WALTER SCHOTTKY INSTITUT

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1 Lerstul für Halbleitertecnologie Lösung zur Zentralübung 3 Aufgabe 1: a Klassisce Betractung (i E 1 ev und V ev (ii E 4 ev und V ev > vollständige Reflexion R 1 > Transmission über die Stufe inweg, R Aber: im Experiment beobactet man auc im zweiten Fall reflektierte Teilcen. Erklärung? b Quantenmecanisce Betractung Die Potentialstufe kann wie folgt dargestellt werden: Skizze: V ( x V für x für x < Bereic I Bereic II Bereic I: V ( x Scrödinger-Gleicung me ψ ( x Eψ ( x ψ ( x ψ ( x m Allgemeiner Lösungsansatz: ψ kx kx ( x Ae + Be

2 Lerstul für Halbleitertecnologie Bestimmung des Wellenvektors Einsetzen in die Scrödingergleicung ergibt: kx kx kx ψ x Ae + Be k Ae + Be kx ( ( ( k ψ ( x Für den Wellenvektor k folgt: me k bzw. k ± m E (mit E > Bestimmung der Wellenfunktion: kx kx kx kx ( x Ae + Be 1 e + Re ψ (für x < Deutung: kx - Einfallender Teilcenstrom von links Amplitude von e + ist 1 - B bestimmt die Reflexionswarsceinlickeit an der Potentialstufe kx Amplitude von e ist R V x V Bereic II: ( Scrödinger-Gleicung m + V ψ ( x Eψ ( x m ψ x ( ( E V ψ ( x Allgemeiner Lösungsansatz: ψ qx qx ( x Ce + De Bestimmung des Wellenvektors Einsetzen in die Scrödingergleicung ergibt: qx qx qx ψ x Ce + De q Ce + De qx ( ( ( q ψ ( x Für den Wellenvektor folgt:

3 Lerstul für Halbleitertecnologie Falluntersceidung: ( E V m q bzw. q ± m ( E V q ( E > V ( E < V m E V m V E m V E ± q ± ± ± κ Bestimmung der Wellenfunktion: ( E > V ( E < V qx qx κx + κx ψ ( x Ce + De ψ ( x Ce + De D da kein einfallender Teilcenstrom von rects voranden D da die Wellenfunktion für verscwunden sein muss x C T da T die Transmissionswarsceinlickeit bestimmt C T da T die Transmissionswarsceinlickeit bestimmt qx ψ ( x Te (oszillatorisces Veralten ψ κx ( x Te (gedämpftes Veralten

4 Lerstul für Halbleitertecnologie Mit den beiden obigen Funktionen ist die Lösung der Differentialgleicung für die beiden Bereice x < und x > gegeben. WICHTIG: Die tatsäclice Lösung ( x Anscluss- und Stetigkeitsbedingungen Allgemein: ψ I ψ muss aber auc bei x lösen! ( x ψ ( x Stetigkeit der Wellenfunktion II ( x ψ ' ( x ψ ' I Stetigkeit der Ableitung der Wellenfunktion Stetigkeit der Wellenfunktion ( x ψ ( x ψ : I II ( E > V ( E < V II 1 k k q e + Re Te 1 + R T 1 e k + Re k 1 + R T Te κ Stetigkeit der Ableitung der Wellenfunktion ' ( x ψ ' ( x ψ : I ( E > V ( E < V k k ke k Re ( 1 R qt k qte q II ke k k Re k Te k κ κ ( 1 R κt einsetzen von T 1 + R (siee oben einsetzen von T 1 + R (siee oben ( 1 R q( 1 R k + k q R k + q k T 1 + R k + q ( 1 R κ ( 1 R k + k + κ R k κ k κ R k + κ k T 1 + R k + κ

5 Lerstul für Halbleitertecnologie Berecnung der Teilcenstromdicten für die Bereice I und II: Klassisce Definition: n v n Teilcendicte und v Gescwindigkeit Quantenmecanisce Definition: ( ψ * ψ v ( ψ * ψ Warsceinlickeitsdicte und k v v v Gruppengescwindigkeit T Gruppe m Quantenmecanisce Betractung: a Einlaufende Teilcenstromdicte : k k A 1 m m k m c Reflektierte Teilcenstromdicte R R k m : B R d Transmittierte Teilcenstromdicte : T ( E > V ( E < V q q T T T T m k Berecnung der Verältnisse zwiscen reflektierter und einfallender Teilcenstromdicte: ( E > V ( E < V

6 Lerstul für Halbleitertecnologie R R k q k + q.9% R R k k + κ κ 1% Berecnung der Verältnisse zwiscen transmittierter und einfallender Teilcenstromdicte: ( E > V ( E < V q 4kq T T 97.1% T % k ( k + q Obwol im Fall ( V E > die Energie öer ist als die Potentialstufe, wird ein Teil reflektiert. Dieses Pänomen ist eines der Besondereiten in der Quantenmecanik.

