Differenzierbare Funktionen

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1 Kapitel 5 Differenzierbare Funktionen In diesem Kapitel widmen wir uns dem Begriff der Differenzierbarkeit und entwickeln die Eigenscaften differenzierbarer Funktionen. Darüberinaus wollen wir auc unsere Kenntnisse spezieller Funktionen erweitern. Inaltsangabe 5. Differenzierbarkeit Ableitungen bekannter Funktionen Extrema Injektivität und Differenzierbarkeit Umkerfunktionen trigonometriscer Funktionen Die Regeln von de l Hospital Stammfunktionen Differenzierbarkeit Wir wollen Differenzierbarkeit definieren und dabei aben wir sowol reelle wie komplexe Funktionen im Auge. Definition 5.. (Differenzenquotient) Es sei D eine offene Menge in Ê oder in. Sie f : D Ê (oder f : D ) stetig und x 0 D. Für Ê oder, mit x 0 + D sei x 0 (f) = f(x 0 + ) f(x 0 ) der Differenzenquotient von f im Punkt x 0 zur Differenz. 99

2 00 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Beispiel 5..2 (Differenzenquotient in Ê) Im reellen Fall kann man sic den Begriff durc die folgende Abbildung veranscaulicen. Dieses Bild zeigt, dass wir den Differenzenquotienten nutzen können um die Steigung der Funktion im Punkt x 0 zu bescreiben, wobei Steigung die Steigung der Geraden ist, die f am besten approximiert. f(x) Abbildung 5.: Veranscaulicung des Differenzenquotienten x Definition 5..3 (Differentialquotient) Existiert der Grenzwert x0 (f) = 0 x 0 (f) so nennen wir diesen Grenzwert die Steigung oder auc die Ableitung von f an der Stelle x 0, oder auc den Differentialquotienten von f an der Stelle x 0. Wir sagen auc f ist im Punkt x 0 differenzierbar. Definition 5..4 (Differenzierbarkeit) Ist D Ê oder D offen und f : D Ê bzw. f : D stetig und in jedem Punkt x D differenzierbar, so ist f auf D differenzierbar. Definition 5..5 (Ableitung) Ist f in jedem Punkt x D differenzierbar, so at man eine Funktion f : D Ê oder f : D mit f : D Ê (oder f : D ) : x x (f). Die Funktion f eißt die Ableitung von f.

3 5.. DIFFERENZIERBARKEIT 0 Bemerkung 5..6 (Screibweise für Ableitung) Für f (x) screiben wir auc oft Df(x). Satz 5..7 (Recnen mit Ableitungen) Sind f, g : D Ê, bzw. f, g : D differenzierbar, so sind die Funktionen. f ± g 2. f g 3. : D \ { } x D g(x) = 0 Ê( ) : x f(x), g(x) differenzierbar und es gilt für x D, bzw. in (3) für x D\. (f ± g) = f ± g 2. (Produktregel) (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). 3. (Quotientenregel)) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x). g (g(x)) 2 { } x D g(x) = 0 Beweis. () Natürlic reict es die Aussage für jedes x 0 D zu beweisen. Wir wissen, dass für Folgen n 0 gilt ( f(x0 + n ) f(x 0 ) ± g(x ) 0 + n ) g(x 0 ) = n n n (2) Wir betracten f(x 0 + n ) f(x 0 ) g(x 0 + n ) g(x 0 ) = ±. n n n n f(x 0 + )g(x 0 + ) f(x 0 )g(x 0 ) = = f(x 0 + )g(x 0 + ) f(x 0 )(g(x 0 + ) + f(x 0 )g(x 0 + ) f(x 0 )g(x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) g(x 0 + ) + f(x 0 ) g(x 0 + ) g(x 0 ) Der Grenzwert der linken Seite für 0 ergibt (f g) (x 0 ), der auf der recten Seite f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ),

4 02 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN wobei die Stetigkeit von g ausgenutzt wurde. (3) Ist g(x 0 ) 0, so existiert aufgrund der Stetigkeit von g ein δ > 0, so dass für < δ gilt g(x 0 + ) 0. Dann ist f(x 0 +) f(x 0) g(x 0 +) g(x 0 ) = g(x 0)f(x 0 + ) g(x 0 + )f(x 0 ). g(x 0 + )g(x 0 ) Mit dem üblicen Trick 0 in der Form g(x 0 )f(x 0 )+g(x 0 )f(x 0 ) einzufügen erält man das gewünscte Resultat. Eine weitere wictige Regel ist die sogenannte Kettenregel, die wir nun formulieren wollen. Satz 5..8 (Kettenregel) Sei à = Ê oder à =. Es seien E, D à offene Mengen und f : D E sei im Punkt x 0 differenzierbar, g : E à sei im Punkt y 0 = f(x 0 ) differenzierbar. Dann ist g f im Punkt x 0 differenzierbar und es gilt (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ) mit y 0 = f(x 0 ). Beweis. Wir betracten den Differenzenquotienten g f(x 0 + ) g f(x 0 ) = g f(x 0 + ) g f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ). Mit k = f(x 0 + ) f(x 0 ) den Ausdruck g(f(x 0 ) + k) g(f(x 0 )) f(x 0 + ) f(x 0 ) k für den Differenzenquotienten. Wir beacten, dass mit auc k gegen Null konvergiert, daer ist g f(x 0 + ) g f(x 0 ) g(f(x 0 ) + k) g(f(x 0 )) = 0 k 0 k 0 Die recte Seite ergibt offenbar g (f(x 0 ))f (x 0 ). f(x 0 + ) f(x 0 ). Wir geben nun eine alternative Carakterisierung der Differenzierbarkeit.

