x 0 } existiert. Der Limes ist dann die Ableitung von f im Punkt
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. Dezember 2011)
MehrAufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I
Aufgaben und en Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 008/009 Anweseneitsaufgaben Übung 4 Einleitung Es soll darauf ingewiesen werden, daß es in der Woce vor der Klausur
MehrGeometrisch ergibt sich deren Graph als Schnitt von G mit der senkrechten Ebene y = b bzw. x = a:
Fläcen im Raum Grap und Scnittkurven Im ganzen Artikel bezeicnet D eine Teilmenge des R 2 und eine skalarwertige Funktion in zwei Veränderlicen. Der Grap f : D R 2 R : (x, y) z = f(x, y) G = { (x, y, z)
MehrDie trigonometrischen Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen Betrachte die Funktion f(x) = 1 x auf dem Intervall [ 1, 1]. Für x = 1 erhält man den Punkt P 1 = ( 1, ), für x = den Punkt P = (, 1) und für x = 1 den Punkt P 1 = (1,
MehrTU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1
TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik Lösung zur Aufgabe 4 (a) des 9. Übungsblattes größtmöglicer Definitionsbereic: Die Funktion ist überall definiert, außer an der Stelle = 3
MehrAnwendungen der Potenzreihenentwicklung: Approximation, Grenzwerte; Wachstum
Anwendungen der Potenzreienentwicklung: Approximation, Grenzwerte; Wacstum Lokale Näerung einer Funktion durc ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen aben viele angeneme Eigenscaften. Man weiß
MehrHM I Tutorium 9. Lucas Kunz. 19. Dezember 2018
HM I Tutorium 9 Lucas Kunz 19. Dezember 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Definition der Ableitung............................ 2 1.2 Ableitungsregeln................................ 2 1.2.1 Linearität................................
MehrMIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel VI. Differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen
Version 01.02. Januar 2007 MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07 Kurzfassung Martin Schottenloher Kapitel VI. Differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen In diesem Kapitel werden differenzierbare
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (0.09.03 0.09.03) Dr. Jörg Horst WS 03-04 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 5 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 5 Schenkel Winkelbereich Scheitel S
MehrVORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA
VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Mittwoc: Ableiten, Kurvendiskussionen, Optimieren, Folgen und Reien Betracte auf einem Hügel einen Weg, dessen Seitenansict
MehrMathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 50 Kapitel 5 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 54 / 50 Scheitel S Schenkel α Winkelbereich Winkel werden in Grad
MehrDefinition: Differenzierbare Funktionen
Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ
MehrAbbildung 11.1: Approximation einer Tangente
Analysis, Woche Differentialrechnung I A. Ableitung einer Funktion Sei f : R R eine Funktion. Die Gerade durch die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) findet man als Graph der Funktion l : R R mit l (x) =
Mehr1 Differentiation im Komplexen
1 Differentiation im Komplexen 1.1 Definition und einface Eigenscaften Die folgende Definition der komplexen Differenzierbarkeit mittels der komplexen Division ist eine folgenreice Verscärfung der Differentiation
MehrLösung zur Serie 8. x + 2x 2 sin(1/x), falls x 0, f(x) := 0, falls x = 0. = lim
Lösung zur Serie 8 Aufgabe 40 Wir zeigen in dieser Aufgabe, dass die Voraussetzung dass die Funktion in einer kleinen Umgebung injektiv sein muss, beim Satz über die Umkehrfunktion notwendig ist. Hierzu
