Grundlegende Aufgaben zu Tangenten. Teil 1: Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner

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Volker Schumacher
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1 Grundlegende Aufgaben zu angenten ANALYSIS Ganzrationale Funktionen eil : Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner eil : rainingsaufgaben mit sehr ausführlichen Lösungen Oberstufe Datei 0 Stand:. August 009 Demo-ext für INERNEBIBLIOHEK FÜR SCHULMAHEMAIK

2 0 angenten Aufgaben Grundwissen über Geraden INHAL nach hemen geordnet Geradengleichungen Aufstellen einer Geradengleichung 5 Berechnung der Geradensteigung aus Punkten 5 Punkt-Steigungs-Form 6 Zwei-Punkte-Form 6 angentengleichung Berechnung der angentensteigung 7 Allgemeine angentengleichung 7 Mit I Nspire CAS, 8 Mit CASIO ClassPad Normalengleichung Berechnung der Normalensteigung 0 Allgemeine Normalengleichung 0 Mit I Nspire CAS, 8 Mit CASIO ClassPad Wendetangenten 5, 8, 5, 0 Mit I Nspire CAS 7, 9 Wendenormalen 5, 8 Mit I Nspire CAS 7, 9 angenten parallel zu einer Geraden 0,, 5, 7, 5, 66 Mit CASIO ClassPad angenten senkrecht zu einer Geraden,, 5 Normalen parallel zu einer Geraden,, 7 Normalen senkrecht zu einer Geraden,, 7 Demo-ext für Von einem Punkt Q die angente an K legen 5, 7, 55, 58, 60, 6, 66 Mit I Nspire CAS 6, 55, 59, 65 Mit CASIO ClassPad 9

3 0 angenten Aufgaben Schnitt eine angente oder Normalen mit der Kurve 5,, 6, 9, 5, 7, 5, 66 Horner-Schema bzw. Polynomdivision 5, 7,, 6, 9, 7, 5, 66 rainingsaufgaben 0 Kurvendiskussion 5, 6 Newtonsches Näherungsverfahren 6 Mit I Nspire 65 Demo-ext für

4 0 angenten Aufgaben Aufstellen einer angentengleichung / Normalengleichung. Grundwissen über Geraden Eine angente ist eine Gerade, welche eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Die Gleichung einer Geraden hat einer dieser drei Formen: () y = m x+ n falls die Gerade nicht parallel zur y-achse ist. () y = n falls die Gerade parallel zur x-achse ist. () entsteht aus () durch m = 0. (Eine zur x-achse parallele Gerade hat die Steigung 0.) () x = c falls die Gerade parallel zur y-achse ist. Bedeutung der Größen m und n in einer Geradengleichung: Unter der Steigung einer Geraden (die nicht zur y-achse parallel sein darf) versteht man den angens ihres Steigungswinkels: Kennt man zwei Punkte der Geraden, dann kann man diese Steigung wie angegeben berechnen. Welchem der beiden Punkte man die Nummer bzw. gibt, ist unerheblich. Beispiel (Abbildung) Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab. A( 0 ) und B( ) Daraus erhält man entweder m = = = 0 Die Gleichung dieser Geraden ist m y= x. oder ( ) m = = 0 Man erkennt die Steigung als Zahl vor x. Die Zahl - (ohne x) nennt man das Absolutglied. Es gibt die Stelle an, bei der die Gerade die y-achse schneidet. (Daher nennt man das Absolutglied in der Geradengleichung auch den y-achsen-abschnitt.) Warum ist das so? Ganz einfach: Will man wissen, wo die Gerade (oder eine andere Kurve) die y-achse schneidet, muss man für x 0 einsetzen. Und dann folgt hier y = =. Das war dann schon alles! 0 y y Δy = tanα = = x x Δx y= m x+ n Steigung A α y Achsen Abschnitt Demo-ext für Δx B Δy