5 5.. DIFFERENZIERBARKEIT 03 Satz 5..9 (Carakterisierung der Ableitung als lineare Abbildung) Sei à = Ê oder à =. Es sei D à offen und x 0 D ein Punkt. f : D à ist genau dann im Punkt x 0 differenzierbar, wenn es eine Zal c Ã, so dass die durc f(x) = f(x 0 ) + c(x x 0 ) + ϕ(x) definierte Funktion ϕ der Bedingung In diesem Fall ist c = f (x 0 ) x x 0,x =x 0 ϕ(x) x x 0 = 0. Beweis. Wir nemen an, f sei differenzierbar, und die Funktion ϕ wie oben definiert und c = f (x 0 ) Dann ist ϕ(x) x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ). Mit = x x 0 und dem Grenzwert für 0 eralten wir das Ergebnis x x 0,x =x 0 ϕ(x) x x 0 = 0. Für die Umkerung betracten wir ϕ wie definiert und nemen an, dass Dann ist also x x 0,x =x 0 ϕ(x) x x 0 = 0. ( ) f(x0 + ) f(x 0 ) ϕ(x 0 + ) c = 0 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) 0 Damit existiert der Grenzwert und ist gleic c. = c. = 0, Bemerkung 5..0 (Approximation und Ableitung) Dieser Satz besagt, dass eine Funktion genau differenzierbar ist, wenn sie durc eine affin-lineare Abbildung approximiert werden kann. Definition 5.. (Höere Ableitung) Ist f f, bzw. f (n) definiert, definiere (f (n) ) = f (n+).

6 04 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN 5.2 Ableitungen bekannter Funktionen In diesem Abscnitt wollen wir die Ableitungen bekannter Funktionen angeben. Satz 5.2. (Ableitungen) Alle ier auftretenden Funktionen seien auf à = Ê oder à = definiert. Die Ableitung der Funktion f(x) = x ist f (x) =. Allgemeiner gilt, die Ableitung von f n (x) = x n ist f n (x) = nxn. Beweis. Wir beginnen mit der einfacen Funktion f(x) = x. Für deren Differenzenquotienten an der Stelle x 0 und der Differenz ergibt sic x 0 (f) = f(x 0 + ) f(x 0 ) = =. Damit ist unabängig von x 0 à Damit ist die erste Formel gezeigt. 0 x 0 (f) =. Den zweiten Teil beweisen wir durc vollständige Induktion. Der Induktionsanfang ist durc den ersten Teil gegeben. Angenommen, die Beauptung sei gezeigt für n. Dann ist (mit der Produktregel) f n+ (x 0) = f (x 0 )f n (x 0) + f (x 0)f n (x 0 ) = x 0 nx n 0 + x n 0 = (n + )x n. Dies ist gerade die angegebene Formel für n +. Satz (Ableitung von E(x), log(x)) (a) Die Ableitung der Exponentialfunktionen E(z) auf à ist E(z). (b) Die Ableitung des reellen Logaritmus auf Ê + ist gegeben durc (log) (x) = x. Beweis. Sei z 0 und. Der Differenzenquotient nimmt die Form z 0 (E) = E(z 0 + ) E(z 0 ) = E(z 0 ) E(). Dabei aben wir die Funktionalgleicung der Exponentialfunktion benutzt.für den Differentialquotienten eralten wir daer E() z0 (E) = E(z 0 ). 0

7 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 05 Diesen Grenzwert berecnen wir wieder mit der Felerabscätzung, wobei wir nac dem ersten Term abbrecen < und eralten E() Die Felerabscätzung liefert = + + f () f () 2 2 2! und damit E() 2!. Daer ist und E() =. 0 z0 (E) = E(z 0 ). = + f (). Unter der Anname, dass die Logaritmus-Funktion differenzierbar ist, lässt sic die Ableitung leict ausrecnen: E(log(x)) = x (E(log(x))) = E (log(x)) (log(x)) = x (log(x)) = (log(x)) = x. Die Existenz der Ableitung des Logaritmus ist damit biser nict gezeigt, wir scließen sie aus einem allgemeinen Satz zur Existenz der Ableitung der Umkerfunktion. Satz (Ableitung der Umkerfunktion) Sei D Ê ein Intervall, f : D Ê eine auf D definierte, stetige und streng monotone Funktion mit Umkerfunktion f : f(d) D. Ist f im Punkt x 0 D differenzierbar und f (x 0 ) 0, dann ist f im Punkt y 0 = f(x 0 ) differenzierbar und die Ableitung (f ) at im Punkt y 0 den Wert Beweis. Zu gibt es ein mit (f ) (f(x 0 )) = f (x 0 ). y 0 + = f(x 0 + ).