7 Aufgabe : WALTER SCHOTTKY INSTITUT Lerstul für Halbleitertecnologie a Neon ist ein Edelgas mit 1 Elektronen: Hauptquantenzal n Scalen (K,L steen für Verteilung der Elektronen zur Verfügung. Nur Übergänge zwiscen Scalen können angeregt werden! (Spektralanalyse Nebenquantenzal l n-l 1, d.. es steen nur s- und p-orbitale zur Verfügung. Die Gestalt dieser Orbitale, ob Kugel oder Kegel etc., wird durc l definiert. Wictig für gerictete Atombindungen wie kovalente Bindungen. Magnetisce Quantenzal m -l,..,l definiert Orientierung der Orbitale. Für die Elektronenkonfiguration von Neon gilt nun: 1Ne 1s s p 6 K und L Scale abgesättigt Stabile Elektronenkonfiguration Neon ist ein reaktionsträges, inertes Gas, wie alle Edelgase. Die Spinquantenzal s scließlic, durc die die Quantenzalen eines eden Elektrons eindeutig definiert sind (Pauli-Prinzip, ist mit der Rictung des magnetiscen (Spin- Moments eines Elektrons verknüpft. Zusammenfassen erält man also: Im Falle von nict ganz gefüllten Scalen wird die Besetzung der Orbitale durc die Hundscen Regeln festgelegt.

8 Lerstul für Halbleitertecnologie b Elektronenkonfiguration der Gruppe-IV-Elemente: 6C [He] s p 14Si 3Ge [Ne] 3s3p [Ar] 3d14s4p 5Sn [Kr] 4d 1 5s 5p Jedes dieser Elemente kann 4 Elektronen aufnemen, damit das eweilige p-orbital vollgefüllt ist und eine stabile Edelgaskonfiguration erreict ist. Im Falle von reinen Elementen ist aus Symmetriegründen nur eine kovalente Bindung möglic, die durc eine sog. sp 3 Hybridisierung (siee S. 9 im Skript erreict wird. Bei Misckristallen wie SiGe oder NaCl gibt die Differenz der Elektronegativität nac Pauling einen Analtspunkt über die Bindungsart, spric ob ionisc oder kovalent (neben dieser Skala gibt es noc weitere, z.b. at Milikan aus Ionisierungsenergie und Elektronenaffinität die Elektronegativitäten von Elementen abgeleitet: Beispiel: Si: E 1,74 Ge: E, ΔE,8 kovalente Bindung Na: E 1,1 Cl: E,83 ΔE 1,8 ionisce Bindung Ab einer Differenz der Elektronegativität von ca. >1,7 kann also von einer ioniscen Bindung gesprocen werden. Das Element mit der öeren Elektronegativität ist dabei stets das Anion. c I 6 Fe [Ar] 3d 6 4s Abgesclossene Scalen liefern keinen Beitrag. Elektronen im 4s-Orbital: 1 n 4, l, m, s ± S s 3d Orbital nict voll besetzt: 1. Hundsce Regel: S maximal (parallele Spins

9 Lerstul für Halbleitertecnologie s m n 3 l. Hundsce Regel: L maximal L m 3. Hundsce Regel: J L + S 4 (mer als alb voll II Anmerkung: Betractet man das Energiescema auf S. 3 des Skripts, so siet man, dass zuerst die 4s und dann die 3d Elektronen besetzt werden (Ausnamen: Cr u. Cu, da alb- bzw. vollgefüllte 3d-Scale besonders stabil. Man würde daer annemen, dass zuerst aus der 3d-Scale Elektronen ionisiert werden. Da die 3d Elektronen edoc stärker lokalisiert sind (näer am Kern also die 4s Elektronen, werden zuerst diese ionisiert. Daraus folg: Fe + [Ar] 3d 6 Nur die Elektronen des 4s-Orbitals felen (abgesclossene Scale. Spin-Einstellungen und Dreimpulse sind bei Fe + identisc mit Fe. III Fe 4+ [Ar] 3d 4 3d 6 3d 4 s m S L J L S (weniger als alb voll