5 0 angenten Aufgaben 5. Grundaufgabe : Aufstellen einer Geradengleichung Geometrisch gesehen ist die Lage einer Geraden gegeben, wenn man entweder zwei Punkt von ihr kennt, oder wenn man einen Punkt und ihre Richtung (Steigung m) kennt. Berechnung der Geradensteigung aus Punkten: Gegeben sind P ( x y ) und ( ) P x y. Dann berechnet man die Steigung der Geraden g = (P P ) als angens des Steigungswinkels α : Δy tanα= Δ x Unter Δ y und Δ x versteht man die Längen der beiden Katheten. Man berechnet sie als Differenz aus den Punktkoordinaten: y tanα= x y x. Methode zur Aufstellung einer Geradengleichung Man benötigt einen Punkt und die gegebene oder soeben berechnete Steigung m und verwendet die Gleichung: y = m x+ n. Dann muss man noch die Größe n (das ist der y-achsenabschnitt) berechnen. Dazu werden für m die Steigungszahl und für x und y die Koordinaten eines bekannten Geradenpunktes eingesetzt. Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und P ( ). Schritt: Berechnung der Steigung: 5 m = = =. Schritt: Berechnung des Achsenabschnitts durch Einsetzen von m und den Koordinaten von P in: y = m x+ n = + n Daraus folgt: n =. Schritt: Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung y = m x+ n: y = x P α Δx Demo-ext für P Δy

6 0 angenten Aufgaben 6. Methode zur Aufstellung einer Geradengleichung Verwendung der Punkt-Steigungs-Form: y y= m ( x x) Dies geht alles in einem Schritt: Man setzt die Koordinaten irgend eines Punktes der Geraden und ihre Steigung ein und stellt nach y um. Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und m = : Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form: y 5 = ( x ) Zusatz: Ausmultiplizieren: y 5 = x 6 +5 und umstellen: y = x Sind wie oben zwei Punkte gegeben, dann muss man zuerst die Steigung berechnen, bevor man die Punkt-Steigungs-Form anwenden kann: Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und P ( ) Zusatz:. Schritt: Berechnung der Steigung: 5 m = = =. Schritt: Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form: y 5 = ( x ) Ausmultiplizieren: y 5 = x 6 +5 und umstellen: y = x Sind wie oben zwei Punkte gegeben, dann kann man aber auch die Formel für die angentensteigung in die Punkt-Steigungs-Form einsetzen. So entsteht die Zwei-Punkte-Form: y y = ( ) oder kürzer geschrieben: y y y = Δ ( x x ) y y x x x x Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und P ( ) Einsetzen in die Zwei-Punkte-Form: y 5 = ( x ) 5 y 5 = x Demo-ext für Umformen: ( ) Ausmultiplizieren: y 5 = x 6 +5 und umstellen: y = x Δx Nun kann man sich aussuchen, was man nehmen möchte.

7 0 angenten Aufgaben 7. Grundaufgabe : Aufstellen einer angentengleichung Eine angente ist auch eine Gerade. Also kann man die beiden in. genannten Methoden anwenden. Zuvor muss man jedoch die angentensteigung berechnen. WISSEN: Die Steigung einer angente kann man mit der. Ableitungsfunktion berechnen: Setzt man in f' ( x ) die x-koordinate des Berührpunkts ein, erhält man als Wert die angentensteigung: ( ) m =f x ' Mit dieser Formel entsteht aus der Punkt-Steigungs-Form die angentengleichung: y y= f'(x) ( x x) Oder mit y f(x ) = : y f( x ) = f'(x) ( x x) f x = x x+ Beispiel : Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der angenten an den Stellen x = 0, x = und x = -. Lösung: Ableitungsfunktion: ( ) f' x = x a) Zu x = 0 gehört ( ) Der Berührpunkt ist somit: B ( 0 ). angentensteigung in B : ( ) y = f 0 =. m = f' 0 = B und m werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: angentengleichung: y = ( x 0) y = x : y = x+ b) Zu x = gehört ( ) y = f = 7 6+ = 9 6+ =. Der Berührpunkt ist somit: B ( ). angentensteigung in B : m = f' ( ) = 9 = 7 B und m werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Demo-ext für angentengleichung: y = 7( x ) y = 7x : y = 7x 7