8 06 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Die Stetigkeit von f impliziert, dass 0 mit 0. (Genauer, ist n eine gegen 0 konvergierende Folge, so ergibt sic eine Folge n, die ebenfalls gegen 0 konvergiert.) Damit eralten wir f (y 0 + ) f (y 0 ) = f (f(x 0 + )) f (f(x 0 )) f(x 0 + ) f(x 0 ) = = x 0 + x 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ). Betracten wir links den Grenzwert 0, so müssen wir rects den Grenzwert für 0 betracten und eralten die gewünscte Aussage. Wir berecnen nun die Ableitungen der trigonometriscen Funktionen. Für die nötigen Abscätzungen wollen wir ein Hilfsmittel zur Verfügung stellen, das sic in allen Anwendungen der Matematik großer Beliebteit erfreut und wesentlice Vereinfacungen der Notation nac sic ziet. Allerdings, und darauf sei besonders ingewiesen, werden diese Hilfsmittel auc oft ungenau angewendet, davor wird eindringlic gewarnt. Es get darum das Grenzwertveralten von Funktionen f und g für x x 0 zu vergleicen, oft wird dabei x 0 = 0, bzw. x 0 = sein. Definition (Landau Symbole) Es sei D Ê eine Teilmenge, mit entweder x 0 D, oder D entalte eine Menge der Form (a, ), f, g seien auf ganz D definierte Funktionen. Wir sagen f(x) = o(g(x)) für x, falls es zu jedem ε > 0 ein K > a gibt, so dass für alle x > K gilt f(x) < ε g(x), f(x) = o(g(x)) für x x 0, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x B δ (x 0 ) D impliziert f(x) < ε g(x).

9 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 07 Definition (Landau Symbole (Fortsetzung)) Wir sagen f(x) = O(g(x)) für x falls es ein K > a und ein M Ê + gibt, so dass für alle x > K gilt f(x) < M g(x), f(x) = O(g(x)) für x x 0, falls es ein δ > 0 und eine Zal M Ê + gibt, so dass x B δ (x 0 ) D impliziert f(x) < M g(x). Die Symbole o, O werden als Landau-Symbole bezeicnet Bemerkung Speziell interessieren wir uns für Ausdrücke der Form f(x) = o( x α ) für x 0 oder x. Diese carakterisieren das Wacstumsveralten bei Grenzwertbetractungen. Ist g 0, so kann man die Bedingungen auc umscreiben: genau dann In diesem Sinne ist falls f(x) = o(g(x)) für x f(x) x g(x) = 0. f(x) = O(g(x)) für x, f(x) g(x) bescränkt ist auf jeder Menge der Form x K, K Ê +. Wir betracten zwei Beispiele. Edmund Landau ( ) promovierte indem er eine auf Euler zurückgeende Formel bewies. Unter anderem bewies er auc den Primzalsatz. Sei Hauptarbeitsgebiet war die sogenannte Funktionenteorie.

10 08 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Lemma Es gilt und genauer gilt sogar: Beweis. cos() cos() = o() für 0, sin() = O() für 0, sin() 0 = + fcos () =. = fcos () 2 =, für inreicend klein. Für sin() bekommen wir sin() = + f sin() + f sin() Da für alle Ê gilt sin() folgt damit sin() 0 =.

11 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 09 Satz (Ableitung der trigonometriscen Funktionen) Es gilt. (sin(x)) = cos(x); 2. (cos(x)) = sin(x); Wir setzen für x π 2 + kπ und tan(x) = sin(x) cos(x) cot(x) = cos(x), x kπ, k. sin(x) Dann sind tan, cot an allen Stellen ires Definitionsbereices differenzierbar und es gilt. (tan(x)) = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 (x) = cos 2 (x) ; 2. (cot(x)) = sin2 (x) cos 2 (x) sin 2 (x) = sin 2 (x) ; Beweis. Wir beginnen mit der Sinus-Funktion, aufgrund von Satz gilt Damit screiben wir denn und sin(x + ) sin(x) 0 sin(x + ) = sin(x) cos() + sin() cos(x). cos() = sin(x) 0 = cos(x), cos() 0 = 0 + cos(x) 0 sin(). sin() =, 0 wie wir oben geseen aben. Die entsprecende Recnung für den Kosinus ist ganz änlic: cos(x + ) = cos(x) cos() sin(x) sin() wegen des ersten Additionsteorems in Satz Damit wird cos(x + ) cos(x) = cos(x) cos() sin(x) sin() cos(x) = cos(x) cos() sin(x) sin().

