Den Kern dieser Definition kann man in der folgenden Formel zusammenfassen: = f (x 0 ) 0 = 0

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1 Kapitel 4 Differentialrecnung 4. Ableitung einer differenzierbaren Funktion Die Ableitung einer Funktion ist der zentrale Begriff der Differentialrecnung. Diese Teorie wurde unabängig voneinander von Leibniz und Newton begründet. Man kann die Ableitung geometrisc, analytisc und pysikalisc interpretieren und sic auf diesem Weg vielfältige Anwendungen sowol in der reinen Matematik als auc in den Naturwissenscaften erscließen. Definition: Sei eine Funktion f auf einem offenen Intervall I R definiert und x 0 I. Die Funktion f nennt man differenzierbar oder ableitbar im Punkt x 0 wenn der sogenannte Differenzenquotient f(x) x : f(x) f(x 0) f(x 0 +) f(x 0 ) x x 0 für x x 0 bzw. 0 einen (endlicen!) Grenzwert at, welcer dann mit f (x 0 ) bezeicnet wird.istf inallen Punktenaus I differenzierbar, wirddiezuordnungx f (x) dieableitung vonf genannt.alternativebezeicnungenfürdieableitungf (x)sindf(x), df(x) dx und d dx f(x). Den Kern dieser Definition kann man in der folgenden Formel zusammenfassen: f (x 0 ) df(x 0) dx d dx f(x f(x) f(x 0 ) f(x 0 +) f(x 0 ) 0) : x x 0 x x 0 0 Satz: Ist eine Funktion f : I R in einen Punkt x 0 I ableitbar, dann ist sie auc stetig in x 0. Beweis: Zu zeigen ist x x0 f(x) f(x 0 ) oder äquivalent dazu x x0 (f(x) f(x 0 )) 0. Durc Erweitern mit (x x 0 ) kann man diesen zweiten Grenzwert auf die Ableitung zurückfüren: (f(x) f(x 0 ))(x x 0 ) (f(x) f(x 0 )) x x 0 x x 0 x x 0 (f(x) f(x 0 )) (x x 0 ) x x 0 (x x 0 ) x x 0 f (x 0 ) 0 0 Actung: Stetigkeit ist keine inreicende Voraussetzung für die Differenzierbarkeit. Davon kann man sic leict überzeugen, wenn man die Betragsfunktion f(x) x an der Stelle x 0 0 betractet. Offensictlic ist f überall stetig, aber für x 0 0 at der Differenzenquotient f(x) f(x 0 ) x x 0 den linksseitigen Grenzwert und den rectsseitigen Grenzwert, es gibt also 50

2 keinen Grenzwert und damit keine Ableitung in diesem Punkt. Die folgende geometrisce Interpretation der Ableitung gibt eine etwas anscaulicere Erklärung für dieses Veralten. Geometrisce Deutung der Ableitung Ist eine Funktion f : I R in einen Punkt x 0 I ableitbar, dann kann man an der Stelle (x 0,f(x 0 )) eindeutig eine Tangente an den Funktionsgrapen von f anlegen und die Ableitung f (x 0 ) repräsentiert den Anstieg dieser Tangente. Diese Interpretation resultiert aus der Tatsace, das für jedes x x 0 der Differenzenquotient f(x) den Anstieg der Gerade durc die zwei Punkte (x 0,f(x 0 )) und (x,f(x)) (in der Abbildung gestricelt) bescreibt. Diese Gerade ist eine Sekante des Funktionsgraps und durc die Grenzwertbildung x x 0 wird die Sekante zur Tangente und der Differenzenquotient get gegen die Ableitung f (x 0 ). x f(x) f(x 0) x x 0 f (x) f (x ) 0 x f (x) x 0 x Analytisce Deutung der Ableitung Man kann mit Hilfe der Ableitung f (x 0 ) das Veralten der Funktion in einer (kleinen) Umgebung von x 0 approximieren: f(x) f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )) Diese Approximation wäre eine Identität, wenn man an Stelle von f (x 0 ) den Differenzenquotienten f(x) f(x 0) x x 0 einsetzen würde. Da f (x 0 ) der Grenzwert des Differenzenquotienten für x x 0 ist, gilt diese Approximation in einer Umgebung von x 0. Pysikalisce Deutung der Ableitung In der Pysik wird die Ableitung einer in der Zeit veränderlicen Größe äufig zur Bescreibung einer neuen pysikaliscen Größe verwendet. Betractet man beispielsweise den von einem fallenden Gegenstand zurückgelegten Weg s(t) als eine von der Fallzeit t abängigen Größe, dann bescreibt der Differenzenquotienten s(t) s(t 0) t t 0 die Durcscnittsgescwindigkeit zwiscen den Zeitpunkten t 0 und t und folglic carakterisiert die Ableitung f (t) ds(t) dt die Momentangescwindigkeit zum Zeitpunkt t. Beispiele: Die Ableitungen einiger Standardfunktionen können direkt an Hand der Definition bestimmt werden: ) Die Ableitung einer konstanten Funktion f(x) c ist f (x) 0 und die Ableitung der identiscen Funktion g(x) x ist g (x). c c (x+) x 0 und