8 0 angenten Aufgaben 8 c) Zu x = - gehört ( ) ( ) Der Berührpunkt ist somit: B ( ). angentensteigung in B : ( ) y = f = = + 5 = =. 7 m = f' = = B und m werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: angentengleichung: y 7 = ( x+ ) 7 y = x+ + 7 y = x+ + 9 : y = x+ Eine typische Aufgabe, bei der man mit Brüchen rechnen muss. Die Verwendung von Dezimalzahlen wäre ungeschickt und verbietet sich, weil man dann nur Näherungs- Ergebnisse bekommt. Die folgende Abbildung zeigt diese drei angenten. Nachtrag zum Beispiel a) Weil der Berührpunkt hier auf der y-achse liegt, benötigt man die Punkt-Steigungs-Form nicht. Der Berührpunkt ist: B ( 0 ) Also übernimmt man seine y-koordinate für die Größe n in der Geradengleichung. angentensteigung in B : ( ) m = f' 0 = Ergebnis der Geradengleichung: y = m x+ n y = x+ Demo-ext für 7

9 0 angenten Aufgaben 9 f x = x + x x Beispiel : Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der angenten an den Stellen x = -, x = und x = - Lösung:. Ableitung: f' ( x) = x + x a) Zu x = - gehört ( ) ( ) Der Berührpunkt ist somit: B ( 0). angentensteigung in B : ( ) y = f = = 8+ = 0. m = f' = 8+ = B und m werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: angentengleichung: y 0 = ( x+ ) : y=x+ b) Zu x = gehört y f( ) Der Berührpunkt ist somit: B ( ). angentensteigung in B : m = f' ( ) = + = = = + = =. B und m werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: angentengleichung: y+ = ( x ) y+ = x y = x : y=x- c) Zu x = - gehört 5 y f( ) Der Berührpunkt ist somit: 5 B ( ). angentensteigung in B : m = f' ( ) = + = 0 Steigung 0 bedeutet horizontale Gerade. Diese hat die Gleichungsform: y = n 5 B eingesetzt: : y= = = + = + =. Demo-ext für

10 0 angenten Aufgaben 0. Grundaufgabe : Aufstellen einer Normalengleichung WISSEN: Man kann auch die Steigung einer Normalen mit der. Ableitungsfunktion berechnen: Setzt man in f' ( x ) die x-koordinate des Berührpunkts ein, erhält man zunächst als Wert die angentensteigung: ( ) m =f x ' Der negative Kehrwert davon ist dann die Normalensteigung: ' m N = f x Denn weil N auf senkrecht steht, gilt: ( ) Mit dieser Formel entsteht aus der Punkt-Steigungs-Form die Normalengleichung: y-y =- ( x-x ) Oder mit y f(x ) f'(x ) m N =, m = : y-f ( x) =- ( x-x ) f'(x ) Beispiel : Gegeben ist die Funktion f durch ( ) f x = x x+ Berechne die Gleichungen der Normalen an den Stellen x = 0, x = und x = -. f' x = x Lösung: Ableitungsfunktion: ( ) a) Zu x = 0 gehört ( ) Der Kurvenpunkt ist somit: B ( 0 ). angentensteigung in B : ( ) Normalensteigung in B : y = f 0 =. m = f' 0 = mn = = = m B und m N werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Normalengleichung: y = ( x 0) y = x N : y = x+ Demo-ext für Anm.: Weil der Kurvenpunkt B ( ) 0 auf der y-achse liegt, benötigt man hier die Punkt-Steigungs-Form eigentlich nicht. Es genügt schon die Grundgleichung y = mx+ n, denn n = yb = : y = x+

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