12 0 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Der Grenzwert der recten Seite für 0 ist sin(x). Die Ableitungen für tan und cot ergeben sic aus der Quotientenregel. In den Übungen (Aufgabe 36) atten wir die yperboliscen Winkelfunktionen sin, cos eingefürt und dafür Additionsteoreme gezeigt. Wir erinnern nocmals an die Definition. Definition (Sinus/Kosinusyperbolicus) Für z definieren wir cos(z) = 2 ( e z + e z), sin(z) = 2 ( e z e z). Diese Funktionen werden als Sinusyperbolicus, bzw. Kosinusyperbolicus bezeicnet. Wir nennen diese die yperbolisc trigonometriscen Funktionen. Im Fall der trigonometrisc yperboliscen Funktionen ergeben sic wie im Fall von Sinus/Kosinus Additionsteoreme. Lemma (Additionsteoreme yperboliscer Winkelfunktionen) Die Additionsteoreme für die yperboliscen trigonometriscen Funktionen lauten cos(z + z 2 ) = cos(z ) cos(z 2 ) + sin(z ) sin(z 2 ), sin(z + z 2 ) = cos(z ) sin(z 2 ) + sin(z ) cos(z 2 ). Beweis. Siee Übungen. Wie im Fall von Sinus und Kosinus ergeben sic die Ableitungen nun. Satz (Ableitung yperbolisc trigonometriscer Funktionen) Es gilt cos (z) = sin(z) sin (z) = cos(z). Beweis. Aufgrund der Additionsteoreme Lemma ergibt sic cos(z + ) = cos(z) cos() + sin(z) sin() sin(z + ) = cos(z) sin() + sin() cos(z),

13 5.3. EXTREMA und daraus cos(z + ) cos(z) sin(z + ) sin(z) = cos(z) cos() = cos(z) sin() + sin(z) sin() + sin(z) cos(). Aufgrund der Definition berecnet man wie für die trigonometriscen Funktionen cos() 0 = 0 und sin() =. Damit ergeben sic sofort die angegebenen Formeln. 5.3 Extrema Definition 5.3. (Extremwert) Es sei (X, d) ein metriscer Raum, f : X Ê { eine Abbildung, } D(f) X offen. Gibt es ein x 0 D(f) mit f(x 0 ) = sup f(y) y D(f), so eißt f(x 0 ) das { } Maximum von f. Gibt es ein x D(f) mit f(x ) = inf f(y) y D(f), so eißt f(x ) das Minimum von f. f(x 0 ), bzw. f(x ) werden als Extremwerte bezeicnet und jedes x D(f) mit f(x) = f(x 0 ) bzw. f(y) = f(x ) als Extremwertstelle. Bemerkung (Extremwert annemen) Wir sagen auc f nimmt in x 0, bzw. x das Maximum, bzw. Minimum an. Definition (Maximum/Minimum) Ist x 0 D(f) ein Punkt und B ε (x 0 ) eine offene Kugel um x 0, mit f(x 0 ) f(x) für alle x B ε (x 0 ), so eißt f(x 0 ) lokales Maximum von f. Gilt f(x 0 ) f(x) für alle x B ε (x 0 ), so eißt f(x 0 ) lokales Minimum von f. x 0 eißt in diesen Fällen lokale Extremwertstelle und f(x 0 ) lokales Extremum. Satz (Notwendige Bedingung für eine Extremwertstelle) Es sei I Ê ein offenes Intervall, f : I Ê sei stetig und überall differenzierbar. Gibt es einen Punkt x 0 I, so dass f(x 0 ) ein lokales Extremum ist, so ist f (x 0 ) = 0. Beweis. Es gibt ein ε > 0, so dass für alle x B δ (x 0 ) gilt f(x) f(x 0 ) oder f(x) f(x 0 ). Der Beweis des zweiten Falles ist eine unwesentlice Modifikation

14 2 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN des Beweises des ersten Falles, wir bescränken uns auf diesen. Gilt x < x 0 und x B ε (x 0 ), dann ist f(x) f(x 0 ) x x 0 0, insbesondere folgt Entsprecend at man für x > x 0 und es folgt f(x) f(x 0 ) 0. x x 0,x<x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 0, f(x) f(x 0 ) 0. x x 0,x>x 0 x x 0 Da der Grenzwert f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 existiert sind die beiden obigen Limites gleic und damit 0. Bemerkung (Notwendige Bedingung ist nict inreicend) Die angegebene Bedingung ist notwendig, jedoc nict inreicend, wie das Beispiel f(x) = x 3 lert, f (0) = 0, jedoc ist 0 keine Extremwertstelle von f. Satz (Rolle 2 ) Es sei I = [a, b] ein abgesclossenes Intervall (a < b) und f : I Ê sei stetig. Ist f auf dem Intervall (a, b) differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so gibt es ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = 0. Beweis. Ist die Funktion f konstant, so ist f (x) = 0 für alle x I und damit der Satz gezeigt. Ist f nict konstant, so gibt es ein x (a, b) mit f(x ) f(a). Sei obda f(x) < f(a). Da f(i) ein kompaktes Intervall ist, gibt es ein x 0 (a, b) mit f(x 0 ) = min { f(x) x I 2 Micel Rolle ( ) stammte aus einfacen Verältnissen und war Autodidakt. Zeitweise war er Gegner der Differentialrecnung. }.