3 ) Die Ableitung der Funktion f(x) x n ist f (x) n x n. Man kann das mit Induktion über n und der Produktregel (näcster Satz) beweisen, aber auc mit dem folgenden direkten Argument unter Verwendung des Binomiscen Satzes: (x+) n x n 0 0 ( n ( n i0 i ) x n i i) x n n i (x n +n x n + 0 [ n ( n n x n + 0 i i n x n +0 n x n ( n ) i x n i i x n )x n i i ] 3) Die Ableitung der Wurzelfunktion f(x) x ist f (x) x. x+ x (x+) x 0 0 ( x++ x) 0 x++ x x 4) Zur Ableitung der Sinusfunktion verwendet man das Additionsteorem sowie die Grenzwerte x 0 x sinx cosx und x 0 x 0 (kleine Übung): sin sin(x+) sinx sinx cos+sin cosx sinx x 0 0 sinx cos + cosx sin 0 0 (sinx) 0+cosx cosx Um die Ableitungen von weiteren Funktionen zu bestimmen, verwendet man vor allem die folgenden zwei Sätze. Satz (Differentiationsregeln): Sei I ein offenes Interavll, f, g : I R differenzierbar auf I und c R, dann sind auc die folgenden Verknüpfungen von f und g differenzierbar und es gilt: [f(x)+g(x)] f (x)+g (x) [c f(x)] c f (x) [f(x) g(x)] f (x) g(x)+f(x) g (x) [ ] f(x) f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) (g(x)) für alle x I mit g(x) 0 Beweis: Die Herleitung der ersten zwei Regeln ist trivial, für die Produktregel reict ein einfacer Trick, mit den eine additive Null eingescoben wird, und die Nutzung der Stetigkeit von g: [f(x) g(x)] 0 f(x+)g(x+) f(x)g(x) f(x+)g(x+) f(x)g(x+)+f(x)g(x+) f(x)g(x) 0 g(x+) f(x+) f(x) + f(x) g(x+) g(x) 0 0 f (x) g(x)+f(x) g (x) 5

