Physik in der Praxis: Fortgeschrittenen-Praktikum

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1 MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT I INSTITUT FÜR PHYSIK Pysik in der Praxis: Fortgescrittenen-Praktikum 1. Versuc: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten Durcfürung Abgabe am Übungsleiter Dr. Rüdiger Mitdank Bearbeiter Lucas Hackl (529242) Benjamin Maier (529225)

2 Inaltsverzeicnis Humboldt-Universität zu Berlin Matematisc-Naturwissenscaftlice Fakultät I Institut für Pysik Pysik in der Praxis: Fortgescrittenen-Praktikum Lucas Hackl (529242) & Benjamin Maier (529225) 1 Einfürung 3 2 Leitwerte versciedener Proben Systematiscer Feler der Messung Leitwert des MODFETs (Quantenfilm) Quantisierter Leitwert Abbildungsverzeicnis 2 MODFET-Leitwert Subbänder Verwendete Messgeräte SR830 DSP Lock-In-Verstärker Computer mit LabVIEW Software Abstract Im Ramen dieses Experiments untersucten wir das Pänomen der quantisierten Leitfäigkeit bei Quantenpunktkontakten aus GaAs/AlGaAs-Strukturen: Nac einer Kalibrierung der Messaperatur an Präzisionswiderständen testeten wir zunäcst die Funktionsweise eines Feldeffekttransistors (MODFET), der ein zweidimensionales Elektronengas ausbildet und dabei als Vorstufe eines Quantenpunktkontakts zu seen ist. Im näcsten Scritt verwendeten wir dann einen so ergestellten Quantenpunktkontakt, um die Quantisierung des Leitwerts zu messen, welce durc Ausbildung steender Elektronenwellen zustande kommt. 1. Versuc: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten 2

3 1 Einfürung Humboldt-Universität zu Berlin Matematisc-Naturwissenscaftlice Fakultät I Institut für Pysik Pysik in der Praxis: Fortgescrittenen-Praktikum Lucas Hackl (529242) & Benjamin Maier (529225) Der Leitwert eines elektriscen Bauteils ist das Inverse des elektriscen Widerstands und gibt an, wie gut ein elektrisces Bauteil Strom leitet, wenn eine Spannung angelegt wird. Quantenpunktkontakte werden meistens erzeugt, indem eine onein scon effektivzweidimensionale leitende Scict auf mecaniscem oder cemiscem Weg so abgetragen wird, dass über eine gewisse Länge nur ein dünner Steg bleibt diese Struktur, welce einem Quantendrat änelt, weist bei Messung des Leitwerts ein carakteristisces Veralten auf: Bei Anlegen einer Spannung springt der gemessene Leitwert in Vielfacen von 2e2, es findet also eine Quantisierung des Leitwerts statt. Die Quantisierung des Leitwerts lässt sic mitilfe der Quantenmecanik bescreiben, indem der effektiv eindimensionale Bereic des Quantenpunktkontakts als effektives Kastenpotential mit carakteristiscer Breite l x und Dicke l y modelliert wird. Für die Wellenfunktionen in die entsprecenden Rictungen gilt demnac ) ) ψ(x) = A sin (nπ xlx sin (mπ yly. Die zugeörigen Wellenzalen ergeben sic dabei gemäß k x = n π l x bzw. k y = m π l y (mit zugeörigen Impulsen gemäß p = k). Es bilden sic also senkrect zur Durcgangsrictung steende Elektronenwellen aus, die einen Energiebeitrag E nm = p2 2m e = π2 2 2m e ( n 2 l 2 x ) + m2 ly 2 liefern. Da in Bewegungsrictung die carakteristiscen Längen deutlic größer sind, ist die Wellenzal k z in Bewegungsrictung quasi kontinuierlic und liefern den zusätzlicen Energiebeitrag E z = 2 k 2 z 2m e. Die Gesamtenergie der möglicen Energiezustände ergibt sic damit zu E ges = E nm + E z. Zusammen mit dem Pauli-Prinzip, welces voraussagt, dass jeder dieser Zustände von nur zwei Elektronen mit gegengerictetem Spin besetzt werden kann, lässt sic mit diesem Wissen die Zustandsdicte in Abängigkeit von der Energie inneralb des Quantenpunktkontakts berecnen. Denn für die Zustandsdicte in effektiv eindimensionalen Systemen gilt D(E)dE = 1 π m 2E de. 1. Versuc: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten 3