15 5.3. EXTREMA 3 Insbesondere ist x 0 ein lokales Minimum und damit nac Satz f (x 0 ) = 0. Eine unmittelbare Konsequenz dieses Satzes ist der wictige Mittelwertsatz. Korollar (Mittelwertsatz) Es sei I = [a, b], a < b ein Intervall, f : I Ê stetig und f auf (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein x 0 (a, b) mit Beweis. Betracte die Funktion f (x 0 ) = f(b) f(a). b a F(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a). b a Dann gilt und die Funktion F(a) = f(a), F(b) = f(b) G(x) = f(x) F(x) at die Eigenscaft G(a) = G(b) = 0. Also gibt es ein x 0 (a, b) mit G (x 0 ) = 0 oder aber F (x 0 ) = f (x 0 ). Da für alle x (a, b) gilt ist der Satz gezeigt. F (x) = f(b) f(a) b a Korollar (verscwindende Ableitung) Ist I = [a, b] ein Intervall, f : I Ê stetig und auf (a, b) differenzierbar und gilt f (x) = 0 für alle x (a, b), so ist f konstant. Beweis. Wäre f nict konstant, so könnte man ein x, x 2 (a, b) finden mit f(x ) f(x 2 ). Nun wenden wir den Mittelwertsatz auf die Einscränkung von f auf [x, x 2 ] an und eralten einen Punkt x 0 [x, x 2 ] mit f (x 0 ) 0. Eine weitere wictige Konsequenz ist die folgende Wacstumsscranke für f.

16 4 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Korollar (Wacstumsscranken) Ist I = [a, b] ein Intervall, f : I Ê stetig und auf (a, b) differenzierbar. Gibt es Werte m, M mit m f (x) für alle x M, so gilt für alle x, x 2 I m(x x 2 ) f(x ) f(x 2 ) M(x x 2 ). Beweis. Folgt unmittelbar aus dem Mittelwertsatz. Korollar (f = cf) Ist f auf einem Intervall [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar und gilt für alle x (a, b) und eine reelle Zal c Ê f (x) = cf(x), so ist f(x) = f(a)e c(x a). Beweis. Betracte f(x)e c(x a). Nac der Produktregel erält man für die Ableitung (f(x)e c(x a) ) = f (x)e c(x a) + f(x)( c)e c(x a) = 0. Also ist f(x)e c(x a) konstant, für x = a at es den Wert f(a) und somit ist f(x) = f(a)e c(x a). Als Spezialfall erält man Korollar 5.3. (Ableitung gleic Funktion) Gilt f = f für eine differenzierbare Funktion auf Ê, so ist f(x) = f(0)e x.

17 5.4. INJEKTIVITÄT UND DIFFERENZIERBARKEIT Injektivität und Differenzierbarkeit Satz 5.4. (Monotonieveralten und Ableitung) Es sei I = [a, b] ein Intervall, f : I Ê stetig und auf (a, b) differenzierbar.. Gilt f (x) 0 für alle x (a, b), so ist f monoton steigend. 2. Ist f (x) > 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton steigend. 3. Gilt f (x) 0 für alle x (a, b), so ist f monoton fallend. 4. Ist f (x) < 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton fallend. Beweis. Wir beweisen nur den ersten Fall, alle anderen ergeben sic durc einface Modifikationen. Wir nemen an f (x) 0 für alle x (a, b). Wäre f nict monoton steigend, so würde man x, x 2 finden, mit x < x 2 und f(x ) > f(x 2 ). Dann gibt es aufgrund des Mittelwertsatzes ein x 0 (x, x 2 ) mit f (x 0 ) < 0. Dies ist ein Widerspruc zum Mittelwertsatz. Eine weitere wictige Anwendung der biser eraltenen Regeln ist der folgende Satz, der ein inreicendes Kriterium für die Existenz lokaler Extrema angibt. Satz (Hinreicende Bedingung für Extremwertstelle) Ist I Ê ein Intervall, f : I Ê überall definiert stetig und differenzierbar. Ist f (x 0 ) = 0 und existiert im Punkt x 0 die zweite Ableitung f (x 0 ) und gilt f (x 0 ) 0, so ist x 0 eine lokale Extremwertstelle. Beweis. Wir betracten obda den Fall f (x 0 ) > 0, der andere Fall get genauso. Wir beginnen mit der Betractung der zweiten Ableitung f f (x 0 + ) f (x 0 ) f (x 0 + ) (x 0 ) = =, 0 0 da f (x 0 ) = 0. Da f (x 0 ) > 0 gibt es ein δ > 0, so dass < δ impliziert, f(x 0 + ) > 0. Dann ist für < δ und < 0 der Wert f (x 0 + ) < 0 und für > 0 der Wert f (x 0 + ) > 0. Dann ist aber auf (x 0 δ, x 0 ) die Ableitung f negativ und daer f streng monoton fallend, auf (x 0, x 0 +δ) ist f positiv und damit f streng monoton steigend. Damit ist für δ > > 0 und f(x 0 ) ist ein lokales Minimum. f(x 0 ) > f(x 0 ) < f(x 0 + ),