4 [ ] Zum Beweis der Quotientenregel beweist man g(x) g (x) durc: (g(x)) 0 g(x+) g(x) 0 g(x) g(x+) g(x+) g(x) 0 und wendet dann die Produktregel auf [ f(x) g(x)] an. g(x) g(x+) 0 g(x+) g(x) g (x) (g(x)) Satz (Kettenregel): Seien g : I R und f : I R Funktionen, so dass g in x 0 I und f in g(x 0 ) I differenzierbar sind, dann ist die verkettete Funktion fg(x) f(g(x)) differenzierbar in x 0 und es gilt (fg) (x 0 ) f (g(x 0 )) g (x 0 ). Beweis: Die alternative Formulierung dieses Satzes lautet df dx df dz dz wobei man z g(x) setzt. dx Darin ist bereits die Beweisidee entalten: Ein einfaces Kürzen des Differentials dz - wie diese Formel suggeriert - ist nict korrekt, aber wenn man diese Idde des Kürzens auf die Differenzenquotienten überträgt und die Stetigkeit der Funktion g beactet, ergibt sic ein Beweis des Satzes. fg(x 0 +) fg(x 0 ) (fg(x 0 +) fg(x 0 )) (g(x 0 +) g(x 0 )) 0 0 (g(x 0 +) g(x 0 )) f (g(x 0 ))g (x) Anwendungen: ) Die Ableitung der Funktion f(x) x 3 x x kann man mit der Produktregel bestimmen: f (x) x+x 3 x x ) Die Ableitung der Cosinusfunktion kann man mit Hilfe der Kettenregel auf die Ableitung der Sinusfunktion zurückfüren. Wegen cosx sinx+ π setzt man g(x) x+ π und f(y) siny: cos x (sin (x+ π )) cos(x+ π ) sinx 3) Mit der Quotientenregel kann man jetzt die Ableitungen von Tangens und Cotangens ausrecenen: tan x und analog cot (x) sin x. Höere Ableitungen cos cos sinx ( cosx) cos x cos x+sin x cos x cos x Ist eine Funktion f : I R differenzierbar über I, dann kann man auc die Ableitung f : I R auf Differenzierbarkeit untersucen. Wenn die Ableitung der Ableitung existiert, nennt man das die zweite Ableitung von f und kann diesen Prozess so lange wiederolen, wie die Ableitung der k-ten Ableitung existiert. Für diese öeren Ableitungen werden die folgenden Notationen verwendet: f (0) (x) : f(x) f () (x) f (x) : d dx f(x) f () (x) f (x) : d dx f (x) d dx f(x) f (k) (x) : d dx f(k ) (x) dk dx kf(x) 53

5 4. Mittelwertsatz der Differentialrecnung Definition: Sie f : D R eine Funktion, die auf einem Bereic D R definiert ist. f at im Punkt x 0 D ein globales Maximum (bzw. globales Minimum), falls für alle x D die Ungleicung f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )) erfüllt ist. f at im Punkt x 0 D ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum), falls ein ε > 0 existiert, so dass für alle x D mit x x 0 ε die Ungleicung f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )) erfüllt ist. Man verwendet den Begriff Extremstelle als Oberbegriff für lokales Minimum und lokales Maximum. Satz: Sei f eine auf einem offenen Intervall I differenzierbare Funktion, und x 0 I eine lokale Extremstelle, dann ist f (x 0 ) 0. Beweis: Angenommen, f at in x 0 ein lokales Maximum und f(x 0 ) f(x) für alle x I mit x x 0 < ε. Dann ist f(x 0 +) f(x 0 ) 0 für alle < ε. Da f in x 0 differenzierbar ist, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten f(x 0+) f(x 0 ) für 0. Da der Zäler des Differenzenquotienten für kleine Werte von nict positiv werden kann, entsteen bei der Betractung des linksseitigen bzw. rectsseitigen Grenzwerts ( 0 bzw. 0+ ) immer Werte 0 (bzw. 0). Da aber links- und rectsseitiger Grenzwert gleic sein müssen, ergibt sic 0 0 f(x 0 +) f(x 0 ) 0+ f(x 0 +) f(x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 Der Beweis für lokale Minima ist analog, mit dem einzigen Unterscied, dass der Zäler des Differenzenquotienten für kleine Werte von nict negativ werden kann. Mittelwertsatz: Sei f : [a,b] R eine Funktion, die stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b) ist, dann gibt es ein x 0 (a,b), so dass der Anstieg der Tangente in (x 0,f(x 0 )) mit dem durcscnittlicen Anstieg der Funktion im Interval [a, b] übereinstimmt, d.. f (x 0 ) f(b) f(a) b a f(b) f(a) a x b 0 Beweis: Wir beweisen zuerst einen Spezialfall - auc als Satz von Rolle bekannt - bei dem f(a) f(b) vorausgesetzt wird. In diesem Fall ist f(b) f(a) 0 und folglic muss ein x 0 (a,b) mit f (x 0 ) 0 gefunden werden. Als stetige Funktion auf [a,b] muss die Funktion f ein globales Maximum M und ein globales Minimum m annemen. Es reict aus zu wissen, dass eine dieser Extremstellen im Inneren des Intervalls liegt. Dazu betracten wir die folgenden drei Situationen: 54