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5. x 1 2x 3 = lim 6x
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 5. MC-Aufgaben Online-Abgabe. Durch zweifache Anwendung der Regel von Bernoulli-de l Hôpital folgt Stimmt diese Überlegung? lim x x 3 +
Mehr4 Differenzierbarkeit
7 4 DIFFERENZIERBARKEIT Sei dazu 0 < ρ < s < r. Dann gilt lim sup k k a k
MehrMathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie, Meteorologie und Physik Vorlesungsskript
Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie, Meteorologie und Physik Vorlesungsskript Janko Latschev Fachbereich Mathematik Universität Hamburg www.math.uni-hamburg.de/home/latschev Hamburg,
Mehr11 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften
78 II. ANALYSIS 11 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften In diesem Abschnitt wollen wir wichtige Eigenschaften der allgemeinen Exponentialund Logarithmusfunktion sowie einiger trigonometrischer Funktionen
MehrEinführung der Trigonometrischen Funktionen
Einfürung der Trigonometriscen Funktionen Andreas Kovacs H03550L JKU Linz andreas.kovacs@ aon.at Cristian Punzengruber H035596L JKU Linz cunzengruber@ gm.at. Juni 004 Kurzfassung Diese Arbeit andelt von
Mehr1 Holomorphe Funktionen
$Id: olo.tex,v 1.2 2013/04/09 17:01:23 k Exp k $ 1 Holomorpe Funktionen In den ersten Kapiteln dieser Vorlesung werden wir uns mit der sogenannten Funktionenteorie bescäftigen, dies ist die Teorie der
Mehr9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sven Herrmann Dipl.-Math. Susanne Pape 9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 2009/2010 8./9. Dezember 2009 Gruppenübung
Mehr3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung
42 3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung Ein Punkt z = a + bi der Gaußscen Zalenebene ist durc seine kartesiscen Koordinaten a und b eindeutig festgelegt. Man kann jedoc auc zwei andere Grössen
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
Mehr6 Di erentialrechnung, die Exponentialfunktion
6 Di erentialrechnung, die Exonentialfunktion 6. Exonentialfunktion Wir führen die Exonentialfunktion ein, die eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften ist: ex(x + y) =ex(x)ex(y) (8) ex(0) =,
MehrInstitut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange. Analysis 1. Aufgabenzettel 14
Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark 03.02.2019 Dr. Markus Lange Analysis 1 Aufgabenzettel 14 Dieser Zettel wird in der letzten Übung des Semesters am 08.02.2019 besprochen Aufgabe
Mehrf (b) f (a) b a Wenn man nun b immer näher an a nimmt, sieht es aus, als ob die zugehörige Gerade sich der Tangente nähert.
Analysis, Woche Differentialrechnung I A. Ableitung einer Funktion Sei f : R R eine Funktion. Die Gerade durch die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) findet man als Graph der Funktion l : R R mit l (x) =
MehrStetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit.
Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit. Beispiel: Betrachte ie Funktion f(x) = 1/x auf em Intervall D = (0, 1]. f ist in jeem Punkt p (0, 1] stetig. Denn: Sei p (0, 1] un ε > 0 gegeben. Setze δ = min (
MehrKapitel 5 Trigonometrie
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7 Schenkel Winkelbereich Scheitel S α Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß (auch Rad) angegeben: 360 =. y cot α r = sin α α cos α tan α x Durch diese Betrachtungen
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
Mehr(k +2)(k +3) x 2 (k +3)!
5.3. SINUS UND KOSINUS 9 5.35. Lemma. Es gilt (i) (ii) (iii) cos() < 0, sin(x) > 0 für alle x (0, ], x cos(x) ist streng monoton fallend in [0, ]. Beweis. (i) Es ist cos() = 1! + 4 6 4! 6! 8 10 8! 10!
MehrDifferentialrechnung
KAPITEL 4 Differentialrechnung. Eigenschaften der Ableitung und Differentationsregeln.. Definition der Ableitung. Definition 4.. Ableitung. Die Funktion f sei auf dem Intervall I R deniert und x 0 I. )
Mehr5. Übungsblatt zur Analysis II
Facbereic Matematik Prof. Dr. R. Farwig C. Komo J. Prasiswa R. Sculz SS 009 8.05.009 5. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G (Differenzierbarkeit Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x,
MehrDie elementaren Funktionen (Überblick)
Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und
MehrDie elementaren Funktionen (Überblick)
Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und
MehrÜbungsaufgaben zur Differential-Rechnung
Übungsaufgaben zur Differential-Recnung Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen gibt es z.b. in Brauc/Dreyer/Haacke, Papula, Stingl, Stöcker, Minorski usw.. Bestimme allgemeines Folgen-Element, Eigenscaften
MehrFunktionentheorie A. K. Hulek
Funktionenteorie A K. Hulek 1 Holomorpe Funktionen Die wictigsten Objekte dieser Vorlesung sind die olomorpen Funktionen. Es sei U C offen, f : U C eine Abbildung und z 0 U ein Punkt. Definition (i Die
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
Mehr122 KAPITEL 7. POTENZREIHEN
Kapitel 7 Potenzreien 7.1 Der Konvergenzradius Definition 7.1: (Komplexe Potenzreien) Eine Potenzreie um den Punt z 0 C ist eine Reie der Form a (z z 0 ), a, z, z 0 C. Dort, wo die Reie onvergiert, definiert
MehrHM I Tutorium 8. Lucas Kunz. 12. Dezember 2018
HM I Tutorium 8 Lucas Kunz. Dezember 08 Inhaltsverzeichnis Theorie. Stetigkeit und Grenzwerte............................ Sinus und Cosinus.................................3 Tangens und Cotangens............................
MehrEigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5
Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5 Satz 2.6: (Nullstellensatz) Ist f : [a, b] R stetig und haben f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen, so besitzt f in (a, b) mindestens eine Nullstelle.
MehrGrundlagen der Differentialrechnung
Grundlagen der Differentialrecnung Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inaltsverzeicnis 1 Vorwort 2 2 Grundprinzip der Differenzialrecnung 3 3 Ableiten von Funktionen 7 3.1 Ableitungen wictiger Grundfunktionen:..................
MehrÜbersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen
Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler
Mehr6 Die Bedeutung der Ableitung
6 Die Bedeutung der Ableitung 24 6 Die Bedeutung der Ableitung Wir wollen in diesem Kapitel diskutieren, inwieweit man aus der Kenntnis der Ableitung Rückschlüsse über die Funktion f ziehen kann Zunächst
MehrDie Funktion f (x) = e ix
Die Funktion f (x) = e ix Wir wissen e ix = 1, liegt also auf dem Einheitskreis. Mit wachsendem x läuft e ix immer wieder um den Einheitskreis herum. Die Laufrichtung ist gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch
MehrMathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz
Matematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Cristian Leibold 7. Oktober 2014 Folgen Allgemeines zu Folgen Monotonie und Bescränkteit Grenzwerte und Konvergenz Summen und Reien
Mehr13 Die trigonometrischen Funktionen
13 Die trigonometrischen Funktionen Wir schreiben die Werte der komplexen Exponentialfunktion im Folgenden auch als e z = exp(z) (z C). Geometrisch definiert man üblicherweise die Werte der Winkelfunktion
MehrMathematik zum Mitnehmen
Mathematik zum Mitnehmen Zusammenfassungen und Übersichten aus Arens et al., Mathematik Bearbeitet von Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth
MehrKlausur zur Analysis I WS 01/02
Klausur zur Analysis I WS 0/0 Prof. Dr. E. Kuwert. Februar 00 Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie unter a) und b) jeweils die Ableitung von f für x (0, ): a) f(x) = e sin x b) f(x) = x α log x a) f (x) =
MehrStetigkeit von Funktionen
9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a
Mehr8 Reelle Funktionen. 16. Januar
6. Januar 9 54 8 Reelle Funktionen 8. Reelle Funktion: Eine reelle Funktion f : D f R ordnet jedem Element x D f der Menge D f R eine reelle Zahl y R zu, und man schreibt y = f(x), x D. Die Menge D f heißt
MehrMusterlösung zu Übungsblatt 1
Prof. R. Pandaripande J. Scmitt, C. Scießl Funktionenteorie 23. September 16 HS 2016 Musterlösung zu Übungsblatt 1 Aufgabe 1. Sei F ein Körper, der R als einen Unterkörper entält. Das eisst R ist eine
MehrVorlesung für Schüler
Universität Siegen Facbereic Matematik Vorlesung für Scüler 1.12.2 Emmy-Noeter-Campus Prof. Dr. H. J. Reinardt Computerlösungen dynamiscer Probleme Zusammenfassung Es werden zunäcst einface dynamisce Probleme
MehrKapitel 6 Folgen und Stetigkeit
Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n
Mehrx 1 keinen rechtsseitigen Grenzwert x 0+ besitzen. (Analog existiert der linksseitige Grenzwert nicht.)