18 6 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN 5.5 Umkerfunktionen trigonometriscer Funktionen Die Funktionen sin, cos sind nict injektiv und daer nict umkerbar. Scränken wir die Funktionen jedoc ein, also betracten wir nur einen Teil des Definitionsbereices, so kann man diesen Teil so wälen, dass die Funktionen injektiv sind und damit umkerbar. Der obige Satz über die Differenzierbarkeit der Umkerfunktion liefert dann die Ableitung dieser Funktionen. Definition 5.5. (Monotonie von Sinus/Kosinus). Wir betracten die Einscränkung von sin auf das Intervall ( π, π ). Die 2 2 Ableitung von sin ist cos und dieser ist im angegebenen Intervall positiv, also sin injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arcsin bezeicnen. 2. Wir betracten die Einscränkung von cos auf das Intervall (0, π). Die Ableitung von cos ist sin und dieser ist im angegebenen Intervall negativ, also cos injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arccos bezeicnen. 3. Wir betracten die Funktion tan auf dem Intervall ( π, π ). Die Ableitung 2 2 von tan ist und ist im angegebenen Intervall positiv, also ist tan cos 2 injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arctan bezeicnen. 4. Wir betracten die Funktion cot auf dem Intervall (0, π). Die Ableitung von cot ist und ist im angegebenen Intervall positiv, also ist cot injektiv und es gibt eine Umkerfunktion, die wir mit arccot sin 2 bezeicnen..5 arctan atan(x) Abbildung 5.2: Arcustangens

19 5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 7 Satz (Ableitung der Umkerfunktion einer Winkelfunktionen) Die Umkerfunktionen der trigonometriscen Funktionen sind nac Satz auf den angegebenen Intervallen differenzierbar und die Ableitungen ergeben sic zu:. Für x ( π 2, π 2 ) ist arcsin (sin(x)) = cos(x). Damit ist für y (, ) arcsin (y) = y Für x (0, π) ist Damit ist für y (, ) arccos (cos(x)) = sin(x). arccos(y) =. y 2 3. Für x ( π 2, π 2 ) ist Damit ist für y (, ) 4. Für x ( π 2, π 2 ) ist Damit ist für y (, ) arctan (tan(x)) = tan (x). arctan (y) = + y 2. arccot (cot(x)) = cot (x). arccot (y) = + y 2. Beweis. Der erste Teil der Aussage folgt immer unmittelbar aus dem Satz zur Differenzierbarkeit der Umkerfunktion Im Fall des arcsin ergibt sic fol-

20 8 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN gende Recnung: setze y = sin(x). Dann ist arcsin (y) = cos(x) = y 2. Im Falle des arccos ist die Recnung eine triviale Modifikation. Wir kommen zum Tangens und eralten (dort wo tan (x) 0 ist) arctan (tan(x)) = Setze y = tan(x) und damit ergibt sic also ist cos 2 (x) = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 x Alle anderen Fälle sind entsprecend. tan (x). arctan (y) = + y 2. = + tan 2 (x) = + y 2, Bemerkung (Zweige von Umkerfunktionen) Natürlic kann man die Injektivität auc erzwingen dadurc, dass man die Funktionen auf ein anderes Intervall einscränkt. Die auf diese Weise gewonnen Umkerfunktionen nennt man Zweige der jeweiligen Umkerfunktion. Bemerkung (Sekans und Kosekans) Oft werden folgende Bezeicnungen verwendet: und sec(x) = cos(x), x π 2 + kπ csc(x) =, x kπ, k. sin(x) Diese Funktionen werden als Sekans und Kosekans bezeicnet. Definition (Hauptzweig) Die im Satz angegebenen Umkerfunktionen werden jeweils als Hauptzweig der entsprecenden Funktion bezeicnet. Wir kommen nun noc zu den yperboliscen Winkelfunktionen. Zunäcst setzen