6 . Ist M m, dann ist die Funktion f konstant auf [a,b] und damit ist die Ableitung an jeder Stelle gleic 0.. Ist M > f(a), dann gibt es einen Punkt x 0 (a,b) mit f(x 0 ) M und folglic f (x 0 ) In allen noc nict gelösten Situationen ist m < M f(a) f(b), d.. jede Stelle x 0, an der f den Wert m annimmt, liegt im Inneren des Intervalls und f (x 0 ) 0. Zum Abscluss wird der allgemeine Fall auf den gelösten Spezialfall zurückgefürt. Dazu definiert man die Hilfsfunktion (x) : f(x) (x a) f(b) f(a). b a Offensictlic iststetig auf[a,b], differenzierbarauf (a,b) und(a) f(a) (b) unddamit existiert ein x 0 (a,b) mit (x 0 ) 0. Die Beauptung für f folgt dann aus (x a) durc einfaces Umstellen der Gleicung: 0 (x 0 ) f (x 0 ) f(b) f(a) b a f (x 0 ) f(b) f(a) b a Folgerung : Füreine auf einem offenen Intervall differenzierbarefunktion f : I R gelten die folgenden Implikationen: f (x) > 0 auf I f ist streng monoton wacsend f (x) < 0 auf I f ist streng monoton fallend f (x) 0 auf I f ist monoton wacsend f (x) 0 auf I f ist monoton fallend f (x) 0 auf I f ist konstant Beweis: Alle Beautungen kann man mit einem indirekten Ansatz aus dem Mittelwertsatz ableiten. Für den ersten Punkt nimmt man an, dass f nict streng monoton wacsend wäre, d..zweiwertea,b I mita < bundf(a) f(b)existieren.danngibtesnacmittelwertsatz ein x 0 (a,b) I mit f (x 0 ) f(b) f(a) b a 0, was einen Widerspruc zur Voraussetzung ist. Alle anderen Punkte werden analog bewiesen. Folgerung : Für zwei auf einem offenen Intervall differenzierbare Funktionen f,g : I R mit f (x) g (x) auf I gibt es ein c R, so dass f(x) g(x)+c für alle x I. Beweis: [f(x) g(x)] f (x) g (x) 0 auf I f(x) g(x) ist konstant. Stationäre Punkte und lokale Extrema Definition: Nullstellen dererstenableitungf (x) werdenstationäre Punkte von f genannt. Wie bereits bewiesen, ist jede lokale Extremstelle auc ein stationärer Punkt. Es stellt sic die Frage, wann an einem stationären Punkt ein lokales Extremum liegt. Die nacfolgenden notwendigen und inreicenden Bedingungen für lokale Extrema ergeben sic unmittelbar aus Folgerung. Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum an der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0, d.. x 0 ist stationärer Punkt. Hinreicende Bedingung für ein lokales Maximum an der Stelle x 0 : f ist streng monoton wacsend in einer Umgebung links von x 0 und streng monoton fallend in einer Umgebung rects von x. Damit ist es inreicend, wenn links von x 0 die Bedingung f (x) > 0 und rects von x 0 die Bedingung f (x) < 0 erfüllt ist. 55

7 Hinreicende Bedingung für ein lokales Maximum an der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0 und f (x 0 ) < 0 Hinreicende Bedingung für ein lokales Minimum an der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0 und f (x 0 ) > 0 Krümmung von Kurven Definition: Die Krümmung der Funktionskurve einer zweifac differenzierbaren Funktion wird durc die zweite Ableitung bescrieben. Die Kurve ist an der Stelle x 0 linksgekrümmt (oder konvex von unten), wenn f (x 0 ) > 0, und sie ist rectsgekrümmt (oder konvex von oben), wenn f (x 0 ) < 0. Die Funktion f at an der Stelle x 0 einen Wendepunkt wenn an dieser Stelle eine Linkskrümmung in eine Rectskrümmung überget, oder umgekert. Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle x 0 : f (x) 0. Hinreicende Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0 und f (x 0 ) 0 Satz (Verallgemeinerter Mittelwertsatz): Seien f, g : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a,b) sowie g (x) 0 für alle x (a,b)). Dann existiert ein x 0 (a,b) mit f (x 0 ) g (x 0 ) f(b) f(a) g(b) g(a) Beweis: Wegen g (x) 0 ist g entweder streng monoton wacsend oder fallend und folglic g(a) g(b). Wir definieren eine Hilfsfunktion F(x) : f(x) f(b) f(a) g(b) g(a) g(x) für die offensictlic F(a) f(a) g(b) f(b) g(a) g(b) g(a) F(b) gilt und verwenden den Mittelwertsatz für F: x 0 (a,b)) F (x 0 ) f (x 0 ) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x) 0 f (x 0 ) g (x 0 ) f(b) f(a) g(b) g(a) Satz (Regel von Bernoulli-L Hospital): Seien f, g : (a, b) R zwei Funktionen, welce die folgenden Voraussetungen erfüllen: f und g sind differenzierbar auf (a,b) und g (x) 0 auf (a,b) x b f(x) x b g(x) 0 oder x b f(x) x b g(x) x b Dann ist: f (x) g (x) c R {± } f(x) x b g(x) c Analoge Aussagen gelten für die rectsseitigen Grenzwerte mit x a+ bzw. für beidseitige Grenzwerte, wenn eine Stelle in Inneren des Intervalls betractet wird. Beweis: Wir bescränken uns auf den Fall x b f(x) x b g(x) 0 und bilden mit f(b) g(b) : 0 eine stetige Erweiterung der Funktionen auf (a,b]. Nun kann für jedes 56

8 x (a,b) der verallgemeinerten Mittelwertsatz auf f und g im Intervall [x,b] angewendet werden und wir eralten: x 0 (x,b) f (x 0 ) g (x 0 ) f(b) f(x) g(b) g(x) f(x) g(x) Da das zu einem x geörende x 0 immer zwiscen x und b liegt, folgt bei Grenzwertbetractungen mit x b auc immer x 0 b und damit f(x) x b g(x) f (x 0 ) x 0 b g (x 0 ) c Wie das folgende Beispiel zeigt, sind viele Anwendungen dieser Regel nict ganz offensictlic und ergeben sic erst nac einigen Umformungen: ( ) x 0+ x cosx f(x) {}}{ cosx x f (x) x 0+ x ( cosx) x 0+ g }{{} (x) g(x) sinx x 0+ ( cosx)+x sinx 4.3 Ableitung von Umkerfunktionen Wie allgemein über Funktionen bekannt ist, at eine Funktion f : A B genau dann eine Umkerfunktion, wenn sie bijektiv, also injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall ist die Umkerfunktion g f : B A eindeutig durc die folgenden Eigenscaften carakterisiert: fg Id B und gf Id A d.. f(g(x)) x für alle x B und g(f(x)) x für alle x A Dabei ist die Eigenscaft fg Id B äquivalent zur Surjektivität unddie Eigenscaft gf Id A äquivalent zur Injektivität von f. Man kann jede Funktion als surjektive Funktion auffassen, indem man den Wertebereic auf das tatsäclice Bild des Definitionbereics einscränkt, z.b. den Wertebereic der Sinusfunktion von R auf [,]. Im Gegensatz dazu muss man, um eine Funktion injektiv zu macen, den Definitionsbereic einscränken und verliert dadurc einen ecten Teil der Funktion. Zum Beispiel müßte man den Definitionsbereic einer konstanten Funktion auf einen einzigen Punkt einscränken. Für viele Funktionen, insbesondere die Winkelfunktionen, sind solce Einscränkungen des Definitionsbereics aber ser sinnvoll und füren zur Einfürung von Umkerfunktionen. Definition: Sei f : D R eine Funktion mit Definitionsbereic D R. Man nennt f umkerbar auf D D, falls die eingescränkte Funktion bijektiv ist. f D : D f(d ) Im(f D ) Beispiel: Die Funktion f(x) x ist auf irem Definitionsbereic D R nict injektiv. Diese Funktion ist aber umkerbar auf R 0 [0, ), denn die Funktion f R 0 : R 0 R 0 ist bijektiv und at die Umkerfunktion f (x) x. Die Funktion f(x) x ist aber auc über R 0 (,0] umkerbar, wobei man die Umkerfunktion durc f (x) x bescreiben kann. 57

9 Es ist bekannt, dass für umkerbare Funktionen f die Grapen der Funktion f und der Umkerfunktion f zueinander gespiegelt sind an der Geraden y x. Für stetige Funktionen über einem Intervall ist Umkerbarkeit äquivalent zur Eigenscaft streng monoton wacsend oder streng monoton fallend zu sein. Der folgende Satz stellt diese Eigenscaften in einen Zusammenang mit der Differenzierbarkeit der Funktion f und irer Umkerfunktion. Satz: Sei f : D R eine Funktion, die auf einem Intervall I differenzierbar ist, wobei zusätzlic f (x) 0 für alle x I vorausgesetzt wird. Dann ist f umkerbar über I. Die Umkerfunktion g f : f(i) I ist in allen x f(i) differenzierbar und es gilt g (x) f (g(x)). Beweis: Nac Definition at die Ableitung von f an der Stelle g(x) die Form f (g(x)). Da g stetig ist, reict x x aus, um y g(x ) g(x) sicerzustellen: y g(x) Beispiele: f(y) f(g(x)) y g(x) f (g(x)) f(g(x )) f(g(x)) x x g(x ) g(x) x x x x g (x) x x g(x ) g(x) g(x ) g(x) x x aus g f folgt fg Id. f(x) x 3 mit f : R R f (x) 3x 0, f ist streng monoton wacsend, also ist f umkerbar. Bekanntlic nennt man die Umkerfunktion die dritte Wurzel aus x und durc Anwendung des Satzes erält man die Ableitung dieser Wurzelfunktion: f (x) 3 x f(x /3 ) ( 3 ) x 3( 3 x) 3 x. Etwas allgemeiner können wir beliebige ganzzalige Potenzen von x betracten und dabei zwei Fälle untersceiden: f(x) x n, n gerade, f ist umkerbar über R + oder f(x) x n, n ungerade, f ist umkerbar über R f (x) n x x n ( n ) x n( n x) n x n+ n n Durc Anwendung der Kettenregel kann man jetzt auc die Ableitung für beliebige rationale Potenzen von x bilden. Zur Erinnerung beginnen wir mit der Definition: f α (x) x α mit α m n Q, n > 0 f α (x) 3 ( n x) m falls m > 0 falls m 0 ( n x) m falls m < 0 58

10 Um die Untersceidung zwiscen geraden und ungeraden Wurzeln zu vermeiden, wird R + als eineitlicer Definitionsbereicfestgelegt. Jetzt kanndiekettenregel angewendet werden: f α(x) m ( n x ) m m n ( n x ) m (n ) m n ( n x ) m n m n xm n n α x α Umkerfunktionen der Winkelfunktionen n ( n x) n Die Funktion sin : R [,] ist umkerbar auf [ π, π ], da die Ableitung cosx in diesem Bereic 0 ist (also ist sin streng monoton wacsend). Die Umkerfunktion auf diesem Bereic arcsin : [,] [ π, π ] nennt man den 0-ten Zweig der Arcus-Sinus-Funktion) π / arcsin x sin x π / π Der. Zweig wäre z.b. die Umkerung von sin auf [ π, 3π ]. Ableitung der Umkerfunktion: Aus arcsinx [ π, π ] folgt, dass in diesem Bereic cos(arcsinx) 0 gilt. Desalb kann die Identität sin y+cos y für y [ π, π ] in cosy sin y aufgelöst werden. Jetzt wird wieder der Satz angewendet: (arcsinx) cos(arcsin x) sin (arcsinx) x Analog ist die Funktion cos : R [, ] umkerbar auf [0, π]. Für die Umkerfunktion arccos : [,] [0,π] gilt: (arccosx) x 59