Differentialrechnung 1 Grenzwerte Gegeben sei ein Intervall I R, a I {, } und f : I\{a} R. Die Funktion f kann sehr wohl auch an der Stelle x = a erklärt sein, wir wollen aber nur wissen wie sich die Funktion
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
Mehr27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen
136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen
Mehr(1 + z 2j ) = 1 z2n+2. 1 z. (1 + z)(1 z) 1 z. 1 z. (1 + z 2j ) = 1 z. 1 z 1 z
Aufgabe Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N gilt (8 Punkte) n ( + z 2j ) = 2n+, wobei z C, z, eine komplexe Zahl ist Lösung [8 Punkte] Induktionsanfang: n = : ( + z 2j ) = ( + z 2 ) =
Mehrθ für alle n n 0, 0, dann divergiert a n. θ n, also die mit a n0 θ n 0
6 REIHEN 6. Konvergenzkriterien - 19 - Wenn man im Majorantenkriterium die geometrische Reihe als Majorante nimmt, erhält man das (6..18) Quotientenkriterium : Sei (a n ) n N0 eine Folge in C. Es gebe
Mehr19.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
19 Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit Anwendungen 19.1 Satz von Rolle 19.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 19.4 Globaler Wachstumssatz 19.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
MehrBrückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
Mehrc < 1, (1) c k x k0 c k = x k0
4.14 Satz (Quotientenkriterium). Es sei (x k ) Folge in K. Falls ein k 0 existiert, so dass für k k 0 gilt x k 0 und x k+1 x k c < 1, (1) so ist x k absolut konvergent. Beweis. Aus (1) folgt mit vollständiger
MehrKapitel 6. Differentialrechnung. 6.1 Die Ableitung einer Funktion
Kapitel 6 Differentialrechnung 6. Die Ableitung einer Funktion 6.2 Rechenregeln 6.3 Mittelwertsätze 6.4 Die Regeln von L Hospital 6.5 Konvexe Funktionen 6.6 Wichtige Ungleichungen und l p Normen 6. Die
Mehrdifferenzierbare Funktionen
Kapitel IV Differenzierbare Funktionen 18 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 19 Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit Anwendungen 20 Gleichmäßige Konvergenz von
MehrMusterlösung zur Klausur Analysis I für Lehramt Gymnasium Wintersemester 2017/18, am
Musterlösung zur Klausur Analysis I für Lehramt Gymnasium Wintersemester 07/8, am 9.3.08 Aufgabe : Zeigen Sie, dass für alle n N gilt: n n+ n ( ) (8 Punte) Beweis mittels vollständiger Indution n : ( )
MehrDifferenzierbarkeit. Wir betrachten zuerst die Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen.
Differenzierbarkeit Wir betracten zuerst die Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen. Definition. Sei f : R n R und x 0 D(f) ein innerer Punkt. Dann eißt f differenzierbar an x 0, wenn es einen Vektor
MehrÜbungen Analysis I WS 03/04
Blatt Abgabe: Mittwoch, 29.0.03 Aufgabe : Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n ( ) n (x + y) n = x i y n i, i (b) n ν 2 = ν= i=0 n(n + )(2n + ), 6 (c) 2 3n ist durch 7 teilbar. Aufgabe
MehrHerleitungen von elementaren Ableitungsregeln
Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln by Nictnäerdefiniert 5..003-6..003 Index. Differenzenquotient. Faktorregel 3. Konstantenregel 4. Summenregel 5. Produktregel 6. Quotientenregel 7. Potenzregel
Mehr