21 5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 9 wir für z tan(z) = sin(z) cos(z) cot(z) = cos(z) sin(z) wobei wir natürlic nur solce z zulassen, dass cos(z) 0, bzw. sin(z) 0. Man überlegt sic leict einige qualitative Eigenscaften der Funktionen Sinus yperbolicus, Kosinus yperbolicus, Tangens und Kotangens yperbolicus. Satz (Eigenscaften der yperboliscen Winkelfunktionen). Die Funktion sin(x) ist auf Ê streng monoton steigend, es gilt x ± sin(x) = ±. Die Funktion ist ungerade. Es gibt eine einzige Nullstelle bei x = Die Funktion cos(x) ist auf Ê gerade, sie ist streng monoton fallend auf (, 0) und streng monoton steigend auf (0, ). Es gilt x ± cos(x) =. Bei x = 0 at cos eine globale Extremwertstelle, cos(0) = ist ein lokales und globales Minimum. 3. Die Funktion tan(x) ist für alle x Ê definiert. Es gilt tan(x) für alle x Ê und x ± tan(x) = ±. 4. Die Funktion cot(x) ist für alle x Ê, x 0 definiert und es gilt x 0,x>0 cot(x) =, cot ist ungerade und es gilt cot(x) und x cot(x) =. Beweis. () Die Ableitung von sin ist cos. Man siet sofort, dass diese Funktion für reelles x nict Null wird. Die Funktion ist aufgrund irer Definition ungerade und die Grenzwerteigenscaften folgen sofort aus denen für die Exponentialfunktion. Jede Nullstelle genügt der Gleicung e x = e x. Da für x > 0 gilt e x > und für x < 0 gilt e x <, folgt, dass diese Gleicung öcstens die Lösung x = 0 at. Dies ist auc eine Lösung und es ist nicts weiter zu zeigen. (2) Geradeit und Monotonieeigenscaften folgen aus den entsprecenden Eigenscaften von sin. Als einzige Extremwertstelle kommt die Nullstelle von sin(x) in Frage und dort erält man den Wert. Die Abscätzung cos(x) ist eine unmittelbare Konsequenz der Definition. (3) Da für alle x gilt e x e x e x + e x, at man sofort eine Scranke für tan. Die Funktion ist offensictlic ungerade und daer reict es den Grenzwert für x zu untersucen. Wir eralten e x e x e x = =. x e x + e x x e x + e x

22 20 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN (4) Da sin(0) = 0 ist die Unbescränkteit nae x = 0 klar, ebenso folgt aus der gerade gemacten Überlegung cot(x) für alle x und wie eben x cot(x) =. Bemerkung (Grapen) Wir betracten die Grapen der yperboliscen Winkelfunktionen in den folgenden Darstellungen. Nun überlegen wir uns wie eventuelle Umkerfunktionen dieser Funktionen aus cos cos(x) Abbildung 5.3: Kosinus yperbolicus 5000 sin sin(x) Abbildung 5.4: Sinus yperbolicus seen. Als Hilfsmittel verwenden wir eine Formel, die sofort aus dem Additionsteorem für cos folgt, indem man es auf z + ( z) anwendet, also cos 2 (z) sin 2 (z) =. (5.)

23 5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN tan tan(x) Abbildung 5.5: Tangens yperbolicus 0 8 cot cos(x)/sin(x) Abbildung 5.6: Kotangens yperbolicus

24 22 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Satz (Umkerfunktionen trigonometriscer Funktionen). Die Funktion sin ist bijektiv auf Ê, die Ableitung nirgends Null, also existiert eine Umkerfunktion Arsin : Ê Ê mit Damit ergibt sic Arsin (sin(x)) = Arsin (y) = cos(x). + y Die Funktion cos ist auf (0, ) injektiv und umkerbar, die Umkerabbildung Arcos : (, ) (0, ). Diese ist überall differenzierbar und für die Ableitung ergibt sic Arcos (cos(x)) = sin(x) und damit für y > Arcos (y) = y2. Beweis. Jeweils die erste Aussage ist wiederum eine sofortige Konsequenz aus der Differenzierbarkeit der Umkerfunktion. Setzen wir y = sin(x), so ergibt sic aus Gleicung (5.) cos(x) = + y 2.

25 5.6. DIE REGELN VON DE L HOSPITAL Die Regeln von de l Hospital Lemma 5.6. (Grenzwerte für f(x)/x) (a) Es sei (0, c) ein offenes Intervall in Ê und f : (0, c) Ê eine differenzierbare Funktion mit x 0,x>0 f(x) = 0 und Dann gilt f (x) = M. x 0,x>0 f (x) x 0,x>0 x (b) Ist f : (c, ) Ê differenzierbar mit so ist = M. f (x) = M, x f(x) x x = M. Beweis. (a) Zu ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass 0 < x < δ impliziert f (x) M < ε. Ist nun 0 < x < δ so ist nac dem Mittelwertsatz f(x) x f(x) f(0) = = f (ξ), x 0 wobei ξ (0, x). damit ist f(x) x M = f (ξ) M < ε. Dies war zu zeigen. (b) Hier betracten wir zunäcst den Fall M = 0. Wegen x f (x) = M gibt es zu ε > 0 ein c > 0, so dass x > c impliziert f (x) < ε 2. Ist nun x > x 0 > c so gilt f(x) f(x 0 ) ε 2 (x x 0). Damit ist für inreicend großes x, genauer x > max{x 0, 2 f(x 0) }, ε f(x) x = f(x) f(x 0) x + f(x 0) x < ε 2 + ε 2 = ε.