11 Die Funktion tan : R\{ π + kπ} (,+ ) ist umkerbar auf ( π, π ). Das kann man damit begründen, dass die Tangensfunktion auf ( π, π ) differenzierbar ist und die Ableitung (tanx) cos x überall positiv ist. Die Umkerfunktion arctan : R ( π, π ) ist folglic auc auf R differenzierbar. Die Ableitung von arctan x bestimmt man wieder mit dem Standardansatz: (arctanx) tan (arctanx) cos (arctanx) sin (arctanx)+cos (arctanx) cos (arctanx) tan (arctanx)+ x + Analog ergibt sic für die Umkerfunktion arccot : R (0,π) (arccot x) x + Exponentialfunktion und der natürlice Logaritmus ( Für die Exponentialfunktion exp(x) + x n n n) e x muss zuerst die Ableitung bestimmt werden. Hier ist die Grundidee dazu: d dx exp(x) d ( dx + x ) n n n? d ( + x ) n n dx [ n ( n + x ) ] n n n n ( ) + x n e x n n n ( + x n) ex Die mit Fragezeicen verseene Gleiceit ist kein korrekter Scritt, denn allgemein kann man Grenzwertbildung und Ableitung nict vertauscen. Eine genaue Begründung dafür, dass die Ableitung von e x wieder e x ist, erfolgt mit dem Mittelwertsatz. Da die Ableitung der Exponentialfunktion überall positive Werte at, ist die Exponentialfunktion selbst streng monoton wacsend und folglic umkerbar über R. Für die Umkerfunktion ln : R + R ergibt sic nac unserer Regel die folgende Ableitung: ln x exp (lnx) exp(lnx) x Hyperbelfunktionen und ire Umkerfunktionen Die Hyperbelfunktionen sin, cos, tan und cot weisen nict nur durc ire Bezeicner eine Änlickeit zu den Winkelfunktionen auf, sondern zeigen auc insictlic einiger Recenregeln und irer Ableitungen ein änlices Veralten. Dagegen untersceiden sic ire 60

12 Grapen ser auffällig von denen der Winkelfunktionen, denn sie sind keine zykliscen Funktionen. Sie werden ier besprocen, weil sie später als grundlegende Stammfunktion in der Intgralrecnung eine wictige Rolle spielen werden. Daneben spielt die Funktion cos auc in einigen praktiscen Anwendungen eine wictige Rolle, weil ir Grap eine sogenannte Kettenlinie bescreibt. Das die Form einer Kette, die zwiscen zwei Punkten in gleicer Höe aufgeangen ist. Die Hyperbelfunktionen sind wie folgt definiert: sinx : ex e x cosx : ex +e x tanx : sinx cosx ex e x e x +e x cotx : cosx sinx ex +e x e x e x 3 cos x 3 cot x sin x tan x y 3 y cot x Die bereits angekündigten Analogien zu den Winkelfunktionen bezieen sic auf Symmetrieeigenscaften, Additionsteoreme und die Identität sin x + cos x. Sie nemen für die Hyperbelfunktionen die folgende Gestalt an: i) sin x sinx und cos x cosx ii) sinx+y sinxcosy +cosxsiny cosx+y cosxcosy +sinxsiny iii) cos x sin x Wie man mit den Ableitungen der Exponentialfunktion leict nacrecnen kann, aben die Hyperbelfunktionen folgende Ableitungen: sin x cosx tan x cos x cos x sinx cot x sin x Die Funktion sinx ist auf R stetig, streng monoton wacsend und weder von oben noc von unten bescränkt. Somit gibt es eine auf R definierte Umkerfunktion arsinx. Die Funktion cosx ist auf [0, ) stetig, streng monoton wacsend und nict von oben bescränkt. Somit gibt es eine Umkerfunktion arcos : [, ) [0, ). Die explizite Form von arsinx kann man durc Auflösung der Funktionsgleicung y ex e x nac x berecnen (Trick: Mit e x 6

13 erweitern, die quadratisce Gleicung (e x ) ye x 0 lösen und dann den natürlicen Logaritmus verwenden). Eine analoge Betractung kann auc für arcosx angestellt werden und man erält: ( arsinx ln x+ ) x + für alle x R ( arcosx ln x+ ) x für alle x [, ) Zur Ableitung der beiden Umkerfunktionen gibt es nun zwei versciedene Wege: Entweder man leitet die explizite Form direkt mit der Kettenregel ab oder man get wieder überden allgemeinen Ansatz g (x) f (g(x)), wobei dann für g(x) die explizite Form der Umkerfunktion verwendet wird. Bei beiden Ansätzen können die entstandenen Ausdrücke weiter vereinfact werden (wobei das über den direkten Weg etwas einfacer ist) und man erält letztlic: arsin x x + arcos x x für alle x R für alle x (, ) 6