4 Humboldt-Universität zu Berlin Matematisc-Naturwissenscaftlice Fakultät I Institut für Pysik Pysik in der Praxis: Fortgescrittenen-Praktikum Lucas Hackl (529242) & Benjamin Maier (529225) Abbildung 2: Leitwert in Abängigkeit der angelegten Gate-Spannung. Markiert sind die drei wictigen Bereice des MODFETs sowie der Serienleitwert der Scaltung Legt man nun eine kleine Spannung dv an, so folgt ein kleiner Strom di = dnev mit der kleinen linearen Elektronendicte dn an Elektronen der Gescwindigkeit v mit Elementarladung e. Mit der bekannten Zustandsdicte D(E) an der Fermikante sorgt eine Spannung dv für eine Energieversciebung de = e dv, welce dn = D(E)dE = D(E)edV Elektronen pro Längeneineit über die Fermikante ins Valenzband ebt. Für die Gescwindigkeit können wir ferner närungsweise 2E v = m gemäß der bekannten Mittelwertsbezieung E = m 2 v2 ansetzen. Damit folgt für den resultierenden elektriscen Strom di = D(E)ve 2 dv = 1 π m 2E 2E m e2 dv = 2e2 dv. Durc die Quantisierung der Wellenzalen in zwei Rictungen entsteen jedoc merere Subbänder, die 1. Versuc: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten 4

5 Humboldt-Universität zu Berlin Matematisc-Naturwissenscaftlice Fakultät I Institut für Pysik Pysik in der Praxis: Fortgescrittenen-Praktikum Lucas Hackl (529242) & Benjamin Maier (529225) alle für sic genommen das gerade bestimmte Veralten zeigen, also naceinander besetzt werden und jeweils einen Leitwert von G = di dv = 2e2 beisteuern folglic wird unter der Voraussetzung, dass durc inreicende Külung die Fermikante relativ scarf ausgeprägt ist, die Eröung der Spannung eine Eröung der Leitfäigkeiten in Vielfacen von 2e2 bewirken. Die Subbänder werden sukzessive besetzt, wie in Abbildung 1 zu betracten ist. Abbildung 1: Subbänder und Zustandsdicte für eindimensionales Elektronengas, aus [3] 2 Leitwerte versciedener Proben 2.1 Systematiscer Feler der Messung Die Messung des Leitwerts einer Probe erfolgt durc einen Lock-In-Verstärker SR830 DSP mit Mess-Referenzsignal der Amplitude U = 10 mv und der Frequenz ν = 433 Hz. Die Integrationszeit beträgt t = 0.1 s, sodass etwa über 50 Perioden gemittelt wird. Um die Abweicung zwiscen tatsäclicem Leitwert und dem mit Lock-In-Verstärker gemessenem Leitwert zu bestimmen, werden vorerst Messungen an Präzisionswiderständen durcgefürt. Im Idealfall sollte stets R exp = R Box gelten, wobei R exp der inverse gemessene Leitwert ist und R Box der an einer Widerstandsbox eingestellte Widerstand. In der realen Messung wird sic durc systematisce Abweicungen eine Funktion der Form R(R Box ) = ar Box + R S einstellen, sodass spätere Messungen mit G(G exp ) = a 1 G exp (1) korrigiert werden können. R S ist der serielle Widerstand der Scaltung (ier bei Verwendung der Widerstandsbox) und wird desalb nict mit in die Korrektur einbezogen. Der Effekt des Serienwiderstands auf die Messung muss scaltungsspezifisc untersuct werden. Abbildung?? zeigt die Messwerte und die durcgefürte lineare Regression, wobei für jeden Widerstand zenmal gemessen und der Mittelwert gebildet wurde. Die Feler ergeben sic aus statistiscem Feler und systematiscem Feler der Widerstandsbox. Die systematisce Abweicung zwiscen gemessenem und angegebenem Widerstand beträgt somit a = ± 0.001, damit ist die systematisce Abweicung zwiscen gemessenem Leitwert und tatsäclicem Leitwert von einem Faktor a 1 = ± Das rect oe χ 2 /d.o.f. zeigt eine Unterscätzung der zufälligen Feler bzw. nict normalverteilte Messwerte um die Regression. Dies ist aber aufgrund der geringen Zal an Messwerten nict überrascend. 1. Versuc: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten 5

6 Humboldt-Universität zu Berlin Matematisc-Naturwissenscaftlice Fakultät I Institut für Pysik Pysik in der Praxis: Fortgescrittenen-Praktikum Lucas Hackl (529242) & Benjamin Maier (529225) 2.2 Leitwert des MODFETs (Quantenfilm) In einem MODFET kommt es in der Grenzscict zweier Materialien durc Dotierung zu einer kleinen Potentialmulde, welce die Fermikante unterscreitet. Damit können sic Elektronen an dieser Stelle sammeln und bilden längs dieses Potentialminimums närungsweise Eigenzustände des armoniscen Oszillators aus, wärend sie sic in den anderen beiden Dimensionen (also senkrect zum Materialübergang) bewegen können. Dabei besitzen die Elektronen eine geringe effektive Masse verglicen mit der freien Elektronenmasse und somit entstet ein leitender Quantenfilm, der energetisc etwas unter dem Ferminiveau liegt. Es wird mitilfe von flüssigem Helium bei T = 4.2K gemessen, bei der die Elektronen scarf der Fermiverteilung folgen und sic somit naezu alle Elektronen in Zuständen bis zur Fermienergie befinden. Dies ist wictig, um ein Verscmieren der Zustände zu verindern, welces aufträte, würde man bei öeren Temperaturen messen, bei denen Elektronen auc weit über der Fermikante angeregt wären und so genügend Energie besäßen, um die Potentialmulde des zweidimensionalen Elektronengas zu verlassen. Die Leitfäigkeit des Elektronengases lässt sic ferner durc eine senkrect angelegte Spannung (Gate) steuern, welce die Fermikante relativ zum Bandverlauf versciebt und so die Weite des besetzbaren Bandes reguliert. Der Leitwert zwiscen Source- und Drain-Kanal wurde zweimal in Abängigkeit der Gatespannung gemessen, wobei für die Messung der MODFET der Struktur H verwendet wurde. Da sic die so gewonnenen Daten qualitativ ser äneln, quantitativ jedoc teilweise stark voneinander abweicen, wird für das Endergebnis ein korrigierter Mittelwert gebildet und eine Größtfelerabscätzung vorgenommen. Korrigiert eißt ier, dass der Mittelwert gemäß Gleicung 1 angepasst wurde. Als Feler wird die größte Abweicung zwiscen den Daten im gemessenen Bereic gewält und pytagoreisc mit dem Feler der Korrektur addiert. Das Ergebnis der Messungen ist in Abbildung 2 zu seen. Mit sinkender Gatespannung und unter einer Grenzspannung V t fällt der Strom exponentiell mit ( ) VG V t I(V G ) = I 0 exp bis der Transistor nict mer leitet. Dieser Bereic nennt sic Sperrbereic. V T ist ier eine temperaturabängige Spannung. Der Versuc, die Daten nae V G = 0.3V an die obige Funktion zu fitten, liefert keine braucbaren Resultate. Dies legt den Scluss nae, dass der Sperrbereic des MODFETs (und damit die Grenzspannung) bei einer Gatespannung V G 0.3V liegt. Im linearen Bereic verält sic der Transistor für kleine Spannungen zwiscen Drain- und Source-Kanal wie ein Om scer Widerstand, d.. der Leitwert steigt linear an. Im Sättigungsbereic wird im MODFET das komplette Leitungsband verwendet, weswegen sic bei steigender Gatespannung ein Plateau des Leitwerts der Gesamtscaltung einstellt. Dieses Plateau ist interpretierbar als der Serienleitwert der Gesamtscaltung und ergibt sic als Asymptote der Messung. Der zugeörige Serienwiderstand ist damit R S = (470 ± 20)Ω. 2.3 Quantisierter Leitwert Im Folgenden betracten wir den Leitwert eines Quantenpunktkontakts der Breite l x in einem MODFET. Die Quantisierung ist nur zu beobacten, wenn die Länge des Kontakts viel größer als dessen Breite l x ist [2]. Wenn die Fermiwellenlänge λ F in der gleicen Größenordnung von l x ist, fungiert der Kontakt als Wellenleiter. Damit Elektronen passieren können, muss λ F 2l x n gelten, woraus n k Fl x π folgt. Erlaubte De-Broglie-Wellenlängen der Elektronen müssen kleiner als die Fermiwellenlänge sein. Alle Moden m von Elektronenwellen mit m < n liefern einen Beitrag von 2e2 zum Leitwert, sodass sic scließlic die in der Einfürung betractete Quantisierung G n = n 2e2 V T 1. Versuc: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten 6

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