26 24 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Ist nun M beliebig, so betracten wir die Funktion f(x) = f(x) Mx. Für diese gilt nun f (x) 0 mit x und 0 = x f(x) x = f(x) Mx x x = x f(x) x M. Satz (l Hospital 3 ) Gegeben sei ein Intervall der Form I = (a, b) mit a < b. Es seien f, g : I Ê differenzierbar. Wir setzen voraus g (x) 0 für alle x I und der Grenzwert f (x) x b,x<b g (x) = M Ê existiere. Dann gelten die beiden Aussagen.. Aus x b,x<b g(x) = x b,x<b f(x) = 0 folgt: (a) g(x) 0 für alle x I und (b) f(x) x b,x<b g(x) = M. 2. Aus x b,x<b g(x) = x b,x<b f(x) = ± folgt: (a) es gibt ein x 0 (a, b) mit g(x) 0 für x > x 0 und (b) der Grenzwert f(x) x b,x<b g(x) = M. Entsprecende Aussagen gelten auc für die Grenzwerte bei a. Beweis. Wir beginnen mit dem ersten Teil. Es gibt ein α < b mit g ist injektiv auf (α, b) und g(x) 0 für x (α, b), denn ist g(x) = g(y), so existiert nac dem Satz von Rolle ein ξ (x, y) mit g (ξ) = 0 im Widerspruc zur Voraussetzung g 0 und wäre g(x) = 0, so würde das gleice Argument auf 3 Guillaume François Antoine l Hôpital, Marquis de Sainte Mesme ( ) war Mitglied des französiscen Hocadels, widmete sic dennoc der Matematik. Von Joann I Bernoulli wurde er in die damals neue Infinitesimalrecnung eingefürt und scloss mit im ein Abkommen, dass jener im gegen Bezalung die Recte an matematiscen Erkenntnissen abtrat. So geen auc die ier genannten Regeln auf Joann I Bernoulli zurück, der nac dem Tode von l Hôpital die Entdeckerrecte einforderte.

27 5.6. DIE REGELN VON DE L HOSPITAL 25 dem Intervall (x, b) anwendbar sein. Also existiert eine stetige inverse Abbildung g : (0, β) (α, b). Für y (0, β) gilt f(g (y)) g(g (y)) = f(g (y)) y und der Grenzwert f(x) x 0 g(x) = f(g (y)) y 0 g(g (y)) = f(g (y)) = M, y 0 y denn d dy f(g (y)) = f (g (y)) g (g (y)). Der zweite Teil ist ganz änlic, nur bildet g auf ein Intervall der Form (β, ) ab. Es gibt ein α < b, so dass g auf (α, b) injektiv ist, zum Beweis dient das gleice Argument wie oben. Damit ist g auf (α, b) streng monoton und g wecselt das Vorzeicen nict. Insbesondere können wir obda annemen, dass g > 0 auf (α, ) ist. Das Bild von (α, b) unter g ist also ein Intervall der Form (β, ). Setze F = f g. Es gilt Nun ist F (y) = f (g (y)) g (g (y)). F f (x) (y) = x b,x<b x b,x<b g (x) = M. Damit folgt aus dem Lemma F(y) = M. y y Dann ist f(x) x b,x<b g(x) = f(g (y)) F (y) = = M. y y y y

28 26 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Bemerkung (Anwendungen der l Hospitalscen Regel). Wir betracten für α > 0 log(x). x x α Die Voraussetzungen zur Anwendung des Satzes von l Hospital sind erfüllt und wir eralten log(x) = x x α x αx = 0. α 2. Den Grenzwert ( x 0,x =0 sin(x) ) x kann man erst durc die Umformung sin(x) x = x sin(x) x sin(x) in die erforderlice Gestalt bringen und ausrecnen, dass nac einer zweiten Anwendung von des Satzes von l Hospital folgt, dass dieser Grenzwert 0 ist. 5.7 Stammfunktionen Definition 5.7. (Stammfunktion) Ist f : (a, b) Ê stetig, so eißt eine Funktion F : (a, b) Ê Stammfunktion von f, falls F (x) = f(x) für alle x (a, b) gilt. Bemerkung (Nicteindeutigkeit der Stammfunktion) Eine Stammfunktion ist nict eindeutig: ist F eine Stammfunktion von f, so gilt dies auc für F + c für jede reelle Zal c. Satz (Differenzen von Stammfunktionen) Sind F, F 2 Stammfunktionen von der stetigen Funktion f auf (a, b), so gibt es ein c Ê mit F = F 2 + c. Beweis. Ist x 0 (a, b) und c = F (x 0 ) F 2 (x 0 ) und x (a, b), x x 0. Dann ist (F (x) F 2 (x)) (F (x 0 ) F 2 (x 0 )) = (F (ξ) F 2 (ξ))(x x 0) = (f (ξ) f (ξ))(x x 0 ) = 0. Dann ist F (x) F 2 (x) = c.

29 5.7. STAMMFUNKTIONEN 27 Damit können wir die Stammfunktionen einer großen Klasse von Funktionen (jeweils bis auf Angabe einer Konstanten) angeben. Hier eine kleine Auswal: Funktion f x x a, a x Stammfunktion F x 2 2 a + xa+ log( x ) e x e x log(x) sin cos sin x log(x) x cos sin cos + x 2 arctan(x) y 2 arcsin(y)

30 28 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN